第04讲 两角和差讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习三角函数（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦两角和差正余和正切公式核心考点，系统梳理公式结构、逆用变形及角的代换技巧，按“知识要点-解题策略-题型归纳”逻辑架构，通过思维导图构建知识网络，结合高考分析明确考向，设置9类题型（含给角求值、给值求值等）及变式训练，实现考点梳理、方法指导与真题实战的有机衔接。 讲义突出“公式活用+角的构造”特色，通过典型例题示范“看角定公式判符号算结果”思维流程，如角的代换训练（α=(α-β)+β）培养数学思维，辅助角公式专题强化转化能力。分层设计基础目标与综合目标，强调易错点（角的范围判断），助力学生高效突破重点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学资源。

第04讲 两角和差正余和正切公式 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 7 题型01：给角求值 7 题型02：给值求值 15 题型03：给值求角 28 题型04：辅助角公式 33 题型05：两角和差正切 42 题型06：两角和差正切公式变形 51 题型07：化简 54 题型08：证明 55 题型09：与二倍角相关 55 一、定位与分值 两角和差公式是三角函数的核心基础工具，每年必考，单独命题多为选择、填空（5分），在解三角形、向量、三角函数图像与性质等解答题中作为关键步骤，整体相关分值约5-12分，难度以中等偏易为主。 二、考查形式与热点 1. 题型分布 ◦ 选择/填空：多在第5-8题，考查公式正用、逆用、变形用，如给值求值、角的拆分（如15°=45°-30°）、符号判断。 ◦ 解答题：常嵌入解三角形（如2023全国乙卷17题）、向量数量积、三角函数化简等大题，作为求角、求函数解析式的中间环节。 2. 核心热点 ◦ 公式直接应用：给角求值、给值求值，重点是余弦公式符号与正切公式适用条件。 ◦ 角的代换：如将目标角转化为已知角的和差。 ◦ 综合融合：与同角关系、二倍角、辅助角公式结合，偶与实际测量情境（如三角高程）结合。 三、命题趋势与备考重点 1. 趋势：保持稳定，侧重“公式灵活运用+角的构造”，强调运算准确性与逻辑严谨性，不考偏难公式（如积化和差）。 2. 备考重点 ◦ 熟记公式结构，区分正弦“同号”、余弦“异号”，明确正切公式的定义域限制。 ◦ 强化角的代换训练，养成“看角→定公式→判符号→算结果”的解题习惯。 ◦ 重视易错点：给值求角时需通过范围缩小答案，避免漏解或多解。 1. 基础目标 熟练背诵正弦、余弦、正切的两角和差公式，精准区分公式中符号与结构的差异，明确正切公式的定义域限制条件。 2. 能力目标 掌握角的代换技巧，能根据已知角与目标角的关系，灵活将目标角拆分为已知角的和或差结合同角三角函数基本关系，完成给值求值、给值求角类问题的计算。 3. 综合目标 能将两角和差公式与二倍角公式、辅助角公式、解三角形定理、向量数量积等知识点融合应用，解决综合性题目；规避公式符号混淆、忽略角的范围等易错点，提升解题的准确性与严谨性。 一．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ． C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ． S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ． S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ． T(α＋β)：tan(α＋β)＝ T(α－β)：tan(α－β)＝ 辅助角公式及其运用 公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝cos(α－φ)，将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． 二.两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (3)倍角公式变形：降幂公式． 三.解题技巧 1．三角公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2．常见的配角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝（－（）． 公式Tα±β的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如 要特别注意， （1）．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． （2）．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： （1）tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； （2）1－tan αtan β＝； （3）tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； （4）tan α·tan β＝1－. 3.三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 四：注意 1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定． 3．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形： sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 4．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋ (k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点． 5．注意公式的变形应用． 如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝等. 6．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)． 7．二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝. 1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． （3）一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． （4）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 2．对于给角求值问题，一般有两类： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 3．给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： （1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. （2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. （3）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ①α＝α－β＋β； ② ③2α＝α＋β＋α－β； ④2β＝α＋β－α－β. 4．已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. （3）结合三角函数值及角的范围求角. 3．解决条件求值问题的方法 （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. （2）当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通. cos 2x＝ 类似的变换还有： cos 2x＝， 等 4.辅助角公式及其运用 （1）公式形式：公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝cos(α－φ)，将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． （2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． 5.证明三角恒等式的原则与步骤 （1）观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. （2）证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. ． 题型01：给角求值 1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． （3）一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． （4）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 2．对于给角求值问题，一般有两类： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 【典型例题1】计算： （1）cos(－15°)； （2）cos15°cos105°＋sin15°sin105°. （3）. （4）sincos；（5）； 【答案】（1）.（2）0.（3）（4）－ 【解析】（1）解法一：原式＝cos(30°－45°) ＝cos30°cos45°＋sin30°sin45° ＝×＋×＝. 解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°) ＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝×＋×＝. （2）原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°) ＝cos90°＝0. （3）原式＝ ＝ ＝sin 30°＝. （4）原式＝＝＝. （5）原式＝tan(2×150°)＝tan300° ＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－. 【典型例题2】计算的值为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 【典型例题3】．（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 【典型例题4】的值为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】 利用三角函数两角和公式： =。 【典型例题5】．的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】 ，故选：C. 【典型例题6】.下列各式中，值为的是（ ） A． B． C．cos2－sin2 D． 【答案】AC 【解析】A符合，原式； B不符合，原式； C符合，原式； D不符合，原式.. 故选：AC. 【变式训练1-1】sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（　　） A．0 B． C． D．1 【变式训练1-2】．化简cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝________. 【变式训练1-3】． 等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】．（ ） A． B． C． D． 1.的值为（ ） A. 1 B. 0 C. -0.5 D. 0.5 【变式训练1-5】计算cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-6】．的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】．（多选题）以下说法正确的有（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】．计算：（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练1-9】 ． 【变式训练1-10】．若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-11】下列计算正确的选项有（　　） A．sin158°cos48°+cos22°sin48°＝1 B．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1 C． D． 【变式训练1-12】下列各式中值为的是（ ）． A． B． C． D． 【变式训练1-13】在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转 得到点，点的横坐标为 . 【变式训练1-14】.已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-15】如图，（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-16】．对任意的锐角，下列不等关系中错误的是（ ） A． B． C． D． 题型02：给值求值 1．给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： （1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. （2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. （3）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ①α＝α－β＋β； ② ③2α＝α＋β＋α－β； ④2β＝α＋β－α－β. 3．已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. （3）结合三角函数值及角的范围求角. 3．解决条件求值问题的方法 （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. （3）当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通. cos 2x＝ 类似的变换还有： cos 2x＝， 等 【典型例题1】．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 故选：B. 【典型例题2】．已知，，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 又， 则，， 又， 所以， 所以， ，故选：D 【典型例题3】．已知，则( ) A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】 ∵， ∴， ， ∴，故选：A． 【典型例题4】已知α，β均为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求cosβ的值． 【答案】 【解析】　∵α∈，sinα＝<，∴0<α<， 又∵α－β∈，cos(α－β)＝<， ∴－<α－β<－， ∴cosα＝＝ ＝， sin(α－β)＝－ ＝－ ＝－， ∴cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋×＝. 【典型例题5】已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值． 【答案】. 【解析】　∵<α<，<＋α<π， ∴sin＝. ∵0<β<，<＋β<π， ∴cos＝－＝－， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin =－ ＝－＝. 【典型例题6】.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】对于A， ，故A正确； 对于B，由两角和的正弦公式， ，故B正确. 对于C，，故C错误. 对于D，，故D错误. 故选：AB 【典型例题7】．如图，角､的终边与以坐标原点为圆心的单位圆分别交于A､B两点，且，，又，则___________. 【答案】 【解析】由题可知，, . 故答案为：. 【典型例题8】已知，且，则_________。 【答案】- 【解析】： 因为，，所以；因为，所以；则 =。 【典型例题9】．已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，， 所以， 因此， ； （2） 【变式训练2-1】．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】．已知，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，将角的终边逆时针旋转得到角，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】.已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【变式训练2-7】.已知，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-8】已知，求（ ） A、 B、 C、 D、 【变式训练2-9】.已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-10】．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-11】．已知，，则的值为__________． 【变式训练2-12】．已知为锐角，且，则_____________. 【变式训练2-13】．若，为第三象限角，则_______ ． 【变式训练2-14】．已知，若，则________． 【变式训练2-15】．已知，，且，则______． 【变式训练2-16】．已知，，则______． 【变式训练2-17】若，，，则________. 【变式训练2-18】．已知，，求的值． 【变式训练2-19】．已知，求的值． 【变式训练2-20】．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求的值； （2）若角满足，求的值． 题型03：给值求角 【典型例题1】已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________. 【答案】β＝ 【解析】　∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)． ∵cosα＝，cos(α＋β)＝－， ∴sinα＝，sin(α＋β)＝， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα ＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 【典型例题2】若本例变为：已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 【答案】β＝. 【解析】　由cosα＝，0<α<， 得sinα＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又因为cos(α－β)＝， 所以sin(α－β)＝ ＝ ＝. 由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋×＝， 因为0<β<，所以β＝. 【典型例题3】．设，，且角，均为锐角，则的值是______. 【答案】 【解析】因为，，所以， 又因为角，均为锐角，所以，所以. 故答案为：. 【变式训练3-1】．若，，且，，则的值是______． 【变式训练3-2】设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D.或 【变式训练3-3】．已知，，且，，求的值. 【变式训练3-4】.若满足，，则可以是（ ） A. B. C. D. 【变式训练3-5】.已知，，且，，则________. 【变式训练3-6】．已知是方程的两根，且，则的值等于 ． 【变式训练3-7】．若，则的最小正值为______. 【变式训练3-8】．在中，已知，求角C的大小． 题型04：辅助角公式 辅助角公式及其运用 （1）公式形式：公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝cos(α－φ)，将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． （2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． 【典型例题1】化简：（1）(cosx－sinx)；（2）3sinx＋3cosx. 【答案】见解析 【解析】(1)(cosx－sinx)＝× ＝2＝2cos. (2)3sinx＋3cosx ＝6 ＝6 ＝6cos. 【典型例题2】．若，其中，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 依题意， ， 所以，， 由于，所以. 故选：C 【典型例题3】．函数在上的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题设，， 令，可得，， ∴在上的单调递减区间是.故选：C. 【典型例题4】．函数的单调递增区间是________ 【答案】， 【解析】解：因为 令，， 解得，，即函数的单调递增区间为，； 故答案为：， 【典型例题5】．已知函数，.求： （1）的图像的对称轴方程； （2）的图像的对称中心坐标. 【答案】（1），（2）， 【解析】（1） 由，得； （2）由，得， ∴对称中心为 【典型例题6】已知函数，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】设，用换元法化为二次函数求解． 设，则，， ， ∴时，，即． 故答案为：． 【变式训练4-1】．将下列各式化成的形式，其中，，. （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________； （5）___________； （6）___________. 【变式训练4-2】．函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　) A．[－2,2] B．[－，] C．[－1,1] D．[－，] 【变式训练4-3】．函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】．若在是减函数，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】求函数的最大值（ ） A、 B、 C、 D、 【变式训练4-6】（多选题）关于函数的说法中正确的是（ ） A、 函数的最小正周期为 B、 函数的单调递增区间为 C、 函数的对称轴是 D、 函数的最大值为2 【变式训练4-7】．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最小值为 C．是函数图象的一条对称轴 D．方程在上有解 【变式训练4-8】关于函数描述正确的是（ ） A．最小正周期是 B．最大值是 C．一条对称轴是 D．一个对称中心是 【变式训练4-9】函数的最小正周期及最大值为（ ）． A．和1 B．和 C．和2 D．和 【变式训练4-10】下列区间中，使得函数与函数都单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-11】．（多选题）对于函数，给出下列选项其中正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．时，的值域为 【变式训练4-12】．当函数取得最大值时，___________. 【变式训练4-14】．若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是________________________. 【变式训练4-15】已知函数的最小正周期为。 （1）求的值； （2）设，，求的值。 【变式训练4-16】．已知函数的最小正周期为. （1）若，求的值； （2）若方程在上有两个不等的实根，求的取值范围. 【变式训练4-17】．求下列各函数的周期和值域： （1）； （2）． 【变式训练4-18】．在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若为锐角，求的取值范围． 题型05：两角和差正切 1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律： （1）结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． （2）符号规律：分子同，分母反． 2．利用公式T(α＋β)求角的步骤： （1）计算待求角的正切值． （2）缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． （3）根据角的范围及三角函数值确定角． 【方法技巧】 公式Tα±β的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如 要特别注意， 【典型例题1】 （1）求值：tan(－75°)； （2）已知cosα＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tanβ. 【答案】（1）－2－；（2） 【解析】　(1)tan75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝ ＝＝2＋， tan(－75°)＝－tan75°＝－2－. (2)∵cosα＝>0，α∈(0，π)，∴sinα>0. ∴sinα＝＝ ＝， ∴tanα＝＝＝. ∴tanβ＝tan[α－(α－β)] ＝＝＝. 本例(2)中，其他条件不变，求tan(2α－β)． 【答案】2 【解析】　tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝＝＝2. 【典型例题2】求值：（1）；（2）. 【答案】（1）－；（2）1 【解析】　(1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－. (2)原式＝ ＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1. 【变式训练5-1】．求值：（1）；（2）. 【变式训练5-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】在中，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】.若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】.在△ABC中，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】已知tanα，tan（α+β），则tanβ＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-7】若，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-8】已知是方程的两根，有以下四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：. 如果其中只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练5-9】若，是方程的两个根，则（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【变式训练5-10】．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-11】已知，则___________. 【变式训练5-12】．已知角的终边过点P（1，2），则___________. 【变式训练5-13】设α，β∈（0，π），，则cosα＝　 　，tan（α+β）＝　 　． 【变式训练5-14】已知，，则的值为______． 【变式训练5-15】已知，则________． 【变式训练5-16】已知，若，则 ． 【变式训练5-17】.若，，则___________. 【变式训练5-18】若tan2α，则tan（α）+tan（α）＝　　． 题型06：两角和差正切公式变形 1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： （1）tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； （2）1－tan αtan β＝； （3）tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； （4）tan α·tan β＝1－. 【典型例题1】 （1）tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________. （2）已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状． 【答案】(1)1；(2)等腰钝角三角形 【解析】(1)1　∵tan 67°－tan 22° ＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°) ＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°) ＝1＋tan 67°tan 22°， ∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22° ＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1. (2)∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1， ∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， ∴＝－，∴tan(A＋B)＝－. 又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝. ∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝， ∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝， ∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形． 【变式训练6-1】．典型例题1中的角同时增加1°结果又如何？ 【变式训练6-2】．能否为典型例题与变式训练归纳出一个一般结论？若能，试证明． 【变式训练6-3】计算的值为（ ） A、 B、 C、 D、 。 【变式训练6-4】．的值是______. 【变式训练6-5】（1+tan19°）•（1+tan26°）＝　 　． 【变式训练6-6】．（ ） A． B．1 C． D． 【变式训练6-7】（　　） A． B． C． D． 题型07：化简 证明三角恒等式的原则与步骤 （1）观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. （2）证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. ． 【典型例题】．化简：＝________. 【答案】-1 【解析】原式＝＝－ ＝＝－1. 【变式训练7-1】．化简：________． 【变式训练7-2】．已知，则______. 【变式训练7-3】． ． 题型08：证明 【变式训练】在锐角中，已知，，求证：. 题型09：与二倍角相关 【典型例题1】．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用余弦的和差公式对原式进行展开，平方后再利用，，去进行整理可得. 因为，所以，平方后可得，整理得，所以. 故选：D. 【典型例题2】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式、二倍角公式求得正确答案. ∵， ∴， 于是，又， 所以，所以. 故选：B 【典型例题3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，因此，则，所以. 故选B 【变式训练9-1】．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-4】化简的结果是（　　） A．sin2+cos2 B．sin2﹣cos2 C．cos2﹣sin2 D．﹣sin2﹣cos2 【变式训练9-5】已知，则sin2θ＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-6】已知角，满足，，则（    ）． A． B． C．1 D．2 【变式训练9-7】已知函数为奇函数，则参数的可能值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-8】.由倍角公式，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．－般地，存在一个n次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．例如，记作．利用求得sin18°＝（ ） A． B． C． D． 【变式训练9-9】已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-10】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-11】已知向量，函数，则（    ） A．在上有4个零点 B．在单调递增 C． D．直线是曲线的一条切线 【变式训练9-12】.若，则的值为 【变式训练9-13】．已知，，则_______，________． 【变式训练9-14】2cos215°﹣1等于　 　． 【变式训练9-15】在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【变式训练9-16】．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于，两点，已知，两点的横坐标分别为和． （1）求，的值． （2）求，的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 两角和差正余和正切公式 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 7 题型01：给角求值 7 题型02：给值求值 15 题型03：给值求角 28 题型04：辅助角公式 33 题型05：两角和差正切 42 题型06：两角和差正切公式变形 51 题型07：化简 54 题型08：证明 55 题型09：与二倍角相关 55 一、定位与分值 两角和差公式是三角函数的核心基础工具，每年必考，单独命题多为选择、填空（5分），在解三角形、向量、三角函数图像与性质等解答题中作为关键步骤，整体相关分值约5-12分，难度以中等偏易为主。 二、考查形式与热点 1. 题型分布 ◦ 选择/填空：多在第5-8题，考查公式正用、逆用、变形用，如给值求值、角的拆分（如15°=45°-30°）、符号判断。 ◦ 解答题：常嵌入解三角形（如2023全国乙卷17题）、向量数量积、三角函数化简等大题，作为求角、求函数解析式的中间环节。 2. 核心热点 ◦ 公式直接应用：给角求值、给值求值，重点是余弦公式符号与正切公式适用条件。 ◦ 角的代换：如将目标角转化为已知角的和差。 ◦ 综合融合：与同角关系、二倍角、辅助角公式结合，偶与实际测量情境（如三角高程）结合。 三、命题趋势与备考重点 1. 趋势：保持稳定，侧重“公式灵活运用+角的构造”，强调运算准确性与逻辑严谨性，不考偏难公式（如积化和差）。 2. 备考重点 ◦ 熟记公式结构，区分正弦“同号”、余弦“异号”，明确正切公式的定义域限制。 ◦ 强化角的代换训练，养成“看角→定公式→判符号→算结果”的解题习惯。 ◦ 重视易错点：给值求角时需通过范围缩小答案，避免漏解或多解。 1. 基础目标 熟练背诵正弦、余弦、正切的两角和差公式，精准区分公式中符号与结构的差异，明确正切公式的定义域限制条件。 2. 能力目标 掌握角的代换技巧，能根据已知角与目标角的关系，灵活将目标角拆分为已知角的和或差结合同角三角函数基本关系，完成给值求值、给值求角类问题的计算。 3. 综合目标 能将两角和差公式与二倍角公式、辅助角公式、解三角形定理、向量数量积等知识点融合应用，解决综合性题目；规避公式符号混淆、忽略角的范围等易错点，提升解题的准确性与严谨性。 一．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ． C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ． S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ． S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ． T(α＋β)：tan(α＋β)＝ T(α－β)：tan(α－β)＝ 辅助角公式及其运用 公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝cos(α－φ)，将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． 二.两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (3)倍角公式变形：降幂公式． 三.解题技巧 1．三角公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2．常见的配角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝（－（）． 公式Tα±β的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如 要特别注意， （1）．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． （2）．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： （1）tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； （2）1－tan αtan β＝； （3）tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； （4）tan α·tan β＝1－. 3.三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 四：注意 1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定． 3．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形： sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 4．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋ (k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点． 5．注意公式的变形应用． 如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝等. 6．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)． 7．二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝. 1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． （3）一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． （4）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 2．对于给角求值问题，一般有两类： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 3．给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： （1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. （2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. （3）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ①α＝α－β＋β； ② ③2α＝α＋β＋α－β； ④2β＝α＋β－α－β. 4．已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. （3）结合三角函数值及角的范围求角. 3．解决条件求值问题的方法 （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. （2）当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通. cos 2x＝ 类似的变换还有： cos 2x＝， 等 4.辅助角公式及其运用 （1）公式形式：公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝cos(α－φ)，将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． （2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． 5.证明三角恒等式的原则与步骤 （1）观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. （2）证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. ． 题型01：给角求值 1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． （3）一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． （4）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 2．对于给角求值问题，一般有两类： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 【典型例题1】计算： （1）cos(－15°)； （2）cos15°cos105°＋sin15°sin105°. （3）. （4）sincos；（5）； 【答案】（1）.（2）0.（3）（4）－ 【解析】（1）解法一：原式＝cos(30°－45°) ＝cos30°cos45°＋sin30°sin45° ＝×＋×＝. 解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°) ＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝×＋×＝. （2）原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°) ＝cos90°＝0. （3）原式＝ ＝ ＝sin 30°＝. （4）原式＝＝＝. （5）原式＝tan(2×150°)＝tan300° ＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－. 【典型例题2】计算的值为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 【典型例题3】．（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 【典型例题4】的值为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】 利用三角函数两角和公式： =。 【典型例题5】．的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】 ，故选：C. 【典型例题6】.下列各式中，值为的是（ ） A． B． C．cos2－sin2 D． 【答案】AC 【解析】A符合，原式； B不符合，原式； C符合，原式； D不符合，原式.. 故选：AC. 【变式训练1-1】sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果． 解：sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos15°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos（15°+45°）， 故选：B 【变式训练1-2】．化简cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝________. 【答案】 【解析】cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝cos(α＋45°－α)= . 【变式训练1-3】． 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 【变式训练1-4】．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：原式，故选：C. 1.的值为（ ） A. 1 B. 0 C. -0.5 D. 0.5 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【变式训练1-5】计算cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝（　　） A． B． C． D． 【答案】直接利用三角函数的诱导公式的应用和余弦的和角公式的运用求出结果． 【解析】解：cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝cos18°•cos42°﹣sin18°•sin42°． 故选：A 【变式训练1-6】．的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： .故选：B. 【变式训练1-7】．（多选题）以下说法正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD 【变式训练1-8】．计算：（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 依题意， 故选：B 【变式训练1-9】 ． 【答案】 【解析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解. 由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得： . 故答案为：. 【变式训练1-10】．若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 ∵， ∴ 故选：C. 【变式训练1-11】下列计算正确的选项有（　　） A．sin158°cos48°+cos22°sin48°＝1 B．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1 C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，sin158°cos48°+cos22°sin48°＝sin22°cos48°+cos22°sin48°＝sin（22°+48°）＝sin70°≠1，故A错误； 对于B，sin20°cos110°+cos160°sin70°＝sin20°（﹣cos70°）+（﹣cos20°）sin70°＝﹣（sin20°cos70°+cos20°sin70°）＝﹣sin（20°+70°）＝﹣1，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，cos74°sin14°﹣sin74°cos14°＝sin（14°﹣74°）＝﹣sin60°，故D正确. 故选：CD. 【变式训练1-12】下列各式中值为的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，故选项A正确； 因为，故选项B错误； 因为，故选项C正确； 因为， 整理得，，故选项D错误； 故选：AC. 【变式训练1-13】在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转 得到点，点的横坐标为 . 【答案】 【解析】根据三角函数定义求得，确定与x轴正半轴的夹角为,结合三角函数定义以及两角差的余弦公式即可求得答案. 由题意得, 设与x轴正半轴的夹角为，则， 则与x轴正半轴的夹角为， 故点的横坐标为 ， 故答案为： 【变式训练1-14】.已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设锐角绕原点逆时针转后得角，则，由为锐角， 根据题意角终边交单位圆于，则，则 若，则 所以，与为锐角不符合. 若，则 所以，满足条件. 故选：C. 【变式训练1-15】如图，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用三角函数的定义和正弦、余弦的两角差公式求得和，再利用余弦的两角和公式计算即可. 设终边过点的角为，终边过点的角为， 由三角函数的定义可得，， ，， 所以， ， 所以， 故选：A 【变式训练1-16】．对任意的锐角，下列不等关系中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】都是锐角，则， ，A错； ，B错； 时，，， （其中），，C错； ，D正确． 故选：ABC． 题型02：给值求值 1．给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： （1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. （2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. （3）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ①α＝α－β＋β； ② ③2α＝α＋β＋α－β； ④2β＝α＋β－α－β. 3．已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. （2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. （3）结合三角函数值及角的范围求角. 3．解决条件求值问题的方法 （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. （3）当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通. cos 2x＝ 类似的变换还有： cos 2x＝， 等 【典型例题1】．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 故选：B. 【典型例题2】．已知，，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 又， 则，， 又， 所以， 所以， ，故选：D 【典型例题3】．已知，则( ) A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】 ∵， ∴， ， ∴，故选：A． 【典型例题4】已知α，β均为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求cosβ的值． 【答案】 【解析】　∵α∈，sinα＝<，∴0<α<， 又∵α－β∈，cos(α－β)＝<， ∴－<α－β<－， ∴cosα＝＝ ＝， sin(α－β)＝－ ＝－ ＝－， ∴cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋×＝. 【典型例题5】已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值． 【答案】. 【解析】　∵<α<，<＋α<π， ∴sin＝. ∵0<β<，<＋β<π， ∴cos＝－＝－， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin =－ ＝－＝. 【典型例题6】.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】对于A， ，故A正确； 对于B，由两角和的正弦公式， ，故B正确. 对于C，，故C错误. 对于D，，故D错误. 故选：AB 【典型例题7】．如图，角､的终边与以坐标原点为圆心的单位圆分别交于A､B两点，且，，又，则___________. 【答案】 【解析】由题可知，, . 故答案为：. 【典型例题8】已知，且，则_________。 【答案】- 【解析】： 因为，，所以；因为，所以；则 =。 【典型例题9】．已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，， 所以， 因此， ； （2） 【变式训练2-1】．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A 【变式训练2-2】．已知，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵，，∴， 又，， ∴，， 则．故选：C. 【变式训练2-3】．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，将角的终边逆时针旋转得到角，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A，由题得，所以选项A正确； 选项B，由题得，所以，所以选项B错误； 选项C，由题得，所以，所以选项C正确； 选项D，，所以选项D错误. 故选：AC 【变式训练2-4】已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值 因为，所以， 所以，所以. 故选：B 【变式训练2-5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的余弦公式计算可得. 解：因为，所以，又， 所以， 所以 故选：C 【变式训练2-6】.已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】由于且，则有． 由得，，故， 故选：D． 【变式训练2-7】.已知，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，又，故， 则， 故 . 故选：C. 【变式训练2-8】已知，求（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】 ，又因为所以，则。 【变式训练2-9】.已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】①因为，所以， 又，故有，， 解出，故A错误； ②， 由①知：，所以， 所以，故B正确； ③由①知：，而，所以， 又，所以， 解得， 所以 又因为，， 所以，有，故C正确； ④由， 由③知，， 两式联立得：，故D错误． 故选：BC 【变式训练2-10】．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】…①，…②， ①-②可得，即． 故选D． 【变式训练2-11】．已知，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 由题意可知，因为，所以， 所以， 则 ． 故答案为：. 【变式训练2-12】．已知为锐角，且，则_____________. 【答案】 【解析】 设，可得，则，可得， 由三角函数的基本关系式，可得， 则. 故答案为：. 【变式训练2-13】．若，为第三象限角，则_______ ． 【答案】 【解析】 ，为第三象限角，，. 故答案为：. 【变式训练2-14】．已知，若，则________． 【解析】因为，，所以， 所以. 故答案为：. 【变式训练2-15】．已知，，且，则______． 【答案】 【解析】 依题意，则， 所以， 所以，， 所以 . 故答案为：. 【变式训练2-16】．已知，，则______． 【答案】 【解析】 两边平方得：①， 两边平方得：②， ①+②，得，即， 所以. 故答案为：. 【变式训练2-17】若，，，则________. 【答案】 【解析】由题意，故 故 又， 故 ， 则 , 故答案为： 【变式训练2-18】．已知，，求的值． 【答案】见解析 【解析】因为，， 所以， 所以， . 【变式训练2-19】．已知，求的值． 【答案】-5 【解析】∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴. 【变式训练2-20】．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求的值； （2）若角满足，求的值． 【答案】（1）（2）或 【解析】（1）由角的终边过点得， 所以． （2） 由得． 由得， 所以或． 题型03：给值求角 【典型例题1】已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________. 【答案】β＝ 【解析】　∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)． ∵cosα＝，cos(α＋β)＝－， ∴sinα＝，sin(α＋β)＝， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα ＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 【典型例题2】若本例变为：已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 【答案】β＝. 【解析】　由cosα＝，0<α<， 得sinα＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又因为cos(α－β)＝， 所以sin(α－β)＝ ＝ ＝. 由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝×＋×＝， 因为0<β<，所以β＝. 【典型例题3】．设，，且角，均为锐角，则的值是______. 【答案】 【解析】因为，，所以， 又因为角，均为锐角，所以，所以. 故答案为：. 【变式训练3-1】．若，，且，，则的值是______． 【答案】 【解析】 因为，所以， 因为，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，，所以，所以.故答案为：. 【变式训练3-2】设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D.或 【答案】C 【解析】∵α，β为钝角，sinα＝， ∴cosα＝－＝－＝－， 由cosβ＝－，得 sinβ＝＝ ＝， ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝×－×＝. 又∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝. 故选C. 【变式训练3-3】．已知，，且，，求的值. 【答案】 【解析】 根据题意，因为，，且，， 所以，， ， 又因为，所以. 【变式训练3-4】.若满足，，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】因为，， 所以或， 因为， 所以或， 所以 或， 或， 因为范围不定， 当时，，当时，=， 故选：AC 【变式训练3-5】.已知，，且，，则________. 【答案】 【解析】因为，，且，， 所以由同角三角函数关系式可得， ， 则 ， 因为， 所以. 故答案为：. 【变式训练3-6】．已知是方程的两根，且，则的值等于 ． 【答案】 【解析】已知是方程的两根，因为，故， 而，故，故，而，所以． 故答案为． 【变式训练3-7】．若，则的最小正值为______. 【答案】 【解析】 ，所以 ， 所以的最小正值为. 故答案为： 【变式训练3-8】．在中，已知，求角C的大小． 【答案】135° 【解析】解：中，已知， 若，则，不合题意； ，， ， ，，因为 ， 题型04：辅助角公式 辅助角公式及其运用 （1）公式形式：公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝cos(α－φ)，将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． （2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． 【典型例题1】化简：（1）(cosx－sinx)；（2）3sinx＋3cosx. 【答案】见解析 【解析】(1)(cosx－sinx)＝× ＝2＝2cos. (2)3sinx＋3cosx ＝6 ＝6 ＝6cos. 【典型例题2】．若，其中，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 依题意， ， 所以，， 由于，所以. 故选：C 【典型例题3】．函数在上的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题设，， 令，可得，， ∴在上的单调递减区间是.故选：C. 【典型例题4】．函数的单调递增区间是________ 【答案】， 【解析】解：因为 令，， 解得，，即函数的单调递增区间为，； 故答案为：， 【典型例题5】．已知函数，.求： （1）的图像的对称轴方程； （2）的图像的对称中心坐标. 【答案】（1），（2）， 【解析】（1） 由，得； （2）由，得， ∴对称中心为 【典型例题6】已知函数，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】设，用换元法化为二次函数求解． 设，则，， ， ∴时，，即． 故答案为：． 【变式训练4-1】．将下列各式化成的形式，其中，，. （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________； （5）___________； （6）___________. 【答案】 【解析】 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 故答案为：；；；；；. 【变式训练4-2】．函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　) A．[－2,2] B．[－，] C．[－1,1] D．[－，] 【答案】B 【解析】　f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin， 所以函数f(x)的值域为[－，] 故选B. 【变式训练4-3】．函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 所以 ，由于函数为奇函数， 故有，即：，可排除、选项 然后分别将和选项代入检验， 当时，，，其单调递减区间为，，在区间上单调递增，不符题意. 易知当时，，其单调递减区间为， 故其在区间上递减，满足题意. 故选：D． 【变式训练4-4】．若在是减函数，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 当x∈时，∈， 由余弦函数的单调减区间可知， 所以，即， 故所求a的最大值是· 故选：C 【变式训练4-5】求函数的最大值（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】选A 【解析】所以，当时取得最大值为。 【变式训练4-6】（多选题）关于函数的说法中正确的是（ ） A、 函数的最小正周期为 B、 函数的单调递增区间为 C、 函数的对称轴是 D、 函数的最大值为2 【答案】AB 【解析】 =，则最小正周期为，A正确；令得，单调递增区间为，B正确；令得对称轴为，故C不正确；最大值为2-1=1，D不正确。 【变式训练4-7】．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最小值为 C．是函数图象的一条对称轴 D．方程在上有解 【答案】ACD 【解析】，则． 对选项A：的图像可以由的图像把下方的部分向上翻折形成，故函数的周期为； ，，故的最小正周期为，正确； 对选项B：，当时，函数有最小值为，错误； 对选项C：， ，故，是函数图象的一条对称轴，正确； 对选项D：，则，，故有解，正确． 故选ACD． 【变式训练4-8】关于函数描述正确的是（ ） A．最小正周期是 B．最大值是 C．一条对称轴是 D．一个对称中心是 【答案】D 【解析】利用三角恒等变换化简得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论. 解：由题意得： 选项A：函数的最小正周期为，故A错误； 选项B：由于，函数的最大值为，故B错误； 选项C：函数的对称轴满足，，当时，，故C错误； 选项D：令，代入函数的，故为函数的一个对称中心，故D正确； 故选：D 【变式训练4-9】函数的最小正周期及最大值为（ ）． A．和1 B．和 C．和2 D．和 【答案】C 【解析】结合辅助角公式化简即可. ，故，函数最大值为2. 故选：C 【变式训练4-10】下列区间中，使得函数与函数都单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先将函数化为的形式，再利用正弦函数、余弦函数的图象与性质求解即可． ，在区间中，当时，函数单调递减，即， 当或时，函数单调递减，即递减区间是和，因此选项中使得函数与函数都单调递减的区间是． 故选：B． 【变式训练4-11】．（多选题）对于函数，给出下列选项其中正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．时，的值域为 【答案】CD 【解析】， 对于A：令，可得，故选项A不正确； 对于B：的最小正周期为，故选项B不正确； 对于C：若，则，所以在区间上单调递增，故选项C正确； 对于D：当时，，所以，所以时，的值域为，故选项D正确； 故选：CD. 【变式训练4-12】．当函数取得最大值时，___________. 【答案】 【解析】解：， 当时，， 当，即时，取得最大值为2． 故答案为：． 【变式训练4-14】．若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是________________________. 【答案】 【解析】解：命题，都有成立为真命题， 即在上恒成立， 设，其中，则， 所以当时，取得最小值为， 所以实数的取值范围是： 故答案为：. 【变式训练4-15】已知函数的最小正周期为。 （1）求的值； （2）设，，求的值。 【答案】见解析 【解析】解：（1），得。 由（1）得，，又因为；，则， 。 【变式训练4-16】．已知函数的最小正周期为. （1）若，求的值； （2）若方程在上有两个不等的实根，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】（1） 因为，所以 所以 （2） 令，则 因为与的图象有两个不同的交点 所以的范围为 【变式训练4-17】．求下列各函数的周期和值域： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵， ∴函数的周期为， ∵， ∴，即的值域为. （2）∵， ∴函数的周期为， ∵， ∴，即的值域为. 【变式训练4-18】．在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若为锐角，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）由，得到 ，即，所以，又，所以，则，又，所以或． （2）∵角是锐角，由（1）知， , ，所以，故，所以，又, 所以的取值范围是． 题型05：两角和差正切 1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律： （1）结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． （2）符号规律：分子同，分母反． 2．利用公式T(α＋β)求角的步骤： （1）计算待求角的正切值． （2）缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． （3）根据角的范围及三角函数值确定角． 【方法技巧】 公式Tα±β的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如 要特别注意， 【典型例题1】 （1）求值：tan(－75°)； （2）已知cosα＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tanβ. 【答案】（1）－2－；（2） 【解析】　(1)tan75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝ ＝＝2＋， tan(－75°)＝－tan75°＝－2－. (2)∵cosα＝>0，α∈(0，π)，∴sinα>0. ∴sinα＝＝ ＝， ∴tanα＝＝＝. ∴tanβ＝tan[α－(α－β)] ＝＝＝. 本例(2)中，其他条件不变，求tan(2α－β)． 【答案】2 【解析】　tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝＝＝2. 【典型例题2】求值：（1）；（2）. 【答案】（1）－；（2）1 【解析】　(1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－. (2)原式＝ ＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1. 【变式训练5-1】．求值：（1）；（2）. 【答案】（1）－；（2） 【解析】(1)原式＝ ＝＝tan(45°－75°) ＝tan(－30°)＝－tan30°＝－. (2)原式＝＝＝. 【变式训练5-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用弦化切可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值. 因为，解得， 所以，. 故选：A. 【变式训练5-3】在中，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项. ，， ，，所以选项A，B错误； ， ①， 又②， 联立①②解得，，故选项C，D正确， 故选：CD. 【点睛】本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题. 【变式训练5-4】.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，解得， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，. 故选：C. 【变式训练5-5】.在△ABC中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， ， 故选：A． 【变式训练5-6】已知tanα，tan（α+β），则tanβ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于β＝（α+β）﹣α，根据已知利用两角差的正切函数公式即可计算求解． 解：∵tanα，tan（α+β）， ∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]． 故选：B． 【变式训练5-7】若，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由两角和的正弦公式展开整理可得cosα＝2sinα，两边平方，由基本关系式sin2α+cos2α＝1可得7sin2α﹣4sinα+4＝0，解出sinα，进而求出cosα，再求出结果． 解：由，化简可得3sinα﹣2sinα﹣2cosα，即2sinαcosα，所以cosα＝2sinα， 两边平方可得3cos2α＝4sin2α﹣4sinα+7，整理可得3（1﹣sin2α）＝4sin2α﹣4sinα+7，即7sin2α﹣4sinα+4＝0，解得sinα， 所以cosα＝2，所以cosα， 所以tanα． 故选：A． 【变式训练5-8】已知是方程的两根，有以下四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：. 如果其中只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】根据韦达定理可得，对乙､丁运算分析可知乙､丁一真一假，分别假设乙､丁是假命题，结合其他命题检验判断． 因为是方程的两根，所以， 则甲：； 丙：. 若乙､丁都是真命题， 则，所以，， 两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假， 假设丁是假命题，由丙和甲得，所以， 即，所以，与乙不符，假设不成立； 假设乙是假命题，由丙和甲得，又，所以， 即与丙相符，假设成立；故假命题是乙， 故选：． 【变式训练5-9】若，是方程的两个根，则（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【解析】由于，是方程的两个根， 所以， 所以.故选：A 【变式训练5-10】．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， 故选：C 【变式训练5-11】已知，则___________. 【答案】2 【解析】. 故答案为：. 【变式训练5-12】．已知角的终边过点P（1，2），则___________. 【答案】 【解析】因为角的终边过点P（1，2），所以， 所以， 故答案为： 【变式训练5-13】设α，β∈（0，π），，则cosα＝　 　，tan（α+β）＝　 　． 【答案】， 【解析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可． 解：cosα＝2cos21＝2×（）2﹣1，则α∈（0，）， 则sinα，tanα， ∵cosβ，∴sinβ，则tanβ， 则tan（α+β）， 故答案为：， 【变式训练5-14】已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】结合两角和与差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得的值. 由题知，① ，② 由①②整理得， 则． 故答案为：. 【变式训练5-15】已知，则________． 【答案】7 【解析】根据已知条件求出cosθ，再求出tanθ和tan2θ，用正切的差角公式将展开，代入数值计算即可﹒ 解：， ∴， ∴﹒ 故答案为：7﹒ 【变式训练5-16】已知，若，则 ． 【答案】 【解析】根据两角和的正切函数公式，求得，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 由，可得，解得，即，即， 又由，所以， 因为，所以. 故答案为：. 【变式训练5-17】.若，，则___________. 【答案】 【解析】因为，， 所以， 故答案为： 【变式训练5-18】若tan2α，则tan（α）+tan（α）＝　　． 【答案】 【解析】展开两角和与差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案． 解：∵tan2α， ∴tan（）+tan（） ． 故答案为：． 题型06：两角和差正切公式变形 1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： （1）tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； （2）1－tan αtan β＝； （3）tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； （4）tan α·tan β＝1－. 【典型例题1】 （1）tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________. （2）已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状． 【答案】(1)1；(2)等腰钝角三角形 【解析】(1)1　∵tan 67°－tan 22° ＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°) ＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°) ＝1＋tan 67°tan 22°， ∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22° ＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1. (2)∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1， ∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， ∴＝－，∴tan(A＋B)＝－. 又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝. ∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝， ∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝， ∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形． 【变式训练6-1】．典型例题1中的角同时增加1°结果又如何？ 【答案】1 【解析】∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝， ∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°， 即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1. 【变式训练6-2】．能否为典型例题与变式训练归纳出一个一般结论？若能，试证明． 【答案】见解析 【解析】一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1. ∵tan 45°＝tan(α－β)＝， ∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β， 即tan α－tan β－tan αtan β＝1. 【变式训练6-3】计算的值为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】 ，交叉相乘再移项得： 。 【变式训练6-4】．的值是______. 【答案】 【解析】， 所以的值是. 故答案为： 【变式训练6-5】（1+tan19°）•（1+tan26°）＝　 　． 【答案】2 【解析】先把所求展开，再根据两角和的正切即可求解结论． 解：因为（1+tan19°）•（1+tan26°） ＝1+tan19°+tan26°+tan19°tan26° ＝1+tan（19°+26°）（1﹣tan19°tan26°）+tan19°tan26° ＝1+1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26° ＝2； 故答案为：2． 【变式训练6-6】．（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题得， 所以 .故选：B 【变式训练6-7】（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】切化弦，易得原式为cos210°，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解． 解：cos210°＝﹣cos30°． 故选：D． 题型07：化简 证明三角恒等式的原则与步骤 （1）观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. （2）证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. ． 【典型例题】．化简：＝________. 【答案】-1 【解析】原式＝＝－ ＝＝－1. 【变式训练7-1】．化简：________． 【答案】-1 【解析】 故答案为：-1 【变式训练7-2】．已知，则______. 【答案】 【解析】，，则， . 故答案为：. 【变式训练7-3】． ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为． 题型08：证明 【变式训练】在锐角中，已知，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】将已知条件展开，联立方程组，解得和，从而可证﹒ 由，，得， 解得，则，又在锐角三角形中，所以 题型09：与二倍角相关 【典型例题1】．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用余弦的和差公式对原式进行展开，平方后再利用，，去进行整理可得. 因为，所以，平方后可得，整理得，所以. 故选：D. 【典型例题2】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式、二倍角公式求得正确答案. ∵， ∴， 于是，又， 所以，所以. 故选：B 【典型例题3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，因此，则，所以. 故选B 【变式训练9-1】．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，，整理可得，， 所以有，所以，所以 ． 故选D． 【变式训练9-2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，进而求出.将化为二次齐次式，即可求出结果. 由可得，， 所以， 所以. 故选：A. 【变式训练9-3】已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得要求式子的值． 解：∵已知， ∴cos[（x）]+cos（x） ＝cos（x）cossin（x）sincos（x） cos（x）sin（x）cos[（x）] cos（x）， 故选：D． 【变式训练9-4】化简的结果是（　　） A．sin2+cos2 B．sin2﹣cos2 C．cos2﹣sin2 D．﹣sin2﹣cos2 【答案】A 【解析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案． 解： ＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2． 故选：A． 【变式训练9-5】已知，则sin2θ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值． 解：由，则sin2θ＝cos（2θ）＝21 ＝21，故选：D． 【变式训练9-6】已知角，满足，，则（    ）． A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】根据和角公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解. 由得，进而， 所以， 故选：B 【变式训练9-7】已知函数为奇函数，则参数的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据奇函数 ，运用排除法，再验算即可. 是奇函数，并在 时有意义， ， 对于A， ， 又 ； ，是奇函数，正确； 对于B， ，错误； 对于C， ， 又 ； ，是奇函数，正确； 对于D， ，错误； 故选：AC. 【变式训练9-8】.由倍角公式，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．－般地，存在一个n次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．例如，记作．利用求得sin18°＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为cos3x＝cos(2x＋x)＝cos2xcosx－sin2xsinx＝(2cos2x－1)cosx－2sinxcosxsinx＝4cos3x－3cosx，所以cos54°＝4cos318°－3cos18°，所以sin36°＝4cos318°－3cos18°，则2sin18°cos18°＝4cos318°－3cos18°，所以2sin18°＝4(1－sin218°)－3，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°＝， 故选：A 【变式训练9-9】已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A：利用同角三角函数基本关系来计算判断； 对于B：利用倍角公式来计算判断； 对于C：利用倍角公式来计算判断； 对于D：利用两角差的余弦公式来计算判断. 对于A：若，其中，则，，故A错误； 对于B：，且，则，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确． 故选：BCD. 【变式训练9-10】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 选项A：由，，可知为锐角， 且，解得，且， 所以，故A错误； 选项B：因为，，因此，故B正确； 选项C：因为且． 所以，所以C正确； 选项D：因为，， 所以，， 所以，所以D正确． 故选：BCD 【变式训练9-11】已知向量，函数，则（    ） A．在上有4个零点 B．在单调递增 C． D．直线是曲线的一条切线 【答案】BCD 【解析】根据向量的数量积坐标公式求解并化简，对于选项A、B，根据正弦型函数的零点，单调性验证；对于C，直接代入计算验证；对于D，利用导数求在点处的切线进行判断. 由题知， 对于A，当时，， 令，则，则或，即或， 故在上有2个零点，故A错误； 对于B，当时，， 又在区间上单调递增，故在上单调递增，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，则， 又， 故在处的切线方程为，即，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练9-12】.若，则的值为 【答案】 【解析】由题得 ． 故答案为． 【变式训练9-13】．已知，，则_______，________． 【答案】， 【解析】，， 因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以 故答案为，. 【变式训练9-14】2cos215°﹣1等于　 　． 【答案】 【解析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果． 解：2cos215°﹣1＝cos30°， 故答案为：． 【变式训练9-15】在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． （1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 【变式训练9-16】．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于，两点，已知，两点的横坐标分别为和． （1）求，的值． （2）求，的值． 【答案】见解析 【解析】（1）依题意，，而为锐角，所以，． （2）由（1）知，，，，于是，，所以， 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $