精品解析：陕西省渭南市临渭区多校2025-2026学年九年级上学期期中联考数学试题

2025~2026学年度第一学期期中质量调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A. 3 B. C. 9 D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 4. 用配方法解方程时，配方的结果为，则□表示的数是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，延长至点F，连接交于点E．若，，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 8 7. 如图，矩形中，点E在上，且平分，，则度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 烛光照射下人的影子属于______投影．（填“平行”或“中心”） 10. 如图，正方形的对角线相交于点，的度数是________． 11. 已知一个直角三角形两条直角边的和是，面积是，设其中一条直角边的长为，则根据题意可列方程为______． 12. 如图，在中，点D在边上，连接并延长至点E，连接，若，，，，则的长为______． 13. 现有4个分别标有汉字“诚”“实”“友”“善”的小球，它们除表面所标汉字不同外其他都相同，将4个小球放在箱子中摇匀，然后随机摸出一个小球，不放回．再随机摸出一个，则这两次摸出的小球上的汉字能组成词语“友善”（不分先后顺序）的概率为______． 14. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的长为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 17. 如图，在中，，点D在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，点E、F在矩形边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 19. 随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧作的位似，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）在（1）的条件下，请写出与的面积比为________． 21. 如图，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙同学在阳光下的影子顶端恰好与甲同学在阳光下的影子顶端重合于地面上的点A处，甲同学的身高，乙同学的身高，甲、乙两名同学之间的距离，已知，，点C、D、A在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求乙同学的影长． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，求方程的根． 23. 如图，在 中，，点D在边上，且，连接，点E在线段上，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8，AD=4，求BF的长． 25. 某电子器件厂生产一种电脑显卡，2022年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2023年、2024年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，成本逐年降低，2024年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个． （1）求2023、2024这两年此类电脑显卡出厂价平均每年下降的百分率； （2）2024年某电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡（不计其他成本），以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，该电脑城决定降价销售．经市场调研发现，每个电脑显卡的单价每降低5元，每天可多售出10个，如果该电脑城想要每天通过销售此类电脑显卡盈利1150元，则每个电脑显卡的单价应降低多少元？ 26. 【问题探究】 （1）在正方形中，点、分别在边、上，连接、． ①如图1，若，求证：； ②如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接AC，若，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市计划在新建的“和谐公园”中修建一处特色景观广场，设计图纸如下：在正方形广场中，处为入口，在广场内设置两条观光路线、（点M、N分别在边、上），在、处分别建造花坛和喷泉，对角线是一条石板步道，、分别交于点、，过点作交于点，在点和点处安装路灯．为了保证游客从入口看向花坛和喷泉时的视野夹角更舒适，需使的度数为，请你帮助工程师探究和之间的数量关系，并说明理由．（步道宽度及花坛、喷泉大小忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中质量调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解；将已知根代入方程，直接求解参数即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 因此，a的值为． 故选：D． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键．根据从上面看到的平面图形即可求解． 【详解】解：几何体的俯视图为：． 故选：C． 3. 在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 4. 用配方法解方程时，配方的结果为，则□表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过配方法将方程化为完全平方形式，利用一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】解：原方程可化为， 移项，得， 两边同时加上，得， 即， ∴表示的数是． 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且在位似中心的异侧的两个位似图形，相似比为，则对应的坐标比也为，即可解得点的坐标． 本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是 ∴点的坐标为，即， 故选：D． 6. 如图，在中，延长至点F，连接交于点E．若，，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识是关键；由平行四边形的性质可证明，则得的长，即可求解． 【详解】解：在中，，； ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 7. 如图，矩形中，点E在上，且平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，通过可得，通过，可得，结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：矩形中，， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选C． 8. 如图，在菱形中，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形和垂直平分线的性质，先根据垂直平分线的性质证明，再根据菱形的性质证明，从而可得，进而可得，再根据求得答案． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵的垂直平分线是， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 烛光照射下人的影子属于______投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影的概念，做题的关键是熟练掌握中心投影的概念，区别中心投影和平行投影概念．根据中心投影的概念填写即可．中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影． 【详解】解：烛光发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，烛光照射下人的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 10. 如图，正方形的对角线相交于点，的度数是________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，熟悉掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 已知一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，设其中一条直角边的长为，则根据题意可列方程为______． 【答案】（答案形式不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程；设一条直角边为，则另一条直角边为，根据直角三角形面积公式列方程即可． 【详解】解：设其中一条直角边的长为，则另一条直角边的长为． 直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，即． 故答案：． 12. 如图，在中，点D在边上，连接并延长至点E，连接，若，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 先根据题意求出，的长，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ，即， ， 故答案为：． 13. 现有4个分别标有汉字“诚”“实”“友”“善”的小球，它们除表面所标汉字不同外其他都相同，将4个小球放在箱子中摇匀，然后随机摸出一个小球，不放回．再随机摸出一个，则这两次摸出的小球上的汉字能组成词语“友善”（不分先后顺序）的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率计算；画出树状图，计算两次摸球能组成“友善”的概率即可． 【详解】解：树状图如下： 共计12种结果，能组成“友善”的有2种， 因此总概率为． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明． 连接，过点作于．证明，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握结合方程的特点选择合适、简便的方法，并熟悉因式分解法的步骤是解题的关键． 先移项，再提取公因式，将原方程变成两个一次式乘积为0的形式，再令每个一次式等于0，即可求解． 详解】解：， ， ， 或， ，． 16. 如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据中心投影的作图即可． 本题考查了中心投影，正确确定投影中心是解题的关键． 【详解】解：光源O如图所示，立柱的影子如图所示． 则即为所求． 17. 如图，在中，，点D在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—垂线和相似三角形的判定，作出正确的图形是解决本题的关键． 以点D为圆心，以任意长为半径作弧交于点F和点G，以F为圆心，以大于为半径作弧，以G为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于一点H，连接射线交于点E，由作图可得，为的垂线，可得，进而即可得到． 【详解】解：如图所示，点E即为所求： 18. 如图，点E、F在矩形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角结合对顶角相等即可得出，最后证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∵，， ． 在和中， ， ， ． 19. 随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）运用列表法，得共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播． ∴甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 A B C D A B C D 如上表，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种， （甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧作的位似，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）在（1）的条件下，请写出与的面积比为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．若位似中心是原点,相似比为,则位似图形对应点的坐标比等于或,即原图形上点的对应点坐标为或. （1）根据位似图形的性质结合相似比为得到为，得出点A、B、C的对应点的坐标，再依次连接即可； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为：． 21. 如图，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙同学在阳光下的影子顶端恰好与甲同学在阳光下的影子顶端重合于地面上的点A处，甲同学的身高，乙同学的身高，甲、乙两名同学之间的距离，已知，，点C、D、A在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求乙同学的影长． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定和性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，，， ， ， 答：乙同学的影长为． 22. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，求方程的根． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的判别式判断根的情况及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）求出该方程根的判别式，证明其判别式的值大于0即可， （2）把代入方程，再解方程即可． 【小问1详解】 证明：， ， ，即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：当时，原方程为， 解得，． 23. 如图，在 中，，点D在边上，且，连接，点E在线段上，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）先证，可得，由，可得结论； （2）由（1），，可得，再由勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 证明：，， ． ． ， ． 【小问2详解】 解：由（1）， ， ． ，， ． ． ， ． 24. 如图，ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8，AD=4，求BF的长． 【答案】（1）见解析； （2）3 【解析】 【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形； （2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在RtADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可． 【小问1详解】 证明：∵DEBC，DFAB， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DEBC， ∴∠CBD＝∠EDB． ∴∠ABD＝∠EDB． ∴EB＝ED． ∴平行四边形BFDE是菱形； 【小问2详解】 解：∵EDBF，∠C＝90°， ∴∠ADE＝90°． 设BF＝x， ∴DE＝BE＝x． ∴AE＝8﹣x． 在RtADE中，AE2＝DE2+AD2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， ∴BF＝3． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种判定方法和性质是解题的关键． 25. 某电子器件厂生产一种电脑显卡，2022年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2023年、2024年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，成本逐年降低，2024年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个． （1）求2023、2024这两年此类电脑显卡出厂价平均每年下降的百分率； （2）2024年某电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡（不计其他成本），以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，该电脑城决定降价销售．经市场调研发现，每个电脑显卡的单价每降低5元，每天可多售出10个，如果该电脑城想要每天通过销售此类电脑显卡盈利1150元，则每个电脑显卡的单价应降低多少元？ 【答案】（1）10% （2）降低15元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键． （1）设平均每年下降的百分率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每个电脑显卡的单价应降低y元，则每个电脑显卡的销售利润为元，平均每天可销售个，根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设平均每年下降的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合为了尽快减少库存的题意，舍去）． 答：平均每年下降的百分率为10%． 【小问2详解】 解：设每个电脑显卡的单价应降低y元， 则每个电脑显卡的销售利润为元，平均每天可销售个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，销售量为个； 当时，销售量为个。因为，所以不合题意，舍去． 答：每个电脑显卡的单价应降低15元． 26. 【问题探究】 （1）在正方形中，点、分别在边、上，连接、． ①如图1，若，求证：； ②如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接AC，若，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市计划在新建的“和谐公园”中修建一处特色景观广场，设计图纸如下：在正方形广场中，处为入口，在广场内设置两条观光路线、（点M、N分别在边、上），在、处分别建造花坛和喷泉，对角线是一条石板步道，、分别交于点、，过点作交于点，在点和点处安装路灯．为了保证游客从入口看向花坛和喷泉时的视野夹角更舒适，需使的度数为，请你帮助工程师探究和之间的数量关系，并说明理由．（步道宽度及花坛、喷泉大小忽略不计） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． （1）①先证明，推导出，证明，则，即可解答； ②推导出，则同理得：，得到，即可解答； （2）连接，过点作于点，先证明，推导出，得到，求出，得到，继而证明是等腰直角三角形，且，可推导出四边形是矩形，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：①四边形是正方形， ， ， ∴ ． ②， ， 四边形是正方形， ， ， ， 同理得：， ． （2）解：，理由如下： 如图3，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 四边形矩形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $