4.2.1等差数列的概念课件（2）（等差数列的性质）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的性质，涵盖通项公式推广、下标和性质及新数列构造等核心知识点。通过复习定义、等差中项、通项公式及判断方法，搭建从旧知到性质学习的支架，帮助学生顺畅衔接新知。 其亮点在于以易错辨析（如“下标和相等即项和相等”的错例）培养严谨数学思维，结合设备价值折旧的实际应用体现数学眼光观察现实世界，通过一题多解（如插入数问题的基本量法与中项法）和对称项设项、公共项构造等题型拓展创新意识。课堂小结系统梳理性质，助力学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率，学生能增强解决问题的能力。

4.2.1 等差数列的概念(2) —— 等差数列的性质 复习回顾 1. 等差数列定义：an-an-1=d （n≥2，n∈N*）或 an+1-an=d (n∈N*) 2. 等差中项：a,A,b成等差数列 2A=a+b，（A叫a,b的等差中项） 3. 通项公式：an =a1+(n-1)d 推导公式：an=am+(n－m)d 4. 等差数列与一次函数：an= kn+b，其中k=d 等差数列图象：一次函数图像上均匀排开的一群孤立的点 思考：如何判断一个数列为等差数列？ 1. an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) {an}为等差数列. 2. 2an+1=an+an+2 {an}为等差数列. 3. an=kn+b ，an为n的一次函数 {an}为等差数列. 方法回顾 举例：判断下列数列是否是等差数列． (1)an＝4n－3； (2)an＝n2＋n. 正解：(1)∵an＋1－an ＝[4(n＋1)－3]－(4n－3) ＝4， ∴{an}为等差数列． 易错辨析 错因剖析：易用特殊代替一般，验证前几项后就得出结论，等差数列在定义中的要求是“任意的后一项与前一项的差是常数”，不是“确定的后一项与前一项的差是常数”． (2)由an＝n2＋n 知 a1＝2，a2＝6，a3＝12， a2－a1 ≠ a3－a2， ∴{an}不能构成等差数列． 思考：关于等差数列的计算问题有哪些方法？ 1. 基本量法：将已知条件化为a1和d ，解方程(组) . 2. 等差数列通项的推广：an=am+(n－m)d. 3. 等差中项的应用： 2an+1=an+an+2 方法回顾 练习 书P15 等差数列的计算问题 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. 练习 书P15 5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 等差数列的计算问题 新知获得 等差数列的性质： 1. 性质1： 等差数列通项公式的推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋ d(m，n∈N*)， (n－m) 其中， ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差. 新知获得 2. 性质2：等差数列的 “下标和”性质 在等差数列{an}中，若p＋q＝s＋t (p，q，s，t∈N*)， 则ap＋aq＝ . as＋at 例5 已知数列{an}是等差数列，p, q, s, t ∈N*，且 p＋q＝s＋t， 求证：ap＋aq＝as＋at . 证明：设数列{an}的公差为d，则 ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d ＝2a1＋(p＋q－2)d， as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d ＝2a1＋(s＋t－2)d， 因为p＋q＝s＋t， 所以ap＋aq＝as＋at . 例题分析 书P17 新知获得 2. 性质2：等差数列的 “下标和”性质 在等差数列{an}中，若p＋q＝s＋t (p，q，s，t∈N*)， 则ap＋aq＝ . 特别地，若p＋q＝2k (p，q，k∈N*)，则有ap＋aq＝ . as＋at 2ak 思考 1：已知数列{an}是等差数列， 由 ap＋aq＝as＋at 能推出 p＋q＝s＋t 吗？ 不能 易错辨析 反例 ： 常数列1，1，1，1... a1＋a100＝a2＋a3＝1+1=2 但1+100 ≠ 2+3 思考 2：已知数列{an}是等差数列， 由 m+n=p能推出am＋an＝ap吗？ 不能 举例： 在等差数列{an}中，已知a3=2，a6=5，求a9 . 错解: 因为3+6=9, 所以a9 = a3+a6 = 2+5 = 7. 提示: 性质ap+aq=as+at中必须是两项相加等于两项相加, 并不是 下标和相等即相等. 正解: 2a6=a3+a9 , 2×5=2+a9，故a9=8. 易错辨析 思考 1：已知数列{an}是等差数列， 由 ap＋aq＝as＋at 能推出 p＋q＝s＋t 吗？ 不能 易错辨析 思考 2：已知数列{an}是等差数列， 由 m+n=p能推出am＋an＝ap吗？ 不能 注意： “若p＋q ＝s＋t ,则ap＋aq＝as＋at” 此性质可推广到三项，四项等，但等式两边作和的项数必须一样多. 练1. 在等差数列{an}中， (1) 已知 a1+a9=4，求：a5； (2) 已知 a7+a8+a14+a15=20，求：a1+a21； (3) 已知 a3+a11=6，求：a6+a7+a8 . 练2. 在等差数列{an}中，已知 a1+a5+a9=π，求：sin(a2+a8). 10 9 举例应用 等差数列性质的应用 2 新知获得 2. 性质3：等差数列构造的 “新数列” 的性质 在等差数列中{an}每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列. 数列ak，ak+m，ak+2m，ak+3m，…成等差数列，公差为 md (m,k∈N*), 其下标也成等差数列. 偶数列{a2n}也是等差数列，公差为 ， 奇数列{a2n-1}也是等差数列，公差为 . 2d 2d 新知获得 2. 性质3： 等差数列构造的 “新数列” 的性质 d cd 2d 例5 已知等差数列{an}的首项a1 =2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. 