精品解析：2025年9月湖南省长沙市南雅中学小升初数学试卷

南雅小升初入学真题卷（一） （时量：90分钟 满分：100分） 一、填空题（每小题4分，共60分） 1. 甲、乙两家商店出售同一款鸡宝宝玩具，每只原售价都是25元，为了促销，甲店先提价，再降价；乙店则直接降价，那么，调价后对于这款鸡宝宝玩具，__店的售价更便宜，便宜________． 【答案】 ①. 甲 ②. 元 【解析】 【分析】本题考查了百分比问题． 把原来的售价看作单位“1”，甲调价后的价格是（元）；乙调价后的价格是（元）；然后进行比较即可． 【详解】解：甲： （元）； 乙： （元）； （元）． 答：甲商店售价更便宜，便宜元． 故答案为：甲，元． 2. 将个乒乓球放入从左到右排成一行的个盒子中，如果最左边的盒子中有个乒乓球，且任意相邻的个盒子中乒乓球的个数和都是，那么最右边的盒子中有乒乓球______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了找规律，根据任意相邻个盒子中乒乓球个数和为，可知序列具有周期性，周期为，由最左边盒子有个球，可推导出每个盒子的组成，进而计算前个盒子的总和，最后求第个盒子的球数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设盒子从左到右依次为，，，，已知，且对于任意，有， 由，得， 由，得， 同理，，，，以此类推，序列周期为， 因为， 所以前个盒子为个周期，总和为， 则， 所以前个盒子总和为， 又总球数为，因此， 故答案为：． 3. 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头．如果愚公是第1代，那么到第_______代，这座大山可以搬完． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设到第n代时，总人数为等比数列前n项和，每人搬运吨，总搬运量需不小于万吨，即总人数不小于人，先求出，再求解． 【详解】解：设到第n代时，可搬完大山．从第1代到第n代，各代的人数依次为，，，…，，总人数为， 所以． 所以， 即， 总搬运量为吨， 需满足， 即， 所以． 已知，， 故，即到第13代时大山可以搬完． 故答案为：． 4. 若，则a、b、c中最大的是_______，最小的是_______． 【答案】 ①. c ②. a 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先观察式子，再整理得，因为，则，所以，即可作答． 【详解】解：∵ ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴最大的是，最小的是， 故答案为：c，． 5. 三个数都是质数，它们的倒数和的倒数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查倒数，由于三个数都是质数，且p与的奇偶性不同，而质数中只有2是偶数，因此p必须为2，从而得到三个质数2、3、5，计算它们的倒数和再求倒数即可 【详解】因为都是质数，且p与的奇偶性不同，质数中只有2是偶数，所以，则，， 它们的倒数和为， 倒数和的倒数为， 故答案为： 6. 今年儿子的年龄是父亲年龄的，年后，儿子的年龄是父亲的，今年儿子_______岁． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分数加、减法，分数与整数的除法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用年龄差不变的性质，将今年和年后儿子的年龄表示为年龄差的分数，通过分率差求出年龄差，再计算儿子年龄． 【详解】解：设父子年龄差为d岁． 今年儿子年龄是父亲年龄的， ∴儿子年龄占年龄差的． 年后儿子年龄是父亲年龄的， 故儿子年龄占年龄差的． 年对应的分率为， ∴年龄差岁． ∴今年儿子年龄为岁． 故答案为：． 7. 一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水中盐的含量变为，第二次加入同样多的水，盐水中盐的含量变为，第三次加入同样多的水，盐水中盐的含量将变为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查浓度问题． 通过设第一次加水后盐水总质量为100，盐质量为15，根据第二次浓度变化求出加水量，进而计算第三次浓度． 【详解】设第一次加水后盐水总质量为100，则盐的质量为15， 第二次加入水量为x， 有， 即， 解得， 第三次加入同样多的水后，总质量为，盐的质量仍为15， 故浓度为． 故答案为：10． 8. 任意调换五位数的各个数位上数字位置，所得的五位数中是质数的共有_______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了质数与合数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 计算五位数各位数字之和为，能被整除，因此任意调换数字位置后所得的五位数均能被整除，且大于，故不可能为质数． 【详解】解：五位数的各位数字为、、、、， 其和为． 由于能被整除， 根据被整除的数的性质（各位数字之和是的倍数，则该数能被整除）， 因此任意调换这些数字位置后得到的五位数都能被整除． 且这些五位数最小为，大于， 因此均不是质数． 故答案为：． 9. 如图，图中空白部分的面积是，则阴影部分的面积为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了求阴影部分的面积，熟练掌握圆面积公式和三角形的面积公式是解题关键； 先设扇形的半径为，然后通过扇形的面积减去阴影部分（三角形）面积等于空白部分面积计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 则扇形的面积为，阴影部分（三角形）的面积为， 故空白部分的面积为：， 所以， 所以， 所以阴影部分的面积为， 故答案为：18． 10. 体育课上，名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有_______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了4、5、6的倍数特征和容斥原理，因数和倍数的求法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过计算每个学生被向后转的次数（即被4、5、6整除的次数）的奇偶性，确定最终方向．面向老师的学生包括未被任何数整除的学生和被恰好两个数整除但不被三个数整除的学生． 【详解】解：第一次转向：4的倍数有（个）， 此时背向老师的有人； 第二次转向：5的倍数有（个）， 其中与4的倍数相同的，，这3个人，在第一次转向时转为背向老师， 现在他们3人转变为面向老师； 则叫5的倍数向后转时只有9人转为背向老师，3人转为面向老师； 则此时背向老师的有（人）； 第三次转向：6的倍数有10人．此前，背向老师的有21人，在这10人中：有5人原背向老师，现转为面向老师；有5人原面向老师，现转为背向老师．故第三次转向后，背向老师的总人数变为（人）．最终面向老师的学生有（人）． 故答案为：． 11. 某工程队修建一条铁路隧道，当完成任务的时，工程队采用新设备，使修建速度提高了，同时为了保养新设备，每天工作时间缩短为原来的，前后共用了185天完工，由以上条件可推知，如果不采用新设备，完工共需_______天． 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查分数的应用，解题的关键是理解题意；设原计划完工需T天，则前工作量用时天，采用新设备后，修建速度提高但工作时间缩短为原来的，因此每天完成的工作量为原每天完成量的倍，剩余工作量用时天，根据总时间185天列方程求解即可． 【详解】解：设原计划完工需T天，则总工作量为1，原修建速度为，完成时用时天，采用新设备后，修建速度变为原修建速度的1.2倍，但工作时间缩短为原来的， 因此每天完成的工作量为，剩余工作量为，用时天， 总用时， 解得：； 故答案为180． 12. 一列快车从甲地开往乙地需要5小时，一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车多，两车同时从甲、乙两地相向开出2小时后，慢车停止行进，快车继续行驶千米后恰与慢车相遇，则甲、乙两地相距_______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分数的四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据快车时间求慢车时间，再求两车速度（以全程为单位1），计算两车2小时行驶的路程占全程的比例，剩余路程由快车单独行驶，对应千米，从而求出全程． 【详解】解：快车从甲地到乙地需5小时， 慢车所需时间比快车多， 故慢车时间为小时． 设甲乙两地距离为单位1， 则快车速度为，慢车速度为． 两车相向开出2小时， 行驶路程为， 剩余路程为． 快车继续行驶千米后相遇， 全程为千米． 故答案为：． 13. 现在是北京时间上午8点多，在8点_______分时，时针和分针离“6”字的距离相等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了时针问题，方程的应用． 先整理得时针每分钟走度，分针每分钟走度，分两种情况作答即可． 【详解】解：依题意，时针每分钟走度，分针每分钟走度， 设8点分时时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等． 则， 解得， ∴8点分，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等； 设8点分时时针和分针重合， 则， 解得， ∴8点分，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等； 故答案为：或． 14. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为_______． 【答案】 122 【解析】 【分析】本题考查倍数，关键是理解题意，由倍数的概念来解决问题．由题意，2，3，，，的最小公倍数是，然后再计算最小的三位数即可求解． 【详解】解：，，，，的最小公倍数是， 所以在三位数中这几个数的公倍数最小为120， 因为这个三位数加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数， 所以这个三位数除以3余2，除以4余2，除以5余2，除以6余2， 所以这个三位数为：， 故答案为：． 15. 十进制计算法是逢10进1，如，，计算机使用的是二进制计算法，是逢2进1，如，，如果一个自然数可以写成m进制数，也可以写成n进制数，那么最小的_______， _______（注：）． 【答案】 ①. 11 ②. 9 【解析】 【分析】本题考查了进制问题． 根据进制表示的定义，m进制数表示，n进制数表示，两者表示同一自然数，故有等式．整理得，即．由于m和n均为进制基数，需满足且，即且．n为整数，故必须被5整除，尝试m的最小值，时不满足；时满足条件． 【详解】由题意，自然数可表示为， 整理得， 即， 所以． 由，中均有5， 即两进制均大于5， 即，， 自然数是整数， 则，， 因n为整数，故是5的倍数， 当时，； 时，不是5的倍数， 时， 故，． 故答案为：11，9． 二、解答题（第1~3题每小题6分，4、5题每小题7分，第6题8分，共40分） 16. 阿雅、阿礼、阿真、阿美、阿丽五个小朋友按顺序取出盒子中的糖果，取完后，他们依次说了下面的话： 阿雅：“大家取的糖果个数不同．” 阿礼：“我取了剩下的糖果的个数的一半．” 阿真：“我取了剩下糖果的．” 阿美：“我取了剩下的全部糖果．” 阿丽：“我取了剩下的糖果的个数的一半．” 请问： （1）阿雅是第几个取糖果？ （2）已知每个人都取到糖果，则这盒糖果最少有多少颗？ 【答案】（1）第一个 （2）16 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）先确定阿美是最后一个取糖果的，阿真是倒数第2个取糖果的，再推导出阿丽、阿礼都是取了剩下的糖果的一半，都不是第1个取的，因此阿雅是第1个取糖果的，即可解答． （2）要使这盒糖果最少，则倒数第1个取1颗，倒数第2个取2颗，倒数第3个、第4个取的数量依次为3颗，6颗，阿雅取的糖果不能和其他人相同，且要尽可能少，则为4颗，总数为（颗），即可解答． 【小问1详解】 解：∵阿美取了剩下的全部糖果， ∴阿美是最后一个取糖果的； ∵阿礼和阿丽不能在倒数第2的位置，否则和最后1人的个数相同， ∴阿真是倒数第2个取糖果的； 而阿丽、阿礼都是取了剩下的糖果的一半，都不是第1个取的， 因此阿雅是第1个取糖果的． 【小问2详解】 要使这盒糖果最少，则倒数第1个取1颗，倒数第2个取（颗），倒数第3个、第4个取的数量依次为（颗），（颗），阿雅取的糖果不能和其他人相同，且要尽可能少，则为4颗，总数为（颗）． 17. 定义：（其中n是自然数，k是的小数点后的第n位数字），如，，．求的值． 【答案】39 【解析】 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，先求解，再归纳该函数值序列按照循环，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴该函数值序列按照循环， ∴， ∴ ∴， ∴． 18. 长方形的面积为36平方厘米，E，F，G为各边中点，H为边上任意一点，问阴影部分的面积是多少？ 【答案】平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，利用割补法求面积，也利用在三角形中，等底同高时，面积相等解决问题．先计算各空白部分的面积，其中的面积拆成两个三角形进行求解，最后用总面积减去各空白部分的面积即可． 【详解】解：E，F，G为长方形各边中点， ， ，， ， ， ， 阴影部分的面积（平方厘米）． 19. 甲、乙两人同时从山底开始沿同一条路爬山，到达山顶后立即沿原路返回，已知他们两人下山的速度都是各自上山速度的3倍，甲、乙在离山顶300米处相遇，当甲回到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程． 【答案】3100米 【解析】 【分析】此题是较难的分数应用题，解答此类题目要找准单位“1”，理清题中的数量关系，据关系列式解答．把“山顶到山脚的距离”看作单位“1”，假设甲乙可以继续上行，那么甲乙的速度比是，由于甲、乙所用时间是相同的，所以他们的速度比就是他们所行的路程比；当甲行到山顶时，乙就行了全程的，乙离山顶300米时，甲已经下山300米，如果山路继续延长相当于甲继续上山100米，这时乙才离原有的山顶是300米，但是离甲是400米，进而问题可求解． 【详解】解：假设甲乙可以继续上行，那么甲、乙的速度比是：， 当甲行到山顶时，乙就行了全程的， 甲已经下山300米，如果山路继续延长相当于甲继续上山100米，这时乙才离原有的山顶是300米，但是离甲是400米，所以从山顶到山脚的距离是： （米）； 答：山底到山顶的路程为3100米． 20. 一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中．第一周开动5台抽水机小时就把一池水抽完，接着第二周开动8台抽水机小时就把一池水抽完，后来由于旱情严重，开动13台抽水机同时抽水，请问几小时可以把这池水抽完？ 【答案】小时 【解析】 【分析】设池中原有水m立方，每台机器每小时抽水x立方，根据题意，得，解方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设池中原有水m立方，每台机器每小时抽水x立方， 根据题意，得， 解得． 故开动13台抽水机同时抽水，需要的时间为小时， 根据题意，得， 解得． 故需要小时． 21. 40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗．这40名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学生的劳动效率如表所示．如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么应如何安排人员才能既完成挖树坑的任务，又使树苗运得最多？ 任务 效率 人员 挖树坑（个/人） 运树苗（棵/人） 人数（名） 甲类 2 20 15 乙类 1.2 10 15 丙类 0.8 7 10 【答案】甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有2人、15人、10人时，可完成挖树坑的任务，且使树苗运得最多，最多为260棵． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，掌握通过两种工作的相对效率来合理安排工作人数是解题的关键． 先分别计算出甲乙丙三类学生挖树坑的相对效率，通过相对效率大小来安排挖树坑的人数，再由剩下的人来运树苗，即可求解． 【详解】解：这三类学生挖树坑的相对效率分别是： 甲类，， 乙类，， 丙类，， 由上可知，乙类学生挖树坑的相对效率最高，其次是丙类学生，故应先安排乙类学生挖树坑，可挖个， 再安排丙类学生挖树坑，可挖个， 还差个树坑，人，由两名甲类学生去挖，这样就能完成挖树坑的任务， 其余名甲类学生运树苗，可以运棵． 答：甲、乙、丙三类学生中挖树坑的分别有2人、15人、10人时，可完成挖树坑的任务，且使树苗运得最多，最多为260棵． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南雅小升初入学真题卷（一） （时量：90分钟 满分：100分） 一、填空题（每小题4分，共60分） 1. 甲、乙两家商店出售同一款鸡宝宝玩具，每只原售价都是25元，为了促销，甲店先提价，再降价；乙店则直接降价，那么，调价后对于这款鸡宝宝玩具，__店的售价更便宜，便宜________． 2. 将个乒乓球放入从左到右排成一行的个盒子中，如果最左边的盒子中有个乒乓球，且任意相邻的个盒子中乒乓球的个数和都是，那么最右边的盒子中有乒乓球______个． 3. 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头．如果愚公是第1代，那么到第_______代，这座大山可以搬完． 4. 若，则a、b、c中最大的是_______，最小的是_______． 5. 三个数都是质数，它们的倒数和的倒数是_______． 6. 今年儿子的年龄是父亲年龄的，年后，儿子的年龄是父亲的，今年儿子_______岁． 7. 一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水中盐的含量变为，第二次加入同样多的水，盐水中盐的含量变为，第三次加入同样多的水，盐水中盐的含量将变为_______． 8. 任意调换五位数的各个数位上数字位置，所得的五位数中是质数的共有_______个． 9. 如图，图中空白部分的面积是，则阴影部分的面积为_______． 10. 体育课上，名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有_______人． 11. 某工程队修建一条铁路隧道，当完成任务的时，工程队采用新设备，使修建速度提高了，同时为了保养新设备，每天工作时间缩短为原来的，前后共用了185天完工，由以上条件可推知，如果不采用新设备，完工共需_______天． 12. 一列快车从甲地开往乙地需要5小时，一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车多，两车同时从甲、乙两地相向开出2小时后，慢车停止行进，快车继续行驶千米后恰与慢车相遇，则甲、乙两地相距_______千米． 13. 现在是北京时间上午8点多，在8点_______分时，时针和分针离“6”字的距离相等． 14. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为_______． 15. 十进制计算法是逢10进1，如，，计算机使用的是二进制计算法，是逢2进1，如，，如果一个自然数可以写成m进制数，也可以写成n进制数，那么最小的_______， _______（注：）． 二、解答题（第1~3题每小题6分，4、5题每小题7分，第6题8分，共40分） 16. 阿雅、阿礼、阿真、阿美、阿丽五个小朋友按顺序取出盒子中的糖果，取完后，他们依次说了下面的话： 阿雅：“大家取的糖果个数不同．” 阿礼：“我取了剩下的糖果的个数的一半．” 阿真：“我取了剩下糖果的．” 阿美：“我取了剩下的全部糖果．” 阿丽：“我取了剩下的糖果的个数的一半．” 请问： （1）阿雅是第几个取糖果？ （2）已知每个人都取到糖果，则这盒糖果最少有多少颗？ 17. 定义：（其中n是自然数，k是的小数点后的第n位数字），如，，．求的值． 18. 长方形的面积为36平方厘米，E，F，G为各边中点，H为边上任意一点，问阴影部分的面积是多少？ 19. 甲、乙两人同时从山底开始沿同一条路爬山，到达山顶后立即沿原路返回，已知他们两人下山的速度都是各自上山速度的3倍，甲、乙在离山顶300米处相遇，当甲回到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程． 20. 一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中．第一周开动5台抽水机小时就把一池水抽完，接着第二周开动8台抽水机小时就把一池水抽完，后来由于旱情严重，开动13台抽水机同时抽水，请问几小时可以把这池水抽完？ 21. 40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗．这40名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学生的劳动效率如表所示．如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么应如何安排人员才能既完成挖树坑的任务，又使树苗运得最多？ 任务 效率 人员 挖树坑（个/人） 运树苗（棵/人） 人数（名） 甲类 2 20 15 乙类 1.2 10 15 丙类 0.8 7 10 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $