第03讲 同角的三角函数关系讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习三角函数（新高考通用）

该高中数学讲义聚焦同角三角函数关系高考核心考点，涵盖平方关系、商数关系、弦切互化等，按“基础公式-题型应用-综合拓展”架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破符号判断、公式变形等难点，体现复习系统性与针对性。 资料特色在于题型分层突破与思想方法渗透，如“和积互化”题型通过整体代换思想实现知一求二，培养数学运算与逻辑推理素养，设置基础到综合变式训练，保障复习效果，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第03讲 同角的三角函数关系 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 4 题型01：平方关系 4 题型02：平方关系求参数 8 题型03：正余弦“和、积”互化 9 题型04：一元二次方程韦达定理型 13 题型05：切弦互化-分式一次型互求 15 题型06：切弦互化-二次齐次型求值 18 题型07：切弦互化-分式型二次求值 19 题型08：切弦互化-“1”的代换型互化 21 题型09：切弦互化-正余弦平方型互化 23 题型10：同角三角函数关系与诱导公式及二倍角公式 25 题型11：诱导公式-互余型互化求值 33 题型12: 诱导公式-互补型互化求值 36 题型13：同角关系诱导公式与三角函数定义的综合运用 38 题型14：化简求值 41 题型15：恒等证明 45 题型16：换元法、角的拼凑 48 巩固提升 50 一、考情定位 同角三角函数关系是三角函数的核心基础，新高考中必考且高频，近5年全国卷与新高考卷均稳定考查，多以5分选择题或填空题呈现，难度为基础偏易，常与诱导公式、三角恒等变换、三角函数图象性质结合命题，是“送分题”的重要来源。 二、核心考点 1. “知一求二”：已知一个三角函数值，结合角的象限判断符号，利用平方关系与商数关系求出另外两个三角函数值，核心是符号判断与开方取舍。 2. 弦切互化：通过商数关系将正弦、余弦与正切互化，尤其在齐次式求值中，分子分母同除以cosα及其平方转化为正切的表达式，快速求解。 3. 和积互化：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，实现三者间的互求，解决条件求值问题。 4. 化简与证明：利用基本关系化简三角函数式、证明三角恒等式，强调公式变形与逻辑推导，注重步骤规范。 5. 综合衔接：与诱导公式、二倍角公式等结合，解决复杂角度的化简求值，或与三角函数图象性质、解三角形等内容联动命题。 三、命题趋势 1. 题型稳定：以选择、填空为主，聚焦基础求值与化简，较少出现复杂推理，强调对公式的快速准确应用。 2. 角度创新：常结合较大角度、负角或含参数的角，先通过诱导公式转化，再用同角关系求解，核心仍是“先化简、再求值”的逻辑。 3. 素养导向：突出数学运算与逻辑推理素养，要求考生熟练运用公式，避免因符号判断错误或公式变形不当丢分。 4. 融合命题：与三角恒等变换、三角函数图象性质、解三角形等内容结合，考查知识的综合运用能力，难度适中。 1. 公式掌握目标 牢记同角三角函数的平方关系和商数关系理解公式的适用条件。 2. 基础应用目标 掌握“知一求二”的解题方法，已知一个三角函数值时，能结合角的象限判断符号，利用平方关系和商数关系求出另外两个三角函数值；能熟练进行弦切互化，解决简单的化简、求值问题。 3. 进阶应用目标： 对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，实现三者间的互求，解决条件求值问题。 4. 综合衔接目标： 能将同角三角函数关系与诱导公式、三角恒等变换结合，解决复杂角度的化简求值问题；能运用公式证明简单的三角恒等式，培养逻辑推理与数学运算素养，为后续三角函数图象性质、解三角形等内容的学习夯实基础。 一、同角三角函数的基本关系 1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 注意以下三点： （1） “同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 二、三角函数求值问题处理方法 1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． 2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口． 三、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 四、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 考点1：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 考点2：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【常用结论总结】 同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 解题思想方法 1. 分类讨论思想：当角的象限不确定时，需分象限讨论三角函数值的符号，避免漏解。 2. 整体代换思想：将于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，等看作整体，简化计算过程。 3. 转化与化归思想：通过弦切互化、和积互化，将未知问题转化为已知问题求解。 题型01：平方关系 【典型例题1】已知，在第二象限，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由及是第二象限角，得， 所以.故选：C 【典型例题2】已知，且为第四象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为第四象限角，所以．故选：D. 【典型例题3】已知是第二象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵为第二象限角，， ∴．故选：B． 【典型例题4】已知角终边在第一象限，，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，在第一象限，则， 所以.故选：C. 【典型例题5】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果. 由得：， ， 解得：或， 又，，即，， . 故选：C. 【变式训练1-1】已知为第二象限角，且，则______，_____． 【答案】；. 【解析】因为为第二象限角，且，所以， .故答案为：；. 【变式训练1-2】已知，则 ． 【答案】/ 【解析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解. 由题知，， 又，所以， 所以. 故答案为： 【变式训练1-3】已知A为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵A为锐角，∴，， ∵， ∴， ∴ 【变式训练1-4】“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】根据同角三角函数基本关系进行判断即可. 充分性：若，则，故充分性成立； 必要性：若，则，故必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练1-5】若，求，． 【答案】答案见解析. 【解析】由已知，可得为第一或第四象限角，根据同角三角函数关系分类讨论即可解答. 因为，所以为第一或第四象限角， ①当为第一象限角时，，； ②当为第四象限角时，， 【变式训练1-6】已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由同角三角函数平方关系，将已知条件化为求，结合及平方关系求即可. 由题设，，可得或（舍）， 又，则. 故选：C 【变式训练1-7】已知，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】C 【解析】先联立，解出，的值，再把，的值代入表达式求解即可. 联立， 解得或， 当，时， ； 当，时， . 故选：C. 【变式训练1-8】（多选）已知，则的值可以是（    ） A． B． C． D．3 【答案】CD 【解析】利用平方关系结合已知求出，再根据商数关系即可得出答案. 解：由，得， 又， 所以， 解得或， 当时，，则， 当时，，则. 故选：CD. 题型02：平方关系求参数 【典型例题1】已知，，且．则实数的值 ． 【答案】 【解析】利用同角三角函数基本关系式，即可求解，注意这个条件，需进行验证. ，，解得：或， 当时，，不满足，故舍去； 当时，，，满足.所以.故答案为： 【变式训练2-1】．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解. 由可得或， 由于为第二象限角，所以， 故当时，不符合要求， 则符合要求， 故选：D 【变式训练2-2】．已知，则实数 ． 【答案】2或3 【解析】根据计算得到答案. 因为，，所以， 解得或． 故答案为：2或3 【变式训练2-3】.已知，且为第二象限角，则m的值为 . 【答案】4 【解析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值. 由得， ，或，又为第二象限角， ，，把m的值代入检验得，.故答案为： 【变式训练2-4】.已知，，则实数 ． 【答案】 【解析】利用三角函数的定义，以及三角函数的符号，转化求解即可． 解：，， 可得，解得或， 当时，，不满足题意， 当时，，满足题意． 故答案为：． 题型03：正余弦“和、积”互化 对于、、这三个式子，利用可以知一求二． 【典型例题1】.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据，，三者间关系求解即可. 因为①，两边平方得， 故， 所以与异号，又，所以，， 所以②， 由①②解得 ，所以．故选：C 【典型例题2】.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将等式两边平方可求得的值，利用切化弦可求得的值. 由，可得，得， 因此，. 故选：C. 【典型例题3】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式平方可得，然后可求的平方，结合的范围即可求解. ∵，∴， ∵， ∴，又∵， ∴∴. ∴故选：. 【典型例题4】的三个内角为，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为，， 故可得，故， 则.故选：D. 【变式训练3-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将题设条件等式两边平方，可得，再将目标式平方并结合角的范围即可求. ，则， 而，又， ∴，则.故选：A 【变式训练3-2】已知,,则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，即，则，所以，即，也即，所以，应选答案D． 点睛：解答本题的关键是借助题设中的条件获得，进而得到，求得，从而求出使得问题获解． 【变式训练3-3】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ，，， ，所以.故选：C 【变式训练3-4】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，即， 所以， 因此.故选:B 【变式训练3-5】已知，，则 __________ . 【答案】 【解析】因为，所以，即， 因为，所以， 所以.故答案为：. 【变式训练3-6】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则， 故 又，故故选：A 【变式训练3-7】为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【解析】因为， 所以. 因为， 所以A是钝角. 所以三角形是钝角三角形.故选：D. 【变式训练3-8】已知，则______． 【答案】 【解析】因为，平方得，所以， 所以．故答案为： 题型04：一元二次方程韦达定理型 若是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，则： 【典型例题1】若是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由根与系数关系及平方关系得，结合判别式求参数值. 由题设，，且， ，且或， 所以，可得，故. 故选：A 【典型例题2】已知，是关于的方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程有实根，，由此得的范围，然后由韦达定理结合可求得． 由题意，解得或． 又，， ∴，解得， 又或．∴．故选：C． 【变式训练4-1】已知与是方程的两个根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由一元二次方程根与系数的关系及同角三角函数基本关系式求解． 与是方程的两个根， ，两边平方得：， ，得．即．故选：D． 【变式训练4-2】若为关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得，，则可得，所以可得，求出其值，再利用余弦的二倍角公式可求得结果 因为为关于x的方程的两个根， 所以，， 因为，所以， 所以，所以，故选：B 【变式训练4-3】若，是关于的方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】由已知中、是关于的方程的两个实根，求出满足条件的的值，然后根据韦达定理结合同角三角函数关系，求出满足条件的的值． 若方程有实根， 则 或， 若、是关于的方程的两个实根， 则，则 即，（舍去）故选：． 【变式训练4-4】若及是关于的方程的两个实根，求实数的值. 【答案】 【解析】，是关于的方程的两个实根， ，， ， ，即， 整理得：，解得或， 方程有实数根，，即或， 则的值为． 【变式训练4-5】已知，是关于x的一元二次方程的两根． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，是关于x的一元二次方程的两根， 所以，，且， 所以， 所以，得，满足， 所以，即 （2）因为， 又因为，所以，所以 所以 题型05：切弦互化--分式一次型互求 （正、余弦齐次式的应用） 【典型例题1】.已知（    ）. A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】利用同角三角函数间的基本关系，将分式的分子和分母分别除以，化简整理即可求解. 因为，由题意可知:, 将分式的分子和分母分别除以，可得:, 解得:.故选：. 【典型例题2】已知,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以,将弦化切,代入求解即可. , .故选:A. 【典型例题3】已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，求出，再利用齐次式法计算作答. 因，则， 所以.故选：C 【变式训练5-1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选：C． 【变式训练5-2】设，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】先利用诱导公式和三角函数的基本关系式，化简得到，代入即可求解. 由诱导公式，可得 .故选：B. 【变式训练5-3】已知，则 . 【答案】 【解析】分子分母同除以，可化为正切，代入已知即可求解. 因为， 所以. 【变式训练5-4】已知，且，则_________ 【答案】 【解析】解法1、因为，则， 解得或，又因为，所以， 所以． 解法2、因为，可得， 所以， ， 所以且， 解得，，所以．故答案为：. 【变式训练5-5】如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边在直线上，所以. 所以.故选：B. 【变式训练5-6】我圆古代数学家赵爽在注解《周牌算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为， 因为是直角三角形较小的锐角，所以， 可得， 则， 即，所以，解得或（舍去）， 所以.故选：C. 题型06：切弦互化--二次齐次型求值 【典型例题1】若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以 .故选：A 【典型例题2】.若，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】根据，将原式齐次化后再弦化切即可得答案. 解：原式． 故选：C． 【变式训练6-1】已知，则的值为（    ） A． B．18 C． D．15 【答案】A 【解析】原式可除以化简成，代入求值即可 ， 代入可算得原式的值为.故选：A 【变式训练6-2】已知，那么的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】对于正余弦的齐次式，进行弦化切，代入求解. ，将代入上式，得原式． 故选：A． 【变式训练6-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案. 由题意知，则 ， 故选：D 题型07：切弦互化--分式型二次求值 【典型例题1】.已知，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用齐次式，上下同时除以得到答案. 故答案选C 【典型例题2】.已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 点睛：利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化． 【典型例题3】已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．2 D． 【答案】A 【解析】利用弦化切即可求得所求代数式的值. 因为，则， 原式. 故选：A. 【变式训练7-1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对式子上下同时除以，化简代入数据计算得到答案. . 故选：C 【变式训练7-2】已知，则＝（ ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【解析】因为 所以 ，故选：A 【变式训练7-3】如果，那么 ， ， ． 【答案】 1 /0.6 /0.6 【解析】空一：由齐次式将弦化切求值；空二、三：由正余弦的平方关系，将已知式中弦化切求值. 由，得， ， ． 故答案为：1，， 【变式训练7-4】（多选）若，则可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为， 所以， 则， 即，解得或.故选：AD. 题型08：切弦互化--“1”的代换型互化 【典型例题1】若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】正、余弦齐次式的计算求值. 由，有， ∴. 故选：B 【典型例题2】.若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据，上下同除，进而可得解. . 故选：A. 【变式训练8-1】已知，则 ． 【答案】 【解析】先进行弦化切，然后把代入求值. ∵，∴原式故答案为： 【变式训练8-2】设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，则，解得， 所以.故选：B 【变式训练8-3】已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以原式 （2）因为， 所以 . 【变式训练8-4】若tanα＝3，则 . 【答案】 【解析】由题意知，将所求分式的分子分母同时除以，转为关于的式子，将tanα＝3代入可求解. 由题意知，则 . 故答案为: 【变式训练8-5】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三角函数的基本关系式，化简为三角函数的“齐次式”，代入即可求解. 由， 因为，可得， 即.故选：C. 题型09：切弦互化：正余弦平方型互化 形如，可以通过平方构造齐次型求正切 【典型例题1】已知是的内角，且，则的值为（    ） A．-1或7 B．或1 C．-1 D． 【答案】C 【解析】将等式两边平方，应用同角三角函数的平方关系及商数关系可得，结合题设即可确定的值. ∵， ∴ ∴或． 由且，故．∴.故选：C． 【典型例题2】已知，，则（    ） A．0和 B． C． D．和0 【答案】B 【解析】根据同角三角函数的基本关系，求出正弦值，余弦值，再求正切值. 因为，所以，因为， 所以，整理得，解得或， 由则当时，（代入条件验证矛盾舍去）， 当时，，所以.故选：B 【变式训练9-1】已知为三角形的内角，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可. 计算得，所以，， 从而可计算的，， ,选项A正确，选项BCD错误.故选：A. 【变式训练9-2】已知是第一象限的角，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】条件中四次方先同配方法进行降次，求出，后添上分母1，再将“1”用“”代换，为了寻找与的关系，借助于合理转换，从而求出所求式的值. 解：因为，所以，所以，所以，所以，解得 (，舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以为小于1的正数)．故选：A. 【变式训练9-3】已知，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所给等式两边同时平方可得，代入的展开式求出，两式联立可求出，，即可求得. ①等式两边同时平方可得， 所以， 又，且， 所以，，，②， 联立①②可得，，所以. 故选：D 题型10： 同角三角函数关系与诱导公式二倍角公式 【典型例题1】若，则　　 A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】解：， ． 故选：． 【典型例题2】已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：． 故选：． 【典型例题3】已知，是第一象限角，且角，的终边关于轴对称，则　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：是第一象限角，且角，的终边关于轴对称， ，， ． 故选：． 【典型例题4】已知，则___． 【答案】 【解析】因为， 所以．故答案为：． 【典型例题5】在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）由题知角终边经过点，则， ∴，， 故. （2）由（1）知， 则， 故. 【典型例题6】已知. (1)化简； (2)若为第四象限角，且，求的值. 【答案】见解析 【解析】（1）由三角函数诱导公式知： . （2）为第四象限角，且，则， 可得. 【变式训练10-1】已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由，得，即， ． 故选：． 【变式训练10-2】已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：，所以，解得． 故选：． 【变式训练10-3】若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意知，，分子和分母同除以得， ，解得， ， 故选：． 【变式训练10-4】若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： 故选：． 【变式训练10-5】　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：． 故选：． 【变式训练10-6】若，，　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，，， ，， ． 故选：． 【变式训练10-7】已知，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， ， ， ， ， 故选：． 【变式训练10-8】　　． 【答案】 【解析】解： ． 故答案为：． 【变式训练10-9】设，则的值为　　． 【答案】 【解析】解： ． 又，，原式． 故答案为： 【变式训练10-10】已知，且，则　　． 【答案】 【解析】解： 原式 故答案为： 【变式训练10-11】已知是方程的根，是第三象限角，则　　． 【答案】 【解答】解：解得方程的两根为，， 由于是第三象限角，，则， ． 故答案为：． 【变式训练10-12】等腰三角形的底和腰之比为（黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形．如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形的顶角．根据这些信息，可求得的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图形知，则，所以， ，.故选：A 【变式训练10-13】如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点P，且点P的横坐标为，OP绕O逆时针旋转后与单位圆交于点Q，角的终边在OQ上，则（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由三角函数定义可知， 又为第一象限角，所以； 又，所以,. 故A，B错误； 因为，所以， 所以. . 故C错误，D正确；故选：D 【变式训练10-14】已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，则，， 所以. （2）由（1）知，， 所以 【变式训练10-15】已知，为第四象限角． (1)求的值； (2)设,求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）解：因为，为第四象限角， 所以， 所以. （2）解：因为， 所以 【变式训练10-16】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】见解析 【解析】解：（1）由已知得：， 即，故； （2）由已知得，结合得， 故，由得， 因此， 故． 【变式训练10-17】已知是第四象限角，． （1）化简． （2）若，求的值． 【答案】见解析 【解析】解：（1）． ． （2）因为 ， 所以． 因为是第四象限角， 所以，所以． 题型11：诱导公式：互余型互化求值 “互余”： 两个复合型角度相加为90°，可以用诱导公式转化 “广义互余”：两个复合型角度的和或者差为90°+k360°，可以用诱导公式转化 【典型例题1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知求得，再由诱导公式可求得选项. 因为，且，所以，所以， 又， 故选：D. 【典型例题2】已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出的范围，进而可求出的值，再利用诱导公式可求出和，结合，可求出答案. 因为是第二象限角，所以，则， 因为，所以，则， 则，， 所以.故选：D. 【变式训练11-1】若是第四象限角，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】确定角所处的象限，并求出的值，利用诱导公式求出的值． 是第四象限角，则， ，且， 所以，是第四象限角，则， 因此，，故选C． 【变式训练11-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据诱导公式计算得到，故，解得答案. 由诱导公式可知， 又得， 所以，. 故选：. 【变式训练11-3】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】化简得到，根据范围得到，计算得到答案. ∵，∴． 又，∴， ∴．故选： 【变式训练11-4】若是第四象限角，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】确定角所处的象限，并求出的值，利用诱导公式求出的值． 是第四象限角，则， ，且， 所以，是第四象限角，则， 因此，，故选C． 题型12:诱导公式：互补型互化求值 角度“互补”与“广义互补”可以用诱导公式转化： 1.“互补”：两个复合型角度相加为180°，可以用诱导公式转化 2.“广义互补”：两个复合型角度的和或者差为180°+k360°，可以用诱导公式转化 【典型例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，结合诱导公式，即可求解. 根据题意，. 故选：B. 【典型例题2】已知,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得到,再由得到结果,关键在于观察它们角之间的关系. 解：,所以, 故.故选：A. 【变式训练12-1】已知，则（    ） A．－ B． C．－ D． 【答案】A 【解析】利用诱导公式可得出，，从而可得出答案. 所以故选：A 【变式训练12-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，根据同角的平方关系结合诱导公式分别求得与，即可得到结果. 因为，且，则，则， 所以， 且， 所以.故选：A 【变式训练12-3】已知，则的值为 ； 【答案】 【解析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值. ， ， ， ， . 故答案为：. 题型13：诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用 【典型例题1】已知，且是第二象限角，则的值等于_______ 【答案】 【解析】，且是第二象限角，， ．故答案为：． 【典型例题2】已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角函数诱导公式求得，将进行弦化切，可得，将代入计算可得答案. 因为，所以， 所以, 故选:A. 【典型例题3】已知角的终边经过点，则（       ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】由三角函数定义和诱导公式得到，再利用两角和的正切公式求得，然后利用弦化切可得答案. 因为角的终边经过点，所以， 即，即，解得， 所以． 故选：C． 【典型例题4】已知. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由题知，进而根据同角三角函数关系求解即可. (1)解：由题意得 (2)解：∵，∴. ∴为第一或第二象限角， ∴， ∴ 【变式训练13-1】已知，且，则________． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，， 所以，， 所以． 故答案为：． 【变式训练13-2】已知，则___________. 【答案】 【解析】因为，所以， 则故答案为： 【变式训练13-3】已知，且，为方程的两根． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意得， 则，， ，得． （2） ， ，且， ，则，， ，则， 故原式． 【变式训练13-4】已知. （1）若，求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】， （1）当时，； （2）由，可得， 且，所以，所以， 所以. 【变式训练13-5】已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】因为， 所以，可得， （1）； （2）. 题型14：三角函数化简求值 【典型例题1】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为，所以，所以.故选：B 【典型例题2】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 当是第一象限角时，， 当是第二象限角时，， 当是第三象限角时，， 当是第四象限角时，， 综上，函数值域为．故选：C． 【典型例题3】已知是第四象限的角，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式 ， 因为是第四象限的角，所以， 所以原式化简的结果是.故选：D 【变式训练14-1】化简：（是第二、三象限角）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】． 当是第二、第三象限角时， 原式． 故选：C． 【变式训练14-2】化简为__________． 【答案】1 【解析】依题意． 故答案为：1． 【变式训练14-3】（多选）的值可能为（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】ABCD 【解析】由题得， 当在第一象限时，原式； 当在第二象限时，原式； 当在第三象限时，原式； 当在第四象限时，原式. 故选：ABCD 【变式训练14-4】化简的结果是（ ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】C 【解析】，故选：C. 【变式训练14-5】化简：若，则____________. 【答案】 【解析】 因为，所以，，且 所以原式 故答案为：. 【变式训练14-6】化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】．故选：D 【变式训练14-7】化简：若，则____________. 【答案】 【解析】 因为，所以，，且 所以原式 故答案为：. 【变式训练14-8】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先切割化弦，然后通分，再利用平方关系化简即可. ． 故选：D 【变式训练14-9】化简： ． 【答案】 【解析】利用同角三角函数的关系化简. ， 故答案为: . 【变式训练14-10】化简 (1) (2) (3) 【答案】(1)1；(2)1；(3)0. 【解析】根据同角关系式化简即得. （1） ； （2）； （3） . 【变式训练14-11】化简： (1)； (2)． 【答案】(1)cos40°﹣sin40°；(2)1. 【解析】（1）（2）根据同角三角函数的平方关系即可求解. （1）cos40°﹣sin40°； （2）原式= . 题型15：恒等证明 【典型例题1】已知角的终边在第三象限，，证明：． 【答案】证明见解析. 【解析】求出，，即得证. 由题可知 ．． 为第三象限角，为第三或第四象限角．又，为第四象限角， ． ．．所以得证. 【典型例题2】求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1） . 所以原式成立. （2） . 所以原式成立. 【典型例题3】求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【解析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 【变式训练15-1】设.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】由题意从所求式子的左边出发，把作为一个整体代入，再利用同角三角函数间基本关系进行化简即可证得右边. 证明：左边 把代入，得原式右边，故原等式成立. 【变式训练15-2】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】直接利用诱导公式化简左边即得证明. 证明：左边 =右边， 所以原式或立． 【变式训练15-3】若，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】分为偶数和为奇数讨论，利用诱导公式化简即可证明； 证明：若为偶数，则 左边；若为奇数，则左边 ； 左边=右边，所以原式成立. 【变式训练15-4】求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1） . 所以原式成立. （2） . 所以原式成立. 【变式训练15-5】证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）左边右边； 即 （2）右边 左边， 即 【变式训练15-6】求证：＝. 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵右边＝＝ ＝＝＝＝左边， ∴＝. 【变式训练15-7】求证： . 【答案】证明见解析 【解析】应用作差法，结合同角三角函数平方关系化简求值，即可证结论. ∵ ， ∴＝. 【变式训练15-8】证明： (1). (2)已知，，求证： 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）利用作差法结合同角三角函数的平方关系可证得结论成立； （2）由已知条件可得，，再利用同角三角函数的平方关系计算可证得结论成立. 【详解】（1）证明：因为 ， 因此，. （2）证明：因为，，则，， 所以，. 故结论得证. 题型16：换元法、角的拼凑 【典型例题1】若则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式计算可得； 解：因为， 所以， 故选：B. 【典型例题2】已知，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：∵，， ∴由诱导公式可得，， 故选：B. 解法二：换元法，设，则，，所以 【典型例题3】若，则__________． 【答案】 【解析】因为， 故答案为： 【变式训练16-1】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由则.故选：B 【变式训练16-2】当时，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵∴，∴， ∴． 故选：B 【变式训练16-3】（多选）已知，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，可得， ， ， ． 故选：BD 一．选择题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. ，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 5．在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令可得，再代入，结合诱导公式与二倍角公式求解即可 令可得，故，则 故选：C 7．（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出答案. . 故选：C 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解. ∵， 故选：D. 9.若tanα＝3，则sin2α﹣sinαcosα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接利用同角三角函数的关系式的变换的应用求出三角函数的值． 解：由于tanα＝3， 所以sin2α﹣sinαcosα． 故选：A． 10.已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　） A．sin（﹣x）＝﹣sinx B．sin（π+x）＝sinx C．tan（﹣x）＝tanx D．cos（π+x）＝cosx 【答案】A 【解析】根据诱导公式逐一判断即可． 解：A．sin（﹣x）＝﹣sinx，故正确； B．sin（π+x）＝﹣sinx，故错误； C．tan（﹣x）＝﹣tanx，故错误； D．cos（π+x）＝﹣cosx，故错误． 故选：A． 11.化简的结果是（　　） A． B．cos10° C． D． 【答案】D 【解析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解． 解：（cos10°﹣sin10°）cos10°sin10°． 故选：D． 12.已知，若θ是第二象限角，则tan（π+θ）的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意求出sinθ，又，再将sinθ，cosθ的值代入即可得出答案． 解：∵θ是第二象限角，又， ∴， ∴． 故选：C． 13.如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式即可化简求解． 解：因为， 所以sinα﹣sinα＝﹣2sinα． 故选：B． 14.若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值，可得要求式子的值． 解：∵，∴tanθ， 则， 故选：C． 15.已知，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】C 【解析】利用诱导公式即可求解． 解：tan（π）＝﹣tan， cos（8π）＝cos， sin（8π）＝﹣sin， 所以c＜a＜b． 故选：C． 16.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线4x+3y＝0上，则（　　） A．3 B． C．﹣3 D．﹣4 【答案】C 【解析】通过题目所给条件求出tanθ，然后通过诱导公式对进行化简，最后弦化切得到答案． 解：由已知可得，tanθ， 又因为3． 故选：C． 二．多选题 1.设为第一象限角,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】首先由题意得是第一象限角,所以,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案. 由题意得, 则, 若在第四象限,则, 所以也是第一象限角,即,,A项错误; ,B项正确; ,C项错误; ,D项正确. 故选:BD. 2.已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项. 对于A：因为所以 即，所以A正确; 对于B、C：因为，且， 所以，即，所以所以B错误，C正确; 对于D：联立，解得所以，所以D正确. 故选：ACD. 3.已知，且，，是在内的三个不同零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A、B，将根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断C，将通过诱导公式化为，再将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D. 解：由题知，，是的三个根， 可化为，即， 所以可得或，， 解得或，， 因为，所以不成立， 当，成立时，取，解得， 取，解得，取，解得， 取，解得（舍）， 故，，， 所以选项A正确； 因为，所以选项B错误； ， 故选项C正确； 而 ， 根据积化和差公式：， 所以原式可化为： ，故选项D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有： （1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的； （2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简； （3）积化和差公式：，，，. 4．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解. 由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角， 设t时刻两点重合，则,即， 此时点， 即， 当时，，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故D正确. 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合. 故选：ABD. 5.函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C． D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象 【答案】AB 【解析】对A、B、C：根据函数图象求，即可分析判断；对D：根据图象变换结合诱导公式求解析式，即可得结果. 对A：由图可知：，即， ∵，则， 故的值域为，A正确； 对B：由图可得：，则，B正确； 对C：∵，且，可得， ∴， 由图可得：的图象过点， 即，则， 且，可得， 可得，则，C错误； 对D：可得：， 将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到， D错误； 故选：AB. 6.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图象近似函数的图象，而破碎的涌潮的图象近似（是函数的导函数）的图象．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则（    ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调 【答案】BC 【解析】对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案； 对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案； 对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案； 对于D，利用整体思想，整体换元结合余弦函数的性质，可得答案. ，则，由题意得，即，故，因为，所以，由则，，故选项A错误； 因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以， 则，故选项B正确； 因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确； ，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上不单调，则选项D错误， 故选：BC. 7.已知，θ∈（0，2π），则θ可能等于（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意，利用诱导公式，求得tanθ，可得θ的值． 解：∵，θ∈（0，2π）， ∴sinθ＝cosθ，即tanθ，∴θ，或θ， 故选：BD． 8.已知，α∈（0，π），则下列选项中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由已知结合同角平方关系分别检验各选项即可判断． 解：因为，α∈（0，π）， 两边平方得1+2sinαcosα， 所以2sinαcosα0， 所以sinα＞0，cosα＜0， 所以sinα﹣cosα，A正确； 所以sin，cosα，tanα，sin2α＝2sinαcosα，B错误，C正确，D正确． 故选：ACD． 9.已知3，α，则（　　） A．tanα＝2 B．sinα﹣cosα C．sin4α﹣cos4α D． 【答案】ACD 【解析】根据已知利用三角函数恒等变换的应用逐项化简求值即可得解． 解：因为3， 所以tanα＝2，故A正确， 因为tanα2＞0，又α， 则0＜α， 所以sinα＞0，cosα＞0， 由3＞0，可得sinα﹣cosα＞0，故B错误， 因为sin4α﹣cos4α＝（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）＝sin2α﹣cos2α，故C正确， 因为，故D正确． 故选：ACD． 10.下列计算或化简结果正确的是（　　） A． B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 【答案】ABD 【解析】A，由sinα＝cosα•tanα，可得解； B，先利用tanα进行化简，再由sin2α+cos2α＝1进行求值，即可； C，根据“同除余弦可化切”的思想，得解； D，先利用二倍角公式对分母进行化简，再去根号后，即可得解． 解：选项A，2，即A正确； 选项B，tanα2，即B正确； 选项C，2，即C错误； 选项D，（），即D正确． 故选：ABD． 三．填空题 1．已知，，则cosα﹣sinα＝　　． 【答案】 【解析】由已知0，，可知α，可得cosα﹣sinα＜0，进而利用平方差公式及同角三角函数基本关系式即可求解． 解：因为0，， 可知α， 所以cosα﹣sinα＜0， 所以（cosα﹣sinα）2＝1﹣2sinαcosα＝1−2， 所以cosα−sinα． 故答案为：． 2.已知sin（α﹣3π）＝2sin（﹣α），求　　． 【答案】 【解析】由题意，利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式，计算求得结果． 解：∵，即﹣sinα＝﹣2cosα，∴tanα＝2， ∴， 故答案为：． 3.已知，α为第三象限角，则　　． 【答案】 【解析】利用正弦的和角公式化简得出sinα的值，由此即可得出cosα，tanα的值，再根据诱导公式以及弦化切化简所求的关系式，最后代入tanα的值，即可求解． 解：因为， 所以sin[（α﹣β）+β]＝sinα，又因为α为第三象限角， 所以cos，所以tan， 则 ． 故答案为：． 4.已知，，则　　． 【答案】- 【解析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解． 解：因为，， 所以tanα＝2， 则． 故答案为：． 5.已知为锐角，，则 ． 【答案】 【解析】利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范围即可得解. 因为 ， 所以， 又因为为锐角， 所以. 故答案为： 6.已知，则的值为 . 【答案】 【解析】根据诱导公式以及同角关系即可求解. 由可得， 故答案为： 7.已知，，则 ． 【答案】0 【解析】将平方，结合可得， 利用二倍角余弦公式将化简求值，可得答案. 将平方得， 结合可得，即， 则 ， 故答案为：0 8．已知是第二象限角，且，则 ． 【答案】 【解析】利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果. 是第二象限角，， ，， . 故答案为：. 四．解答题 1.已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ，求下列各式的值： （Ⅰ）sinθcosθ； （Ⅱ）sinθ﹣cosθ； （Ⅲ）tanθ． 【解析】利用正余弦以及切的同角关系化简即可求解． 解：（Ⅰ）因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ， 所以（sinθ+cosθ）2，即1+2sinθcosθ， 则sin， （Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinθcosθ＜0，所以θ∈（）， 则sinθ＞0，cosθ＜0，所以sinθ﹣cosθ＞0， 则sinθ﹣cosθ， （Ⅲ）由，解得tan． 2.已知sinα，且α∈（，π）． （1）求tanα的值； （2）求的值． 【解析】（1）由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值； （2）原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后将各自的值代入计算即可求出值． 解：（1）∵sinα，且α∈（，π）， ∴cosα， 则tanα； （2）∵sinα，cosα， ∴原式cosα﹣sinα． 3.已知，且，求下列各式的值． （1）； （2）． 【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解． （2）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解． 解：（1）因为，且， 所以sinα，则tanα＝﹣2， 所以0； （2）原式tanα＝2． 4.（1）化简：； （2）向量，，当时，求的值． 【解析】（1）结合诱导公式，二倍角公式，同角三角函数的平方关系，化简即可； （2）由，同角三角函数的商数关系，推出tanx，再根据“同除余弦可化切”的思想，运算得解． 解：（1） 1． （2）因为，所以﹣sinxcosx＝0，即tanx， 所以． 5.已知α、β∈（0，）且sinβ＝cos（α+β）•sinα． （1）求证：tanβ； （2）求tanβ的最大值． 【解析】（1）由条件利用两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，证得要证的等式成立． （2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，化简tanβ的解析式，再利用基本不等式求得tanβ的最大值． 解：（1）由于α、β∈（0，）且sinβ＝cos（α+β）•sinα， ∴sinβ＝cosαcosβsinα﹣sinαsinβsinα，即 tanβ＝sinαcosα﹣sin2αtanβ， 解得tanβ，即tanβ成立． （2）由于tanβ ， 当且仅当4tanα，即tanα时，取等号，故tanβ的最大值为． 6.（1）求证： （2）已知tanθ+sinθ＝a，tanθ﹣sinθ＝b，求证：（a2﹣b2）2＝16ab． 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简等式的坐标，可得它等于等式的右边，从而证得等式成立． （2）利用同角三角函数的基本关系化简等式的左边为，同理化简等式的右边也等于，从而证得等式成立． 解：证明：∵， ∴成立． （2）证明：∵tanθ+sinθ＝a，tanθ﹣sinθ＝b，∴（a2﹣b2）2＝[（a+b）•（a﹣b）]2＝（2tanθ•2sinθ）2， 再根据16ab＝16（tan2θ﹣sin2θ）＝1616•， ∴（a2﹣b2）2＝16ab 成立． 7.如图，已知在中，M为BC上一点，，且． (1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案； （2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案. （1）因为，, 所以， 因为， 所以由正弦定理知，即， 因为，所以，， 在中，． （2）由题意知，设， 由余弦定理得，解得或． 因为，所以， 因为AM为的平分线， 所以（h为底边BC的高） 所以，故， 而由（1）知， 所以． 8.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. （1） ， ∴， 因为，得，所以或， 解得或，因为，得，∴． （2）由（1）知，，，由正弦定理，得， 由余弦定理，得，即， 整理，得，由得， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 同角的三角函数关系 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 4 题型01：平方关系 4 题型02：平方关系求参数 6 题型03：正余弦“和、积”互化 7 题型04：一元二次方程韦达定理型 9 题型05：切弦互化-分式一次型互求 10 题型06：切弦互化-二次齐次型求值 11 题型07：切弦互化-分式型二次求值 12 题型08：切弦互化-“1”的代换型互化 13 题型09：切弦互化-正余弦平方型互化 14 题型10：同角三角函数关系与诱导公式及二倍角公式 14 题型11：诱导公式-互余型互化求值 19 题型12: 诱导公式-互补型互化求值 20 题型13：同角关系诱导公式与三角函数定义的综合运用 21 题型14：化简求值 23 题型15：恒等证明 25 题型16：换元法、角的拼凑 26 巩固提升 28 一、考情定位 同角三角函数关系是三角函数的核心基础，新高考中必考且高频，近5年全国卷与新高考卷均稳定考查，多以5分选择题或填空题呈现，难度为基础偏易，常与诱导公式、三角恒等变换、三角函数图象性质结合命题，是“送分题”的重要来源。 二、核心考点 1. “知一求二”：已知一个三角函数值，结合角的象限判断符号，利用平方关系与商数关系求出另外两个三角函数值，核心是符号判断与开方取舍。 2. 弦切互化：通过商数关系将正弦、余弦与正切互化，尤其在齐次式求值中，分子分母同除以cosα及其平方转化为正切的表达式，快速求解。 3. 和积互化：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，实现三者间的互求，解决条件求值问题。 4. 化简与证明：利用基本关系化简三角函数式、证明三角恒等式，强调公式变形与逻辑推导，注重步骤规范。 5. 综合衔接：与诱导公式、二倍角公式等结合，解决复杂角度的化简求值，或与三角函数图象性质、解三角形等内容联动命题。 三、命题趋势 1. 题型稳定：以选择、填空为主，聚焦基础求值与化简，较少出现复杂推理，强调对公式的快速准确应用。 2. 角度创新：常结合较大角度、负角或含参数的角，先通过诱导公式转化，再用同角关系求解，核心仍是“先化简、再求值”的逻辑。 3. 素养导向：突出数学运算与逻辑推理素养，要求考生熟练运用公式，避免因符号判断错误或公式变形不当丢分。 4. 融合命题：与三角恒等变换、三角函数图象性质、解三角形等内容结合，考查知识的综合运用能力，难度适中。 1. 公式掌握目标 牢记同角三角函数的平方关系和商数关系理解公式的适用条件。 2. 基础应用目标 掌握“知一求二”的解题方法，已知一个三角函数值时，能结合角的象限判断符号，利用平方关系和商数关系求出另外两个三角函数值；能熟练进行弦切互化，解决简单的化简、求值问题。 3. 进阶应用目标： 对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，实现三者间的互求，解决条件求值问题。 4. 综合衔接目标： 能将同角三角函数关系与诱导公式、三角恒等变换结合，解决复杂角度的化简求值问题；能运用公式证明简单的三角恒等式，培养逻辑推理与数学运算素养，为后续三角函数图象性质、解三角形等内容的学习夯实基础。 一、同角三角函数的基本关系 1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 注意以下三点： （1） “同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 二、三角函数求值问题处理方法 1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． 2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口． 三、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 四、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 考点1：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 考点2：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【常用结论总结】 同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 解题思想方法 1. 分类讨论思想：当角的象限不确定时，需分象限讨论三角函数值的符号，避免漏解。 2. 整体代换思想：将于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcos α，等看作整体，简化计算过程。 3. 转化与化归思想：通过弦切互化、和积互化，将未知问题转化为已知问题求解。 题型01：平方关系 【典型例题1】已知，在第二象限，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由及是第二象限角，得， 所以.故选：C 【典型例题2】已知，且为第四象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为第四象限角，所以．故选：D. 【典型例题3】已知是第二象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵为第二象限角，， ∴．故选：B． 【典型例题4】已知角终边在第一象限，，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，在第一象限，则， 所以.故选：C. 【典型例题5】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果. 由得：， ， 解得：或， 又，，即，， . 故选：C. 【变式训练1-1】已知为第二象限角，且，则______，_____． 【变式训练1-2】已知，则 ． 【变式训练1-3】已知A为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1-4】“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式训练1-5】若，求，． 【变式训练1-6】已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】已知，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【变式训练1-8】（多选）已知，则的值可以是（    ） A． B． C． D．3 题型02：平方关系求参数 【典型例题1】已知，，且．则实数的值 ． 【答案】 【解析】利用同角三角函数基本关系式，即可求解，注意这个条件，需进行验证. ，，解得：或， 当时，，不满足，故舍去； 当时，，，满足.所以.故答案为： 【变式训练2-1】．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 【变式训练2-2】．已知，则实数 ． 【变式训练2-3】.已知，且为第二象限角，则m的值为 . 【变式训练2-4】.已知，，则实数 ． 题型03：正余弦“和、积”互化 对于、、这三个式子，利用可以知一求二． 【典型例题1】.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据，，三者间关系求解即可. 因为①，两边平方得， 故， 所以与异号，又，所以，， 所以②， 由①②解得 ，所以．故选：C 【典型例题2】.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将等式两边平方可求得的值，利用切化弦可求得的值. 由，可得，得， 因此，. 故选：C. 【典型例题3】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式平方可得，然后可求的平方，结合的范围即可求解. ∵，∴， ∵， ∴，又∵， ∴∴. ∴故选：. 【典型例题4】的三个内角为，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为，， 故可得，故， 则.故选：D. 【变式训练3-1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知,,则 A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知，，则 __________ . 【变式训练3-6】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【变式训练3-8】已知，则______． 题型04：一元二次方程韦达定理型 若是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，则： 【典型例题1】若是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由根与系数关系及平方关系得，结合判别式求参数值. 由题设，，且， ，且或， 所以，可得，故. 故选：A 【典型例题2】已知，是关于的方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程有实根，，由此得的范围，然后由韦达定理结合可求得． 由题意，解得或． 又，， ∴，解得， 又或．∴．故选：C． 【变式训练4-1】已知与是方程的两个根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】若为关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】若，是关于的方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D．不存在 【变式训练4-4】若及是关于的方程的两个实根，求实数的值. 【变式训练4-5】已知，是关于x的一元二次方程的两根． （1）求的值； （2）若，求的值． 题型05：切弦互化--分式一次型互求 （正、余弦齐次式的应用） 【典型例题1】.已知（    ）. A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】利用同角三角函数间的基本关系，将分式的分子和分母分别除以，化简整理即可求解. 因为，由题意可知:, 将分式的分子和分母分别除以，可得:, 解得:.故选：. 【典型例题2】已知,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以,将弦化切,代入求解即可. , .故选:A. 【典型例题3】已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，求出，再利用齐次式法计算作答. 因，则， 所以.故选：C 【变式训练5-1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】设，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式训练5-3】已知，则 . 【变式训练5-4】已知，且，则_________ 【变式训练5-5】如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】我圆古代数学家赵爽在注解《周牌算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型06：切弦互化--二次齐次型求值 【典型例题1】若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以 .故选：A 【典型例题2】.若，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】根据，将原式齐次化后再弦化切即可得答案. 解：原式． 故选：C． 【变式训练6-1】已知，则的值为（    ） A． B．18 C． D．15 【变式训练6-2】已知，那么的值是（    ） A． B． C．3 D． 【变式训练6-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型07：切弦互化--分式型二次求值 【典型例题1】.已知，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用齐次式，上下同时除以得到答案. 故答案选C 【典型例题2】.已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 点睛：利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化． 【典型例题3】已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．2 D． 【答案】A 【解析】利用弦化切即可求得所求代数式的值. 因为，则， 原式. 故选：A. 【变式训练7-1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知，则＝（ ） A． B．2 C． D．6 【变式训练7-3】如果，那么 ， ， ． 【变式训练7-4】（多选）若，则可以是（ ） A． B． C． D． 题型08：切弦互化--“1”的代换型互化 【典型例题1】若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】正、余弦齐次式的计算求值. 由，有， ∴. 故选：B 【典型例题2】.若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据，上下同除，进而可得解. . 故选：A. 【变式训练8-1】已知，则 ． 【变式训练8-2】设，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【变式训练8-4】若tanα＝3，则 . 【变式训练8-5】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型09：切弦互化：正余弦平方型互化 形如，可以通过平方构造齐次型求正切 【典型例题1】已知是的内角，且，则的值为（    ） A．-1或7 B．或1 C．-1 D． 【答案】C 【解析】将等式两边平方，应用同角三角函数的平方关系及商数关系可得，结合题设即可确定的值. ∵， ∴ ∴或． 由且，故．∴.故选：C． 【典型例题2】已知，，则（    ） A．0和 B． C． D．和0 【答案】B 【解析】根据同角三角函数的基本关系，求出正弦值，余弦值，再求正切值. 因为，所以，因为， 所以，整理得，解得或， 由则当时，（代入条件验证矛盾舍去）， 当时，，所以.故选：B 【变式训练9-1】已知为三角形的内角，且，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知是第一象限的角，且，那么（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知，则 A． B． C． D． 题型10： 同角三角函数关系与诱导公式二倍角公式 【典型例题1】若，则　　 A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】解：， ． 故选：． 【典型例题2】已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：． 故选：． 【典型例题3】已知，是第一象限角，且角，的终边关于轴对称，则　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：是第一象限角，且角，的终边关于轴对称， ，， ． 故选：． 【典型例题4】已知，则___． 【答案】 【解析】因为， 所以．故答案为：． 【典型例题5】在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）由题知角终边经过点，则， ∴，， 故. （2）由（1）知， 则， 故. 【典型例题6】已知. (1)化简； (2)若为第四象限角，且，求的值. 【答案】见解析 【解析】（1）由三角函数诱导公式知： . （2）为第四象限角，且，则， 可得. 【变式训练10-1】已知，则　　 A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知，则　　 A． B． C． D． 【变式训练10-3】若，则等于　　 A． B． C． D． 【变式训练10-4】若，则等于　　 A． B． C． D． 【变式训练10-5】　　 A． B． C． D． 【变式训练10-6】若，，　　 A． B． C． D． 【变式训练10-7】已知，则等于　　 A． B． C． D． 【变式训练10-8】　　． 【变式训练10-9】设，则的值为　　． 【变式训练10-10】已知，且，则　　． 【变式训练10-11】已知是方程的根，是第三象限角，则　　． 【变式训练10-12】等腰三角形的底和腰之比为（黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形．如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形的顶角．根据这些信息，可求得的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-13】如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点P，且点P的横坐标为，OP绕O逆时针旋转后与单位圆交于点Q，角的终边在OQ上，则（    ） A．B．C．D． 【变式训练10-14】已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式训练10-15】已知，为第四象限角． (1)求的值； (2)设,求的值． 【变式训练10-16】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【变式训练10-17】已知是第四象限角，． （1）化简． （2）若，求的值． 题型11：诱导公式：互余型互化求值 “互余”： 两个复合型角度相加为90°，可以用诱导公式转化 “广义互余”：两个复合型角度的和或者差为90°+k360°，可以用诱导公式转化 【典型例题1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知求得，再由诱导公式可求得选项. 因为，且，所以，所以， 又， 故选：D. 【典型例题2】已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出的范围，进而可求出的值，再利用诱导公式可求出和，结合，可求出答案. 因为是第二象限角，所以，则， 因为，所以，则， 则，， 所以.故选：D. 【变式训练11-1】若是第四象限角，，则 A． B． C． D． 【变式训练11-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-4】若是第四象限角，，则 A． B． C． D． 题型12:诱导公式：互补型互化求值 角度“互补”与“广义互补”可以用诱导公式转化： 1.“互补”：两个复合型角度相加为180°，可以用诱导公式转化 2.“广义互补”：两个复合型角度的和或者差为180°+k360°，可以用诱导公式转化 【典型例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，结合诱导公式，即可求解. 根据题意，. 故选：B. 【典型例题2】已知,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得到,再由得到结果,关键在于观察它们角之间的关系. 解：,所以, 故.故选：A. 【变式训练12-1】已知，则（    ） A．－ B． C．－ D． 【变式训练12-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】已知，则的值为 ； 题型13：诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用 【典型例题1】已知，且是第二象限角，则的值等于_______ 【答案】 【解析】，且是第二象限角，， ．故答案为：． 【典型例题2】已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角函数诱导公式求得，将进行弦化切，可得，将代入计算可得答案. 因为，所以， 所以, 故选:A. 【典型例题3】已知角的终边经过点，则（       ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】由三角函数定义和诱导公式得到，再利用两角和的正切公式求得，然后利用弦化切可得答案. 因为角的终边经过点，所以， 即，即，解得， 所以． 故选：C． 【典型例题4】已知. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由题知，进而根据同角三角函数关系求解即可. (1)解：由题意得 (2)解：∵，∴. ∴为第一或第二象限角， ∴， ∴ 【变式训练13-1】已知，且，则________． 【变式训练13-2】已知，则___________. 【变式训练13-3】已知，且，为方程的两根． （1）求的值； （2）求的值． 【变式训练13-4】已知. （1）若，求的值； （2）若，，求的值. 【变式训练13-5】已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 题型14：三角函数化简求值 【典型例题1】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为，所以，所以.故选：B 【典型例题2】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 当是第一象限角时，， 当是第二象限角时，， 当是第三象限角时，， 当是第四象限角时，， 综上，函数值域为．故选：C． 【典型例题3】已知是第四象限的角，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式 ， 因为是第四象限的角，所以， 所以原式化简的结果是.故选：D 【变式训练14-1】化简：（是第二、三象限角）（ ） A． B． C． D． 【变式训练14-2】化简为__________． 【变式训练14-3】（多选）的值可能为（ ） A．3 B． C．1 D． 【变式训练14-4】化简的结果是（ ） A． B．-1 C．1 D． 【变式训练14-5】化简：若，则____________. 【变式训练14-6】化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式训练14-7】化简：若，则____________. 【变式训练14-8】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-9】化简： ． 【变式训练14-10】化简 (1) (2) (3) 【变式训练14-11】化简： (1)； (2)． 题型15：恒等证明 【典型例题1】已知角的终边在第三象限，，证明：． 【答案】证明见解析. 【解析】求出，，即得证. 由题可知 ．． 为第三象限角，为第三或第四象限角．又，为第四象限角， ． ．．所以得证. 【典型例题2】求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1） . 所以原式成立. （2） . 所以原式成立. 【典型例题3】求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【解析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 【变式训练15-1】设.求证：. 【变式训练15-2】求证：． 【变式训练15-3】若，求证：. 【变式训练15-4】求证： （1）； （2）. 【变式训练15-5】证明： （1）； （2）． 【变式训练15-6】求证：＝. 【变式训练15-7】求证： . 【变式训练15-8】证明： (1). (2)已知，，求证： 题型16：换元法、角的拼凑 【典型例题1】若则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式计算可得； 解：因为， 所以， 故选：B. 【典型例题2】已知，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：∵，， ∴由诱导公式可得，， 故选：B. 解法二：换元法，设，则，，所以 【典型例题3】若，则__________． 【答案】 【解析】因为， 故答案为： 【变式训练16-1】若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练16-2】当时，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练16-3】（多选）已知，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 一．选择题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．（    ） A． B． C． D．1 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 9.若tanα＝3，则sin2α﹣sinαcosα＝（　　） A． B． C． D． 10.已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　） A．sin（﹣x）＝﹣sinx B．sin（π+x）＝sinx C．tan（﹣x）＝tanx D．cos（π+x）＝cosx 11.化简的结果是（　　） A． B．cos10° C． D． 12.已知，若θ是第二象限角，则tan（π+θ）的值为（　　） A． B． C． D． 13.如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 14.若，则（　　） A． B． C． D． 15.已知，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b 16.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线4x+3y＝0上，则（　　） A．3 B． C．﹣3 D．﹣4 二．多选题 1.设为第一象限角,,则（    ） A． B． C． D． 2.已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 3.已知，且，，是在内的三个不同零点，则（    ） A． B． C． D． 4．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 5.函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C． D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象 6.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图象近似函数的图象，而破碎的涌潮的图象近似（是函数的导函数）的图象．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则（    ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调 7.已知，θ∈（0，2π），则θ可能等于（　　） A． B． C． D． 8.已知，α∈（0，π），则下列选项中正确的有（　　） A． B． C． D． 9.已知3，α，则（　　） A．tanα＝2 B．sinα﹣cosα C．sin4α﹣cos4α D． 10.下列计算或化简结果正确的是（　　） A． B．若，则 C．若，则 D．若α为第一象限角，则 三．填空题 1．已知，，则cosα﹣sinα＝　　． 2.已知sin（α﹣3π）＝2sin（﹣α），求　　． 3.已知，α为第三象限角，则　　． 4.已知，，则　　． 5.已知为锐角，，则 ． 6.已知，则的值为 . 7.已知，，则 ． 8．已知是第二象限角，且，则 ． 四．解答题 1.已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ，求下列各式的值： （Ⅰ）sinθcosθ； （Ⅱ）sinθ﹣cosθ； （Ⅲ）tanθ． 2.已知sinα，且α∈（，π）． （1）求tanα的值； （2）求的值． 3.已知，且，求下列各式的值． （1）； （2）． 4.（1）化简：； （2）向量，，当时，求的值． 5.已知α、β∈（0，）且sinβ＝cos（α+β）•sinα． （1）求证：tanβ； （2）求tanβ的最大值． 6.（1）求证： （2）已知tanθ+sinθ＝a，tanθ﹣sinθ＝b，求证：（a2﹣b2）2＝16ab． 7.如图，已知在中，M为BC上一点，，且． (1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积． 8.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $