期末复习10一次函数的图象与性质讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

期末复习10一次函数的图象与性质讲义 1.正比例函数的图象 2.正比列函数的性质 3.根据一次函数解析式判断其图象经过的象限 4.已知函数经过的象限,求参数的取值范围 5.一次函数图象与坐标轴的交点问题 6.求一次函数自变量和函数值 7.一次函数图象绘制方法 8.一次函数图象平移问题 9.根据一次函数增减性确定参数取值 10.利用一次函数的增减性分析自变量的变化情况 11.一次函数的函数值大小比较 12.用图象法解一元一次方程 13.由直线与坐标轴的交点求不等式解集 14.根据两条直线的交点求不等式解集 【知识点01】一次函数的定义 1. 代数形式 形如y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）的函数，叫做x的一次函数。 *自变量是x，因变量是y； *自变量x的次数必须为1； *系数k不能为0（若k=0，函数变为y=b，是常函数，不属于一次函数）； *常数项b可取任意实数（正数、负数、0均可）。 2.定义的易错边界 以下形式不属于一次函数： *x的次数不为1，如y=x2+1、y=​； *x在分母或根号内，如y=​+3、y=+1； *k=0，如y=5（常函数）。 3.自变量取值范围 (1)无实际背景时：x为全体实数。 (2)有实际背景时：需符合实际意义（如人数、物品数量为非负整数，长度、时间为正数等）。 【知识点02】正比例函数 1.定义 形如y=kx（其中k是常数，且k≠0）的函数，叫做x的正比例函数。 *自变量是x，因变量是y； *项为0，是正比例函数区别于一般一次函数的核心特征。 *自变量x的次数为1，且系数k不能为0； 2.与一次函数的关系 *包含关系：正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数y=kx+b中的常数项b=0时，就转化为正比例函数。 *区别： 特征 正比例函数y=kx(k≠0) 一般一次函数y=kx+b(k≠0) 常数项 b=0 b为任意实数 图象过原点 必过原点(0,0) 仅当b=0时过原点 变量关系 y与x的比值为定值k（x≠0） 无此定值关系 3.图象特征 *图象是一条经过原点(0,0)的直线； *画正比例函数图象时，除原点外，只需再取一个点即可确定直线，优选x=1，对应的点为(1,k)，方便计算和作图。 4.函数性质（由k的符号决定） k的符号 图象经过的象限 y随x的变化规律 图象趋势 k>0 第一、三象限 y随x的增大而增大 从左到右上升 k<0 第二、四象限 y随x的增大而减小 从左到右下降 补充：∣k∣越大，直线与x轴正方向的夹角越大，直线越陡峭。 5.自变量取值范围 *无实际背景时：x可取全体实数； *有实际背景时：需符合实际意义，如路程、数量等需取非负数。 易错点 1.忽略k≠0的条件，误将y=0⋅x（即y=0）当作正比例函数； 2.混淆正比例函数与一次函数的包含关系，误认为两者是并列关系。 【知识点03】函数的三种表示方法(期末必考转换) 表示方法 定义 优点 缺点 适用场景 解析式法 用含自变量的代数式表示函数关系 精准、便于计算和推导性质 不够直观 理论推导、求函数值、画图象 列表法 列出自变量与函数的对应值表格 直观呈现部分对应关系 只能表示有限个点 实际问题的统计、快速找对应值 图象法 用平面直角坐标系中的图形表示函数关系 直观看出变化趋势 不够精准 判断增减性、找交点、看 【知识点04】一次函数的图象(做图+特征+细节) 1.图象形状 *一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可。 *正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过 原点(0,0)的一条直线。 2. 规范作图步骤（避免丢分） (1)列表：选取自变量的两个取值，计算对应的函数值。 (2)描点：在平面直角坐标系中，准确标出所选的两个点（标注坐标）。 (3)连线：用直尺连接两点，延长成直线（直线两端要出头，代表自变量取全体实数）。 (4)标注：在直线旁标注函数解析式（如y=2x−3）。 3. 图象的关键特征点（必记） 函数类型 必过的两个特征点 与坐标轴的交点 正比例函数y=kx(k≠0) (0,0)、(1,k) 与x轴、y轴交于同一点(0,0) 一次函数y=kx+b(k≠0) (0,b)、(−​,0) 与y轴交于A(0,b)（纵截距为b）；与x轴交于B(−​,0)（横截距为−​） 4. 图象的平移规律（上下 + 左右，核心考点） *平移本质：图象平移不改变直线的倾斜程度，即 **k值不变 **，只改变常数项b。 *具体规则 (1)上下平移（对b操作）：“上加下减” *直线y=kx+b向上平移m个单位（m>0）：y=kx+b+m *直线y=kx+b向下平移m个单位（m>0）：y=kx+b−m (2)左右平移（对x操作）：“左加右减” *直线y=kx+b向左平移n个单位（n>0）：y=k(x+n)+b *直线y=kx+b向右平移n个单位（n>0）：y=k(x−n)+b 【知识点05】一次函数的性质(由k和b共同决定) 1. 核心影响因素 *k的作用：决定直线的倾斜方向和增减性，∣k∣决定直线的倾斜程度。 ∣k∣越大，直线越陡峭；∣k∣越小，直线越平缓。 *b的作用：决定直线与y轴的交点位置（纵截距）。 b>0：交点在y轴正半轴；b<0：交点在y轴负半轴；b=0：交点在原点。 2. 正比例函数的性质（b=0，仅由k决定） k的符号 经过象限 y随x的变化规律 图象趋势 k>0 第一、三象限 y随x的增大而增大 从左到右上升 k<0 第二、四象限 y随x的增大而减小 从左到右下降 3. 一次函数的性质（k和b共同决定） k符号 b符号 经过象限 y随x的变化规律 图象趋势 k>0 b>0 第一、二、三象限 y随x的增大而增大 从左到右上升 k>0 b<0 第一、三、四象限 y随x的增大而增大 从左到右上升 k<0 b>0 第一、二、四象限 y随x的增大而减小 从左到右下降 k<0 b<0 第二、三、四象限 y随x的增大而减小 从左到右下降 补充：当b=0时，即为正比例函数的性质。 【知识点06】一次函数与一次方程.不等式的关系(数形结合核心) 1. 与一元一次方程的关系 方程kx+b=0（k≠0）的解 ⇔ 直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式的关系 不等式类型 解集 ⇔ 直线位置 示例（y=2x−6） kx+b>0（k≠0） 直线y=kx+b在x轴上方所有点的横坐标 2x−6>0的解集 ⇔ 直线y=2x−6在x轴上方的点的横坐标x>3 kx+b<0（k≠0） 直线y=kx+b在x轴下方所有点的横坐标 2x−6<0的解集 ⇔ 直线y=2x−6在x轴下方的点的横坐标x<3 【知识点07】两条一次函数直线的位置关系(由k和b判断) 设直线l1:y=k1x+b1（k1≠0），直线l2:y=k2x+b2（k2≠0） 位置关系 判定条件 交点情况 平行 k1=k2​且b1≠b2​ 无交点 重合 k1=k2​且b1=b2​ 无数个交点 相交 k1≠k2​ 有且只有一个交点 垂直 k1⋅k2​=−1 有且只有一个交点，夹角为90° 易错点总结（避坑指南） 1.混淆一次函数定义：忽略k≠0，误将y=b（b为常数）当作一次函数。 2.平移规律记错：左右平移时，误对b进行加减（正确是对x操作）。 3.判断象限失误：只看k忽略b，如k>0就认为过第一、三象限，忘记b对象限的影响。 题型1正比例函数的图象 【典例】在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】该题考查了正比例函数，根据正比例函数中系数k的符号判断图象经过的象限． 【详解】解：∵ ，， ∴ 图象经过第二、四象限． 故选：D． 【跟踪训练1】下列各点在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键， 分别将各选项中点的横坐标代入解析式，求出y的值与各点纵坐标比较即可 【详解】解：A.当时，，故点在正比例函数的图象上，符合题意； B.当时，，故点不在正比例函数的图象上，不符合题意； C.当时，，故点不在正比例函数的图象上，不符合题意； D.当时，，故点不在正比例函数的图象上，不符合题意； 故选A 【跟踪训练2】若正比例函数（是常数，）的图象经过第二、四象限，且不经过，请写出一个符合条件的函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，正确掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 由正比例函数经过时，则，再由正比例函数（是常数，）的图象经过第二、四象限，且不经过，得到且，即可写出题意的函数解析式． 【详解】解：当正比例函数经过时，则， 解得， ∵正比例函数（是常数，）的图象经过第二、四象限，且不经过， ∴且， ∴可取， 故答案为：（答案不唯一）． 题型2.正比例函数的性质 【典例】在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若 ，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键 根据题意可知，随的增大而增大，因此，直线经过第一、第三象限，当时，当时，逐项判断即可 【详解】解：根据题意得，点，均在直线上，且， ， 则随的增大而增大， 因此，直线经过第一、第三象限，且对于有，对于有, 选项A、将点，代入得，与矛盾，则不可能在直线上； 选项B、将点，代入得，解得，则不可能在直线上； 选项C、将点，代入得，解得，则可能在直线上； 选项D、将点，代入得，则不可能在直线上； 故选：C． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，某正比例函数的图象过第二、四象限，写出一个满足条件的正比例函数： ； 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数．正比例函数图象过第二、四象限时，比例系数k为负数． 【详解】解：正比例函数的一般形式为（k为常数，），其图象是一条过原点的直线． 当时，图象经过第二象限和第四象限． 因此，满足条件的函数如． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪训练2】已知正比例函数（m为常数），若y随x的增大而减小，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据正比例函数的定义，求出m的可能值，再根据函数的增减性，得到比例系数需小于0，从而确定m的值． 【详解】解：∵函数为正比例函数， ∴，即， 解得：， 又∵随的增大而减小， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型3.根据一次函数解析式判断其图象经过的象限 【典例】一次函数的图象不经过（   ）象限． A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数图象与系数的关系：对于（为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限，即可求解． 【详解】解：∵一次函数为，其中，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 【跟踪训练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数中各系数的正负与图象的走势是关键． 根据一次函数各系数的正负判定图象经过的象限进行判定即可． 【详解】解：一次函数与， 当时，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，A，B，C，D均不符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，C，D选项符合； 当时，， ∴一次函数与的图象必过， ∵， ∴当时，，故只有D选项符合题意； 故选：D ． 【跟踪训练2】已知且，那么直线必经过第 象限． 【答案】二、三 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据，列出方程，然后根据一次函数的性质即可得出答案，解题的关键是根据列出方程，然后讨论求解． 【详解】解：由题意可得：，，， 三式相加得：， ∴或， 当时，，直线通过第一、二、三象限， 当时，则， ∴， ，则直线通过第二、三、四象限， 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限， 故答案为：二、三． 题型4.已知函数经过的象限,求参数的取值范围 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，，此题得解． 