第六章 二元一次方程组 习题课件 2025-2026学年冀教版数学七年级下册

该初中数学课件围绕“二元一次方程组”展开，涵盖概念、解法及应用，通过明代“哪吒夜叉”历史名题与神舟飞船参观租车现实情境导入，搭建从具体问题到抽象数量关系的学习支架，衔接数学史与生活实践。 其亮点在于融合历史与现实问题，以数学眼光抽象数量关系，用数学思维推理运算，借数学语言表达模型。如“哪吒夜叉”问题培养抽象能力，租车方案题提升推理意识，助力学生建立模型观念，教师使用可增强课堂互动，有效落实核心素养培养。

第六章　二元一次方程组 6．2 二元一次方程组的解法 第3课时 用合适的方法解二元一次方程组 2 返回 解以上方程组比较适合选择的方法是(　　) A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 B 3 返回 4 3. 在y＝kx＋b中，当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝4，则当x＝5时，y＝________. 返回 10 5 6 7 返回 8 9 返回 【答案】B 6．[邢台月考]如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数． 11 对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是(　　) 结论Ⅰ：若m的值为－3，则y的值为－1； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，2x＋y的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组．  A．Ⅰ和Ⅱ都正确 B．Ⅰ和Ⅱ都不正确 C．Ⅰ正确Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确Ⅱ正确 12 返回 【答案】D 15 返回 18 返回 2 1 19 9．小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________． 18 20 返回 10. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？ 22 返回 11.对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x－y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． 24 25 26 返回 1．已知二元一次方程组： ① ② ③ ④ 2．在方程组中，m与n互为相反数，则x＝________. 【点拨】因为m与n互为相反数，所以m＝－n.则方程组整理为 ①＋②，得4x＝2，则x＝. 【点拨】因为当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝4，所以解得所以y＝3x－5.将x＝5代入 y＝3x－5，得y＝3×5－5＝10. 4.解下列方程组： (1) 【解】把②代入①，得1－y＋3y＝7，解得y＝3. 把y＝3代入②，得x＝1－3＝－2. 所以原方程组的解为 (2) 【解】方程组整理，得 ③＋④×7，得27x＝－27，解得x＝－1， 把x＝－1代入④，得－3＋y＝－5，解得y＝－2， 所以原方程组的解为 (3) 【解】方程①整理，得2x－5y＝－17.③ 联立②③得②×5＋③×4，得 23x＝92，解得x＝4，把x＝4代入③，得2×4－ 5y＝－17，解得y＝5.所以原方程组的解为 5．若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则关于x，y的二元一次方程组 的解为(　　) A. B. C. D. 【点拨】整理方程组 得 因为二元一次方程组的解为所以解得 故选B. 【点拨】当m＝－3时，－3－n＝－8，解得n＝5，所以解得故结论Ⅰ不正确．由题意得所以m－n＝－4x－2y.又因为m－n＝－8，所以－4x－2y＝－8，所以2x＋y＝4，所以y＝4－2x， 满足条件的x和y的非负整数解有或或共3组，即不论m，n取何值，2x＋y的值一定为4，且满足条件的x和y的非负整数解有3组，故结论Ⅱ正确，故选D. 7．[上海黄浦区期末]若关于x，y的二元一次方程组与有相同的解， 则这组解是__________． 【点拨】因为 所以 因为关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，所以解得 8.在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表称为矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式 若矩阵所对应的二元一次方程组的解为 则a＝________，b＝________． 【点拨】设第一个加数为x，第二个加数为y，由题意得由①＋②，得11x＋11y＝198，所以 x＋y＝18，故这两个正整数的和是18. 【解】设大和尚有x人，小和尚有y人， 根据题意得 解这个方程组，得 答：大和尚有25人，小和尚有75人． (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由． 【解】具有“邻好关系”．理由：由方程组中的方程x－ y＝1得|x－y|＝1，所以方程组的解x与y具有“邻好关系”． (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【解】 ①＋②，得6x＝6m＋6，解得x＝m＋1， 把x＝m＋1代入①，得2(m＋1)－y＝6，解得y＝2m－4， 则方程组的解为 因为方程组的解x与y具有“邻好关系”，所以|x－y|＝1.所以|x－y|＝|m＋1－2m＋4|＝|－m＋5|＝1.所以5－m＝±1.所以m＝6或m＝4. (3)已知关于x，y的方程组其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【解】该方程组的解x与y具有“邻好关系”．方程组两式相加，得(2＋a)y＝12. 因为a，y均为正整数， 所以或 当a＝1，y＝4时，x＝3；当a＝2，y＝3时，x＝1； 当a＝4，y＝2时，x＝－1(此种情况舍去)； 当a＝10，y＝1时，x＝－3(此种情况舍去)． 在上面符合题意的两组解中，只有当a＝1时，|x－y|＝1， 所以a＝1，此时方程组的解为 $ 第六章　二元一次方程组 6．2 二元一次方程组的解法 第2课时 加减消元法 返回 C 2 B 返回 3 返回 3x－6y＝2 4 4. 已知a，b都是有理数，观察下表，则m＝________. 3 返回 a，b的运算 a＋b a－b a＋2b 运算的结果 5 9 m 5 5. 已知|3x－y－13|＋(x＋y－3)2＝0，则yx的值为_______． 返回 1 6 7 8 返回 9 C 返回 10 11 返回 【答案】A 13 返回 【答案】D 10．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货26吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货________吨． 24 16 返回 18 返回 1 20 返回 14 22 返回 24 返回 (2)求(2a＋b)2 026的值． 26 返回 1. 在解二元一次方程组时，若①－②可直接消去未知数y，则m和n满足的条件是(　　) A．m＝n B．mn＝1 C．m＋n＝0 D．m＋n＝1 2．[衡水期末]数学课堂上，老师让大家用加减消元法解方程组下面是四名同学的求解过程，其中正确的是(　　) A．要消去y，可以将①×4－②×5 B．要消去x，可以将①×4－②×3 C．要消去y，可以将①×4＋②×5 D．要消去x，可以将①×5－②×3 3．由方程组可得x与y之间的关系式是__________． 【点拨】根据题意，得解得 所以m＝a＋2b＝7＋2×(－2)＝3. 【点拨】因为|3x－y－13|＋(x＋y－3)2＝0，所以解得所以yx＝(－1)4＝1. 6．用加减消元法解下列方程组： (1)[山西中考] 【解】①＋②，得4x＝12，解得x＝3. 将x＝3代入②，得3＋2y＝1，解得y＝－1. 所以原方程组的解是 (2) 【解】整理得 ③×2＋④，得y＝8.把y＝8代入③，得3×8－x＝7，解得x＝17.所以原方程组的解为 (3) 【解】②整理得2x＋3y＝7，③ ①×2－③，得y＝1. 把y＝1代入①，得x＋2＝4，解得x＝2. 所以原方程组的解为 7．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝2 026，则k的值等于(　　) A．2 025 B．2 026 C．2 027 D．2 028 8．若方程组有唯一解，则a，b的值应当是(　　) A．a≠2，b为任意数 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b≠2 D．a，b为任意数 【点拨】 ①×2，得2x＋2y＝2，③ ②－③，得(a－2)y＝b－2， 因为方程组有唯一解，所以a－2≠0，即a≠2. 所以a≠2，b为任意数． 9．已知关于x，y的方程组以下结论中不成立的是(　　) A．不论k取什么数，x＋3y的值始终不变 B．存在一个数k，使得x＋y＝0 C．当y－x＝－1时，k＝1 D．当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－3的解 【点拨】①×2，得2x＋4y＝2k，③　③－②，得y＝1－k.将y＝1－k代入①，解得x＝3k－2.所以x＋3y＝3k－2＋3－3k＝1，故A正确；因为x＋y＝3k－2＋1－k＝2k－1，所以x＋y＝0时，2k－1＝0，所以k＝，故B正确； 因为y－x＝1－k－3k＋2＝3－4k，所以y－x＝－1时，3－4k＝－1，所以k＝1，故C正确；当k＝0时，方程组的解为将代入x－2y＝－3，得左边＝－4≠右边，故D不正确． 【点拨】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据题意，得 ①＋②，得8x＋6y＝48，所以4x＋3y＝24，即4辆大货车与3辆小货车一次可以运货24吨． 11.对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：＝ad－cb，根据规定，若x，y同时满足＝13，＝4，则＝________． － 【点拨】因为x，y同时满足＝13，＝4，所以解得所以＝＝2×(－2)－3×＝－4－＝－. 12．甲、乙两人同时解方程组甲正确解得 乙只抄错c，而其他运算全正确，解得 则3a－b＋2c＝________． 【点拨】把代入方程组得 解得c＝－.把代入ax＋by＝2，得－a＋b＝2.联立得解得 所以3a－b＋2c＝3×4－6＋2×＝1. 13．已知关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则符合题意的整数p的所有值的和为________． 【点拨】解二元一次方程组 得因为关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，所以为正整数且为正整数．所以整数p＝6或8.所以符合题意的整数p的所有值的和为6＋8＝14. 14.已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的解； 【解】根据题意联立①③，得 由①＋③，得5x＝10，解得x＝2. 把x＝2代入①，得2×2＋5y＝－6，解得y＝－2. 所以这两个方程组的解为 【解】把代入②和④，得 由⑤＋⑥，得4b＝－12，解得b＝－3. 把b＝－3代入⑤，得2a－6＝－4，解得a＝1. 所以(2a＋b)2 026＝(2－3)2 026＝(－1)2 026＝1. 15.阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：由①－②，得3x＋3y＝3，所以x＋y＝1.③ 将③×16，得16x＋16y＝16.④ ②－④，得x＝－2，将x＝－2代入③，得－2＋y＝1， 解得y＝3.所以原方程组的解是 (1)请采用上面的解法解方程组： 【解】 ①－②，得3x＋3y＝3，所以x＋y＝1.③ 将③×2 024，得2 024x＋2 024y＝2 024.④ ②－④，得x＝－1.把x＝－1代入③，得－1＋y＝1， 解得y＝2.所以原方程组的解为 (2)求关于x，y的方程组的解． 【解】 ①－②，得7x＋7y＝7，所以x＋y＝1.③ 将③×(a－5)，得(a－5)x＋(a－5)y＝a－5，④ ②－④，得－2y＝5.解得y＝－. 把y＝－代入③，得x－＝1，解得x＝， 所以原方程组的解为 $ 第六章　二元一次方程组 6．3 二元一次方程组的应用 第1课时 二元一次方程组的应用——配套问题、年龄问题、和差倍分问题 返回 1．甲、乙两数的和为50，且甲数的2倍比乙数大10，则甲、乙两数分别是(　　) A．30，20 B．10，40 C．20，30 D．40，10 C 2 2．父子二人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，则儿子出生时，父亲的年龄是(　　) A．30岁 B．27岁 C．26岁 D．25岁 A 返回 3 3. 2025年亚冬会期间，某工艺厂准备生产亚冬会会徽“超越”和亚冬会吉祥物“滨滨”“妮妮”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套亚冬会会徽需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套亚冬会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20 000盒和30 000盒，若所进原料全部用完，则该厂能生产亚冬会吉祥物________套． 2 400 返回 4 4. 我国交通基础设施建设取得了举世瞩目的成就，建成了全球最大的高速铁路网、高速公路网．这十年，中国铁路、公路一共增加里程约110万公里，其中公路增加里程比铁路增加里程的20倍多0.8万公里，求十年来铁路增加里程和公路增加里程． 5 返回 5. 为弘扬革命传统精神，清明节期间，某校组织540名学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．现租用大、小两种客车共10辆，恰好能一次性运完全部学生．已知这两种车的限载人数分别为60人和40人，求这两种客车各租用多少辆． 7 返回 6．某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱80 kg，B种货物每箱70 kg.因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重160 kg，则甲车货物装错的有(　　) A．5箱 B．4箱 C．3箱 D．2箱 9 返回 【答案】D 7．某工厂有m名工人，每名工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件，其中某产品每套由4个A型零件和3个B型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1 200套产品的生产任务，则m的值为_____． 40 11 返回 33 13 返回 9．某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了n块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，A方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面．B方式：裁剪成3个侧面．C方式：裁剪成9个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成1个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配 套．现已有2块金属板材 按C方式裁剪，其余都按 A，B两种方式裁剪． 15 (1)设有x块金属板材按A方式裁剪，y块金属板材按B方式裁剪． ①可以裁剪出圆形底面共________个(用含x的代数式表示)，侧面共________个(用含x，y的代数式表示)． (6x＋18) (x＋3y) 16 ②当n＝20时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ 17 (2)现将n块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则n的值可以是__________ (其中40≤n≤50)． 40或45或50 18 返回 20 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30% 芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20% 21 已知第一次实验蒸馏出粮食酒和芋头酒共16 kg；第二次实验蒸馏出粮食酒和芋头酒共36 kg，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． 22 (1)求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅． 23 【解】两次实验得到的粮食酒总量为 (40＋40×2)×30%＝36(kg)， 设需要准备z kg大米，则粮食糟醅的质量为4z kg， 由题意可得4z×30%×80%＝36，解得z＝37.5. 答：需要准备37.5 kg大米． 返回 25 【解】设十年来铁路增加里程x万公里，公路增加里程y万公里， 由题意得解得 答：十年来铁路增加里程5.2万公里，公路增加里程104.8万公里． 【解】设租用小客车x辆，大客车y辆． 依题意，得解得 答：租用小客车3辆，大客车7辆． 【点拨】设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物(20－x)箱，B种货物(20－y)箱，根据题意得解得 所以甲车装了18箱A种货物和2箱B种货物，乙车装了2箱A种货物和18箱B种货物，所以甲车有2箱货物装错． 【点拨】设安排x名工人加工A型零件，则安排(m－x)名工人加工B型零件， 根据题意得 整理得解得 8. 在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是77岁、88岁、99岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在________岁时，将为奶奶贺白寿． 【点拨】设为奶奶贺喜寿时小花的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，根据题意，得 解得 所以当奶奶99岁时，小花的年龄为11＋(99－77)＝33(岁)，所以小花33岁时将为奶奶贺白寿． 【解】根据题意得解得 所以x＋3y＝9＋3×9＝36. 答：当n＝20时，最多能加工36个圆柱形茶叶盒． 【点拨】根据题意得6x＋18＝2(x＋3y)，所以y＝3＋x.所以n＝x＋y＋2＝x＋5.因为x，n均为整数，且40≤n≤50，所以x的值可取21，24，27，当x＝21时，n＝x＋5＝×21＋5＝40；当x＝24时，n＝x＋5＝× 24＋5＝45；当x＝27时，n＝x＋5＝×27＋5＝50.综上，n的值可以是40或45或50. 10.某文物考古研究院用11复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率如下表： 【解】设第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x kg、y kg，则第二次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2x kg、3y kg， 由题意可得解得 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40 kg、20 kg. (2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%.若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？ $ 第六章　二元一次方程组 6．4 三元一次方程组* 返回 D 2 A 返回 3 1∶3∶2 4 返回 4．已知单项式7a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a3b2x－yc5的和还是单项式，则x＝________，y＝________，z＝________． 4 －4 5 6 返回 8 返回 【点方法】解三元一次方程组时，先消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该根据方程组中各方程的特点选择最为简便的解法，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元． 返回 6．在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝3；当x＝0时，y＝1；当x＝1时，y＝1.求这个等式中a，b，c的值． 11 7．如图是一个有三条边的算法图，每个“ ”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“○”里的数之和，请你通过计算确定三个“○ ”里的数之和，并且确定三个“○”里应填入的数． 12 返回 14 返回 【答案】A 9．[北京西城区期末]现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用“ ”分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图①②③，其中图③的天平右边托盘中是n个球，那么n的值为(　　)  A．8 B．7 C．6 D．5 16 返回 【点拨】设一个圆锥的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个球的质量为z， 由题图①得2x＋5z＝3y＋z，整理得2x－3y＝－4z，① 由题图②得3x＋3z＝2x＋2y，整理得x－2y＝－3z，② 由①－②×2，得y＝2z， 将y＝2z代入②，得x－4z＝－3z，则x＝z， 那么2x＋y＋2z＝2z＋2z＋2z＝6z，即n＝6.故选C. 【答案】C 10. 已知在多项式ax2＋bx＋c中，a，b，c为常数，x的取值与多项式对应的值如下表，则n的值为________． 23 x 1 －5 2 －6 ax2＋bx＋c m m＋12 7 n 18 返回 【点拨】当x＝1时，a＋b＋c＝m，① 当x＝2时，4a＋2b＋c＝7，② 当x＝－5时，25a－5b＋c＝m＋12，③ 当x＝－6时，36a－6b＋c＝n，④ 由③－①，得24a－6b＝12，即4a－b＝2, 由④－②，得32a－8b＝n－7，所以8(4a－b)＝n－7.所以n－7＝16，解得n＝23. －15 20 返回 12．信息安全保障越来越受到人们重视．已知某加密规则为：明文x，y对应的密文为x＋2y－k，2x＋y－k.若明文x，y互为相反数，接收方收到的密文分别为2和－1，则k的值为____________． 22 返回 【点方法】像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数的方法，将“多元”化为“一元”，使解题过程更简便． 返回 14．在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记 为L，如图，图中的三角形ABC 是格点三角形，其中S＝2， N＝0，L＝6； 图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是S＝7，N＝3，L＝10.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，求当N＝82，L＝38时，S的值． 返回 1．下列方程组是三元一次方程组的是(　　) A. B. C. D. 2． 已知三元一次方程组 消去未知数z后，得到的方程组是(　　) A. B. C. D. 3．已知 则x∶y∶z＝________． 【点拨】 ①＋②，得14x－7z＝0，即14x＝7z，所以x∶z＝1∶2. ①×3－②×4，得－21x＋7y＝0，即21x＝7y， 所以x∶y＝1∶3.所以x∶y∶z＝1∶3∶2. 【点拨】由题意知单项式7a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a3b2x－yc5是同类项，所以 2 ＋③，得4x＋2y＝8，即2x＋y＝4，④ ②＋④，得4x＝16，解得x＝4，把x＝4代入④，得2×4＋y＝4，解得y＝－4，把x＝4，y＝－4代入③，得4＋(－4)＋z＝5，解得z＝5. 5.解方程组： 【解】 把①代入②，得11x＋2z＝23，④ 联立③④得方程组 ③＋④×2，得25x＝50，解得x＝2， 把x＝2分别代入①③，得y＝－3，z＝， 所以原方程组的解为 【解】由题意得解得 故等式中a，b，c的值分别为1，－1，1. 【解】如图，把三个“”里的数分别记作x，y，z， 则解得 所以三个“”里的数之和为47，三个“”里应填入的数按先上后下，先左后右的顺序依次为7，17，23. 8．已知方程组 则x＋y＋z＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 【点拨】 ①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝ 4＋6＋8＝18，所以x＋y＋z＝9.故选A. 11.已知＝＝，且3a＋2b－4c＝9，则a＋b＋c的值等于________． 【点拨】设＝＝＝k(k≠0)，则a＝3k，b＝5k，c＝7k. 因为3a＋2b－4c＝9， 所以9k＋10k－28k＝9，解得k＝－1. 所以a＝－3，b＝－5，c＝－7. 所以a＋b＋c＝－3－5－7＝－15. － 【点拨】因为明文x，y互为相反数，所以x＋y＝0，由题意得①＋②，得3x＋3y－2k＝1，即3(x＋y)－2k＝1，所以－2k＝1，解得k＝－. 13．解下列方程组： (1) 【解】设x＝k，则y＝2k，z＝3k，将其代入2x＋y－ 3z＝15，得2k＋2k－9k＝15，解得k＝－3.所以y＝ 2k＝－6，z＝3k＝－9， 所以是原方程组的解． (2) 【点方法】本题运用了换元法，将，，分别用a，b，c表示，将原方程组化为关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值后，进一步再求x，y，z的值，这种方法可使解题过程更简便． 【解】设＝a，＝b，＝c， 则原方程组可化为 ①＋②，得2a＋2c＝1.④ ②＋③，得2a＋4c＝4.⑤ 解由④与⑤组成的二元一次方程组，得a＝－1，c＝. 把a＝－1，c＝代入①，得b＝6. 因此，＝－1，＝6，＝， 所以x＝－1，y＝，z＝. 所以是原方程组的解． 【解】连接FI，易得四边形FGHI是格点四边形，S＝4，N＝1，L＝8. 因为任意格点多边形的面积S＝aN＋bL＋c，由图中的格点三角形ABC、格点多边形DEFGHI、格点四边形FGHI得 解得所以S＝N＋L－1， 将N＝82，L＝38代入，得S＝82＋×38－1＝100. $ 第六章　二元一次方程组 6．1 二元一次方程组 返回 C 2 B 返回 3 3. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？ 4 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为(　　) 返回 D 5 4．[秦皇岛期中]把3x－4y＝7改写为用含y的式子表示x，得x＝________． 返回 6 5．如果(a－2)x|a|－1＋3y＝100是关于x，y的二元一次方程，那么a的值为________． 返回 －2 7 返回 6. 写出二元一次方程2x＋3y＝8的一组整数解： ____________________． 8 16 返回 9 8．已知关于x，y的二元一次方程2x－3y＝t，其取值如下表，则p的值为(　　) A．9 B．11 C．13 D．15 【点拨】由表格可得2m－3n＝5，2(m＋2)－3(n－2)＝p，将2(m＋2)－3(n－2)＝p整理得2m－3n＝p－10.所以p－10＝5，解得p＝15. 返回 x m m＋2 y n n－2 t 5 p D 10 9. 2025年10月31日，我国神舟二十一号载人飞船成功发射，为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有(　　) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 11 返回 【答案】B 返回 13 14 返回 1. 有下列方程组：①②③④其中二元一次方程组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，不正确的是(　　) A．方程x＝y是二元一次方程 B．任何一个二元一次方程都只有一组解 C．方程x－2y＝5有无数组解 D. 是方程x－2y＝4的解 A. B. C. D. (答案不唯一) 7. 若是方程ax－2＝－by的一组解，则10a＋6－ 5b＝________. 【点拨】把代入ax－2＝－by，得2a－2＝b.所以2a－b＝2.所以10a＋6－5b＝5(2a－b)＋6＝5×2＋6＝16. 【点拨】设租用45座客车x辆，60座客车y辆，由题意得45x＋60y＝900，所以x＝.因为x，y均为正整数，所以当y＝3时，x＝16；当y＝6时，x＝12；当y＝9时，x＝8；当y＝12时，x＝4.所以共有4组满足条件的正整数解，即对应4种租车方案． 10.已知方程组的解为则方程组的解是________________． 11．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组解完以后有下面一段对话，请认真阅读对话内容，然后求出a2 027＋的值． 【解】把代入②，得－12＋b＝－2，解得 b＝10.把代入①，得5a＋20＝15，解得a＝－1.所以a2 027＋＝(－1)2 027＋(－1)2 026＝0. $ 第六章　二元一次方程组 6．3 二元一次方程组的应用 第2课时 二元一次方程组的应用——行程问题、百分率问题、工程问题 返回 1. 请欣赏孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1 000里只用了5分钟，回来时逆风，5分钟只走了600里，则风的速度是每分钟(　　) A．30里 B．40里 C．50里 D．60里 B 2 2. “天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修建过程中，晴天每天修建260 m，雨天每天修建120 m，他们连续修建了1 480 m，平均每天修建148 m，那么这几天中雨天有(　　) A．4天 B．6天 C．8天 D．10天 C 返回 3 3．五一期间，某超市促销，由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折(按售价的70%)和九折销售，共付款386元，这两种商品原售价之和为500元，则甲、乙两种商品的原售价分别为________、________． 返回 320元 180元 4 返回 90 km/h 180 km/h 5 5．[张家口期中]为打造一河两岸景观带，需对一段长 350 m的河边道路进行整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15 m，B工程队每天整治10 m，共用时30天，求两工程队整治的天数． 6 A工程队整治的天数 A工程队整治道路的总长度 7 (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 8 返回 6．广州某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的A工程、B工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降30%；乙工程队晴天需要15天完成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了(　　) A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 10 【答案】C 返回 7．某开发区去年出口创汇额为25亿美元，今年达到30.55亿美元，已知今年上半年出口创汇额比去年同期增长18%，下半年比去年同期增长25%，则去年上半年和下半年的出口创汇额分别是________、________． 10亿美元 15亿美元 12 返回 8．[宁波月考]自行车轮胎安装在后轮上只能行驶3 000 km就要报废，安装在前轮上，则可以行驶5 000 km才报废．为使一对轮胎能够行驶尽可能多的路程后报废，在自行车行驶一段路程后，将前后轮胎进行调换，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可以行驶多少________km. 3 750 14 返回 9. 为落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ 17 (2)根据比赛情况，学校商店对某篮球在甲、乙两校区的销售单价进行了如下调整：甲校区上涨10%，乙校区降价5元．已知销售单价调整前甲校区比乙校区少10元，调整后甲校区比乙校区少1元，求调整前甲、乙两校区该篮球的销售单价． 19 返回 10.周末，小明和他的爸爸来到如图所示的运动场进行跑步锻炼，绕运动场一圈的路程为400 m. (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36 s后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180 s后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和 爸爸的速度各为多少？ 21 (2)假设爸爸的速度是6 m/s，小明的速度是5 m/s.两人进行400 m赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4 m/s.按此继续比赛，小明能否在400 m终点前追上爸爸？如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 23 返回 4．一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16 s；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需5 s．若动车组长度为180 m，普通列车长度为220 m，则普通列车的速度是__________，动车组的速度是__________． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：　　乙： 根据甲、乙两位同学所列的方程组，指出未知数x的含义：甲：x表示______________________；乙：x表示__________________________． 【解】选第一种：解得 答：A工程队整治10天，B工程队整治20天． 选第二种：解得 A工程队整治150÷15＝10(天)， B工程队整治200÷10＝20(天)． 答：A工程队整治10天，B工程队整治20天． 【点拨】设两个工程队各工作了x天，在施工期间有y天有雨，由题意得 解得所以两个工程队各工作了17天，故选C. 【点拨】设去年上半年的出口创汇额为x亿美元，去年下半年的出口创汇额为y亿美元，根据题意，得 解得 所以去年上半年的出口创汇额为10亿美元，去年下半年的出口创汇额为15亿美元． 【点拨】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为，又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程， 有 两式相加，得＋＝2k，则x＋y＝3 750， 所以安装在自行车上的一对轮胎最多可以行驶 3 750 km. 【解】设该班级胜了x场，负了y场， 根据题意，得解得 答：该班级胜负场数分别是13场和2场． 【解】设调整前甲校区该篮球的销售单价为a元，乙校区该篮球的销售单价为b元，由题意，得 解得 答：调整前甲校区该篮球的销售单价为40元，乙校区该篮球的销售单价为50元． 【解】设小明的速度为x m/s，爸爸的速度为y m/s，由题意，得 解得 答：小明的速度为m/s，爸爸的速度为m/s. 【解】能．因为小明到400 m终点需要的时间为400÷5＝80(s)，爸爸到400 m终点需要的时间为＋＝83(s)，而80＜83，所以小明能在400 m终点前追上爸爸．设小明追上爸爸需要的时间为m s，则追上时距离终点还有(400－5m)m，由题意，得5m＝200＋4，解得m＝， 所以400－5m＝400－5×＝. 答：小明能在400 m终点前追上爸爸，追上时距离终点还有 m. $ 第六章　二元一次方程组 6．2 二元一次方程组的解法 第1课时 代入消元法 返回 C 2 B 返回 3 返回 A 4 1 返回 5 6 返回 7 8 返回 【答案】C 7. 老师设计了一个解方程组的接力游戏，某学习小组的四名成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的成员是(　　)　　 A．甲 B．丙 C．乙和丁 D．甲和丙 10 返回 【答案】B 8. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d.例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，解密得到的明文为(　　) A．7，7，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7 12 返回 【点拨】由题意可得，a＋2b＝14，2b＋c＝9，2c＋3d＝23，4d＝28，解得a＝6，b＝4，c＝1，d＝7.所以解密得到的明文为6，4，1，7. 【答案】B 9. 对于有理数，规定新运算：x※y＝ax＋by＋xy，其中a，b是常数，已知：2※1＝9，(－3)※3＝－6，则4※6的值为________． 返回 50 14 4 15 返回 17 返回 19 (2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值； 20 (3)当m每取一个值时，2x－2y＋mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一组公共解，求这组公共解． 返回 21 返回 1．在解方程组的过程中，将②代入①可得(　　) A．3x－x＋1＝8 B．3x＋3－x＝8 C．3x－x－1＝8 D．3x－x＝8 2．[秦皇岛期中]用代入消元法解二元一次方程组下列变形错误的是(　　) A．由①得x＝ B．由②得y＝ C．由①得y＝ D．由②得x＝ 3．[邯郸期中]对于二元一次方程组将①代入②，消去y可以得x－3x＋6＝7，则方程①是(　　) A．y＝x－2 B．y＝x＋2 C．x＝2y－1 D．x＝2y＋1 4．若单项式x3a－1y－b＋3与－xb＋6y2a是同类项，则a＋b＝________． 5.用代入消元法解下列方程组： (1) 【解】把②代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，解得y＝3，把y＝3代入②，得x＝1－5×3＝－14， 所以方程组的解为 (2) 【解】由①，得y＝2x－5，③ 把③代入②，得4x＋3(2x－5)＝－10，解得x＝， 把x＝代入③，得y＝2×－5＝－4， 所以方程组的解为 6．已知关于x，y的二元一次方程组 有正整数解，则整数k的值为(　　) A．9 B．10 C．10或20 　D．20 【点拨】 将②代入①，得kx－3(3x－1)＝14，解得x＝.因为x是正整数，k为整数，所以k－9＝1或k－9＝11.所以k＝10或k＝20.经检验，当k＝10和k＝20时，y的值也为正整数，满足题意．故选C. 【点拨】由①，得x＝，③ 把③代入②，得3×－5y＝5，去分母，得24－9y－10y＝10，解得y＝，把y＝代入①，得2x＋3×＝8，解得x＝，故合作中出现错误的成员是丙． 【点拨】因为2※1＝9，(－3)※3＝－6， 所以 解得 所以4※6＝2×4＋3×6＋4×6＝50. 10．[石家庄栾城区期中]某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知x，y满足x＋2y＝5，且则m的值为________． 【点拨】因为已知x，y满足x＋2y＝5，且所以解得 把代入3x＋7y＝5m－3， 得3×1＋7×2＝5m－3，所以m＝4. 11．对于关于x，y的二元一次方程组 佳佳通过计算发现，无论a取何值，x＋2y的值始终不变，则这个值是________． 【点拨】 由①，得x＝y＋3a，将x＝y＋3a代入②，得y＋3a＋3y＝2－a，解得y＝(1－2a)．将y＝(1－2a)代入①，得x－(1－2a)＝3a，解得x＝2a＋.所以方程组的解为 所以x＋2y＝2a＋＋2×(1－2a)＝. 12．已知关于x，y的方程组 (1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解； 【解】方程x＋2y－6＝0的所有正整数解为 【解】由题意得解得 把代入2x－2y＋mx＝8， 得－12－12－6m＝8，解得m＝－. 【解】因为2x－2y＋mx＝8，所以(2＋m)x－2y＝8. 令x＝0，则0－2y＝8，解得y＝－4. 所以无论m取何值，都是方程2x－2y＋mx＝8的解．所以公共解为 13.先阅读材料，然后解答后面的问题． 材料：解方程组 由①，得x－y＝1.③ 把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1. 把y＝－1代入③，得x－(－1)＝1，解得x＝0. 所以原方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． (1)请运用上面的“整体代入法”解方程组 【解】由①，得2x－3y＝2.③ 把③代入②，得＋2y＝9，解得y＝4. 把y＝4代入③，得2x－3×4＝2，解得x＝7. 所以原方程组的解为 (2)已知x，y满足方程组求x2＋4y2的值． 【解】由①，得3(x2＋4y2)＝47＋2xy， 所以x2＋4y2＝，③ 把③代入②，得＋xy＝19，解得xy＝2， 把xy＝2代入③，得x2＋4y2＝＝17，即x2＋4y2＝17. $