4.2.1 等差数列的概念(2)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念深化、性质及应用，通过设备价值折旧、看台座位排列等实际问题导入，例题与练习层层递进，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合实际情境培养数学眼光，通过性质推导发展数学思维，以建模过程强化数学语言。如设备价值问题引导抽象数列模型，性质证明培养逻辑推理，助力学生提升应用能力，也为教师提供丰富教学案例。

4.2.1 等差数列的概念(2) 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 (3)取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 是否是巧合呢？ 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 【思考】例3是等差数列一条重要性质，如图是它的一种情形，你能从几何角度解释等差数列这一性质吗？ 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高 王玮琪 【例1】某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的取值范围. 解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得 . 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列. 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是. 根据题意，得即 解这个不等式组，得. 所以，的取值范围为. 【练习】1.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗？第10排有多少个座位？ 【解】由条件可知，每排的座位数， 看成等差数列，首项，， 则， . 综上可知，， 第10排的座位数个. 【例2】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.(1)求数列的通项公式.(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. 解：(1)设数列的公差为.由题意可知， ，，于是. 因为，所以，所以. 所以. 所以，数列的通项公式是. (2)数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则. 令，解得. 所以，是数列的第8项. 【练习】1.已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． (1)数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．(2)若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 【解】(1)数列是等差数列， 证明：因为数列，都是等差数列， 公差分别为，， 所以， 又因为， 故 ， 而，所以数列是以为首项， 为公差的等差数列. (2)由(1)知：数列是以为首项， 为公差的等差数列， 而，， 所以. 2.已知一个无穷等差数列的首项为，公差为． (1)将数列中的前项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ 【解】(1)由题意可知，将无穷等差数列的前项去掉，其余各项组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. (2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ (2)由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. (3)由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为：，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. 【思考】1.在等差数列中， 为公差，与有何关系？ 2.在等差数列中， 若，求. 【例3】已知数列是等差数,，且.求证. 证明：设数列的公差为，则 ，， ，. 所以， . 因为， 所以. 特别地，若， 则. 由于等差数列的图象是均匀分布在某条直线上的点，所以可以将和分别看做直角梯形的两条底边的长，那么和可以分别看做两个梯形中位线长的两倍.由于，所以这两个梯形有相同的中位线，所以. 如果有若干个负数， 可以将都加上同一个 正常数，转化为上述情形. 【练习】1. 画出数列 的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率. 【解】根据递推关系，可知 ， 作出数列的图象，如下图所示： 通过图象上所有点的直线的斜率 . 2.在等差数列中，，， 且，求． 【解】设等差数列的公差为 则 $