解：(1) 设数列{bn}的公差为d',则 b1= a1=2, b5 = a2=10 例题分析 书P16 如果插入k(k∈N*)个数，那么{bn}的公差是多少？ 等差数列的综合应用 例5 已知等差数列{an}的首项a1 =2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,说明理由. 解：(2) 由已知， an= a1+(n-1) d=2 +(n-1)×8 = 8n-6 又bn=2n ，∴ b29=2×29=58 令8n-6=58 ，解得 n=8 ∴ b29是数列{an}的第8项. 例题分析 书P16 例5 已知等差数列{an}的首项a1 =2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,说明理由. 例题分析 书P16 解法二：数列的各项依次是{bn}的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列， 则. 令解得 所以，是数列的第8项. 例题分析 书P16 等差数列的实际应用 例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围. 分析: 这台设备使用满n年时得价值构成 一个数列{an}. 由题意可知，使用满10年时， 这台设备得价值不小于(220×5％=)11万元； 而第11年底，这台设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公式列不等式求解. 例题分析 书P16 等差数列的实际应用 例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围. 解: 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 依题意得，数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d . ∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11， 解决等差数列实际问题的基本步骤 (1) 将已知条件翻译成数学(数列)问题（设）； (2) 构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3) 利用通项公式解决等差数列问题； (4) 将所求出的结果回归为实际问题（答）. 方法总结 探究1 三数成递增等差数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则 (a-d)+a+(a+d)=18，即3a=18 ∴ a=6 又∵ (a-d)2+a2+(a+d)2=116，即3a2+2d2=116 解得 d=±2 又∵该数列为递增数列，∴d=2 ∴这三个数分别为4，6，8. 题型补充 等差数列中对称项设法 练P14 探究2 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两个数的积为40， 求这四个数. 解：设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d, a+3d则 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26，即4a=26 ∴ a= 又∵ (a-d)(a+d)=40，即a2-d2=40 解得 d=± ∴当d= 时， 这四个数分别为2，5，8，11. 当d=﹣ 时，这四个数分别为11，8，5，2. 题型补充 等差数列中对称项设法 练P14 几个数成等差数列的设项方法与技巧 (1) 当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1， 公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列. (2) 当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d. (3) 当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时 公差为2d. 方法总结 探究3 两个等差数列5,8,11,… 和 3,7,11,…，求由它们相同的项构成的新数列的通项？ 解：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}， 又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2， 等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1. ∴数列{cn}为等差数列，c1＝11，且公差d＝12. ∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1. 题型补充 两个等差数列的公共项构成新数列 课堂小结 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 性质1 an =a1+(n-1)d, an =am+(n-m)d, 性质2 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq m,n,k∈N*，若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak 下课! ③d＝(m，n∈N*，且m≠n). pd1＋qd2 ①若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为 ___的等差数列； (2){c·an}(c为任一常数)是公差为 ______的等差数列； (3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为 ______的等差数列． ②若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn} (p，q是常数)是公差为 _______________的等差数列． $