精品解析：河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题 一、单选题 1. 设全集且，集合，则真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示出全集，根据补集的概念求得，再根据集合元素个数与真子集关系计算可得. 【详解】全集且， 则，共4个元素， 所以真子集的个数为. 故选：C 2. 若复数，则（    ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合的性质利用复数的运算法则求解，再根据共轭复数的概念求解，从而求解． 【详解】，所以， 所以. 故选：A． 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充分性、必要性的相关概念即可求解． 【详解】由，解得，由解得， 显然当可推出，但当推不出， 故甲是乙的充分条件但不是必要条件． 故选：A． 4. 向量为满足：在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据投影向量的定义求得，再利用数量积求模即可得解. 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， ， ， . 故选：C. 5. 若函数的大致图像如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域排除A，根据奇偶性排除B，根据指数函数及幂函数的性质排除C. 【详解】由图可知函数定义域为，由此排除A； 该函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足， 对于B项：，函数为偶函数，故排除B； C和D均满足， 对于C：，当时，，故， ∵增长的速率比增长的速率慢，∴， 即图像在轴上方无限接近于轴正半轴，与题意不符，故排除C. 综上，D选项正确. 故选：D. 6. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由切化弦，结合两角和差的正弦公式得到，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：C 7. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（　　） A. 的面积 B. 三棱锥的体积 C. 直线与平面所成的角 D. 二面角的大小 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的面积判断A，根据三棱锥的体积公式判断B，根据线面角的定义判断C，根据二面角的概念判断D. 【详解】A中，的长为定值，且点到的距离即为两平行直线与之间的距离也为定值，的面积为定值； B中，的面积是定值．(定长，到的距离就是到的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据平面也就是平面，既然和平面都是固定的，到平面的距离是定值，三棱锥的高也是定值，于是体积固定． 三棱锥即三棱锥的体积是定值； C中， 到平面距离是定值（事实上即到平面距离），而长度在变化中，所以直线与平面所成的角不是定值； D中，二面角的平面角即是二面角的平面角，而二面角的两个半平面均是固定平面，显然为定值. 故选：C 8. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过不等式构造两个函数，分别分析两个函数的最值情况即可得答案. 【详解】由，变形为. 令，，.则不等式变为. 因，当，；当，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数. 又，当时，，；当，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数. 又因为成立，且，. 所以只能是，所以，解得，所以. 故选：C. 二、多选题 9. 记为数列的前项和，且，，则（ ） A. B. 为等差数列 C. 数列单调递减 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：令可判断；对于B：利用与的关系，把转化成关于的递推公式，然后利用定义可判断；对于C：求出的通项，利用指数函数单调性判断；对于D：利用分组求和以及等比数列的前项和公式计算可判断. 【详解】对于A，令可得，即， 又，解得，故A正确； 对于B，当时，，两式相减可得，且， 即，故是以首项，公比为的等比数列，故B错误； 对于C，易得， 故，易得数列单调递增，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10. 函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. C. 在上无极值点 D. 方程在上有4个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象的点代入计算得出判断B；确定最小正周期，从而求得，判断A；根据，判断极值点情况从而判断C；根据函数值域计算判断D. 【详解】由图象可知：，，所以，B选项错误； ，因为在减区间上，所以， 又因为的最小正周期，，A正确； ，当时，，在上无极值点，C正确； ，，即， 方程在上有4个解，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，画出函数大致图象可完成判断；B由图象可判断选项正误；C由题可得，，据此可完成判断；D令，可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和，据此可完成判断. 【详解】对于A，由题可画出大致图象， 则方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点， 则由图可得，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，当趋近于0时，，则，故B正确； 对于C，由题. 又由题及图可得，， 则，注意到函数 在上单调递减，则，故C正确； 对于D，令，则， 由图可得，则的零点个数为 方程根的个数之和， 即图象与直线交点个数之和. 由图，图象与直线交点个数0，图象与直线交点个数为2， 图象与直线交点个数为3，图象与直线交点个数为3， 则交点个数之和为8，即函数有8个零点，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常转化为函数图象交点相关的问题；对于含有的问题，常通过令来简化问题. 三、填空题 12. 求的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】变形得出，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】因为，则，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 13. 设函数定义域，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性,通过赋值法即可求解. 【详解】由为奇函数可得. 令得，令得，令得. 为偶函数可得，令得， 因此， 所以，解得. 又，故，得， 故时，， 因此， 所以 故答案为： 14. 已知函数有两个极值点，且，则实数的取值范围为_________. （参考数据） 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】由有两个不同实根， 所以有两个不等实根，且 设，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 显然当时，，当时，，图像如下： 所以有，则有， 当时，，解得，又， 所以当时，，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若外接圆的半径为，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理即可求出； （2）由(1)知，又，可求出边，进而求出周长； （3）由正弦定理可求出，进而求出，再用求和公式即可求出. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由，得， 解得（负根已舍去）， 所以的周长为 【小问3详解】 设外接圆的半径为，则， 所以，得， 所以. 16. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到曲线.若关于x的方程在区间上有解，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，可得，利用周期公式，求得，代入即可得答案, （2）根据平移、伸缩变换的原则，可得的解析式，参变分离可得在区间上有解，设，根据函数的单调性，分析求解，即可得答案. 小问1详解】 ， 因为函数的最小正周期为，所以，即， 所以； 【小问2详解】 将曲线向右平移个单位长度后得到 ， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到，即. 问题转化为关于x的方程在区间上有解， 参变分离得：在区间上有解. 设，则， 由于在上单调递减， 所以， 此时对于中的每个m，都存在，使得， 所以m的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若平面. （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先证平面平面，再根据面面平行得到线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦和点到平面的距离. 【小问1详解】 取中点，连接，，如图： 因为与均为等腰直角三角形，且，. 所以四边形为直角梯形，且，，. 所以四边形为正方形. 所以，平面，平面，所以平面； 又因为为中点，所以，平面，平面，所以平面， 且平面，，所以平面平面. 又平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，四边形为正方形，故可以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 因为， 所以，，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，可取. 因为，，所以平面的一个法向量为：. （i）设平面与平面夹角为，则. （ii）点到平面的距离为. 18. 已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和为， （3）设，求数列的前项和为 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用等比数列列式化简结合等差数列通项公式基本量运算求解； （2）代入计算应用裂项相消计算求解； （3）两次应用错位相减法计算求解. 【小问1详解】 由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，，， 所以，， ，， 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 两式相减得 令 19. 已知函数， （1）讨论函数的单调区间； （2）讨论函数的零点个数； （3）对任意恒成立，求的取值范围； 【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后分类讨论与的大小关系，由此可分析出的单调区间； （2）将问题转为“讨论与的图象交点个数”，根据条件作出的图象，由此可分析出的零点个数； （3）先分离参数将问题转化为，然后构造函数，利用导数结合隐零点的分析方法求解出，则的取值范围可知. 【小问1详解】 因为，所以， 令，解得或， 当时，，所以在上单调递增； 当时，则，若，，则在上单调递增， 若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增； 当时，则，若，，则在上单调递增， 若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 的零点个数即为方程解的个数， 则的零点个数即为与的图象交点个数； 令，则，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，时，，且时，恒成立， 作出的图象如下图所示， 当，即时，与的图象无交点，所以无零点， 当或，即或时，与的图象有个交点， 所以有个零点， 当，即时，与的图象有个交点， 所以有个零点； 综上所述，当时，无零点； 当或时，有个零点； 当时，有个零点. 【小问3详解】 因为对任意恒成立，所以对任意恒成立， 所以，令，， 令，所以，所以， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在唯一零点且， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， 令，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，且，所以，所以， 所以，所以， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题 一、单选题 1. 设全集且，集合，则真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 2 若复数，则（    ） A. B. C. D. 2 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 向量为满足：在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 若函数的大致图像如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（　　） A. 的面积 B. 三棱锥的体积 C. 直线与平面所成的角 D. 二面角大小 8. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、多选题 9. 记为数列的前项和，且，，则（ ） A. B. 为等差数列 C. 数列单调递减 D. 10. 函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. C. 在上无极值点 D. 方程在上有4个解 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 三、填空题 12. 求的最小值为__________． 13. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_________. 14. 已知函数有两个极值点，且，则实数的取值范围为_________. （参考数据） 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若外接圆的半径为，求数列的前项和. 16. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到曲线.若关于x的方程在区间上有解，求m的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若平面 （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）求点到平面的距离. 18. 已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和为， （3）设，求数列的前项和为 19. 已知函数， （1）讨论函数的单调区间； （2）讨论函数的零点个数； （3）对任意的恒成立，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $