专题03 轴对称与等腰三角形（5知识&7题型&3易错&5方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材沪科版

专题03 轴对称与等腰三角形（5知识&7题型&3易错&5方法清单） 【清单01】轴对称的概念与性质 核心定义 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 两个图形关于直线对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称的性质； 轴对称作图步骤； 【清单02】线段的垂直平分线 【清单03】等腰三角形的概念与性质 核心定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 性质:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）； 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线）。 【清单04】等腰三角形的判定 判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 特殊等腰三角形——等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形； 性质：三个内角都相等，且都等于；是轴对称图形，有三条对称轴； 判定； 【清单05】轴对称与等腰三角形的实际应用 一般步骤； 常见应用场景:最短路径问题（利用轴对称转化线段）； 建筑、图案的对称设计； 利用等腰三角形性质进行测量和计算。 【题型一】轴对称的概念与识别 【例1】（2024秋•鄂尔多斯期末）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024秋•城西区期末）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023•陵城区一模）下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型二】线段垂直平分线的性质与判定 【例2】．（2025秋•邢台期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．116° C．128° D．142° 【变式2-1】（2025秋•南昌期中）如图，已知线段AB与线段AB外一点C，分别以点A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两弧分别交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，CD，若AB＝10，四边形ACBD的面积为65，则CD的长为（　　） A．6.5 B．10 C．13 D．26 【变式2-2】（2025秋•翔安区期中）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F，且∠BAC＝110°，则∠DAE的度数是（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 【题型三】等腰三角形的性质应用 【例3】（2025秋•龙华区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【变式3-1】（2025秋•尚志市期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，点E在AC上，连接BE并延长至点D，使ED＝EC，若∠DCE＝60°，∠A＝2∠CBE，则∠CBE的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 【变式3-2】（2024秋•潜江期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BC∥x轴，若A（2，4），B（﹣1，1），则点C的坐标为（　　） A．（2，3） B．（3，1） C．（5，1） D．（1，5） 【题型四】等腰三角形的判定 【例4】（2025秋•丰县期中）如图，A，B为4×4方格纸（每个小正方形边长为1）中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形，图中不符合要求的点是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 【变式4-1】（2025秋•新吴区期中）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．AB＝AC＝2，BC＝4 D．AB＝3，BC＝7，周长为13 【变式4-2】（2025秋•周村区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，在直线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型五】等边三角形的性质与判定 【例5】（2024秋•文水县期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠BOC＝（　　） A．80° B．95° C．100° D．120° 【变式5-1】（2025秋•北京期中）如图，在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），直线AD为BP的中垂线，连接PB，PC．则∠BPC的度数是（　　） A．30° B．30°+α C． D．60°﹣α 【变式5-2】（2025春•迎泽区月考）如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（　　） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【题型六】轴对称与最短路径问题 【例6】（2024秋•石城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为 　7　 ． 【变式6-1】（2025秋•方正县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝9，DE垂直平分BC，点P为直线DE上的任一点，则△ABP的周长的最小值是　　 ． 【变式6-2】（2025秋•重庆期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点M，N，D是BC的中点，P是MN上任意一点，连接PC，PD，若∠B＝70°，则当△PCD的周长取最小值时，∠CPD＝　　 ． 【题型七】轴对称与等腰三角形的实际应用 【例7】（（2025秋•渝中区期中）游园会上，3名同学玩游戏，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．要求在他们中间放一个凳子，谁先坐 到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边上高的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式7-1】（2024秋•湘西州期末）某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 【变式7-2】（2025秋•青山区期中）如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　） A．∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点 B．∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 C．∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 D．∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点 【题型一】忽略等腰三角形的分类讨论致错 【例1】（2025秋•如东县期中）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为　　 ． 【变式1-1】（2025秋•江阳区期中）等腰三角形两条边长分别为4和7，则这个等腰三角形的周长为　　 ． 【变式1-2】（2025秋•宿豫区期中）等腰三角形ABC的周长为9，AB＝4，则BC的长为　2.5或4或1　 ． 【题型二】轴对称作图时忽略对应点的位置关系致错 【例2】（2025秋•海淀区期中）如图是3×3的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，则正方形网格中与△ABC成轴对称的格点三角形的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式2-1】（2024秋•濮阳期末）如图，在等边△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，DC．依题意补全图形，若∠PAC＝15°，则∠BDC＝　　 °． 【变式2-2】（2025•二道区开学）如图是由3个小正方形组成的图形，若在图中补一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则不同的补法有　4　 种． 【题型三】等边三角形判定时忽略前提条件致错 【例3】（2025•资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 　　 ． 【变式3-1】（2025春•宝丰县期中）已知点A（2，0），B（﹣2，0），点P是y轴上一动点．当△ABP成为等边三角形时，点P的坐标为 　　 ． 【变式3-2】（2024秋•大石桥市期中）已知∠AOB＝30°且∠AOB内有一点P，点P关于OA、OB的对称点分别为E、F，则△EOF一定是　　 三角形． 【题型一】轴对称图形的识别方法 核心技巧：抓住“沿某直线折叠后完全重合”的本质，逐一验证图形的对称性；对于平面直角坐标系中的点，牢记不同对称轴的坐标变化规律（关于轴对称：横同纵反；关于轴对称：纵同横反；关于直线对称：横纵互换）。 适用场景：图形的轴对称识别、坐标系中点的对称坐标求解。 【例1】（2025秋•兰山区期中）汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要阶段．在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1—1】（2025秋•淄博期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1—2】（2025•五华区模拟）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】等腰三角形角度计算的技巧 核心技巧： 分类讨论：已知角未明确是顶角或底角时，分两种情况计算； 巧用性质：利用“等边对等角”“三线合一”转化角度关系； 结合定理：搭配三角形内角和定理、外角定理推导角度。 适用场景：等腰三角形的角度求解、角度等量关系证明。 【例2】（2025秋•邢台期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝50°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是　　 ． 【变式2—1】（2025秋•广州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积是 　6　 ． 【变式2—2】（2025秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD．点E、点F分别是AC，BD的中点，EF＝4，则AC的长为 　　 ． 【题型三】线段垂直平分线的解题技巧 核心技巧： 性质应用：见垂直平分线，即得线段相等，实现线段的等量代换； 判定应用：要证垂直平分线，需证线上两点到线段两端距离相等； 综合转化：结合等腰三角形性质，将周长、线段和差问题转化为已知线段的计算。 【例3】（2025秋•海安市期中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且．若AE＝3，BE＝7，则DG的长为 　　 ． 【变式3—1】（2025秋•和平区期中）如图，△ABC是三边都不相等的三角形，点P是内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点．点P，O同时在三角形的内部时： （1）若∠A＝50°，则∠BPC＝　　 ； （2）若∠BPC＝x，则∠BOC＝　　 ． 【变式3—2】（2025秋•姑苏区期中）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点D，且AD＝CD，∠ABE+∠CBE＝180°，EF⊥BC于点F，若AB＝7，BF＝1，则BC＝　　 ． 【题型四】最短路径问题的解题技巧 核心技巧： 单对称轴模型（将军饮马）：作一个点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一个点，与对称轴交点即为最短路径的点； 双对称轴模型：作两个对称点，连接对称点的线段长度即为最短周长/线段和； 转化思想：将折线段的长度和转化为直线段的长度，利用“两点之间，线段最短”求解。 适用场景：各类轴对称背景下的最短路径、最短周长问题。 【例4】（2025秋•罗定市期中）如图所示，△ABC中，AB＝AC，MN是AC的垂直平分线，P是MN上的一个动点，D是BC中点．如果△ABC面积为20，BC＝8，则△PDC周长最小值为　　 ． 【变式4—1】（2025秋•江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，且△ABC的面积是24，AB的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+MD的最小值为　　 ． 【变式4—2】（2025秋•新丰县期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PF+QE的最小值为　5　 ． 【题型五】等边三角形的计算技巧 核心技巧：边长与高的关系：等边三角形的高（为边长），可直接用于边长与高的互求； 角度特性：三个角均为，可结合直角三角形（含角）的性质计算； 全等关联：等边三角形常与全等三角形结合，利用三边相等、三角相等的特性证明全等。 【例5】（2025秋•惠城区期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为1的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则∠DBC的度数为　 ． 【变式5—1】（2025秋•鹿城区期中）如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 　　 ． 【变式5—2】（2025秋•兴化市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝60°，D是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD＝∠ACE，∠BFD＝60°，CE＝5，则AF的长为　　 ． 【变式5—3】（2025秋•綦江区期中）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为 　　 ． 学科网（北京）股份有限公13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称与等腰三角形（5知识&7题型&3易错&5方法清单） 【清单01】轴对称的概念与性质 核心定义 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 两个图形关于直线对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称的性质； 轴对称作图步骤； 【清单02】线段的垂直平分线 【清单03】等腰三角形的概念与性质 核心定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 性质:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）； 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线）。 【清单04】等腰三角形的判定 判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 特殊等腰三角形——等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形； 性质：三个内角都相等，且都等于；是轴对称图形，有三条对称轴； 判定； 【清单05】轴对称与等腰三角形的实际应用 一般步骤； 常见应用场景:最短路径问题（利用轴对称转化线段）； 建筑、图案的对称设计； 利用等腰三角形性质进行测量和计算。 【题型一】轴对称的概念与识别 【例1】（2024秋•鄂尔多斯期末）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 【点评】本题主要考查了轴对称的图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 【变式1-1】（2024秋•城西区期末）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【变式1-2】（2023•陵城区一模）下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】题目中的四个图形都是轴对称图形，据此即可作出判断． 【解答】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了对称图形的性质，正确理解题目中各个图形之间的关系是解题关键． 【题型二】线段垂直平分线的性质与判定 【例2】．（2025秋•邢台期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．116° C．128° D．142° 【分析】由∠ABC＝52°，可得∠BMN+∠BNM＝128°，根据线段垂直平分线的性质可得：MA＝MP，NP＝NC，推出∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，再结合三角形的外角性质可得，最后根据∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC），即可求解． 【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣52°＝128°， ∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴MA＝MP，NP＝NC， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC， ∴， ∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣64°＝116°， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 【变式2-1】（2025秋•南昌期中）如图，已知线段AB与线段AB外一点C，分别以点A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两弧分别交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，CD，若AB＝10，四边形ACBD的面积为65，则CD的长为（　　） A．6.5 B．10 C．13 D．26 【分析】由线段垂直平分线的性质定理的逆定理推出AB⊥CD，由三角形的面积公式得到四边形ACBD的面积AB•CD＝65． 【解答】解：由题意得到：AC＝AD，BC＝BD， ∴A和B都在线段CD的垂直平分线上， ∴AB⊥CD， ∴△ABC的面积AB•OC，△ABD的面积AB•OD， ∴四边形ACBD的面积＝△ABC的面积+△ABD的面积AB•（OC+OD）AB•CD＝65， ∵AB＝10， ∴CD＝13． 故选：C． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理． 【变式2-2】（2025秋•翔安区期中）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F，且∠BAC＝110°，则∠DAE的度数是（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，计算即可． 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°， ∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAE＝110°﹣70°＝40°． 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【题型三】等腰三角形的性质应用 【例3】（2025秋•龙华区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【分析】由等腰三角形三线合一性质得，AD⊥BC，又AE＝AD，则有∠ADE＝∠AED＝70°，然后通过角度和差即可求解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线， ∴，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵AE＝AD， ∴， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【变式3-1】（2025秋•尚志市期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，点E在AC上，连接BE并延长至点D，使ED＝EC，若∠DCE＝60°，∠A＝2∠CBE，则∠CBE的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵ED＝EC，∠DCE＝60°， ∴△EDC是等边三角形， ∴∠CED＝60°， ∴∠CBE+∠ACB＝60°， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB， ∴∠CBE+∠A＝60°， ∵∠A＝2∠CBE， ∴∠CBE＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键． 【变式3-2】（2024秋•潜江期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BC∥x轴，若A（2，4），B（﹣1，1），则点C的坐标为（　　） A．（2，3） B．（3，1） C．（5，1） D．（1，5） 【分析】过点A作AE⊥x轴，交BC于点D，求出D点坐标，根据三线合一，得到D为B，C的中点，进而求出C点坐标即可． 【解答】解：过点A作AE⊥x轴，交BC于点D， ∵A（2，4），B（﹣1，1）， ∴D（2，1）， ∵△ABC为等腰三角形， ∴BD＝CD， ∴C（2+2+1，1），即：（5，1）， 所以点C的坐标为（5，1）， 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，坐标与图形性质，关键掌握等腰三角形的性质． 【题型四】等腰三角形的判定 【例4】（2025秋•丰县期中）如图，A，B为4×4方格纸（每个小正方形边长为1）中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形，图中不符合要求的点是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 【分析】根据有两条边相等的三角形是等腰三角形判断即可． 【解答】解：A、△ABC1是以AB为底的等腰三角形，故此选项不符合题意； B、△ABC2是以AB为腰的等腰三角形，故此选项不符合题意； C、△ABC3是以AB为腰的等腰三角形，故此选项不符合题意； D、△ABC4不是等腰三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式4-1】（2025秋•新吴区期中）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．AB＝AC＝2，BC＝4 D．AB＝3，BC＝7，周长为13 【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的三边关系进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∴△ABC不是等腰三角形， 故A不符合题意； B、∵∠A＝50°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°， ∴∠C＝∠A＝50°， ∴△ABC是等腰三角形， 故B符合题意； C、∵AB＝AC＝2，BC＝4， ∴2+2＝4， ∴不能组成三角形， 故C不符合题意； D、∵AB＝3，BC＝7，周长为13， ∴AC＝13﹣AB﹣BC＝3， ∵3+3＝6＜7， ∴不能组成三角形， 故D不符合题意；故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式4-2】（2025秋•周村区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，在直线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据题意，画出图形，即可得到答案． 【解答】解：分三种情况①AP＝AB，②BA＝BP，③PA＝PB： 如图，①以点A为圆心，AB长为半径交直线AC于点P1和P2， ②以点B为圆心，BA长为半径交直线AC于点A和P3， ③线段AB垂直平分线与直线AC的交点记为点P4， ∴符合条件的点P共有4个，故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识，正确画出图形． 【题型五】等边三角形的性质与判定 【例5】（2024秋•文水县期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠BOC＝（　　） A．80° B．95° C．100° D．120° 【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠CBD∠ABC60°＝30°，∠BCE∠ACB60°＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【变式5-1】（2025秋•北京期中）如图，在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），直线AD为BP的中垂线，连接PB，PC．则∠BPC的度数是（　　） A．30° B．30°+α C． D．60°﹣α 【分析】连接PA，由线段垂直平分线的性质推出PA＝BA，得到∠APB＝∠ABP＝90°﹣α，由等腰三角形的性质推出∠PAB＝2∠BAD＝2α，由等腰三角形的性质推出∠APC＝∠ACP（180°﹣∠PAC）＝60°﹣α，即可求出∠BPC的度数． 【解答】解：连接PA， ∵AD垂直平分PB， ∴PA＝BA， ∴∠APB＝∠ABP， ∵∠BAD＝α，∠AHB＝90°， ∴∠ABP＝90°﹣α， ∴∠APB＝90°﹣α， ∵PA＝BA，PD⊥PB， ∴∠PAB＝2∠BAD＝2α， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝60°， ∴AP＝AC， ∴∠APC＝∠ACP， ∵∠PAC＝∠PAB+∠BAC＝2α+60°， ∴∠APC（180°﹣∠PAC）＝60°﹣α， ∴∠BPC＝∠APB﹣∠APC＝30°． 故选：A． 【点评】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠APC＝∠ACP＝60°﹣α． 【变式5-2】（2025春•迎泽区月考）如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（　　） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【分析】根据等边三角形性质得AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，进而得∠BOE＝30°，∠COF＝30°，则OB＝2BE，OC＝2CF，由此得2BE+2CF＝3，据此可得BE+CF的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为3， ∴AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴在Rt△OBE中，∠BOE＝90°﹣∠B＝30°， ∴OB＝2BE， 在Rt△OCF中，∠COF＝90°﹣∠C＝30°， ∴OC＝2CF， ∵OB+OC＝BC＝3， ∴2BE+2CF＝3， ∴BE+CF＝1.5． 故选：B． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质是已解决问题的关键． 【题型六】轴对称与最短路径问题 【例6】（2024秋•石城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为 　7　 ． 【分析】如图：连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D为BC边的中点，故AD⊥BC；再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+DM的最小值，然后运用等面积求的AD的长即可． 【解答】解：如图：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴， 解得AD＝7， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴CM+MD的最小值为7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键． 【变式6-1】（2025秋•方正县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝9，DE垂直平分BC，点P为直线DE上的任一点，则△ABP的周长的最小值是　12　 ． 【分析】连接CP，由线段垂直平分线的性质得BP＝CP，即得AP+BP＝AP+CP，由两点之间线段最短可知，当点P和点D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，此时△ABP的周长最小，据此解答即可求解． 【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝9，DE垂直平分BC，连接CP， ∴BP＝CP， ∴AP+BP＝AP+CP， 当点P和点D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长， ∵△ABP的周长＝AB+AP+BP， ∴此时△ABP的周长最小，最小值＝AB+AC＝5+7＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式6-2】（2025秋•重庆期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点M，N，D是BC的中点，P是MN上任意一点，连接PC，PD，若∠B＝70°，则当△PCD的周长取最小值时，∠CPD＝　40°　 ． 【分析】连接AP，由线段垂直平分线的性质得到PC＝PA，则可推出当A，P，D三点共线时△PCD的周长有最小值，根据三线合一定理和等边对等角得到AD⊥BC，∠ACD＝∠B＝70°，求出∠CAD的度数，再由等边对等角得到∠PCA的度数，进而由三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：如图所示，连接AP， ∵MN垂直平分AC， ∴PC＝PA， ∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PA+PD+CD， ∵点D是BC的中点， ∴， ∴当A，P，D三点共线时，PA+PD有最小值， ∵AB＝AC， ∴∠ACD＝∠B＝70°，AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°， ∵PC＝PA， ∴∠PCA＝∠PAC＝20°， ∴∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【题型七】轴对称与等腰三角形的实际应用 【例7】（（2025秋•渝中区期中）游园会上，3名同学玩游戏，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．要求在他们中间放一个凳子，谁先坐 到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边上高的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答． 【解答】解：由题意可知：凳子到△ABC三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点， 故选：D． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【变式7-1】（2024秋•湘西州期末）某景区有一块三角形的草坪，A、B、C是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等即可求解． 【解答】解：∵凉亭到三个商店的距离相等， ∴凉亭的位置应选在△ABC三边垂直平分线的交点上， 故选：D． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意． 【变式7-2】（2025秋•青山区期中）如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　） A．∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点 B．∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 C．∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 D．∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点 【分析】由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路CD和EF的距离相等需要建在∠COF的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置． 【解答】解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路EF和CD的距离相等需要建在∠DOF和∠COF的平分线上， ∴发射塔应该修建在∠DOF和∠COF的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处． 故选：D． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图． 【题型一】忽略等腰三角形的分类讨论致错 【例1】（2025秋•如东县期中）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为　50°或80°　 ． 【分析】分50°角为底角和顶角两种情况求解即可． 【解答】解：当50°的角为顶角时， 此时顶角为50°； 当50°的角为底角时， 此时顶角为180°﹣2×50°＝80°； 即该三角形的顶角为50°或80°， 故答案为：50°或80°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1-1】（2025秋•江阳区期中）等腰三角形两条边长分别为4和7，则这个等腰三角形的周长为　15或18　 ． 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：①当腰为4时，周长＝4+4+7＝15， ②当腰长为7时，周长＝7+7+4＝18； 经验证，两种情况都能构成三角形， 因此三角形的周长为15或18，故答案为：15或18． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【变式1-2】（2025秋•宿豫区期中）等腰三角形ABC的周长为9，AB＝4，则BC的长为　2.5或4或1　 ． 【分析】按照AB为底边和腰，分类求解．当AB为底边时，BC为腰；当AB腰时，BC为腰或底边． 【解答】解：（1）当AB＝4为底边时，BC为腰， 由等腰三角形的性质，得BC（9﹣AB）（9﹣4）＝2.5； （2）当AB＝4为腰时， ①若AB、BC为腰，则BC＝AB＝4， ②若BC为底，则BC＝9﹣2AB＝1． 故答案为：2.5或4或1． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质三角形的三边关系，能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 【题型二】轴对称作图时忽略对应点的位置关系致错 【例2】（2025秋•海淀区期中）如图是3×3的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，则正方形网格中与△ABC成轴对称的格点三角形的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称． 故选：A． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 【变式2-1】（2024秋•濮阳期末）如图，在等边△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，DC．依题意补全图形，若∠PAC＝15°，则∠BDC＝　30　 °． 【分析】根据题目要求作图，根据对称AB＝AD，得∠ADB＝∠ABD＝45°，利用外角∠AEB＝∠ADB+∠PAD可得结果． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形，点C与点D关于直线AP对称，∴AB＝AC＝AD， ∵∠PAC＝15°，点C与点D关于直线AP对称， ∴∠CAD＝2∠PAC＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∴∠AEB＝∠ADB+∠PAD＝60°．∴∠DEP＝60°，∴∠BDC＝30°，故答案为：30． 【点评】本题考查了图形的对称以及外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和． 【变式2-2】（2025•二道区开学）如图是由3个小正方形组成的图形，若在图中补一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则不同的补法有　4　 种． 【分析】根据轴对称的性质画出图形解答即可． 【解答】解：如图所示： 故答案为：4． 【点评】此题考查作图—轴对称，关键是根据轴对称的性质画出图形解答． 【题型三】等边三角形判定时忽略前提条件致错 【例3】（2025•资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 　∠BCE＝∠B（答案不唯一）　 ． 【分析】由等边三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是∠BCE＝∠B（答案不唯一），理由如下：∵CE∥DA，∴∠A＝∠BEC，∵∠A＝∠B， ∴∠B＝∠BEC， ∵∠BCE＝∠B， ∴∠B＝∠BCE＝∠BEC，∴△BCE 成为等边三角形． 故答案为：∠BCE＝∠B（答案不唯一）． 【点评】本题考查等边三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法：三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【变式3-1】（2025春•宝丰县期中）已知点A（2，0），B（﹣2，0），点P是y轴上一动点．当△ABP成为等边三角形时，点P的坐标为 　或　 ． 【分析】利用等边三角形的性质求出线段OP的长度即可． 【解答】解：∵A（2，0），B（﹣2，0）， ∴OA＝OB＝2，AB＝4， ∵△ABP为等边三角形，∴PA＝PB＝AB＝4， ∵OP⊥AB， ∴， 又∵点P在y轴上， ∴点P的坐标为或．故答案为：或． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理解出线段长，从而得出点的坐标． 【变式3-2】（2024秋•大石桥市期中）已知∠AOB＝30°且∠AOB内有一点P，点P关于OA、OB的对称点分别为E、F，则△EOF一定是　等边　 三角形． 【分析】由于点P关于OA的对称点为E，根据轴对称的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线，得出OA垂直平分PE，再由线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等，得出OP＝OE，同样可以证明OF＝OP，从而得出OE＝OF，即△EOF是等腰三角形． 【解答】解：如图．连接OP，PE，PF． ∵点P关于OA的对称点为E， ∴OA是PE的垂直平分线， ∴OP＝OE； 同理OF＝OP， ∴OE＝OF． ∴△EOF是等腰三角形． ∵∠AOB＝30°， ∴∠EOF＝60°，∴等腰△EOF是等边三角形． 【点评】本题主要考查了轴对称、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的定义． 【题型一】轴对称图形的识别方法 核心技巧：抓住“沿某直线折叠后完全重合”的本质，逐一验证图形的对称性；对于平面直角坐标系中的点，牢记不同对称轴的坐标变化规律（关于轴对称：横同纵反；关于轴对称：纵同横反；关于直线对称：横纵互换）。 适用场景：图形的轴对称识别、坐标系中点的对称坐标求解。 【例1】（2025秋•兰山区期中）汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要阶段．在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：B，C，D不是轴对称图形，A是轴对称图形， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握 其定义是解题的关键． 【变式1—1】（2025秋•淄博期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判定即可． 【解答】解：A、选项图形不是轴对称图形，符合题意； B、选项图形是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是关键． 【变式1—2】（2025•五华区模拟）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【题型二】等腰三角形角度计算的技巧 核心技巧： 分类讨论：已知角未明确是顶角或底角时，分两种情况计算； 巧用性质：利用“等边对等角”“三线合一”转化角度关系； 结合定理：搭配三角形内角和定理、外角定理推导角度。 适用场景：等腰三角形的角度求解、角度等量关系证明。 【例2】（2025秋•邢台期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝50°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是　（）n﹣1×65°　 ． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角度数． 【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝50°，A1B＝CB， ∴∠BA1C65°， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1∠BA1C65°； 同理可得，∠EA3A2＝（）2×65°，∠FA4A3＝（）3×65°，… ∴第n个等腰三角形的底角度数是（）n﹣1×65°， ∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×65°，故答案为：（）n﹣1•65°． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 【变式2—1】（2025秋•广州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积是 　6　 ． 【分析】由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴， ∴△CEF和△BEF的面积相等，∴S阴影＝S△ABD， ∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴BD＝CD， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵S△ABC＝12， ∴S阴影＝12÷2＝6．故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及轴对称的性质；利用对称发现并利用△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键． 【变式2—2】（2025秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD．点E、点F分别是AC，BD的中点，EF＝4，则AC的长为 　8　 ． 【分析】连接AF，可得∠AFC＝90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解． 【解答】解：连接AF，如图： ∵点F是BD的中点，AB＝AD，∴AF⊥BD， ∴∠AFC＝90°， 又∵点E是AC的中点， ∴，∴AC＝2EF＝8，故答案为：8． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意构造出直角三角形． 【题型三】线段垂直平分线的解题技巧 核心技巧： 性质应用：见垂直平分线，即得线段相等，实现线段的等量代换； 判定应用：要证垂直平分线，需证线上两点到线段两端距离相等； 综合转化：结合等腰三角形性质，将周长、线段和差问题转化为已知线段的计算。 【例3】（2025秋•海安市期中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且．若AE＝3，BE＝7，则DG的长为 　2　 ． 【分析】连接BG，CG，作CH⊥ED交ED的延长线于点H，则∠H＝∠AED＝∠BEG＝90°，由FG是BC的垂直平分线，FGBC，得∠BFG＝∠CFG＝90°，BG＝GC，FG＝FB＝FCBC，可证明∠BGC＝90°，推导出∠EBG＝∠HGC，由D是AC的中点，得AD＝CD，可证明△ADE≌△CDH，得AE＝CH＝3，DE＝DH，再证明△BEG≌△GHC，得BE＝GH＝7，GE＝CH＝3，则EH＝GH+GE＝10，求得DE＝DHEH＝5，所以DG＝GH﹣DH＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BG，CG，作CH⊥ED交ED的延长线于点H， ∵DE⊥AB于点E，∴∠H＝∠AED＝∠BEG＝90°， ∵FG是BC的垂直平分线，FGBC， ∴∠BFG＝∠CFG＝90°，BG＝GC，FG＝FB＝FCBC， ∴∠FGB＝∠FBG＝∠FGC＝∠FCG＝45°， ∴∠BGC＝2∠FGB＝90°，∴∠EBG＝∠HGC＝90°﹣∠BGE， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD，在△ADE和△CDH中，，∴△ADE≌△CDH（AAS）， ∴AE＝CH＝3，DE＝DH， 在△BEG和△GHC中，，∴△BEG≌△GHC（AAS）， ∴BE＝GH＝7，GE＝CH＝3， ∴EH＝GH+GE＝10， ∴DE＝DHEH＝5，∴DG＝GH﹣DH＝2，故答案为：2． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式3—1】（2025秋•和平区期中）如图，△ABC是三边都不相等的三角形，点P是内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点．点P，O同时在三角形的内部时： （1）若∠A＝50°，则∠BPC＝　115°　 ； （2）若∠BPC＝x，则∠BOC＝　4x﹣360°　 ． 【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （2）连接AO并延长至E，根据三角形内角和定理、角平分线的定义求出∠BAC，再根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∵P是内角平分线的交点， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）＝65°， ∴∠BPC＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115°； （2）如图，连接AO并延长至E， ∵∠BPC＝x， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣x， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝360°﹣2x， ∴∠BAC＝180°﹣（360°﹣2x）＝2x﹣180°， ∵点O是三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC， ∴∠BOC＝2∠BAC＝4x﹣360°，故答案为：4x﹣360°． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【变式3—2】（2025秋•姑苏区期中）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点D，且AD＝CD，∠ABE+∠CBE＝180°，EF⊥BC于点F，若AB＝7，BF＝1，则BC＝　　 ． 【分析】由线段垂直平分线的性质得到AE＝CE，由补角的性质推出∠EBF＝∠EBH，由AAS证明△EBH≌△EBF，得到EH＝EF，BH＝BF＝1，又CE＝AE，推出Rt△CEF≌Rt△AEH（HL），得到FC＝AH，求出AH＝8，即可得到BC＝CF+BF＝8+1＝9． 【解答】解：过E作EH⊥AB交AB延长线于H，连接EA， ∵DE⊥AC于点D，且AD＝CD， ∴AE＝CE， ∵∠ABE+∠CBE＝180°，∠ABE+∠EBH＝180°， ∴∠EBF＝∠EBH， ∵EF⊥BC于点F， ∴∠EFB＝∠EHB＝90°， ∵EB＝EB， ∴△EBH≌△EBF（AAS）， ∴EH＝EF，BH＝BF＝1， ∵CE＝AE， ∴Rt△CEF≌Rt△AEH（HL）， ∴FC＝AH， ∵AH＝AB+BH＝7+1＝8， ∴FC＝8， ∴BC＝CF+BF＝8+1＝9．故答案为：9． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形． 【题型四】最短路径问题的解题技巧 核心技巧： 单对称轴模型（将军饮马）：作一个点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一个点，与对称轴交点即为最短路径的点； 双对称轴模型：作两个对称点，连接对称点的线段长度即为最短周长/线段和； 转化思想：将折线段的长度和转化为直线段的长度，利用“两点之间，线段最短”求解。 适用场景：各类轴对称背景下的最短路径、最短周长问题。 【例4】（2025秋•罗定市期中）如图所示，△ABC中，AB＝AC，MN是AC的垂直平分线，P是MN上的一个动点，D是BC中点．如果△ABC面积为20，BC＝8，则△PDC周长最小值为　9　 ． 【分析】连接AP，AD，MN是AC的垂直平分线，得出AP＝PC，根据CD为定值，得出当AP+PD最小时，△PDC的周长最小，两点之间线段最短，得出当A、P、D三点共线时，AP+PD最小，且最小值为AD的长，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式求出结果即可． 【解答】解：如图，D是BC中点，BC＝8，连接AP，AD， ∴，∵MN是AC的垂直平分线，∴AP＝PC， ∴C△PDC＝PD+PC+CD＝AP+PD+CD， ∵CD为定值， ∴当AP+PD最小时，△PDC的周长最小，∵两点之间线段最短， ∴当A、P、D三点共线时，AP+PD最小，且最小值为AD的长， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， ∵△ABC面积为20，且， ∴，解得：AD＝5，∴△PDC周长的最小值为5+4＝9．故答案为：9． 【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式4—1】（2025秋•江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，且△ABC的面积是24，AB的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+MD的最小值为　8　 ． 【分析】连接AM，AD，根据线段垂直平分线的性质可得AM＝BM，从而得到当点A，M，D三点共线时，BM+MD取得最小值，最小值为AD的长，再由等腰三角形的性质，可求出AD的长，即可求解． 【解答】解：如图，连接AM，AD， ∵EF垂直平分AB， ∴AM＝BM， ∴DM+BM＝DM+AM≥AD， 即当点A，M，D三点共线时，BM+MD取得最小值，最小值为AD的长， ∵AB＝AC，点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∵△ABC的面积是24，BC＝6， ∴， ∴AD＝8， 即BM+MD的最小值为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是轴对称—最短路线问题，结合三角形三边关系，证明线段的最值，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【变式4—2】（2025秋•新丰县期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PF+QE的最小值为　5　 ． 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′． 【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′， ∴BA＝BC，∵AQ＝2，QD＝1.5，BD⊥AC， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝2+1.5＝3.5， ∴QD＝DQ′＝1.5， ∴CQ′＝BP＝3.5×2﹣2﹣3＝2， ∴AP＝AQ′＝5， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝5， ∴PE+QE的最小值为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【题型五】等边三角形的计算技巧 核心技巧：边长与高的关系：等边三角形的高（为边长），可直接用于边长与高的互求； 角度特性：三个角均为，可结合直角三角形（含角）的性质计算； 全等关联：等边三角形常与全等三角形结合，利用三边相等、三角相等的特性证明全等。 【例5】（2025秋•惠城区期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为1的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则∠DBC的度数为 　30°　 ． 【分析】由等边三角形的性质可得BC＝CD＝1，∠DCE＝60°，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为1的等边三角形， ∴BC＝CD＝1，∠DCE＝60°， ∴∠DBC＝∠BDC＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【变式5—1】（2025秋•鹿城区期中）如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 　105°　 ． 【分析】根据等边三角形的性质得AC＝BC，∠ACB＝60°，再根据AC＝CD得BC＝CD，由此得∠CBD＝∠CDB，再求出∠BCD＝150°，由三角形内角和定理得∠CBD＝15°，然后在△BCE中，再由三角形内角和定理即可得出∠BEC的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵AC＝CD， ∴BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝150°， 在△CBD中，∠CBD+∠CDB+∠BCD＝180°， ∴2∠CBD+150°＝180°， ∴∠CBD＝15°， 在△BCE中，∠BEC＝180°﹣（∠CBD+∠ACB）＝180°﹣（15°+60°）＝105° 即∠BEC的度数为105°． 故答案为：105°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 【变式5—2】（2025秋•兴化市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝60°，D是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD＝∠ACE，∠BFD＝60°，CE＝5，则AF的长为　5　 ． 【分析】由题意易得△ABC为等边三角形，再证明△BAF≌△ACE，则AF＝CE＝5． 【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°， ∴∠ABF＝∠CAE， ， ∴△BAF≌△ACE（ASA）， ∴AF＝CE＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式5—3】（2025秋•綦江区期中）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为 　80°　 ． 【分析】根据等边三角形性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由翻折的性质得∠B'＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理可求出∠AFD＝40°，进而得∠B'GF＝80°，据此可得∠EGC的度数． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， 由翻折的性质得：∠B'＝∠B＝60°， 在△ADF中，∠A＝60°，∠ADF＝80°， ∴∠AFD＝180°﹣（∠A+∠ADF）＝40°， 在△B'FG中，∠B'＝60°，∠B'FG＝∠AFD＝40°， ∴∠B'GF＝180°﹣（∠B'+∠B'FG）＝80°， ∴∠EGC＝∠B'GF＝80°． 故答案为：80°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，等边三角形的性质，灵活运用三角形内角和定理进行计算是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公21 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $