第06讲 三角恒等变换讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习三角函数（新高考通用）

第06讲三角函数恒等变换 目 录 思维导图… 3 高考分析…。 3 学习目标… 知识要点… 解题策略。 .9 题型归纳… ..11 两角和差… .11 题型01：两角和差公式证明… .11 题型02：两角和与差的正（余）弦公式. .15 题型03：两角和与差的正切公式…。 …20 题型04：两角和差公式的逆用.… .26 题型05：与坐标系中的象限角结合. .33 题型06：拆角与凑角… 35 题型07：统一角度化简.… …41 二倍角公式… .45 题型08：二倍角与诱导公式的配凑 .50 题型09：扩角降幂… .…53 题型10：二倍角与平方公式结合， .56 题型11：化为一元二次方程或二次函数 .59 题型12：化为半角（缩角升幂）…60 题型13：和差公式与二倍角公式结合…63 题型14：半角公式 .67 题型15：万能公式. .…68 辅助角公式. ..…69 题型16：辅助角特殊角型， .69 题型17：辅助角—非特殊角型 .81 题型18：正切齐次式转化. .87 题型19：sinx士cosx与sinxcosx型转化 .93 题型20：对偶型恒等变形求值.… 95 题型21：韦达定理型恒等变形求值… 97 题型22：积化和差、和差化积公式… 99 题型23：角的拆分… .105 题型24：化为同名函数. 124 题型25：给角求值. ..128 题型26：给值求值… 140 题型27：给值求角… 160 题型28：判断三角形形状… 181 题型29：证明题.… .182 题型30：恒等变换综合186 题型31：三角恒等变换的实际应用… 247 巩固提升 …258 3 思维导图 1:两角和差公式证明 1:持殊角型 2:两角和与差的正（余）弦公式 五：辅助角公式 2:非特殊角型 3:两角和与差的正切公式 一：两角和差 4:两角和差公式的逆用 六：正切齐次式转化 5:与坐标系中的象限角结合 6:拆角与凑角 七：sinxcosx与sinxcosx型转化 7:统一角度化简 1:二倍角与诱号公式的配凑 八：对偶型恒等变形求值 2:扩角降幂 3:二倍角与平方公式结合 九：韦达定理型恒等变形求值 二：二倍角 三角函数恒等变换 4:化为一元二次方程或二次函数 5:化为半角（缩角升幂） 十：积化和差、和差化积公式 6:和差公式与二倍角公式结合 十一：角的拆分 三：半角公式 给角求值 四：万能公式 给值求值 给值求角 十二：应用 判断三角形形状 证明 实际应用 高考分析 一高考定位与考情 三角恒等变换是三角函数的核心工具，属高考高频考点，常以客观题(5分)为主，偶在解答题中与解三角形、 三角函数性质、向量等融合(12-15分)。近三年新高考卷中，该模块平均难度约0.65，以中档题为主，重点考查公 式灵活运用与逻辑推理能力。 1.核心考点 ·公式体系：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式 ·常见考法：给角求值、给值求值、给值求角、三角式化简与函数性质结合、与向量/解三角形综合。 2.命题趋势 ·强调公式逆用与变形，降幂公式等。 ·突出角的配凑， ·注重数学思想：转化与化归（弦切互化、角的统一）、方程思想、整体代换。 学习目标 1.公式掌握目标：理解两角和与差、二倍角等核心公式的推导逻辑，建立公式间的内在联系，能熟练正用、逆 用、变形用所有公式，杜绝机械记忆。 2.变形能力目标：掌握角的配凑、弦切互化、降幂升幂、辅助角公式等核心变形技巧，能根据题目条件实现角、 函数名、次数的统一。 3.题型突破目标：精准解决给角求值、给值求值、给值求角三类基础题型，同时能将三角恒等变换与三角函数 性质、解三角形、平面向量等模块综合应用。 4.思想方法目标：在解题中渗透转化与化归、方程、整体代换等数学思想，提升逻辑推理与分析问题的能力， 适应高考对该模块的考查要求。 知识要点 三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容.在考察中，以容易题和中档题为主.在 复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合·利用图象的直观性得出函数的性质， 同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象。而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次 数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现.因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意 总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力· 知识点一：公式 公式1：同角三角函数的基本关系式：sin20+cos20=1,tan0-sin日 cos0' 公式2：正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 公式3：两角和与差的公式 两角和与差的余弦公式 (1)cos(a-B)=cos acos B+sin asinB (2)cos(a+B)=cosa cos B-sinasin B ①简记符号：C。-p,Ca4p ②适用条件：公式中的角，B是任意角. 两角和与差的正弦公式 (1)sin(a+B)=sina cos B+cosasin B (2)sin(a-B)=sina cos B-cosasin B ①简记符号：Sa-p,Sa+p ②适用条件：公式中的角，B是任意角. 两角和与差的正切公式 (1)tan(a-B)= tan a-tan B 1+tan a tan B tan a+tan B (2)tan(a+B)= 1-tan a tan B ①简记符号：Sa-B,Sa+p: ②适用条件：公式中的角C,P,u+B,a-B≠kπ+7，k∈Z. ③变形结论： tan a+tan B=tan(a+B)(1-tan a tan B) tan a-tan B=tan(a-B)(1+tan a tan B) 公式4：二倍角的正弦、余弦正切公式 (1）sin2a=2 sina cosa (2)cos 2a cos'a-sin'a cos 2a 2cos2a-1;cos 2a=1-2sin2 a 2tana (3)tan2a= 1-tan'a 降幂公式 (1)cos2a=1+cos2a 2 (2)sin'a=1-cos2a 2 升幂公式 1+cos2a=2cos2 a;1-cos 2a=2sin2a:1+sin 2a=(sina+cosa)2;1-sin 2a=(sina-cosa)2 公式5：半角公式 (1)sim=± 1-cos a 2 2 a (2)c0s二=± 1+cos a 2 (3)tan。=± 1-cosa 1-cosa sina 2 1+cosa sin a 1+cosa 公式6：辅助角公式： 。,p(←乃 y=asinx+bcosx,(a>0)→y=Va2+b2sim(x+p),其中tanp 2’2 公式7：万能公式 2tan (1)sina=- 2 1+tan2 2 1-tan2 2 (2)cosa= 1+tan2 2 2 2tan (3)tana= 2 1-tan2 2 公式8：积化和差与和差化积公式 (设a+B=X,a-B=y,则a=+y,B- 2 2 1.积化和差公式 cosccosP=s(+cos(-B 2 sinainBBco(- sin=[sin(B)+sin() cossinB-sin(+B)-sin(B)] 前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。 2.和差化积公式 a+B a-B a+B a-B sin a+sin B=2sin- 2 sin a-sin B=2cos- -sin- 2 2 2 a+B a-B a+B a-B cos a+cos B=2cos- -Cos cos a-cos B=-2sin- 2 2 2 sin 2 正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦 知识点二：角的常见拆分方法 ①a-2g:(e*0A: ②a=B-(B-); 6 a-I@a++(@-l: @0=Ia+m-a-1: 4 注意：特殊的角也看成已知角，如a=T-( 44 -) (1)题干中两角和、差是否等于”的整数倍，可利用诱导公式将所求角转化成已知角。 (2)题干中两角和、差是否等于特殊角（区，，”，3”，5弧）等，利用两角和差公式将所求角转化为 6'4'3346 已知角和特殊角。 (3)题干中两角和、差是否等于题中的第三个角，将所求角转化为已知角的和、差。 (4)题干中两角是否有2倍关系，可以利用二倍角公式，降幂公式，化成统一的角。 知识三：三角函数的周期公式 函数y=sin(ox+p),(A,⊙，p为常数，且A≠O)的周期T= 2π 0 函数y=tan(@x+p),x≠kπ+7，k∈ZAo,p为常数，且A≠0的周期T= π 2 三角函数的图像： V-sInX -π/2 3元/2 -2元-3π/2 -元 0π/2 知识点四：公式的变形应用 1、两角和与差正切公式变形 tana±tanB=tan(a±Bl干tana tan B; tand.tanB=1-tang+tanp=tana-tanB1. tan(a+B) tan(a-B) 3、其他常用变式 2sinacosa 2tana sin 2a= a+cos2 1+tan?a cos2a-cos asin'a-1-tan :tan=sina1-cosa sin2 a+cos2 a 1+tan2 a 2 1+cosa sina (sin a+cos a)+(sin a-cos a)2=2 知识点五：三角恒等变换思想一角的代换、常值代换、辅助角公式 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用 尤为突出. 常用的角的代换形式： ①a=(a+f)-f; ②a=f-(f-a); ®a=a+f创+(a-B训： ④a=2【a+B)-(B-l: ®“生=a号受-： 2 ⑥a-y=(a-f)+(f-y). (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其 中要特别注意的是“1”的代换 (3)辅助角公式 通过应用公式asina+bcosa=V√a2+bsin(a+p)[或asina+bcosa=Va2+b2cos(a-p)将形如 asina+bcosa(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数√a2十b2sin(a十p)[或√a2+b2cos(a一p)]. 这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式。 知识点六：三角恒等变换的应用技巧 1.两角和与差的三角函数公式的应用技巧 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 2.两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如 tana十anf=lan(a十B)·(1一lana ian)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路， 培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 3.辅助角公式的运用技巧 对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚， 4.角的变换问题的解题策略： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个已知角"的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所 求角”变成“已知角” (3) 常见的角变换：2-a+的+a-月，a-2+“2,香+u=8(G, 2 a=a+月-B=a-)+,(任+d+(任-a受等 P 解题策略 1、三角函数化简“三看”原则 一看 通过看三角函数式中各角之间的差别与联系， 式中各角 把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 0 二看 看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式， 函数名称 常见的有“切化弦” 0 三看 分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇 到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配 结构特征 方”等 2、给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆 角与凑角、 ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所 求角”变成“已知角”. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①a=(a-+B: ②a=a+P+a-B, 2 2 ③2a=(a++(a-; ④2B=(a+B-(a-. “-(+)台+p 3、已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数· (3)结合三角函数值及角的范围求角. 注：(1)由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. (2)解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定， 已知正切函数值，选正切函数，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，当所求角范围是O,或（π，2川时，选 取求余弦值，当所求角范围是，3或_”时，逃取求正弦值。 2'22'2 4、对于给角求值问题，一般有两类 9 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为 特殊角。 (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系 配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式 5、利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解。 (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围· 3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用an只-sia-1-cosa ,其优点是计算时可避免因开方带来 2 1+cos a sin a 的求角的范围问题：涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sing1-cos9,c0s9-1+Qos马计算， 22 22 6、证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑” 的思想 (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名 化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 7、三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简， (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同. (4)比较法：设法证明“左边一右边=0”或“左边/右边=1”. (⑤)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断 定原等式成立、 8、三角恒等变换综合应用的解题思路 (1)将f(x)化为asin x+bcosx的形式； 2)构造f=Va2+b(,a b Sinx+ ·COSx) va2+b2 va2+b2 (3)和角公式逆用，得f(x)=Va2+b2sin(x+p)(其中p为辅助角)； (4)利用f(x)=Va2+b2sim(x+p)研究三角函数的性质； 注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过怡当的三角变换，转化为一种 简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将=asin x+bcos x转化为y =Asin(x+p或y=Acos(x+p的形式，以便研究函数的性质， 9、三角函数的实际应用 10 第06讲 三角函数恒等变换 目 录 思维导图 3 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 11 两角和差 11 题型01：两角和差公式证明 11 题型02：两角和与差的正(余)弦公式 13 题型03：两角和与差的正切公式 15 题型04：两角和差公式的逆用 18 题型05：与坐标系中的象限角结合 21 题型06：拆角与凑角 22 题型07：统一角度化简 25 二倍角公式 27 题型08：二倍角与诱导公式的配凑 30 题型09：扩角降幂 31 题型10：二倍角与平方公式结合 32 题型11：化为一元二次方程或二次函数 33 题型12：化为半角（缩角升幂） 34 题型13：和差公式与二倍角公式结合 35 题型14： 半角公式 36 题型15：万能公式 37 辅助角公式 37 题型16：辅助角——特殊角型 37 题型17：辅助角——非特殊角型 42 题型18：正切齐次式转化 44 题型19：sinxcosx与sinxcosx型转化 48 题型20：对偶型恒等变形求值 49 题型21：韦达定理型恒等变形求值 50 题型22：积化和差、和差化积公式 51 题型23：角的拆分 54 题型24：化为同名函数 63 题型25：给角求值 66 题型26：给值求值 70 题型27：给值求角 77 题型28：判断三角形形状 85 题型29：证明题 86 题型30：恒等变换综合 88 题型31：三角恒等变换的实际应用 109 巩固提升 114 一、高考定位与考情 三角恒等变换是三角函数的核心工具，属高考高频考点，常以客观题（5分） 为主，偶在解答题中与解三角形、三角函数性质、向量等融合（12-15分）。近三年新高考卷中，该模块平均难度约0.65，以中档题为主，重点考查公式灵活运用与逻辑推理能力。 1. 核心考点 • 公式体系：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式 • 常见考法：给角求值、给值求值、给值求角、三角式化简与函数性质结合、与向量/解三角形综合。 2. 命题趋势 • 强调公式逆用与变形，降幂公式等。 • 突出角的配凑， • 注重数学思想：转化与化归（弦切互化、角的统一）、方程思想、整体代换。 1. 公式掌握目标：理解两角和与差、二倍角等核心公式的推导逻辑，建立公式间的内在联系，能熟练正用、逆用、变形用所有公式，杜绝机械记忆。 2. 变形能力目标：掌握角的配凑、弦切互化、降幂升幂、辅助角公式等核心变形技巧，能根据题目条件实现角、函数名、次数的统一。 3. 题型突破目标：精准解决给角求值、给值求值、给值求角三类基础题型，同时能将三角恒等变换与三角函数性质、解三角形、平面向量等模块综合应用。 4. 思想方法目标：在解题中渗透转化与化归、方程、整体代换等数学思想，提升逻辑推理与分析问题的能力，适应高考对该模块的考查要求。 三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力． 知识点一：公式 公式1：同角三角函数的基本关系式 ：，=， 公式2：正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 公式3：两角和与差的公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 公式4：二倍角的正弦、余弦正切公式 （1） （2）；； （3） 降幂公式 （1） （2） 升幂公式 ． 公式5：半角公式 （1） （2） （3） 公式6：辅助角公式： ，，其中， 公式7：万能公式 （1） （2） （3） 公式8：积化和差与和差化积公式 (设‍，‍则‍) 1．积化和差公式 前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。 2．和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos sin α－sin β＝2cos sin cos α＋cos β＝2cos cos cos α－cos β＝－2sin sin 正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦． 知识点二：角的常见拆分方法 ①；； ②； ③； ④； ⑤． 注意 ：特殊的角也看成已知角，如． （1）题干中两角和、差是否等于的整数倍，可利用诱导公式将所求角转化成已知角。 （2）题干中两角和、差是否等于特殊角（）等，利用两角和差公式将所求角转化为已知角和特殊角。 （3）题干中两角和、差是否等于题中的第三个角，将所求角转化为已知角的和、差。 （4）题干中两角是否有2倍关系，可以利用二倍角公式，降幂公式，化成统一的角。 知识三： 三角函数的周期公式 函数， (A,ω,为常数，且A≠0)的周期； 函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期. 三角函数的图像： 知识点四：公式的变形应用 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 3、其他常用变式 ． 知识点五：三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用 尤为突出. 常用的角的代换形式： ①=(+)-； ②=-(-)； ③=[(+)+(-)]； ④= [(+)-(-)]； ⑤=(-)-(-)； ⑥-=(-)+(-). (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其 中要特别注意的是“1”的代换. (3)辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 知识点六：三角恒等变换的应用技巧 1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 3．辅助角公式的运用技巧 对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚. 4．角的变换问题的解题策略： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的角变换：，，，，等. 1、三角函数化简“三看”原则 2、给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． ⑤ 3、已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 注：（1）由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． （2）解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，已知正切函数值，选正切函数，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值． 4、对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 5、利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 6、证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 7、三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 8、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； 注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质． 9、三角函数的实际应用 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 两角和差 题型01：两角和差公式证明 【典型例题】．如图，在直角坐标系中，设单位圆O与x轴的非负半轴相交于点，以x轴的非负半轴为始边分别作任意角，，它们的终边分别与单位圆相交于点，． (1)请在图中作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边（与单位圆交于点P），并说明AP与的长度关系； (2)根据第（1）问的发现，证明两角差的余弦公式； (3)由两角差的余弦公式推导两角差的正弦公式． 【答案】见解析 【解析】（1）作出以x轴的非负半轴为始边时角的终边如图所示： 作图原理如下：首先作平分，然后作关于对称的射线，最终作关于轴的射线即可得解. 由题意在同一个单位圆中，所以. （2）由题意， 而即， 所以由勾股定理可得， 即， 所以. （3）由题意 . 【变式训练1-1】如图，考虑点，，，，从这个图出发. （1）推导公式：； （2）利用（1）的结果证明：，并计算的值. 【变式训练1-2】． (1)试证明差角的余弦公式：； (2)利用公式推导： ①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式； ②倍角公式，，. 题型02：两角和与差的正(余)弦公式 【典型例题1】．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将拆成，用两角和的正弦计算即可. 解：.故选：D. 【典型例题2】．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由及余弦差公式求值. ，故选：A． 【典型例题3】．（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【解析】逆用两角差的正弦公式进行求解即可. ，故选：C 【典型例题4】. ． 【答案】/ 【解析】． 故答案为： 【典型例题5】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】设，则原等式可化为，化简后求出即可. 【解析】令，则， 所以由， 得， 即， 即，得， 所以， 故选：C. 【变式训练2-1】.的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4) 【变式训练2-3】．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】．已知，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】计算的值（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】. . 【变式训练2-7】.=（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-8】.求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式训练2-9】（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-10】．已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【变式训练2-11】，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-12】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-13】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-14】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型03：两角和与差的正切公式 【典型例题1】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用两角差的正切公式计算可得； 故选：A 【典型例题2】已知，是方程的两个根，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】用和、差角的正切公式化简、求值 根据根与系数的关系结合两角和正切公式计算即可. 由题可知，，，则.故选：C. 【典型例题3】已知，分别求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）． 因为， 所以 （2）． 因为， 所以． 【典型例题4】计算：＝ . 【答案】 【解析】用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 由题意由两角差的正切公式即可得解. 由题意． 故答案为：． 【典型例题5】（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】 ，故选：A． 【变式训练3-1】（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练3-3】已知角满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练3-4】．（多选题）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】已知，则 . 【变式训练3-7】若，，则 ． 【变式训练3-8】（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练3-9】化简（    ） A．8 B．1 C．2 D．4 【变式训练3-10】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-11】（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练3-12】的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练3-13】在△ABC中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-14】．的值是__________. 【变式训练3-15】．____________． 【变式训练3-16】．若是的内角，且，则等于______. 【变式训练3-17】若角的终边经过点，且，则实数___________. 题型04：两角和差公式的逆用 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． ①； ②； ③； 【典型例题1】．已知，，则 . 【答案】 【解析】已知①，②， 则得：， 即， 所以， 整理得， 所以． 故答案为： 【典型例题2】已知，则 . 【答案】 【解析】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 利用两角和的余弦公式化简，再将含的三角函数弦化切，通过变形即可求出. 因为， 所以 ， 得， 所以， 则 . 故答案为：. 【典型例题3】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，因为，且， 整理得， 故， 整理得：， 故． 【典型例题4】已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用和、差角的正弦公式化简、求值 先应用两角和的正弦化简得出，再应用两角差的正弦计算即可. ， 所以， 所以， 故选:C． 【变式训练4-1】已知，，则 . 【变式训练4-2】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】若 ， 则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】若，则 . 【变式训练4-7】．函数，，则的值为 . 【变式训练4-8】已知，，满足，且，，则的值为（    ） A．－2 B． C． D．2 【变式训练4-9】已知实数，满足，则，可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练4-10】设均为非零实数，且满足，则 . 题型05：与坐标系中的象限角结合 两角和与差正切公式变形 ； ． 【典型例题】已知角终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意角终边上有一点， 因为，故， 故， 由于，故， 又，故 【变式训练5-1】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则= . 【变式训练5-2】已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则 . 【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（    ）    A． B． C． D． 题型06：拆角与凑角 常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 【典型例题1】已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【解析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可. 由， 所以，则， 所以，则，故， 由. 【典型例题2】已知，，则 ． 【答案】 【解析】由二倍角正切公式可求得，由，利用两角和差正切公式可求得结果. ，， . 【典型例题3】已知，都是锐角，，则= . 【答案】2 【解析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解. 法1：. ， . 同除得： 法2：由，令，则， 则 【典型例题4】已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、二倍角公式进行化简求值. 换元+诱导公式：令，则原式= 化简为，解得或（舍去）. 所以. 【典型例题6-1】已知，，，，则（    ） A． B． C． D．或 【典型例题6-2】已知都是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典型例题6-3】已知，均为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【典型例题6-4】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【典型例题6-5】已知角，且，则________ 【典型例题6-6】已知是第二象限角，，现将角的终边逆时针旋转后得到角，若，则 ． 【典型例题6-7】已知其中则（    ） A． B． C． D． 切化弦 【典型例题】若，，则tanα＝ ． 【答案】 【解析】由商数关系，二倍角公式变形后求得，再由同角关系式求得，． 因为， 所以， 因为，所以，所以， 解得， 所以， 所以． 【变式训练】若，则 . 题型07：统一角度化简 【典型例题1】（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，即得答案. 【典型例题2】）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用三角函数的诱导公式与和差公式即可得解. .   故选：C. 【变式训练7-1】求值：（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】计算: 【变式训练7-3】（    ） A．16 B．32 C．48 D．52 【变式训练7-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】已知，则________ 【变式训练7-6】化简求值 （1）； （2）. 【变式训练7-7】已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练7-8】如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练7-9】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 二倍角公式 【典型例题1】.计算: 【答案】 【分析】应用诱导公式转化为表示，再切化弦，结合二倍角公式和辅助角公式即可. 【详解】原式 ． 故答案为： 【典型例题2】. ． 【答案】 【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值. 【详解】 . 故. 故答案为：. 【典型例题3】.求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】利用三角函数的倍角公式即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 【典型例题4】.计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用正切的两角和公式化简求值； （2）利用正弦的两角差公式、二倍角公式，以及三角函数的诱导公式求解. （1）因为， 所以， 即， 所以. （2） . 【典型例题5】.已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果. 【详解】根据二倍角的余弦公式可得： . 故选：D 【变式训练1】.已知，则 ． 【变式训练2】已知，则 . 【变式训练3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】已知，，则 ． 【变式训练5】已知，且，则 ． 【变式训练6】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7】已知是第一象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8】已知，，则（    ） A．0 B．2 C．0.5 D．0或2 【变式训练9】若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练10】若，则（    ） A．或2 B．或 C．2 D． 题型08：二倍角与诱导公式的配凑 一般可以通过换元来简化题目结构，关键在于配凑出90° ①； ②； ③； 【典型例题1】已知，则 。 【答案】 【解析】 【变式训练8-1】已知，则= 。 【变式训练8-2】已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】若，则 . 【变式训练8-4】计算：（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练8-5】化简的结果为 . 【变式训练8-6】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-7】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型09：扩角降幂 【典型例题】，则，= 【答案】 【解析】 【变式训练9-1】（     ） A．1 B． C． D．-1 【变式训练9-2】已知，，则（    ） A． B． C． D．13 【变式训练9-3】（    ） A． B． C． D．2 【变式训练9-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-5】已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式训练9-6】已知的数（），若对任意的实数t，在区间上的值域均为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-7】（难）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在中，内角A，B，C所对的边分别为，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：，， 现已知在中，内角，，所对的边分别，，，且，则=________ 题型10：二倍角与平方公式结合 【典型例题】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将条件的两个式子平方相加可得，然后可得，再由，，可得，从而可求出，由商式关系可求得. 由，得， 由，得， 两式相加得，，所以可得， 因为，，所以， 所以，可得. 【变式训练10-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知，，则 ． 【变式训练10-3】已知，，，则 【变式训练10-4】已知，且，，则 ． 题型11：化为一元二次方程或二次函数 【典型例题1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由倍角余弦公式并整理得，结合角的范围得，进而求，应用倍角正切公式求值即可. 由，即， 所以或，又，则， 所以，则， 由. 【变式训练11-1】已知，且，则= ． 【变式训练11-2】函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________． 【变式训练11-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型12：化为半角（缩角升幂） 【典型例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：设θ=2α，则有， 法二：解：因为， 所以，即， 所以， 即， 所以， 所以或， 所以或，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，所以. 【典型例题2】已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化 为，然后再由正切的二倍角公式求． ， ∴． 【变式训练12-1】已知，则 . 【变式训练12-2】若，是第三象限角，则　　 A． B．2 C． D． 【变式训练12-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型13：和差公式与二倍角公式结合 【典型例题1】已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 因为，而，因此， 则， 所以. 【变式训练13-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】已知均为锐角，，且，则 . 【变式训练13-3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-4】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-5】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-6】（多选）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型14： 半角公式 【典型例题1】已知角是第二象限角，且终边经过点，则（    ） A． B． C． D．或 【典型例题2】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案. 由三角函数定义得 所以. 故选：A. 【变式训练14-1】已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式训练14-2】已知，则 . 题型15：万能公式 【典型例题】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值. . 故选：A. 【变式训练15-1】已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 辅助角公式 题型16：辅助角——特殊角型 辅助角 asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.(不记正切这个，要会推导非特殊角的辅助角） 【典型例题1】已知，，则 . 【答案】 【解析】因为，即， 所以，所以， 即， 因为，所以， 所以， 所以 . 故答案为： 【典型例题2】函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】先根据两角和正弦公式化简函数，然后利用正弦函数性质求解最值. ， 因为，所以，根据正弦函数的性质，， 所以当时，有最大值为2. 故选：D. 【典型例题3】已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 【答案】 【解析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得答案. ， 令，解得：． 故答案为： 【典型例题4】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用差角的余弦公式、辅助角公式化简变形即得. 依题意，， 所以. 故选：D. 【典型例题5】已知，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 即，所以， 所以 . 故答案为：. 【典型例题6】若函数在区间上的值域分别为，则下列命题错误的是（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的取值范围为 D．若，则的取值范围为 【答案】C 【解析】将整合为，再针对选项逐项分析即可. 由题知，图像在轴右侧的第一条对称轴为， 轴右侧的第二条对称轴为.     对于A，令，， 若，则， 取时，则，此时必有， 此时满足，A正确； 对于B，因为，若，则， 此时，因为， 故，故，矛盾，故， 当时，，， 故在上的值域为，在的值域为， 符合题意，故的最小值为，B正确； 对于C，当时，，此时，与条件不符， 当时，，故， 因为，故即. 所以当时，不成立. 当时，，不满足条件，C错误； 对于D，当时，，故， 因为，故即时，满足条件， 当时，，不满足条件，D正确. 故选：C. 【变式训练16-1】已知函数，若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-2】已知函数，若在区间上的值域是，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-5】若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-6】已知圆上两个不同的点，，若直线的斜率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式训练16-7】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-8】已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-9】已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称 C．在上有4个极值点 D．在上单调递减 【变式训练16-10】已知函数，若关于x的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-11】已知，则 ． 【变式训练16-12】已知，则 ． 【变式训练16-13】已知函数，其中，满足，则 ． 【变式训练16-14】设，则函数的最大值为 ． 【变式训练16-15】已知函数，若存在，使得，则的最小值为 . 题型17：辅助角——非特殊角型 辅助角 辅助角范围满足： 【典型例题1】函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】利用诱导公式和二倍角公式化简，进而利用辅助角公式化简，然后由正弦函数的性质可得的最大值. ，其中，∴的最大值为. 故选：. 【典型例题2】已知的最大值为3，则 . 【答案】 【解析】， 由辅助角公式可得的最大值， 化简得，即，解得， 所以，. 【典型例题3】若，，下列判断错误的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【解析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答. 由选项知，，， 令，有，， 则， 对于A，当时，为第一象限角，且，，，则，A正确； 对于B，当时，为第四象限角，且，，，则，B正确； 对于C，当时，为第二象限角，且，，，则，C正确； 对于D，当时，为第三象限角，且，，，则，D错误. 故选：D 【典型例题4】若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用辅助角公式化简已知方程，求得，进而求得. 关于的方程在内有两个不同的解， 即（，取为锐角） 在内有两个不同的解， 即方程在内有两个不同的解． 不妨令，由，则， 所以， 所以．则， 即， 所以． 故选：D． 【变式训练17-1】设当时，函数取得最大值，则 ． 【变式训练17-2】函数，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-3】若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 【变式训练17-4】已知是圆上两点．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-5】已知函数，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-6】已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型18：正切齐次式转化 正切齐次求值型 给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切 二次型求正切，充分运用“1”的代换： （1） （2） 弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 常用变式 ． 【典型例题1】已知: ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用三角恒等变换计算即可. 由 ， 则 . 故选：D 【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可. 【典型例题2】已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】由，两边同时除以得，再将用表示，再结合基本不等式求出的最大值及此时的值，再根据两角和的正切公式即可得解. 由， 两边同时除以得， 所以， 因为，均为锐角，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取得最大值时，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将已知变形成是解决本题的关键. 【典型例题3】函数的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C．，0 D． 【答案】D 【解析】根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得，再令，，可得，再根据二次函数的性质即可求出结果. 设，则，则 ， 由，得，所以， 所以当，即时，；当，即时，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、同角基本关系，以及换元法在求函数值域中的应用，属于中档题. 【变式训练18-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练18-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-4】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-5】已知角θ的大小如图所示，则＝（　　）    A． B． C． D．4 【变式训练18-6】若，，则 . 【变式训练18-7】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-8】若，，则 . 【变式训练18-9】已知角α满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-10】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型19：sinxcosx与sinxcosx型转化 与 的函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围． 之间的互化关系 1. 2. 【典型例题1】函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】设，根据，之间的关系将原函数转化成二次函数的最值问题处理. 设，根据辅助角公式，， 由，于是， 故，当时，取得最大值. 故选：A 【典型例题2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，从而得到，依题意得到关于的方程，求出的值，再由二倍角公式及诱导公式计算可得. 令， 则，所以， 所以， 所以，所以， 由，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：B 【变式训练19-1】若是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-3】已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型20：对偶型恒等变形求值 常见的对称型结构： 为对称结构，可以借助消元求解 【典型例题1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用两角和与差的正弦公式化简已知条件得，，由，代入求值即可. 由，， 得， ， 所以. 故选：A. 【典型例题2】已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知平分求和可得的值，结合角度范围可得所求. 因为 平方求和得：所以 由得所以或， 又，则，所以， 所以 故选：B. 【变式训练20-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练20-3】已知，，则的值为（    ） A． B．C． D． 题型21：韦达定理型恒等变形求值 若是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，则： 【典型例题1】若是方程的两根，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【详解】由题设，所以可得，解之得，由于二次方程的判别式，所以（舍去），应选答案B． 点睛：解答本题时充分借助题设条件及同角三角函数之间的平方关系建立了关于参数的方程，即，当求得时，要运用二次方程的判别式进行检验，最终获得答案． 【典型例题2】已知是关于x的一元二次方程的两根，则 ，m＝ . 【答案】 / / 【解析】根据给定条件，利用韦达定理结合同角公式求解作答. 因为是关于x的一元二次方程的两根，则，即， 显然，又，即， 于是，解得，而当时，方程的两根为，满足，符合题意， 所以，. 故答案为：； 【变式训练21-1】已知是方程的两根，则 . 【变式训练21-2】已知，是方程的两根，则 ． 【变式训练21-3】已知，是方程的两根，则 . 题型22：积化和差、和差化积公式 和差化积公式：，， ， 积化和差公式：，， ，. 【典型例题1】（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】利用两角和差的余弦公式和诱导公式化简即可. 【典型例题2】已知，，则________ 【答案】 【解析】， 法一：余弦平方差： （和差化积） 【补充】正弦平方差公式： 法二：换元法 令，，则， 即，， 故 【典型例题3】已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】AB选项，根据题目条件得到，或，，结合得到答案；C选项，，利用和差化积公式得到答案；D选项，根据得到D错误. AB选项，令得， 故或， 所以，或，， 解得，或，， 由，故当时，解得，，A、B错误； C选项， ，C正确， D选项，因为，所以，D错误. 故选：C． 【点睛】和差化积公式：， ， ， . 【典型例题4】的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据积化和差及诱导公式即得. . 【变式训练22-1】已知则的值为 . 【变式训练22-2】知对任意的角α，β，满足，.则当，时， ；若，则 （填“>”“<”或“＝”）. 【变式训练22-3】． ． 【变式训练22-4】．已知，，则 . 【变式训练22-5】）求值： . 【变式训练22-6】．已知，，则 . 【变式训练22-7】求cos+cos-2sincos的值； 【变式训练22-8】设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知． (1)求证：B＝2A； (2)求的取值范围． 题型23：角的拆分 1． 拆角：互补型拆角---缺 角度“互补”与“广义互补余”可以用诱导公式转化： 1.“互补”：两个复合型角度相加为180°，可以用诱导公式转化 2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为180°+k360°，可以用诱导公式转化 【典型例题】.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据诱导公式直接计算即可得出结果. 因为.故选A. 【变式训练23-1-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-1-2】已知,且,则______． 【变式训练23-1-3】已知，则等于（      ） A． B． C． D． 二．拆角：互余型拆角 角度“互余”与“广义互余”可以用诱导公式转化： 1.“互余”：两个复合型角度相加为90°，可以用诱导公式转化 2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为90°+k360°，可以用诱导公式转化 【典型例题】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用诱导公式即可求解. 由可得，故选：A 【变式训练23-2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-2-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练23-2-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-2-4】若，则（    ） A． B． C． D． 三．拆角：二倍角型拆角 二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α tan 2α＝ 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 【典型例题】已知角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得. 由，得．故选：B 【变式训练23-3-1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-3-3】已知，求（   ） A． B． C． D． 【变式训练23-3-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 四．拆角：30度型拆角 【典型例题】化简值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用两角差的余弦公式计算可得. . 故选：B 【变式训练23-4-1】等于（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练23-4-2】等于（    ） A． B． C． D．1 【变式训练23-4-3】（    ） A． B． C． D．2 【变式训练23-4-4】的值为（    ） A．1 B． C． D． 五．拆角：60度型拆角 常见的变角技巧有： ， ， ， ， 等． 【典型例题】计算的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】先利用诱导公式化简，再结合两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简即可得解. .故选：C. 【变式训练23-5-1】的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练23-5-2】）（ ） A． B． C． D． 【变式训练23-5-3】（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-5-4】化简（    ） A．1 B． C．2 D． 六．拆角：正切型 正切型公式： tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) tan 2α＝ 【典型例题】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除，得到.再利用两角差的正切公式展开，将换成，化简即可得到答案. ，所以， 两边同除，得到，即. ，.故选：C. 【变式训练23-6-1】设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式训练23-6-2】若，且与存在且唯一，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练23-6-3】已知,,且,,则（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-6-4】已知，，则（    ） 七．拆角：分式型 分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。 所以，通过“和、差化积”思维，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成积的形式，便于约去。 【典型例题】求值（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可. 因为； ； ， 所以 .故选：D. 【变式训练23-7-1】求值：（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-7-2】＝ （    ） A． B． C． D． 【变式训练23-7-3】化简：（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练23-7-4】化简的值为（    ） A．1 B． C． D． 八．拆角与凑角进阶 换元+齐次化 推论公式： 【典型例题1】已知，则的值为 【答案】D 【解析】可换元为，求，且 【典型例题2】已知，，则 ， . 【答案】 【解析】 令， 则可以写成， 可以写成， （1）故，故 （2） 可以对分类讨论，求出分别对应的的值 那有没有什么办法可以不用讨论的正负呢？ 【变式训练23-8-1】已知，是方程的两个实数根，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-8-2】已知，则的值是________ 【变式训练23-8-3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 九．利用角的拆分求值 【典型例题】已知，，，则 ． 【变式训练23-9-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-9-2】．已知，，且，均为锐角，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-9-3】．已知，则 . 【变式训练23-9-4】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-9-5】．若，则的值为（    ）. A． B． C． D． 十.拆角求最值 【典型例题1】已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两角和的余弦展开式化简可得的值，再由两角和的正切展开式、基本不等式可得答案. 由， 得， 因为，，所以，且， ， 当且仅当取等号.故选：C. 【典型例题2】若，，且满足关系式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用已知等式变形可得，结合两角和差正切公式，利用基本不等式可求得结果. 由得：， ，，，， 且， （当且仅当时取等号）， 的最小值为.故选：B. 【变式训练23-10-1】中，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练23-10-2】已知，均为锐角，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-10-3】已知，，则的最小值为（    ） A．-4 B．-3 C． D．2 题型24：化为同名函数 【典型例题1】设，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对题中条件进行变化化简，可以得到，进一步即可判断正确答案. 即 即 又，， 则 所以，故正确. 【典型例题2】若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角和的余弦公式可得，由诱导公式及的范围即可求解. ，. 由，可得， 即. ， ，，，且， 根据函数易知：，即得：. 【典型例题3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，所以，即 接下来通过诱导公式变形为同名函数 从而， 注意到，而在上单调递减， 从而，即， 所以. 【变式训练24-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练24-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练24-3】若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练24-4】若两个锐角，满足，则 . 【变式训练24-5】若，则（    ） A． B． C． D． 题型25：给角求值 【典型例题1】． ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： 【典型例题2】．求 . 【答案】/0.5 【解析】 故答案为：. 【典型例题3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意得到进而得到，，从而有. ∵， ∴， 则， ， ∴ ，故选A. 【典型例题4】若，则 . 【答案】 【解析】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 利用平方关系求出，又，利用两角差的余弦公式求解. ，则， ， 因此 . 故答案为：. 【典型例题5】已知且． (1)求，，； (2)若为锐角，且，求． 【答案】见解析 【解析】（1）二倍角公式直接求，由的正负判断角的范围，结合解出和的值. （2）由的值和的范围求出、的值，利用，结合两角差的正弦公式即可求出的值. （1）解：因为，所以； 又，，，所以，则，，又，且，解得：，. （2）因为且，所以，， 因为为锐角，，所以， 则 . 【变式训练25-1】． ． 【变式训练25-2】化简：（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-3】计算：（ ） A． B． C． D． 【变式训练25-4】求 . 【变式训练25-5】若，则 . 【变式训练25-6】求值：（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练25-7】（       ） A．4 B． C． D． 【变式训练25-8】利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则的值为（    ）（小数点后保留2位有效数字） 0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 A． B． C．0.36 D．0.42 【变式训练25-9】（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-10】（ ） A． B． C． D． 【变式训练25-11】化简：（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练25-12】下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-13】的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-14】中，，（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-15】已知，，，且计算可知．有下述四个结论： ①，        ②，     ③，        ④． 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③ 【变式训练25-16】已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-17】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-18】已知，则 . 二、多选题 【变式训练25-19】下列四个等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-20】已知是函数的零点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练25-21】已知函数. （Ӏ）求函数的单调递增区间； （ӀӀ）若，求的值. 【变式训练25-22】化简求值： (1)； (2). 题型26：给值求值 一、单选题 【典型例题1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 【典型例题2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即.故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题. 【典型例题3】若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求. 因为，，所以且， 解得，所以. 故选：D 【典型例题4】已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果. 且，，. 又，，. 当时， ， ，，不合题意，舍去； 当，同理可求得，符合题意. 综上所述：. 故选：. 【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 【典型例题5】已知，函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，，从而利用即可求解. 解：令，，则或， 令，，则， 又，， 所以，，，， 因为，， 所以，， 所以， 故选：B. 【变式训练26-1-1】已知锐角，（）满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-3】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-4】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-5】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-6】已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-7】已知都为锐角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-8】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-9】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-10】已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-11】若，， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-12】已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练26-1-13】已知，则（    ） A． B． C． D．3 【变式训练26-1-14】已知，，则的值（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练26-1-15】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-16】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-17】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-18】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-19】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-20】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-21】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-22】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-23】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练26-1-24】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 【典型例题1】已知点是轴上到距离和最小的点，且，则的值为______(用数据作答)． 【答案】##-0.5 【解析】求出点A关于y轴的对称点，求出直线与y的交点即得m值，再利用诱导公式及二倍角公式计算作答. 依题意，点A关于y轴的对称点，则经过点，B的直线斜率， 直线的方程为，于是得点， 此时有，由两点之间线段最短知，点是轴上到距离和最小的点， 因此，，，则， 所以的值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：给值求值问题，将所求值的角用已知值的角表示，再借助三角变换公式求解． 【变式训练26-2-1】已知，则 ． 【变式训练26-2-2】若，则 ． 【变式训练26-2-3】已知为锐角，，则 . 【变式训练26-2-4】已知，则______． 【变式训练26-2-5】．已知，则的值是 . 【变式训练26-2-6】已知，，则 . 【变式训练26-2-7】已知，，其中，，则 . 【变式训练26-2-8】已知，则 ． 三、双空题 【典型例题】已知为锐角，满足，则 ， ． 【答案】 / / 【解析】因为，所以 ， 又，所以， 因为为锐角，所以为锐角， 又，所以， 又，所以， 所以． 故答案为：；. 【变式训练26-3-1】已知函数．若，则___________；若的定义域为，则零点的个数为_________． 四、解答题 【典型例题】已知，其中． (1)求； (2)求． 【变式训练26-4-1】在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【变式训练26-4-2】已知的部分图象如下图，且. (1)求的解析式. (2)令，若，求. 题型27：给值求角 一、单选题 【典型例题1】若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】将用替换后，解方程解出即可. 因为， 可得， 可得， 解得，因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 【典型例题2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解. 因为，， 所以或； 若，则， 此时（舍）； 若，则， 此时（符合题意）， 所以， 即； 因为且， 所以且， 解得，， 则， 所以. 故选：C. 【典型例题3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，易得，，从而可求出，即可得出答案. 解：因为， 所以，即， 所以， 即， 所以， 所以或， 所以或，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，， 所以. 故选：C. 【典型例题4】已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 【变式训练27-1-1】．已知为钝角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-2】已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-3】已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练27-1-4】已知，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-5】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-6】已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-7】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-8】已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 【变式训练27-1-9】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-10】已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式训练27-1-11】若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-12】已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-13】已知，，，，则（    ） A．或 B． C． D． 【变式训练27-1-14】若，，且，，则的值是（      ） A． B． C．或 D．或 【变式训练27-1-15】已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-16】若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练27-1-17】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 【典型例题1】在等腰直角三角形中，，点在三角形内，满足，则______. 【答案】 【解析】延长、、，与对边分别交于点、、，利用条件可得，，进而可得，延长至点，使得，利用两角和的正切公式可得，进而得，即求. 如图，延长、、，与对边分别交于点、、. ， ，即，∴， 同理 ∴，又在等腰直角三角形中，， 延长至点，使得.则. 记，. 则， 四点共圆， ， . 故答案为： 【典型例题2】设，，且，则 . 【答案】 【解析】余弦函数图象的应用、辅助角公式、给值求角型问题 根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值. 因为， 所以，即 又，，所以， 则可得，则故. 故答案为：. 【变式训练27-2-1】已知角，，则 . 【变式训练27-2-3】已知，，且，，则的值是___________. 【变式训练27-2-4】已知，，，，则 . 【变式训练27-2-5】已知，写出符合条件的一个角的值为 . 【变式训练27-2-6】设，，且，则 . 三、解答题 【典型例题1】已知锐角，且满足. (1)求； (2)求. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为为锐角，， 所以. 因为，是锐角，即，， 所以，， 又因为， 所以. . （2）由（1）知，， 因为是锐角，， 所以， 由，， 所以， ， 因为， 所以. 【典型例题2】已知，，，. (1)求的值； (2)求的值： (3)求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）同角三角函数平方关系求得，，再由及差角余弦公式求值即可. （2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值. （3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方关系求，最后应用差角余弦公式求，结合角的范围求. （1）由题设，，， ∴，， 又. （2）. （3）由，则， 由，则， ∴，，又，，则， ∴，而，故. 【变式训练27-3-1】已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求角A； (2)若，求△ABC的面积. 【变式训练27-3-2】已知函数，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）点D为边中点，且．给出以下条件：①；②． 从①②中仅选取一个条件，求b的值． 【变式训练27-3-3】已知函数，向量，． (1)若，求的值； (2)当时，若向量，的夹角为，求． 【变式训练27-3-4】解方程：. 题型28：判断三角形形状 【典型例题1】在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】C 【解析】利用两角和的余弦公式以及诱导公式可得出，结合角的取值范围可得出结论. 因为，则， 所以，，因为，故为钝角， 故为钝角三角形.故选：C. 【变式训练28-1】在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【变式训练28-2】在中，若，则该三角形的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练28-3】已知，角所对应的边分别为，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【变式训练28-4】在中，若，则此三角形为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型29：证明题 【典型例题1】求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 【解析】（1）首先通分，再应用辅助角公式、倍角正弦公式化简分子、分母即可证结论； （2）应用商数关系、倍角正余弦及和角余弦公式化简分子、分母即可证结论. （1）； （2）. 【典型例题2】（1）证明：； （2）化简：； （3）已知，是第二象限角，且，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】（1）利用二倍角的余弦公式化简可证得结论成立； （2）利用二倍角的正弦、余弦公式可化简所求代数式； （3）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正切公式可求得的值. 解：（1），得证； （2） ； （3）因为，是第二象限角， 则， 所以，， 所以，. 【典型例题3】求证： 【答案】证明见解析 【解析】利用二倍角正余弦公式化简左侧，即可证结论. 由 ，得证. 【变式训练29-1】求证： 【变式训练29-2】已知，求证：． 【变式训练29-3】已知，求证：． 【变式训练29-4】已知，求证：. 【答案】证明见解析 【变式训练29-5】已知，求证：. 题型30：恒等变换综合 1、 恒等变换综合 【典型例题1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先对进行化简整理，得到，求得结果. ， 所以.故选：A. 【典型例题2】设，，则下列计算正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】由两角和差的余弦公式判断A，利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B，化弦为切，结合两角和差的正余弦公式求解判断C，利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判断D. 对于A，因为，，则，，故， 所以，正确； 对于B，因为，所以， 而，所以，又，所以，， 所以，错误； 对于C，由得，，所以， 即，因为，，所以， 则或，即或（不合题意，舍去），错误； 对于D，， 因为，所以， 即，即， 所以，即， 因为，所以， 所以，所以，正确. 故选：AD. 【典型例题3】已知，则 【答案】 【解析】直接用和差角公式展开再用二倍角公式计算即可. . 故答案为：. 【变式训练30-1-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练30-1-2】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练30-1-3】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练30-1-4】已知，，则（） A． B． C． D． 【变式训练30-1-5】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练30-1-6】已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练30-1-7】已知，则 ． 【变式训练30-1-8】已知，其中，且，则 . 【变式训练30-1-9】（1）求证：； （2）求值：. 【变式训练30-1-10】已知，且. (1)求和的值； (2)若，且，求的值. 二：利用三角恒等变换解决三角函数性质问题 【典型例题1】已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 【典型例题2】已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．若是偶函数，则， D．在区间上的值域为 【答案】D 【解析】A项，化简函数求出，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出的取值范围；D项，计算出时的范围，即可得出值域. 由题意， 在中， ， A项，，A正确； B项，令, 得, 当时,, 所以的图象关于点 对称,故B正确; C项，是偶函数， ∴, ， 解得：, 故C正确； D项, 当 时, , 所以, 所以在区间上的值域为，故D错误.故选：D. 【典型例题3】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象 B．若，则当时，的值域为 C．若在区间上恰有个零点，则 D．若在区间上单调递增，则 【答案】AD 【解析】利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断． ， 当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到： ，故A正确； 当时，，当时，， 故，则的值域为，故B错误； 令，，则，， 又， 若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误； 若在区间上单调递增， 则，又，所以，解得， 又，所以， 由可得， 要使在区间上单调递增，则，解得，故D正确． 故选：AD 【典型例题4】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【解析】见解析 【解析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. （I）[方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【变式训练30-2-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练30-2-2】在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 【变式训练30-2-3】已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B．函数的值域为 C．函数在上单调递减 D．函数在内有4个零点 【变式训练30-2-4】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 三、解答题 【变式训练30-2-5】已知函数. （1）求的最小正周期和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 【变式训练30-2-6】已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有个零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 【变式训练30-2-7】已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和. 【变式训练30-2-8】已知函数. （1）求的最小正周期及在区间上的最大值 （2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围. 【变式训练30-2-9】已知函数（其中），直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式训练30-2-10】若函数，其中. (1)若，求； (2)若在区间上没有零点，求的取值范围. 【变式训练30-2-11】已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求时，函数的值域. 【变式训练30-2-12】已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数在上是减函数，求的取值范围. 【变式训练30-2-13】设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知. (1)求函数的解析式； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的单调递增区间. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的图象的一条对称轴为； 条件③：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为. 【变式训练30-2-14】已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求该函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最小值和最大值. 【变式训练30-2-15】已知（）． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的最小值为，求的对称中心． 【变式训练30-2-16】已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值． 【变式训练30-2-17】设实数，函数. (1)若的最小正周期是，求在上的最大值与最小值； (2)若在上有且仅有2个零点，求的取值范围. 【变式训练30-2-18】已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，，求的值. 【变式训练30-2-19】）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的最大值与最小值的和. 【变式训练30-2-20】已知函数． (1)求的最小正周期及对称轴； (2)求的单调区间． 【变式训练30-2-21】已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求在上的值域； (3)试讨论函数在上零点的个数. 【变式训练30-2-22】已知函数. (1)求的最小正周期； (2)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围. ①在有恰有两个极值点； ②在单调递减； ③在恰好有两个零点. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练30-2-23】已知函数. (1)若，，求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值. 【变式训练30-2-24】已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值． 【变式训练30-2-25】已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【变式训练30-2-26】已知函数的最小正周期为，且 (1)求的解析式； (2)设求函数在内的值域． 【变式训练30-2-27】已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的最小值. 【变式训练30-2-28】已知函数的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数在区间上的值域； (2)在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积. 三：三角恒等变换与解三角形结合问题 【典型例题1】在中，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由化简得到，再逐项判断. 解：由， 因为，所以， 所以， 所以，不一定为1，A错； 因为，， ∴， 从而有，所以B正确， 又，所以也不一定等于1，C错； 而，D正确； 故选：BD. 【典型例题2】在中，，，，D是边上的一动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角，且四面体的四个顶点都在球O的球面上．当线段的长度最小时，球O的表面积为___________． 【答案】## 【解析】根据条件作出图形，过点作于点，连接，结合面面垂直的性质得到是直角三角形，又在中，设（），得到，，，再根据余弦定理和勾股定理用表示，结合三角恒等变换和正弦函数的图象与性质得到时，线段的长度最小，利用球的截面圆性质找到四面体的外接球球心也是的外接圆圆心，最后结合正弦定理和球的表面积公式即可求解. 由题意，作出，如图1所示， 沿将翻折至，使二而角为直二面角，得到四面体，如图2所示. 如图2，过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 由图形翻折的性质，在图1中，作出点，连接和，可得， 又，，，则，，， 设（），则，，， 在中，由余弦定理得：， 即， 在图2中，， 即， 又，则， 所以当，即时，取得最小值，此时线段的长度最小， 则，， 如图3，在四面体中，作的中点，并连接， 则是的外接圆圆心，又过点作平面的垂线， 由球的截面圆性质知四面体的外接球球心必定在该垂线上，也在平面上， 即的外接圆圆心，设该球的半径为，则有， 在中，由正弦定理得：，则， 所以球O的表面积为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 【典型例题3】已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若点D在边BC上，且，，求△的面积. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由正弦定理的边角关系、三角形内角的性质可得，再应用二倍角正弦公式化简可得，即可求A的大小. （2）由题设可得，法一：由正弦定理及可得，再由余弦定理得到，最后根据三角形面积公式求△面积；法二：根据三角形面积公式有，由△的边BD与△的边DC上的高相等及已知条件可得，再由余弦定理得到，最后根据三角形面积公式求△面积； （1）由已知及正弦定理得：，又， ∴，又， ∴，则，而， ∴，则，故，得. （2）由，，则. 法一：在△中，，① 在△中，，② ∵， ∴，③ 由①②③得：，又，得， ∴，不妨设，， 在△中，由余弦定理可得，，得， 所以. 法二：. ∵△的边BD与△的边DC上的高相等， ∴，由此得：，即，不妨设，， 在△中，由余弦定理可得，，得， 所以. 【变式训练30-3-1】在中，角的对边分别，. (1)求； (2)若的周长为4，面积为，求. 【变式训练30-3-2】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知在四边形ABCD中，，，且______. (1)证明：； (2)若，求四边形ABCD的面积. 【变式训练30-3-3】在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【变式训练30-3-4】如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【变式训练30-3-5】D为边上一点，满足，，记，． (1)当时，且，求CD的值； (2)若，求面积的最大值． 【变式训练30-3-6】如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)若，求的面积； (2)若，求BC． 【变式训练30-3-7】已知为锐角三角形，且． (1)求的值； (2)求的最小值． 【变式训练30-3-8】记的内角所对的边分别为，在①，②，③中任选一个作为条件解答下列问题. (1)求角； (2)若的面积为为的中点，求的最小值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练30-3-9】．已知函数； (1)若在中，，，求使的角． (2)求在区间上的取值范围； 【变式训练30-3-10】．已知．若的最小正周期为． (1)求的表达式和的递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【变式训练30-3-11】已知函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若，且，求的值. 【变式训练30-3-12】的内角的对边分别为，且. (1)判断的形状； (2)若为锐角三角形，，求的最大值. 四：三角恒等变换与平面向量结合问题 【典型例题1】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 【典型例题2】奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值. 延长交于点P， 是的垂心，， ． 同理可得，． 又， ． 又， ． 不妨设，其中． ， ，解得． 当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉． 故，则，故C为锐角， ∴，解得， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 【变式训练30-4-1】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【变式训练30-4-2】正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（    ） A．最大值为 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【变式训练30-4-3】已知非零平面向量满足，则的最大值为__________． 【变式训练30-4-4】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，满足，，且． (1)求角A； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【变式训练30-4-5】在ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足 (1)求角B的大小； (2)若，求ABC面积的最大值. 【变式训练30-4-6】设A，B，C是△ABC的三个内角，△ABC的面积S满足，且，． (1)若向量，，求的取值范围； (2)求函数的最大值． 【变式训练30-4-7】如图，扇形AOB的圆心角为，半径为1．点P是上任一点，设． (1)记，求的表达式； (2)若，求的取值范围． 【变式训练30-4-8】在平面直角坐标系中，设向量，，． (1)若，求的值； (2)设，，且，求的值． 题型31：三角恒等变换的实际应用 【典型例题1】如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，矩形面积为， 扇形的半径为，圆心角为， 所以，，， 所以． 化简得：，， 当，即时， 取最大值． 故选：B. 【典型例题2】如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为 .    【答案】 【解析】连接，作垂直交于点，设角， ， 所以点为线段的中点，在三角形中， ，， ， ， 设，则，， 在三角形中，， ，， ， 所以四边形的面积为 ，此时， 故答案为：．    【典型例题3】如图，矩形内接于半径为1、中心角为（其中）的扇形，且，求矩形面积的最大值，并求此时的长． 【答案】矩形面积的最大值为，此时的长为. 【解析】利用题目条件,解直角三角形得矩形的面积,再利用二倍角正弦,余弦公式和辅助角公式得,再利用正弦型函数的最值,计算得结论. 如图: 设的角平分线分别交于,, 则. 因此矩形的面积为矩形面积的2倍. 因为扇形的半径为1， 所以在中,,即,. 因为在中,, 所以, 而,因此, 所以 ， 其中为锐角，且. 因为,为锐角,所以, 因此当时,取得最大值1,即取得最大值. 因为,所以当时,, 因此,所以由解得, 因此, 所以. 【变式训练31-1】如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 【变式训练31-2】现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 【变式训练31-3】如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记． (1)求的最大值，并指出相应的值； (2)为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围． 【变式训练31-4】如图， 直线，点是之间的一个定点，过点的直线垂直于直线 （为常数），点分别为上的动点，已知. 设 的面积为. (1)若，求的面积； (2)写出函数的解析式； (3)求的最小值. 【变式训练31-5】如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S. (1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数； ②设，将S表示为的函数； (2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值. 【变式训练31-6】如图，扇形半径为1，圆心角为，过扇形弧上点分别向，作垂线，垂足为，，得到，当点（与，不重合）在扇形弧上从到运动时． (1)的面积是如何变化的？ (2)求面积的最大值． 巩固提升 一、单选题 1．已知，是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（） A． B． C． D． 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 6.若，则（    ） A． B． C． D． 7.已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 8.已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9.若，则（    ） A． B． C． D． 10.（    ） A． B． C． D． 11.若，则（    ） A． B． C． D． 12.若，则（    ） A． B． C． D． 13.已知，则（   ） A．2 B．2或 C． D．2或3 14.已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 15.若，则（    ） A． B． C． D． 16.我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，已知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶点，则（    ）      A． B． C． D． 17.已知，则（    ） A． B． C． D． 18.若函数的图象与函数的图象有共同的对称轴，且在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19.已知，则（    ） A． B． C． D． 20.已知，则（    ） A． B． C． D． 21.已知，则（    ）． A． B． C． D． 22.已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 23.已知，，则（    ） A． B． C． D． 24.已知，则（    ） A． B． C． D． 25.已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 26.已知，则（    ） A． B． C． D． 27.在平面直角坐标系中，已知是单位圆上不同的两点，其中在第一象限，在第二象限，直线的倾斜角分别为，若点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 28.若，且，，则（    ） A． B． C． D． 29.当时，的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 30.已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31.若，满足，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 32.已知函数在上恰有1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33.已知，则（    ） A． B． C． D． 34.函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 35.已知，满足，则（    ） A． B． C． D． 36.函数（，）的部分图象如图所示，若在上有且仅有3个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 1.已知函数的初相为，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．函数的一个单调递减区间为 C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数 D．若函数在区间上的值域为 2.已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，，则正确的是（    ） A． B．是函数的零点 C．函数是非奇非偶函数 D．为图象的一条对称轴 4.已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．在上单调递增 5.已知函数，下列结论中正确的有（    ） A．若，则是的整数倍 B．函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移单位得到 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增 6.已知，下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 C．若在区间上的最大值是，则的最小值为 D．若，则 7.函数的部分图象如图所示，若，，，，恒成立，则实数的值可以为（    ）    A． B． C． D． 8.（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数的周期是 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到 9.已知函数，，其中，则（    ） A．与的图像关于直线对称 B．与的图像关于点对称 C．当与在区间上单调性相反时，的最大值为1 D．当与在区间上单调性相同时，的最大值为 10.已知函数，则下列结论正确的为（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．的最小值为 D．在区间上单调递增 11．（多选题）（2024·浙江绍兴·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）设，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选题） 设，，则下列计算正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 14.若，，则（    ） A． B． C． D． 15．（多选题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 16.已知函数为奇函数，则参数的可能值为（    ） A． B． C． D． 17.已知，下列判断正确的是（    ） A．若，且，则 B．时，直线为图象的一条对称轴 C．时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为 三、填空题 1. ． 2.若，且，则的值为 ． 3.已知，若，使成立，则 ． 4.已知实数、、、满足，，，则 . 5.已知、均为锐角，且，，则 . 6.已知，则 ． 7.函数的值域为 ． 8.已知，其中，则的最小值为 ． 9.若为锐角，且，则 ． 10.已知，都是锐角，，则= . 11.若函数为奇函数，则的最小值为 . 12.在中，若，则的最大值为 ． 13.已知，则 ． 14.已知，则 . 15.函数在上的最大值是 ． 16.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 17.若，则 ， ． 18.若函数的一个零点为，则 ； ． 19.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 20.若，则 ， ． 21.设函数对任意的均满足，则 22.已知锐角三角形的内角的对边分别为，若，则的取值范围是 . 四．解答题 1.在中，内角所对的边分别为，，，． (1)求角的大小： (2)求的值； (3)求的值． 2.在中，角所对的边分别为.已知 (1)若，判断的形状； (2)若，求的最大值. 3.已知函数． (1)若，求的值域； (2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值． 4.设，. (1)若x，y均为锐角且，求z的取值范围； (2)若且，求的值. 5.在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)求； (3)求的值． 6.设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 7.已知向量，，且函数在上的最大值为． (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间． 8.已知在中，三边所对的角分别为，已知． (1)求； (2)若外接圆的直径为4，求的面积． 9.已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)若的面积为，判断是否为等腰三角形，并说明理由． 11.在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． (1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $