专题03 平面直角坐标系中的三大问题（规律、新定义和动点）（专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题03 平面直角坐标系中的三大问题（规律、新定义和动点） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、规律 1 题型二、新定义 7 题型三、动点问题 14 B综合攻坚 能力跃升 22 题型一、规律 1．如图，平面直角坐标系内，动点按照图中箭头所示的方向依次运动，第次从点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按照这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型—点的坐标规律探究，由此可以得到规律每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减，又，故有动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同为，从而求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵第次从点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ， 由此可以得到规律，每四次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，横坐标为运动次数减， ∵， ∴动点第次运动到点的横坐标为，纵坐标与第次运动后的点的纵坐标相同，为， ∴动点第次运动到点的坐标为， 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按点点点点的线路移动，照此规律移动到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意总结出点的坐标变换规律是解题的关键．根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， 以此类推，可知，每运动4次为一个循环， 照此规律移动到点，则点的横坐标始终是n，即， 纵坐标为，0，2，0循环， ， 则点的横坐标为2025，纵坐标为，即， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，分析前几次的点的坐标，可得次一循环，进而得出次后点的坐标，即可求解． 【详解】解：第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，…… 每次后纵坐标为，横坐标加2 ∴经过次运动横坐标为 经过次运动纵坐标为 ∴经过第次运动后，动点的坐标是， 故选：B． 4．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的规律，经过第2025次运动后，蚂蚁所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据前几次运动的坐标特点可得规律横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，据此求解即可． 【详解】解：第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， …， 以此类推可知，横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次， 纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次， ∵， ∴第2025次运动后，蚂蚁的横坐标为，纵坐标为 ∴第2024次的坐标是， 故选D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点从点出发，第1次由点跳动至点，第2次由点跳动至点，第3次由点跳动至点，第4次由点跳动至点根据这个规律，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，由题知点移动5次坐标为一次完整过程，每一次完整循环横坐标比上一次循环依次多4，据此得到点的位置规律与题图上的位置规律相同，即可解答，解题的关键是寻找点的变化规律． 【详解】解：观察题图坐标系中图形的规律可得，，； 则移动5次坐标为一次完整过程，每一次完整循环横坐标比上一次循环依次多4． 因为， 所以点的位置规律与题图上的位置规律相同， 所以点的坐标为，即． 故答案为：． 6．如图，一个点按，的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标规律探究，根据的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上，得出横坐标为，而，据此，即可求解，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，， ∴，，，， ； ∴的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上， ∴的横坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 【答案】， 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半； 第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半的相反数，纵坐标是次数加上1的一半，然后写出即可． 【详解】解∶ 观察发现，第1次跳动至点的坐标是， 第2次跳动至点的坐标是， 第3次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第5次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第7次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， … 第次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， ∴第100次跳动至点的坐标是，第2017次跳动至点的坐标是． 8．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 题型二、新定义 9．若定义：f(a,b)＝(-a,b)，g(m,n)＝(m,-n)，例如f(1,2)＝(-1,2)，g(-4,-5)＝(-4,5)，则g(f(3,-4))的值为（    ） A．(3,-4) B．(-3,4) C．(3,4) D．(-3,-4) 【答案】B 【分析】直接根据新定义的运算进行求解． 【详解】由题意知，f(3,-4)＝(-3,-4)， ∴g(f(3,-4))＝g(-3,-4)＝(-3,4)， 故选B． 【点睛】本题是新定义运算，考查点的坐标变化，正确理解新定义运算规则是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答． 【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为 则 ， 则 ∴ 同理得，…… 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． ∴点的坐标与的坐标相同，为． 故选：A 11．对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，且规定（为大于1的整数）．如，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义运算，分奇数和偶数，发现坐标的规律，解答即可． 本题考查了坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，，，，，… 当为偶数时，； 当为奇数时，， 则． 故选：B． 12．(23-24八年级上·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，定义两种新的变换：对应平面内任一点P（m，n），规定：①f（m，n）=（﹣m，n），例如，f（2，1）=（﹣2，1）；②g（m，n）=（m，﹣n），例如，g（2，1）=（2，﹣1），已知点P（a，b）满足f（a，b）=g（a，b），则点P坐标为 ． 【答案】（0，0） 【分析】根据，，，，，，可得答案． 【详解】解：，，，，，， ，，， ，，， ，， 则点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标，利用，，得出，，是解题关键． 13．定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或或或3 【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积． （1）直接应用定义计算坐标； （2）需结合点的位置与坐标关系求解面积； （3）需联立方程并分类讨论绝对值条件． 【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为； 故答案为：， 根据定义：， ，解得； 检验：当时，，成立， 故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ， ，解得，， ， 的坐标为， ，即N为， O为原点， ． （3）N的坐标为， ， ， ， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即）， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或． 综上所述，的值为或或或3． 14．在平面直角坐标系中，对于点，定义一种变换：将点）变换为，其变换规则为，其中为常数．我们则称是的“变点”． (1)已知点是点的“变点”， ①求的算术平方根； ②已知点经过变换后得到点，再将点先向左移1个单位，再向上移5个单位得到点，若点落在坐标轴上，求点的坐标； (2)约定：如果一个点的纵坐标比横坐标的2倍还多4，我们就称这个点为“美点”，已知点是点的“变点”，若点就是一个“美点”，且是的“变点”，求的坐标． 【答案】(1)①4；②或 (2) 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义正确列出二元一次方程组是本题解题的关键． （1）根据点是点的“变点”，求出的值；①代入的值求解算术平方根即可；②根据定义求出点坐标，再根据平移与坐标的关系求出点坐标，根据在坐标轴上，令其横纵坐标分别为 0 求出的值，代入点坐标即可； （2）根据点是点的“变点”得出一个的关系式，再根据点就是一个“美点”，得出另一个关系式，联立求解，最后根据是的“变点”求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“变点”， ， 解得：， ①， ∴的算术平方根为 4 ； ②， ∴， ， ∵点C在坐标轴上， ∴或， ∴或7， ∴或； （2）解：∵点是点的“变点”， ， ∵点就是一个“美点”， ， ， 设， ∵是的“变点”， ， 解得：， ． 15．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“和谐点”． 例如，点的一对“和谐点”是点与点 (1)点的一对“和谐点”坐标是______与______； (2)若点的一对“和谐点”重合，求y的值． (3)若点C的一个“和谐点”坐标为，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】】（1）根据“和谐点”的定义计算即可； （2）根据“和谐点”的定义求出点的一对“和谐点”，结合“和谐点”重合，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值； （3）根据“和谐点”的定义，可得出关于的二元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】（1）由题意得， 所以点的一对“和谐点”坐标是与； 故答案为：与； （2）由题意得：，， 所以点的一对“和谐点”坐标是与； 又点的一对“和谐点”重合， ∴， ∴， （3）设， ①若点C的一个“和谐点”坐标为， 由题意得，， ∴，； ∴ ②若点C的另一个“和谐点”坐标为， 由题意得，， ∴，； ∴ 综上，点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了新定义、解一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键是理解“和谐点”的定义． 题型三、动点问题 16．在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据题意可知点C的纵坐标为5，在利用垂线段最短即可得出当点C的横坐标为2时，线段长度最小，从而得出答案． 【详解】解：点C在直线上，且直线是过点与轴平行的直线， 点C的纵坐标为5， 点， 根据垂线段最短可知，当点C的横坐标为2时，线段长度最小， 点C的坐标为， 故选A． 17．已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解． 本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意， 得或， 解得或， 故点P的坐标为或， 故选：C． 18．如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键．根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动2025秒所走的路程为4050个单位长度，,则点P相当于运动了253圈后又运动2个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动2025秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动253圈后又运动2个单位长度， 即第2025秒点所在的位置是， 故选：A． 19．如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点在以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ， ． (2)①当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ②当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ③当点在线段上时， ．（用含的式子表示） (3)当的面积等于3时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①;②;③ (3)或或 (4)①；②或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点问题，涉及线段长度的计算、三角形面积公式以及点到直线距离的相关知识．对于每个小问，根据动点的不同位置，利用相应的几何关系和公式进行求解．关键在于根据动点的运动路径和时间，准确确定线段长度的表达式，并结合面积条件列出方程或不等式求解． （1）根据平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系求解即可； （2）①当点在线段上时，根据路程速度时间求解即可；②当点在线段上时，点P在上的运动时间为，，由即可求解；③当点在线段上时，根据点点P在上的运动时间即可求解； （3）分情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （4）①当时，直接根据三角形面积公式判断即可；②当时，，分情况讨论不同情况下t的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 点到轴的距离；点到轴的距离， 故答案为：； （2）①当点在线段上时， 动点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ； 故答案为：． ②当点在线段上时， 点P从A到O运动的时间为速度秒， ，， ， ， ； 故答案为：． ③当点P在线段上时， 点P从A到O再到B运动的时间为速度秒， 点P在上的运动时间为， （）； 故答案为：． （3）当点P在线段上时（）， ， ，， ， 解得； 当点P在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； 当点在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； （4）①当时， 根据三角形面积公式（a为底，这里底都为）， ， ； 故答案为：． ②当时， ， 当时，． 当点P在线段上时（），，由，解得， ； 当点P在线段上时（），，由，，，，所以； 当点在线段上时()，，由，，，，所以． 综上，t的取值范围是或． 21．已知，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出三角形； (2)在（1）的条件下，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，两条直线交于点，补全图形，并直接写出的坐标是______． (3)若点在轴上运动，当长度最小时，点的坐标为______，依据是______． 【答案】(1)见解答 (2)画图见解答，； (3)，垂线段最短． 【分析】（1）描点并依次将它们连接起来即可； （2）画图并写出的坐标即可； （3）根据垂线段最短，过点作轴，交轴于点，写出点的坐标即可． 本题考查点的坐标、最短路线问题，掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：三角形如图所示： （2）补全图形如图所示，的坐标是． 故答案为：． （3）过点作轴，交轴于点，则点的坐标为，依据是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 1．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键． 分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 故选：C． 2．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，经过第72次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的规律，根据已知点的坐标归纳概括出点的坐标的规律是解题的关键．设动点运动了次，则点的横坐标为，点的纵坐标按2，0，1，0，2，0，1，0，重复出现，每4个数为一个循环．按此规律找出经过第72次运动后，动点的坐标即可． 【详解】解：设动点运动了次， 观察图形中点的坐标可知： 点的横坐标为， 点的纵坐标按2，0，1，0，2，0，1，0，重复出现，每4个数为一个循环， 当点经过72次运动后，横坐标为144， 余数为0 当点经过72次运动后，纵坐标为0， 即点的坐标为， 故选为：D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，这样依次得到点，，，，…，， 若点的坐标是， 则点P2025的坐标是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为新定义问题，根据新定义进行计算，发现其中规律是解题关键．根据“青蓝点”的定义求出，，，，…；即可发现点的坐标每4个一个循环，据此即可求解． 【详解】解：∵把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯， ∴，即； ∴，即； 同理可得，，…； ∴点的坐标每4个一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，，顶点依次用，，，，表示，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探索，根据坐标点的变化找到变化规律，因为，所以点是第个正方形的第一个点，在第三象限，所以点的坐标为． 【详解】解：正方形的边长为， 的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是， 正方形的边长为， 的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是， ， 正方形中， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ， 的坐标是． 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为． （1）点的“友好点”的坐标为 ． （2）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的规律探究，解题的关键是根据“友好点”的定义找出点的坐标变化规律． （1）根据“友好点”定义直接计算； （2）先找出点的坐标循环规律，再结合的坐标推出的坐标，进而求． 【详解】解：（1）已知对于点“友好点”． 点的坐标为，那么的“友好点”的坐标，将代入“友好点”定义式： 横坐标为，纵坐标为． 所以的坐标为； （2）设，则； ； ； ． 可以发现每4个点为一个循环周期． 因为，其中余数为2，说明的坐标与的坐标相同． 已知，所以，则可得方程组 解得，． 所以． 故答案为：；． 6．如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次从运动到，第5次从运动到……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ． 【答案】 【分析】先确定横坐标的规律，等于序号数；再确定纵坐标的规律，第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：先确定横坐标的规律，第一次是1，第二次是2，第三次是3，第四次是4，第五次是5，第六次是6，第七次是7，第八次是8， 故第n次是n； 根据题意，得纵坐标变化为：第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，偶数为0， 由， 故第2025次运动后，动点的坐标是， 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点，． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为_________． (2)若点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查新定义、点的平移等知识，熟记点的平移，理解“阶派生点”定义是解决问题的关键． （1）由“阶派生点”的定义，代值求解即可得到答案； （2）由点的平移得到点的坐标，再由“阶派生点”定义得到的坐标为，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）， 若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点， 点的坐标为． ， 点的“阶派生点”的坐标为． 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，， 解得， 则， 点的坐标为． ②当点在轴上时，， 解得， 则， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 8．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义： 点的“第I类变换”：将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； 点的“第II类变换”：将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． (1)①已知点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是_____； ②点为平面内一点，若对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标是_____． (2)已知点，若对点连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后得到点，求点的坐标（用含，的式子表示）． (3)已知点的坐标，对点进行“第类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上？如果存在，请求出此时点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）①根据题目新定义再结合坐标平移特点得出结果即可；②根据题目新定义再结合坐标平移特点得出结果即可； （2）对点连续进行5次“第I类变换”后，得到的点的坐标，再进行4次“第II类变换”后，得到的点的坐标是，化简即可； （3）设点P经过m次“第I类变换”，经过n次“第II类变换，得到点Q的坐标为，根据题意得到，解出、为非负整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：①点向左平移2个单位长度，得到；再向上平移1个单位长度得到； ∴点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是； 故答案为：． ②点，向左平移1个单位长度得到，再向上平移3个单位长度得到； ∴对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标； 故答案为：． （2）解：对点连续进行5次“第I类变换”后， 得到的点的坐标是，化简得（，）， 再进行4次“第II类变换”后，得到的点的坐标是， 化简得； ； （3）解：不存在， 理由如下：， 设点P经过m次“第I类变换”，经过n次“第II类变换， 得到点Q的坐标为 点恰好在轴上， ， 解得， 、为非负整数， 不合题意舍去， 不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面直角坐标系中的三大问题（规律、新定义和动点） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、规律 1 题型二、新定义 4 题型三、动点问题 6 B综合攻坚 能力跃升 8 题型一、规律 1．如图，平面直角坐标系内，动点按照图中箭头所示的方向依次运动，第次从点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按照这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按点点点点的线路移动，照此规律移动到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是(    ) A． B． C． D． 4．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的规律，经过第2025次运动后，蚂蚁所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点从点出发，第1次由点跳动至点，第2次由点跳动至点，第3次由点跳动至点，第4次由点跳动至点根据这个规律，则点的坐标是 ． 6．如图，一个点按，的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是 ． 7．如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 8．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 题型二、新定义 9．若定义：f(a,b)＝(-a,b)，g(m,n)＝(m,-n)，例如f(1,2)＝(-1,2)，g(-4,-5)＝(-4,5)，则g(f(3,-4))的值为（    ） A．(3,-4) B．(-3,4) C．(3,4) D．(-3,-4) 10．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，且规定（为大于1的整数）．如，，，则（    ） A． B． C． D． 12．(23-24八年级上·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，定义两种新的变换：对应平面内任一点P（m，n），规定：①f（m，n）=（﹣m，n），例如，f（2，1）=（﹣2，1）；②g（m，n）=（m，﹣n），例如，g（2，1）=（2，﹣1），已知点P（a，b）满足f（a，b）=g（a，b），则点P坐标为 ． 13．定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 14．在平面直角坐标系中，对于点，定义一种变换：将点）变换为，其变换规则为，其中为常数．我们则称是的“变点”． (1)已知点是点的“变点”， ①求的算术平方根； ②已知点经过变换后得到点，再将点先向左移1个单位，再向上移5个单位得到点，若点落在坐标轴上，求点的坐标； (2)约定：如果一个点的纵坐标比横坐标的2倍还多4，我们就称这个点为“美点”，已知点是点的“变点”，若点就是一个“美点”，且是的“变点”，求的坐标． 15．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“和谐点”． 例如，点的一对“和谐点”是点与点 (1)点的一对“和谐点”坐标是______与______； (2)若点的一对“和谐点”重合，求y的值． (3)若点C的一个“和谐点”坐标为，求点C的坐标． 题型三、动点问题 16．在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 18．如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点在以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ， ． (2)①当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ②当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ③当点在线段上时， ．（用含的式子表示） (3)当的面积等于3时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 21．已知，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出三角形； (2)在（1）的条件下，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，两条直线交于点，补全图形，并直接写出的坐标是______． (3)若点在轴上运动，当长度最小时，点的坐标为______，依据是______． 1．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，经过第72次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点 叫作点的青蓝点，已知的青蓝点为，点的青蓝点为，点的青蓝点为，⋯，这样依次得到点，，，，…，， 若点的坐标是， 则点P2025的坐标是 （   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，，顶点依次用，，，，表示，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为． （1）点的“友好点”的坐标为 ． （2）设，则的值为 ． 6．如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次从运动到，第5次从运动到……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ． 7．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点，． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为_________． (2)若点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 8．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义： 点的“第I类变换”：将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； 点的“第II类变换”：将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． (1)①已知点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是_____； ②点为平面内一点，若对点进行1次“第II类变换”后得到点，则点的坐标是_____． (2)已知点，若对点连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后得到点，求点的坐标（用含，的式子表示）． (3)已知点的坐标，对点进行“第类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上？如果存在，请求出此时点的坐标；如果不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$