【详解】解：观察图形可知：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，． 故选：B． 【跟踪训练1】已知一次函数的图象不经过第四象限，则该一次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象的性质即可得出答案，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第四象限， ∴，， ∴该一次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪训练2】一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意可得到关于的不等式组，然后解不等式组即可，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型5.一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例】一次函数的图象与轴的负半轴相交，则的值可以是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与y轴的交点特征，解题的关键是确定一次函数与y轴交点的纵坐标（截距）的符号，进而求出的取值范围． 求出一次函数与y轴的交点纵坐标为，根据交点在y轴负半轴得，解得，再判断选项中符合该范围的值． 【详解】解：一次函数与y轴的交点纵坐标为， 图象与y轴负半轴相交， ，即． 故选：D． 【跟踪训练1】已知一次函数的图象与直线没有交点，且与轴交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，及一次函数与坐标轴的交点问题，由与轴交点的纵坐标为，求得，由与给定直线无交点，求得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 一次函数 的图象与y轴交点的纵坐标为， ∴ 当时，，即， 又∵ 一次函数的图象与直线没有交点， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点， 如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点． 故答案为 且 ． 题型6.求一次函数自变量和函数值 【典例】一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D．以上都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，通过将各点坐标代入函数解析式，验证是否满足方程 ． 【详解】解：当时， 可得：， 点 在图象上， 故A选项符合题意； 当， 可得：， 点 不在图象上， 故B选项不符合题意； 当时， 可得：， 点 不在图象上， 故C选项不符合题意． 综上，只有选项 A 正确， 故D选项不符合题意． 故选：A． 【跟踪训练1】已知一次函数（是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质．熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 由条件 得 ，代入一次函数 ，通过消元法找到点坐标使等式恒成立即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 当 时，， ∴ 无论 取何值（），函数图象必经过点 ． 故选：B． 【跟踪训练2】按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数值，直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值，解题的关键是正确运算． 【详解】解：把，代入，得， 解得：， 则当时， 把，代入， 得． 故答案为：. 题型7.一次函数图象绘制方法 【典例】用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 【跟踪训练1】如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，直线与函数的图像有且只有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图像的交点问题，先将函数化为当时，，当时，，当时，，然后画出函数图像，根据函数图像得出答案即可． 【详解】解：对于函数，当时，，当时，，当时，，函数图像，如图所示： 直线一定经过点， 当直线与直线平行时，，直线与函数的图像有且只有一个公共点， 当直线经过点时，，解得：，此时直线与函数的图像有且只有一个公共点， ∴根据图像可知：当时，直线与函数的图像有且只有两个公共点． 故选：C． 题型8.一次函数图象平移问题 【典例】将直线向上平移5个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握一次函数图象上下平移时“上加下减”的截距变化规则（斜率保持不变）． 根据一次函数图象向上平移5个单位的“上加”规则，写出直线平移后的解析式，再与直线的解析式对比，列方程求解． 【详解】解：一次函数图象向上平移5个单位，遵循“上加下减”规则， 直线向上平移5个单位后，解析式为； 又平移后得到直线， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪训练1】将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数的平移规律．根据一次函数的平移规律求出m、n的值，即可求出的值． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度得： ， ∵平移后的函数图象与正比例函数的图象重合， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：1． 【跟踪训练2】将一次函数的图像向下平移5个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图像上，则的值为（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图像的平移，点关于原点对称问题，熟悉平移和关于原点对称点坐标特征是解题的关键． 由平移得到，再根据点关于原点对称后的点坐标为，接着代入即可求解． 【详解】将一次函数的图像向下平移5个单位长度， 得到函数， 点关于原点对称后的点坐标为， ， 解得． 故选：B． 题型9.根据一次函数增减性确定参数取值 【典例】已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 现将代入解析式，得到，则得到一次函数为，再根据随的增大而增大得，将选项中各点代入函数解析式，验证是否满足即可得到答案． 【详解】解：一次函数（）的图象经过点， ∴，即， 又∵随的增大而增大， ∴， 则一次函数为， A、将代入得，解得，不符合题意； B、将代入得，解得，符合题意； C、将代入得，解得，不符合题意； D 、将代入得，解得，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练1】已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质．分类讨论：时，y随x的增大而增大，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算出对应a的值；时，y随x的增大而减小，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算对应a的值． 【详解】解：①时，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得； ②时，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得， 所以或， 故选：D． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为 ； （2）当时，函数有最大值12，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】此题考查了一次函数的性质， （1）通过整理函数表达式，发现当时，恒为，因此图像必过定点； （2）根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，分别求最大值点，并令其等于，解方程得到的值． 【详解】（1） ∵该一次函数的图像必经过一点， ∴当时，即时， ∴该一次函数图像必经过点． 故答案为：； （2）当时，随增大而增大， ∴在时取得最大值，代入得， 令，解得； 当时，随增大而减小， ∴在时取得最大值．代入得， 令，解得． 综上，的值为或． 故答案为：或． 题型10.利用一次函数的增减性分析自变量的变化情况 【典例】点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据时，随的增大而增大即可判断求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：． 【跟踪训练1】对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为12． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是13， 故选：C． 【跟踪训练2】已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B两点纵坐标的大小关系，得出横坐标的大小关系即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：因为一次函数的解析式为， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以 故答案为： 题型11.一次函数的函数值大小比较 【典例】若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为m n．（填“”“ ”或“=”） 【答案】 【分析】根据函数的性质，结合时，y随x的增大而减小解答即可． 本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练1】一次函数的图象经过点，，则 （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵一次函数的， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练2】若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由可得中随的增大而增大，然后通过性质即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中随的增大而增大， 又∵， ∴， 故选：． 题型12.用图象法解一元一次方程 【典例】将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点解方程，一次函数的平移，理解函数平移的性质，两直线交点解方程的方法是关键． 根据函数图象的平移得到平移后的解析式，再根据两直线交点解方法即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∴直线与直线的交点为， ∴方程的解为， 故选：B ． 【跟踪训练1】已知关于x的方程有且只有一个正根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义，将方程转化为函数图象解题是关键．关于的方程有且只有一个正根可以看作函数与有且只有一个交点，再结合函数图象解题即可． 【详解】解：解：关于的方程的解可以看作函数与的交点， 观察图象可知， 若，则直线与函数图象的左分支平行， 若，直线与图象有且只在右分支有一个交点，则方程有且只有一个正根； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象在左分支必有交点，则方程有负根； 综上所述，当时，关于x的方程有且只有一个正根， 故选：A． 【跟踪训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系，掌握一元一次方程的解是对应函数图象交点的横坐标是解题的关键. 由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为，再根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式解集 【典例】已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系问题，利用数形结合思想求解一元一次不等式是解决本题的关键． 根据一次函数与一元一次不等式的关系问题，分析图象，即可得出答案． 【详解】解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分， 从图中可以看出的范围是． 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象交x轴于点，交y轴于点，根据图象可知的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．利用函数图象，写出函数图象在x轴上方且在y轴右侧所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：一次函数是常数，的图象交x轴于点，交y轴于点， 由图象可知的解集为， 故选：B． 【跟踪训练2】如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象过点，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系、数形结合是解题的关键． 根据图象即可判断求解． 【详解】解：∵一次函数过点，， ∴ ∴， ∴， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，， ∴当时，， 即不等式的解集为． 故选：A． 题型14.根据两条直线的交点求不等式解集 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；根据函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象知，不等式的解集为， 故选：A． 【跟踪训练1】如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用一次函数图象解不等式，不等式的解集为图象在图象上方部分所对应的x的取值，数形结合即可得到答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴当时，，即， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与直线交于点，确定，点横坐标为2，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】解：直线与直线交于点， 解得， 点横坐标为2， ∵， ∴关于的不等式的解集是， 故选：D． 1．若点和点在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质（单调性），解题的关键是利用一次函数的增减性比较函数值大小． 由一次函数中，可知函数随增大而增大；比较和1的大小，得对应的函数值． 【详解】解：一次函数中，， 故函数值随自变量的增大而增大． 点的横坐标小于点的横坐标1， 所以． 故答案为． 2．若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据方程可知当，，从而可判断直线经过点． 【详解】解：由方程可知：当时，， 故将代入直线，得， ∴直线的图象一定经过点． 故答案为：． 3．已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据与成正比，设，利用已知条件求，再代入求解． 【详解】解：∵与成正比， ∴ 设， 当时，， ∴ 解得：， ∴， ∴当时，即， 解得：． 故选：D． 4．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据流程图推导出函数表达式，并根据函数表达式的特征判断对应的图象即可． 【详解】解：根据流程图可得：， ∵，， ∴函数图象过一、二、四象限， 故选：C． 5．一次函数与正比例函数的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据图象判断系数、的符号，验证两个函数的系数符号是否一致． 通过一次函数的图象确定（斜率）和（截距）的符号，再判断正比例函数的图象是否与的符号匹配，匹配则符合题意． 【详解】解：A、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中过二、四象限，此选项不符合题意； B、由一次函数图象，得，；正比例函数应过一、三象限，但图中一次函数与正比例函数图象不符，此选项不符合题意； C、由一次函数图象，得，；正比例函数过二、四象限，与图中一致，此选项符合题意； D、由一次函数图象，得，；正比例函数应过二、四象限，但图中过一、三象限，此选项不符合题意； 故选：C． 6．一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的性质和正比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项D不符合题意； 故选：C． 7．将直线向上平移4个单位后经过点，平移后的直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线平移时解析式的变化规律，待定系数法求解析式，直线与坐标轴的交点坐标，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据平移规律得到平移后的直线方程，再利用经过的点求参数k，最后求与x轴的交点坐标． 【详解】解：将直线 向上平移4个单位后，得到新直线方程为 ， 由于新直线经过点 ，代入得 ， 解得 ． ∴平移后的直线方程为 ， 令 ，得 ， 解得 ， ∴平移后的直线与x轴的交点坐标为 ． 故答案为：． 8．一次函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图像得，，由一次函数的性质判断经过象限，即可求解． 【详解】解：由一次函数的图像得：， ， 一次函数的图像经过第一、三、四象限， 故选：A． 9．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键． 根据函数图象直接得到，，，，进一步即可得到；根据当时，，即可求得；求得，根据解析式即可求得的值每增加，的值增加；当时，根据图象得不等式． 【详解】解：由图象可得：，，，， ，， ，故正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为， ， ，即，故正确； ，， ， ， ， 的值每增加，的值增加，故正确； 当时，，，由图象可知， ，故错误． 故答案为：． 10．正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律的横坐标是，纵坐标是是解题的关键．依据题意，利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点的横坐标是：，再代入即可得出结论． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵为正方形， ∴点的坐标为， 同理，可知：点的坐标为， 点的坐标为， ∴的横坐标是：，纵坐标是：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11．一次函数经过点和点． (1)求这个一次函数的解析表达式； (2)将所得函数图象平移，使它经过点，求平移后直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的平移，利用平移前后一次项系数不变是解题关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用平移后解析式的值不变，进而假设出解析式求出即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点和点， ， ∴，， ∴一次函数的解析表达式为． （2）解：设平移后直线的解析式为， 把点代入，得，解得， ∴平移后直线的解析式为． 12．已知一次函数． (1)画出一次函数的图象； (2)由图可知，若方程，求方程的解． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质： （1）确定两点后，连接即可； （2）一次函数与轴的交点坐标即为方程的解． 【详解】（1）函数的图象如图所示； （2）从图象上可知一次函数与轴的交点坐标为 则关于的方程的解是． 13．已知函数，m为常数． (1)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式（组），掌握相关知识是解决问题的关键． （1）两直线平行，则两直线的解析式中x的系数相等，据此解答即可； （2）一次函数图象不经过第二象限，即函数图象经过一、三、四象限或只经过一、三象限，则x的系数为正数，常数项为负数或零，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象平行于直线， ， ； （2）解：函数是一次函数，且不经过第二象限， ∴且， ∴， ∴m的取值范围是． 14．对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 15．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②的值为或 【分析】本题主要考查了求解一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解； ②先求出，然后分两种情况讨论，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：分别把，代入，得： ，， 联立解得：，， ； （2）解：①把代入，得： ， 即：， ；； 把代入，得：， 把代入，得：， ， ， ， 即：； ②， 当时，随的增大而增大， 此时当时，函数有最大值， 即，解得； 当时，随的增大而减小， 此时当时，函数有最大值， 即，解得； 综上所述，的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习10一次函数的图象与性质讲义 1.正比例函数的图象 2.正比列函数的性质 3.根据一次函数解析式判断其图象经过的象限 4.已知函数经过的象限,求参数的取值范围 5.一次函数图象与坐标轴的交点问题 6.求一次函数自变量和函数值 7.一次函数图象绘制方法 8.一次函数图象平移问题 9.根据一次函数增减性确定参数取值 10.利用一次函数的增减性分析自变量的变化情况 11.一次函数的函数值大小比较 12.用图象法解一元一次方程 13.由直线与坐标轴的交点求不等式解集 14.根据两条直线的交点求不等式解集 【知识点01】一次函数的定义 1. 代数形式 形如y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）的函数，叫做x的一次函数。 *自变量是x，因变量是y； *自变量x的次数必须为1； *系数k不能为0（若k=0，函数变为y=b，是常函数，不属于一次函数）； *常数项b可取任意实数（正数、负数、0均可）。 2.定义的易错边界 以下形式不属于一次函数： *x的次数不为1，如y=x2+1、y=​； *x在分母或根号内，如y=​+3、y=+1； *k=0，如y=5（常函数）。 3.自变量取值范围 (1)无实际背景时：x为全体实数。 (2)有实际背景时：需符合实际意义（如人数、物品数量为非负整数，长度、时间为正数等）。 【知识点02】正比例函数 1.定义 形如y=kx（其中k是常数，且k≠0）的函数，叫做x的正比例函数。 *自变量是x，因变量是y； *项为0，是正比例函数区别于一般一次函数的核心特征。 *自变量x的次数为1，且系数k不能为0； 2.与一次函数的关系 *包含关系：正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数y=kx+b中的常数项b=0时，就转化为正比例函数。 *区别： 特征 正比例函数y=kx(k≠0) 一般一次函数y=kx+b(k≠0) 常数项 b=0 b为任意实数 图象过原点 必过原点(0,0) 仅当b=0时过原点 变量关系 y与x的比值为定值k（x≠0） 无此定值关系 3.图象特征 *图象是一条经过原点(0,0)的直线； *画正比例函数图象时，除原点外，只需再取一个点即可确定直线，优选x=1，对应的点为(1,k)，方便计算和作图。 4.函数性质（由k的符号决定） k的符号 图象经过的象限 y随x的变化规律 图象趋势 k>0 第一、三象限 y随x的增大而增大 从左到右上升 k<0 第二、四象限 y随x的增大而减小 从左到右下降 补充：∣k∣越大，直线与x轴正方向的夹角越大，直线越陡峭。 5.自变量取值范围 *无实际背景时：x可取全体实数； *有实际背景时：需符合实际意义，如路程、数量等需取非负数。 易错点 1.忽略k≠0的条件，误将y=0⋅x（即y=0）当作正比例函数； 2.混淆正比例函数与一次函数的包含关系，误认为两者是并列关系。 【知识点03】函数的三种表示方法(期末必考转换) 表示方法 定义 优点 缺点 适用场景 解析式法 用含自变量的代数式表示函数关系 精准、便于计算和推导性质 不够直观 理论推导、求函数值、画图象 列表法 列出自变量与函数的对应值表格 直观呈现部分对应关系 只能表示有限个点 实际问题的统计、快速找对应值 图象法 用平面直角坐标系中的图形表示函数关系 直观看出变化趋势 不够精准 判断增减性、找交点、看 【知识点04】一次函数的图象(做图+特征+细节) 1.图象形状 *一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可。 *正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过 原点(0,0)的一条直线。 2. 规范作图步骤（避免丢分） (1)列表：选取自变量的两个取值，计算对应的函数值。 (2)描点：在平面直角坐标系中，准确标出所选的两个点（标注坐标）。 (3)连线：用直尺连接两点，延长成直线（直线两端要出头，代表自变量取全体实数）。 (4)标注：在直线旁标注函数解析式（如y=2x−3）。 3. 图象的关键特征点（必记） 函数类型 必过的两个特征点 与坐标轴的交点 正比例函数y=kx(k≠0) (0,0)、(1,k) 与x轴、y轴交于同一点(0,0) 一次函数y=kx+b(k≠0) (0,b)、(−​,0) 与y轴交于A(0,b)（纵截距为b）；与x轴交于B(−​,0)（横截距为−​） 4. 图象的平移规律（上下 + 左右，核心考点） *平移本质：图象平移不改变直线的倾斜程度，即 **k值不变 **，只改变常数项b。 *具体规则 (1)上下平移（对b操作）：“上加下减” *直线y=kx+b向上平移m个单位（m>0）：y=kx+b+m *直线y=kx+b向下平移m个单位（m>0）：y=kx+b−m (2)左右平移（对x操作）：“左加右减” *直线y=kx+b向左平移n个单位（n>0）：y=k(x+n)+b *直线y=kx+b向右平移n个单位（n>0）：y=k(x−n)+b 【知识点05】一次函数的性质(由k和b共同决定) 1. 核心影响因素 *k的作用：决定直线的倾斜方向和增减性，∣k∣决定直线的倾斜程度。 ∣k∣越大，直线越陡峭；∣k∣越小，直线越平缓。 *b的作用：决定直线与y轴的交点位置（纵截距）。 b>0：交点在y轴正半轴；b<0：交点在y轴负半轴；b=0：交点在原点。 2. 正比例函数的性质（b=0，仅由k决定） k的符号 经过象限 y随x的变化规律 图象趋势 k>0 第一、三象限 y随x的增大而增大 从左到右上升 k<0 第二、四象限 y随x的增大而减小 从左到右下降 3. 一次函数的性质（k和b共同决定） k符号 b符号 经过象限 y随x的变化规律 图象趋势 k>0 b>0 第一、二、三象限 y随x的增大而增大 从左到右上升 k>0 b<0 第一、三、四象限 y随x的增大而增大 从左到右上升 k<0 b>0 第一、二、四象限 y随x的增大而减小 从左到右下降 k<0 b<0 第二、三、四象限 y随x的增大而减小 从左到右下降 补充：当b=0时，即为正比例函数的性质。 【知识点06】一次函数与一次方程.不等式的关系(数形结合核心) 1. 与一元一次方程的关系 方程kx+b=0（k≠0）的解 ⇔ 直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 2. 与一元一次不等式的关系 不等式类型 解集 ⇔ 直线位置 示例（y=2x−6） kx+b>0（k≠0） 直线y=kx+b在x轴上方所有点的横坐标 2x−6>0的解集 ⇔ 直线y=2x−6在x轴上方的点的横坐标x>3 kx+b<0（k≠0） 直线y=kx+b在x轴下方所有点的横坐标 2x−6<0的解集 ⇔ 直线y=2x−6在x轴下方的点的横坐标x<3 【知识点07】两条一次函数直线的位置关系(由k和b判断) 设直线l1:y=k1x+b1（k1≠0），直线l2:y=k2x+b2（k2≠0） 位置关系 判定条件 交点情况 平行 k1=k2​且b1≠b2​ 无交点 重合 k1=k2​且b1=b2​ 无数个交点 相交 k1≠k2​ 有且只有一个交点 垂直 k1⋅k2​=−1 有且只有一个交点，夹角为90° 易错点总结（避坑指南） 1.混淆一次函数定义：忽略k≠0，误将y=b（b为常数）当作一次函数。 2.平移规律记错：左右平移时，误对b进行加减（正确是对x操作）。 3.判断象限失误：只看k忽略b，如k>0就认为过第一、三象限，忘记b对象限的影响。 题型1正比例函数的图象 【典例】在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【跟踪训练1】下列各点在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若正比例函数（是常数，）的图象经过第二、四象限，且不经过，请写出一个符合条件的函数表达式 ． 题型2.正比例函数的性质 【典例】在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若 ，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，某正比例函数的图象过第二、四象限，写出一个满足条件的正比例函数： ； 【跟踪训练2】已知正比例函数（m为常数），若y随x的增大而减小，则 ． 题型3.根据一次函数解析式判断其图象经过的象限 【典例】一次函数的图象不经过（   ）象限． A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 【跟踪训练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知且，那么直线必经过第 象限． 题型4.已知函数经过的象限,求参数的取值范围 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练1】已知一次函数的图象不经过第四象限，则该一次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【跟踪训练2】一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 题型5.一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例】一次函数的图象与轴的负半轴相交，则的值可以是（   ） A．3 B．0 C． D． 【跟踪训练1】已知一次函数的图象与直线没有交点，且与轴交点的纵坐标为，则 ． 【跟踪训练2】平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ． 题型6.求一次函数自变量和函数值 【典例】一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D．以上都正确 【跟踪训练1】已知一次函数（是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 题型7.一次函数图象绘制方法 【典例】用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，直线与函数的图像有且只有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8.一次函数图象平移问题 【典例】将直线向上平移5个单位长度，得到直线，则 ． 【跟踪训练1】将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ． 【跟踪训练2】将一次函数的图像向下平移5个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图像上，则的值为（   ） A． B．8 C． D．3 题型9.根据一次函数增减性确定参数取值 【典例】已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为 ； （2）当时，函数有最大值12，则的值为 ． 题型10.利用一次函数的增减性分析自变量的变化情况 【典例】点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪训练1】对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 【跟踪训练2】已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 题型11.一次函数的函数值大小比较 【典例】若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为m n．（填“”“ ”或“=”） 【跟踪训练1】一次函数的图象经过点，，则 （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【跟踪训练2】若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 题型12.用图象法解一元一次方程 【典例】将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知关于x的方程有且只有一个正根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． E． 【跟踪训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 题型13.由直线与坐标轴的交点求不等式解集 【典例】已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数是常数，的图象交x轴于点，交y轴于点，根据图象可知的解集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象过点，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 题型14.根据两条直线的交点求不等式解集 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【跟踪训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1．若点和点在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 2．若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 3．已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 4．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A． B． B． C． D． 5．一次函数与正比例函数的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 6．一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．将直线向上平移4个单位后经过点，平移后的直线与轴的交点坐标为 ． 8．一次函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致是（   ） A． B． B． C． D． 9．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正确的是 ． 10．正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 11．一次函数经过点和点． (1)求这个一次函数的解析表达式； (2)将所得函数图象平移，使它经过点，求平移后直线的解析式． 12．已知一次函数． (1)画出一次函数的图象； (2)由图可知，若方程，求方程的解． 13．已知函数，m为常数． (1)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 14．对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 15．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $