精品解析：安徽省六安市霍邱县2025---2026学年上学期九年级学业质量检测数学试卷

霍邱县2025~2026学年度第一学期学业质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 抛物线与y轴交点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正方形 D. 两个矩形 3. 将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的二次函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 两边长的比值是黄金数的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给人们协调和匀称的美感．我们通过如下作图来画黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点，则图中黄金矩形的个数是（注：）（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 二次函数大致图象如图所示，其中顶点坐标为，下列结论：①；②该图象与x轴两个交点的横坐标分别为和1；③；④若方程有两根为和，且，则，其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 12. 已知反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是：________． 13. 二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 14. 如图，点D、E、F分别在的边、、上，，，． （1）________； （2）连接，若点M是的中点，连接并延长交于点N，则________． 三、解答题（本大题共有9小题，共计90分） 15. 已知线段a、b，且满足． （1）求的值； （2）若线段c是线段a、b的比例中项，且，求c的值． 16. 已知二次函数． （1）将该函数表达式化为的形式； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象． 17. 如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为． （1）已知，求的长； （2）已知的面积是8，求四边形的面积． 18. 已知二次函数． （1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）若该二次函数图象的对称轴为直线，求它与x轴的交点坐标． 19. 如图，在等边中，点E、D分别在边上，且．求证：． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，直线交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出的x取值范围． 21. 如图，在和中，，．点D是边上一点，，与交于点O．点F、点G分别是、边上的中点．求证： （1）； （2）． 22. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）作直线，若点D是抛物线上位于直线上方的一点，过点D作，垂足为E，与交于点F，设点D的横坐标为m． （ⅰ）________，________；（用含m的式子表示） （ⅱ）连接、，请求出的面积S（用含m的式子表示），并说明随m的变化而变化的情况． 23. 2025年7月26日至8月10日，霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的养殖成本相同，放养10天的总成本为83000元，放养30天的总成本为89000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为，销售单价为y元/，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为，y与t的函数关系如图所示． （总成本养殖成本收购成本；利润销售总额总成本） （1）求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本； （2）求y与之间的函数表达式； （3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍邱县2025~2026学年度第一学期学业质量检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 抛物线与y轴交点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，求出当时的值即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，， 故抛物线与y轴交点的纵坐标为， 故选：B． 2. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正方形 D. 两个矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的定义，相似图形需对应角相等且对应边成比例，由相似图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握相似图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、两个等腰三角形的顶角或底角可能不相等，故不一定相似； B、两个直角三角形的锐角可能不相等，故不一定相似； C、两个正方形的所有内角均为，对应角相等，且任意两边长之比为常数，故对应边成比例，一定相似； D、两个矩形的邻边之比可能不同，故对应边不一定成比例，不一定相似； 故选：C． 3. 将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的二次函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行求解，即可解题． 【详解】解：∵ 向左平移1个单位， ∴ 将原函数中的x替换为， 得： ； ∵ 再向上平移2个单位， ∴ 整个表达式加2， 得：． ∴ 所得到的二次函数的表达式是 ． 故选：D． 4. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数图象，可知，从而推出的图象． 【详解】解：根据题意，可知的图象开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴， ∴， ∴，， ∴其图象过第一，二，三象限， 故选：D． 5. 霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可． 【详解】设降价元，则售价为元， ∵进价为50元， ∴每个利润为元． 又∵每降价1元，多售5个， ∴降价元，多售个，销售量为个． ∵利润= 每个利润销售量 ∴． 故选：A． 6. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和与轴交点位置，即可选出答案． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 9. 两边长的比值是黄金数的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给人们协调和匀称的美感．我们通过如下作图来画黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点，则图中黄金矩形的个数是（注：）（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设正方形的边长为，根据勾股定理得，然后依次判断每个矩形的长与宽的比是否为，据此即可解答． 【详解】解：不妨设正方形的边长为， ∵四边形 是正方形， ∴，，， ∵分别取AB、CD的中点E、F，连接EF， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可证，四边形，四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴矩形是黄金矩形； 在矩形中， ， ∴， ∴矩形不是黄金矩形； 在矩形中，，， ∴， ∴矩形是黄金矩形； 在矩形中，， ∴矩形不是黄金矩形； 同理可证，矩形不是黄金矩形； 综上，黄金矩形有2个，分别是矩形，矩形， 故选：C． 10. 二次函数大致图象如图所示，其中顶点坐标为，下列结论：①；②该图象与x轴两个交点的横坐标分别为和1；③；④若方程有两根为和，且，则，其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，熟练掌握该知识点并数形结合是解题的关键．根据其开口方向，对称轴，顶点坐标，可知，，，从而得到，，然后即可判断出，从而可以知道①的正误；将代入，即可解得该图象与x轴两个交点的横坐标，从而判断②，结合图象，可知时，，从而判断③，同理，结合图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数其中顶点坐标为， ∴，， ， ∴， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴，故①正确； 当时，，即， ∴， ∴， ∴， ∴该图象与x轴两个交点的横坐标分别为和1，故②正确； 根据图象，可知时，，那么，故③错误； 由②可知，与x轴两个交点的横坐标分别为和1， 那么有两根为和，且，则， 如图所示： 故④正确； 故选：A． 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，由对称轴为轴，可设二次函数为，由开口向下，得；代入点可得与的关系，从而写出表达式． 【详解】解：设抛物线解析式为， 抛物线开口向下， ， 又抛物线经过点， 代入得，即； 取，则， 解得， 函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，且y随x的增大而增大，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 14. 如图，点D、E、F分别在的边、、上，，，． （1）________； （2）连接，若点M是的中点，连接并延长交于点N，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由得出，由，得到，则可得出答案； （2）过点作交于点，证明是的中位线，，得出，由（1）得，证出，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，过点作交于点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴，设， ∴， ∵， ∴， ∴，由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有9小题，共计90分） 15. 已知线段a、b，且满足． （1）求的值； （2）若线段c是线段a、b的比例中项，且，求c的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由两边同时加2即可得出，从而得解； （2）由题意求出，假设，则，，结合，求出，，再结合比例中项的定义计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 假设，则， 又∵， ∴， 解得， 则， ∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16. 已知二次函数． （1）将该函数表达式化为的形式； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象． 【答案】（1） （2） 如图为所求： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据配方法进行即可得出答案； （2）根据，其开口向上，对称轴为，顶点坐标为，然后算出该函数与坐标轴的交点，然后画图即可． 【小问1详解】 解：， 即； 【小问2详解】 解：∵，， ∴其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 当时，，解得， ∴交轴于， 当时，， ∴交轴于， 17. 如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为． （1）已知，求的长； （2）已知的面积是8，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）根据，得到，然后求值即可； （2）根据三角形相似其面积比等于相似比的平方，据此，可以得到的面积，从而求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：∵，且与的相似比， ∵， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：假设的面积为，的面积为， ∵，且与的相似比， ∴， ∵的面积是8，即， ∴，即的面积为18， 则四边形的面积是：． 18. 已知二次函数． （1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）若该二次函数图象的对称轴为直线，求它与x轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：∵令，则， ∴， ∴一元二次方程，无论k为何值，都有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与x轴都有交点； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据的判别式大于0，推出一元二次方程，无论k为何值，都有两个不相等的实数根，从而得证； （2）通过对称轴，求得，然后令，解方程求得答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵二次函数图象对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为：， 令，得， 解得：，， ∴二次函数与x轴交点坐标为：，． 【点睛】本题考查二次函数与轴的交点问题，二次函数的对称轴公式，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．掌握二次函数与轴交点问题转化为时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系是解此题的关键． 19. 如图，在等边中，点E、D分别在边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∴， ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，则，由得到，推出，再根据相似三角形的判定即可证明． 【详解】略 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，直线交x轴于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出的x取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，正确求出两交点坐标是解题的关键． （1）先求出A、B坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点M的坐标，再根据进行求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A、B在反比例函数图象上，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 将点A、B的坐标代入一次函数中，得： ，解得：， ∴直线所对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：由（1）知直线所对应的函数表达式为：， 当时，，解得， ∴点M坐标为， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方，那么当或时，． 21. 如图，在和中，，．点D是边上一点，，与交于点O．点F、点G分别是、边上的中点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵点F、点G分别是、边上的中点 ∴，即； （2） 证明：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ∵且点F是中点， ∴， 则． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是判定，，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比． （1）由三角形的外角性质推出，又，推出，得到，即可证明； （2）由，推出，得到，判定，推出，判定，推出，得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）作直线，若点D是抛物线上位于直线上方的一点，过点D作，垂足为E，与交于点F，设点D的横坐标为m． （ⅰ）________，________；（用含m的式子表示） （ⅱ）连接、，请求出的面积S（用含m的式子表示），并说明随m的变化而变化的情况． 【答案】（1）， （2）（ⅰ），；（ⅱ），当时，S随m的增大而增大，当时，S随m的增大而减小 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）（ⅰ）先求出点，然后利用待定系数法求出直线的解析式，然后表示出三点坐标，然后表示出即可； （ⅱ）先利用，得到，然后结合的范围和二次函数的图象与性质，写出答案即可． 【小问1详解】 解：（1）将点和点代入，得： ，解得：， 则，； 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）可知，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点D是抛物线上位于直线上方的一点，点D的横坐标为m， ∴， ∵过点D作，垂足为E，与交于点F， ∴， ∴，， 故答案为：，； （ⅱ）设面积为S，由图可知： ∵， ∴， ∵点D在抛物线上且位于直线上方， ∴， ∵， ∴当时，S随m的增大而增大；当时，S随m的增大而减小， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，二次函数解析式，二次函数上点坐标的特征，一次函数上点坐标的特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 2025年7月26日至8月10日，霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的养殖成本相同，放养10天的总成本为83000元，放养30天的总成本为89000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为，销售单价为y元/，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为，y与t的函数关系如图所示． （总成本养殖成本收购成本；利润销售总额总成本） （1）求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本； （2）求y与之间的函数表达式； （3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）收购成本为80000元，每天养殖成本为300元 （2） （3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元 【解析】 【分析】（1）设这批小龙虾的收购成本为m元，每天养殖成本为n元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值即可； （2）根据图象，分类利用待定系数法求出当时，当时，y与t之间的关系式即可； （3）根据，分别写出当时，当时，与的函数解析式，然后利用一次函数与二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：设这批小龙虾的收购成本为m元，每天养殖成本为n元，根据题意得： ，解得： 答：这批小龙虾的收购成本为80000元，每天养殖成本为300元． 【小问2详解】 解：当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 综上所述，y与t之间的表达式为：； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 当时，，即， ∵， ∴时，W最大，； 当时，， 即 ∵， ∴时，W最大，． 答：该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组，待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $