第02讲 诱导公式讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习三角函数（新高考通用）

该高中数学讲义聚焦诱导公式高考核心考点，涵盖公式记忆应用、角度转化、符号判断及综合衔接，按“负化正、大化小、角化锐”逻辑构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、6类题型训练等环节，帮助学生突破从基础化简到综合应用的难点，体现系统性复习设计。 资料以“奇变偶不变，符号看象限”口诀强化为特色，结合典型例题与变式训练分层突破，通过“三步转化”步骤培养数学运算与逻辑推理素养，设置基础巩固与综合提升练习保障复习效果，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第02讲 诱导公式 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：利用诱导公式给角求值 5 题型02：诱导公式给值求值 8 题型03：互余互补关系求值 15 题型04：化简求值 20 题型05：三角恒等式的证明 28 题型06 诱导公式与三角函数定义、同角三角函数关系的运用 32 巩固提升 48 一、考情定位 诱导公式是三角函数的核心基础，在新高考中属必考内容，通常以5分的选择题或填空题出现，难度为基础偏易，偶与同角三角函数关系、三角恒等变换、三角函数图象性质结合命题，是送分题的重要来源。 二、核心考点 1. 公式记忆与应用：掌握“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，能熟练运用六组诱导公式化简任意角的三角函数，将其转化为锐角三角函数。 2. 角度转化：实现负角转正角、大角化小角，快速计算特殊角的三角函数值。 3. 符号判断：根据角所在象限，结合诱导公式准确判断三角函数值的符号。 4. 综合衔接：与同角三角函数的平方关系、商数关系结合，解决“知一求二”、齐次式求值等问题。 三、命题趋势 1. 题型稳定：以选择、填空为主，聚焦化简求值，强调对公式的快速准确应用，较少出现复杂推理。 2. 角度创新：常考查较大角度、负角或含参数的角，核心仍是“负化正、大化小、化到锐角”的转化逻辑。 3. 素养导向：突出数学运算与逻辑推理素养，要求考生熟练运用公式，避免因符号判断错误或公式混淆丢分。 四、备考建议 1. 口诀强化：通过典型例题巩固“奇变偶不变，符号看象限”的应用，确保公式记忆准确无误。 2. 多练基础：集中训练角度互化、符号判断、化简求值等基础题型，提升计算速度与准确率。 3. 衔接训练：结合同角三角函数关系、三角恒等变换进行综合练习，掌握“先化简、再求值”的解题流程。 4. 易错防范：注意角的范围对符号的影响，避免弧度与角度混用，确保步骤规范、结果正确。 1. 公式掌握目标 牢记诱导公式的核心口诀“奇变偶不变，符号看象限”，熟练掌握六组诱导公式的形式，理解公式中“奇、偶”指的是的倍数奇偶性，“符号看象限”的判断逻辑。 2. 转化应用目标 能运用诱导公式实现任意角三角函数的转化，完成负角转正角、大角化小角、小角化锐角的三步转化，准确计算任意角的三角函数值。 3. 符号判断目标 掌握根据角的象限判断三角函数值符号的方法，结合诱导公式使用时，能精准确定化简后式子的符号，避免因符号失误导致结果错误。 4. 综合衔接目标 能将诱导公式与同角三角函数的基本关系、三角恒等变换结合，解决化简、求值、证明等基础综合问题，为后续三角函数图象性质、解三角形等内容的学习奠定基础。 一、诱导公式 1、诱导公式（一~六） 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四：，，，其中 诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 3、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1、“负化正”：用公式一或三来转化． 2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． 3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． 4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 三、利用诱导公式求值与求解解题策略 1、条件求值问题的策略 （1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． （2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． 3、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 诱导公式一 诱导公式二 诱导公式三 诱导公式四 诱导公式五 诱导公式六 诱导公式七 诱导公式八 1.诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2.常见的互余关系有与，与，与等； 1. 数形结合思想：借助单位圆或坐标系，直观理解角的终边位置、三角函数的几何意义，快速判断符号或求值。 2. 分类讨论思想：当角的终边位置不确定时，需分类讨论角所在的象限，避免漏解。 3. 知识衔接技巧：本模块结论常与同角三角函数基本关系、诱导公式结合，解题时注意步骤衔接，先定符号再算数值。 4.条件求值问题的策略： （1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． （2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 5.给值求角问题： 先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． 6：观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 题型01：利用诱导公式给角求值 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化； (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【典型例题1】 　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】．故选A． 【典型例题2】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,故选：B. 【典型例题3】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】故选：B． 【典型例题4】　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ．故选B． 【典型例题5】______． 【答案】 【解析】. 故答案为: . 【变式训练1-1】．　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】．故选B． 【变式训练1-2】．计算的值为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选A． 【变式训练1-3】.= . 【答案】 【解析】由三角函数的诱导公式得. 【变式训练1-4】cos（﹣150°）＝（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【答案】C 【解析】，故选：C． 【变式训练1-5】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 【变式训练1-6】.（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C 【变式训练1-7】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 【变式训练1-8】若f（cosx）＝cos3x，则f（sin30°）的值为　　． 【答案】-1 【解析】解：因为已知f（cosx）＝cos3x，和特殊角的三角函数得：sin30°＝cos60° 所以f（sin30°）＝f（cos60°）＝cos（3×60°）＝cos180°＝﹣1． 【变式训练1-9】已知，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：因为a＝sin160°＝cos70°＜cos50°＝b，即0＜a＜b＜1， 又因为c＝tan110°＝﹣tan70°＜0，即c＜a＜b，故选：C． 【变式训练1-10】计算：________. 【答案】-1 【解析】解：原式=4-18+12+1=-1. 【变式训练1-11】设，其中，若，则（ ） A．4 B．3 C．－5 D．5 【答案】C 【解析】 ．故选：C. 题型02：诱导公式给值求值 　解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【典型例题1】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， ∴.故选：A. 【典型例题2】已知，则　　 A． B．1 C． D．5 【答案】D 【解析】因为，所以，即， 原式．故选D． 【典型例题3】若，且是第三象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 又是第三象限角，， .故选：C. 【典型例题4】已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：由诱导公式可得，所以，. 因此，.故选：D. 【典型例题5】若，其中，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，其中， 可得，． ，， 则． 故选C． 【变式训练2-1】设，若则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以.故选：C. 【变式训练2-2】设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， ， 所以.故选：C. 【变式训练2-3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 【变式训练2-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.故选：B. 【变式训练2-5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由诱导公式可得：，故.故选：B. 【变式训练2-6】已知为锐角，且，则的值为 . 【答案】 【解析】因为为锐角，且，所以，所以，故答案为: . 【变式训练2-7】已知α为钝角，且cos（+α）＝﹣，则cosα＝　　． 【答案】 【解析】解：∵cos（+α）＝﹣sinα＝﹣，∴sinα＝，∵α为钝角，∴cosα＝﹣＝﹣． 【变式训练2-8】已知为第二象限角，，则 . 【答案】- 【解析】依题意可得，，即，解得，又为第二象限角，，则，. 【变式训练2-9】已知，则 . 【答案】2 【解析】由题意，，，∴，即. 【变式训练2-10】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，，所以.因为，所以，.所以，.故选：C. 【变式训练2-11】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为，所以，又，且，所以，所以，所以；故选：B 【变式训练2-12】已知，则的值为 . 【答案】- 【解析】,, . 【变式训练2-13】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 则，故选：B. 【变式训练2-14】若、是关于的方程的两个根，则 . 【答案】 【解析】由题意得，，则或， 又，即，解得或（舍去），则， 所以 .故答案为：. 【变式训练2-15】已知sin，则（　　） A． B． C． D．± 【答案】C 【解析】∵sin，∴ .故选：C. 【变式训练2-16】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，且，则，则， 则.故选：C. 【变式训练2-17】当，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当，， 可得， 所以．故选B． 【变式训练2-18】已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则．故选B． 【变式训练2-19】若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 , 所以 原式，故选C. 【变式训练2-20】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-21】．函数，的图象与直线的交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】的图象与直线的交点的个数， 即方程在区间上的解的个数， 由在区间上的解为或， 可得方程在区间上的解的个数为2，故选C. 【变式训练2-22】．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为， ， 则， 因为， 即， 所以， 故选：B 【变式训练2-23】．若为任意角，则满足的一个的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 所以满足条件的一个的值为2.故选：B 【变式训练2-24】．如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】C 【解析】设单位圆与轴正半轴的交点为，则，所以，，故. 故选：C 题型03：互余互补关系求值 【典型例题1】若则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，故选：B. 【典型例题2】已知 ，，则cos()=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ， ，故选：A 【典型例题3】已知，则___________. 【答案】 【解析】， 又 . 【变式训练3-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以．故选B． 【变式训练3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由，结合诱导公式，即可得到结果. 因为，则. 故选：B 【变式训练3-3】若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据，结合三角函数诱导公式计算可得. 因为， 所以. 故选：. 【变式训练3-4】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用三角函数的基本关系式与诱导公式即可得解. 因为，所以， 则， 所以， 所以. 故选：C. 【变式训练3-5】．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先观察到，代入原式，利用诱导公式求解. 因为, 所以， 故选：A. 【变式训练3-6】．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察到，利用诱导公式整体代入求解. 观察到， 所以， 故选：C. 【变式训练3-7】．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三角函数的诱导公式，即可求得答案. 故选：B 【变式训练3-8】．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】通过构角，再利用诱导公式即可求出结果. 因为， 又，所以， 故选：B. 【变式训练3-9】．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，根据同角的平方关系结合诱导公式分别求得与，即可得到结果. 因为，且，则，则， 所以， 且， 所以. 故选：A 【变式训练3-10】若，则__________． 【答案】0 【解析】， 故答案为：0. 【变式训练3-11】已知函数. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） （2）因为， 所以， ， 故. 题型04：化简求值 三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan. 【典型例题1】．化简求值： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【答案】1； 【解析】（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【典型例题2】已知角终边上一点 （1）求的值； （2）化简并求值：. 【答案】1； 【解析】（1）由题得，所以. （2） . 【典型例题3】已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)-tanθ;(2)11;(3) 【解析】(1). (2)，. (3)，. 【典型例题4】已知. (1)若是第三象限角，，求的值； (2)若，求的值. 【答案】（1）;（2） 【解析】（1）解：由三角函数的诱导公式，可得， 因为是第三象限角，且，所以，所以. （2）解：将代入得. 【典型例题5】．若是锐角三角形的内角，则点在第_____________象限. 【答案】二 【解析】由题得,因为锐角三角形, 故,故,即. 又,同理.即. 故点在第二象限. 故答案为：二 【典型例题6】化简：＝________. 【答案】 【解析】原式= 故答案为： 【典型例题7】．若，，则___________. 【答案】-1 【解析】因为，所以， 所以， 所以，即或, 当时， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以. 当时，即， 所以， 所以，则. 因为，所以，所以， 故不符合题意，应舍去， 综合以上， 故答案为：-1 【典型例题8】．______． 【答案】 【解析】由题意，原式= . 故答案为：. 【变式训练4-1】化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，故选：C 【变式训练4-2】（多选）已知角满足，则的取值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，则且， 当为奇数时，原式； 当为偶数时，原式. 故原式的取值可能为、.故选：AC. 【变式训练4-3】已知． （1）化简； （2）若是第四象限角，且，求的值． 【答案】（1）-cos;（2） 【解析】（1）． （2）由，可得， 因为是第四象限角， 所以， 所以． 【变式训练4-4】已知， （1）化简； （2）求． 【答案】（1）cos;（2） 【解析】（1）； （2）． 【变式训练4-5】已知为第二象限角，． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），因为为第二象限角， ∴． （2）∵， ∴ 【变式训练4-6】（1）计算的值； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值. 【答案】（1）;（2） 【解析】（1）原式 ； （2）因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上， 所以， 则. 【变式训练4-7】已知 （1）化简 （2）若，α为第三象限角，求的值. 【答案】（1）-cos;（2） 【解析】（1）原式 即. （2）由，得，即. 为第三象限角，所以， . 【变式训练4-8】已知函数． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1）-cos;（2） 【解析】（1）函数； （2）因为，即， 所以． 【变式训练4-9】已知，且. (1)求的值；(2)求'的值. 【答案】（1）;（2） 【解析】（1）因为，故，即，且，则为第三象限角，故，因此，. （2）原式. 【变式训练4-10】已知角满足. (1)若角是第一象限角，求的值； (2)若角是第三象限角，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有， 消去得，解得或， 又角是第一象限角，则． （2）因为角是第三象限角，所以， ，所以. 【变式训练4-11】已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】（1）-；（2）- 【解析】（1）由题意知，，∴，； （2）原式，由（1）知，， ∴． 【变式训练4-12】已知 (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】（1）-tanα;（2） 【解析】（1）； （2）由得， . 【变式训练4-13】已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值. 【答案】(1)-cosα;(2);(3) 【解析】（1）； （2）∵，是第三象限角，∴，， ∴； （3） ∵，∴ 题型05：三角恒等式的证明 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 同角三角函数关系化简常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称； (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号； (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 【典型例题1】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：左边右边，得证． 【典型例题2】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：． 【典型例题3】已知、、为的三个内角，求证： 【答案】证明见解析 【解析】证明：在中，，则. 所以，， 故原等式得证. 【典型例题4】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：左边=右边， 所以原式成立． 【典型例题5】求证：=. 【答案】证明见解析 【解析】左边===， 右边===， 所以等式成立. 【变式训练5-1】证明：，． 【答案】证明见解析 【解析】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 【变式训练5-2】．证明下列等式： （1） （2） 【答案】证明见解析 【解析】证明：（1）左边右边． （2）左边右边． 【变式训练5-2】．已知，，，证明：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：左边，右边． 左边右边． ，，，，． 左边，而右边． 左边右边． 【变式训练5-3】．求证： 【答案】证明见解析 【解析】左边＝＝右边，所以原等式成立． 【变式训练5-4】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】左边==–tanα=右边，∴等式成立． 【变式训练5-5】．设.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：左边 把代入，得原式右边，故原等式成立. 【变式训练5-6】．求证：＝． 【答案】证明见解析 【解析】左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． 【变式训练5-7】．（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】证明见解析 【解析】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 题型06 诱导公式与三角函数定义、同角三角函数关系的运用 【典型例题1】．已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）利用平方关系及商数关系有，再代入求值. （2）应用诱导公式化简，再由商数关系及已知求值. （1）因为， 所以. （2）因为， . 【典型例题2】．已知角的终边过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据三角函数的定义计算；（2）利用诱导公式计算. （1） （2）原式=. 【典型例题3】．已知角的终边经过点． (1)求及的值； (2)若函数，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先求点到坐标原点的距离，然后根据任意角的三角函数的定义求解出对应三角函数值； （2）先根据诱导公式化简，然后根据（1）的结果可得答案. （1）角的终边经过点, ，且点到坐标原点的距离, ； （2） . 【典型例题4】．已知，且是第一象限角. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先弦化切，再结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. （2）先应用诱导公式，再弦化切，最后结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. （1） （2） 【典型例题5】．已知角的终边经过点． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由三角函数的定义可求得、的值； （2）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值. （1）解：因为角的终边经过点， 由三角函数定义可得， . （2）解：由三角函数的定义可得， 原式 . 【典型例题6】．已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）利用诱导公式即得； （2）利用同角三角函数关系及诱导公式即得. （1）因为， 所以； （2）因为，且， 所以，又， 所以， 所以, 所以. 【变式训练6-1】．已知角是第一象限角，且. (1)求的值； (2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由同角三角函数的平方关系可求解； （2）求得，由弦化切将变形为求解. （1）由题意知，，且， 解得. 故的值分别为. （2）因为角的终边与角的终边关于轴对称， 所以， 所以， 所以 【变式训练6-2】．已知 并且α是第二象限的角 (1)求sinα和tanα的值： (2)求的值. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解； （2）根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系求解. （1），并且是第二象限的角， ，                     （2）                       . 【变式训练6-3】．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在所求分式的分子、分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值； （2）利用诱导公式化简所求代数式，结合弦化切可求得所求代数式的值. （1）解：原式. （2）解：原式. 【变式训练6-4】．（1）已知，求的值； （2）已知角的终边经过点，求的值． 【答案】（1）3；（2）. 【解析】（1）将代入，化简即可得出答案； （2）化简可得.然后根据三角函数的定义，即可求出答案. （1）由题知. （2）由诱导公式可得. 由三角函数的定义知，所以． 【变式训练6-5】(1)已知角终边上一点，求的值； (2)已知关于x的方程的两根为和，.求实数b以及的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先由三角函数的定义求得，再利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的商数关系化简求值即可； （2）先利用韦达定理得到，，再将两边平方，结合即可求出，从而利用即可得解. （1）因为角终边上一点， 所以， 所以. （2）因为关于的方程的两根为和， 所以，， 因为，所以，所以， 因为，所以，且， 所以，则，故， 所以. 【变式训练6-6】．已知角的终边经过点，且. (1)求m的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据任意角三角函数的定义，建立方程，可得答案； （2）根据三角函数的诱导公式，可得答案. （1）因为已知角α的终边经过点P（m，3），且， 所以，解得. （2）由（1）可得 原式=. 【变式训练6-7】．已知. (1)求； (2)已知，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据三角函数诱导公式化简，再代入求值； （2）由得到，再根据角的范围分情况求得结果. （1）解：＝ ∴ （2）因为，所以 当时，，所以， 当时，，所以， 所以． 【变式训练6-8】．已知． (1)求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用诱导公式得到求解；． （2）由，得到，再由求解. （1）解：由诱导公式得， 所以． （2）由（1）得， 又，即， 所以． 【变式训练6-9】．已知为第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据正弦求出余弦，再求出正切值； （2）先利用诱导公式化简目标式，再代入求解. （1）因为为第三象限角，且，所以；. （2） 由（1）得，所以. 【变式训练6-10】．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值； （2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值. （1）角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合， 它的终边过点，则， 则； （2）由（1）得，则， 则 【变式训练6-11】．已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，，；(2) 【解析】（1）直接根据三角函数定义计算得到答案. （2）根据诱导公式计算得到，代入数据计算即可. （1）， 则，， （2）， 【变式训练6-12】．已知，. (1)求的值； (2)若角的终边与角关于轴对称，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用平方关系式求出和，再根据商数关系式求出； （2）根据角的终边与角关于轴对称，推出，，，，再根据诱导公式化简所求式子，代入可求出结果. （1）因为，所以， 由，得，得， 得，得或， 当时，由得，不符合题意； 当时，由得，所以. （2）若角的终边与角关于轴对称，则，，即，， 所以,,,, . 【变式训练6-13】．已知，且.求下列各式的值： (1)： (2). 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)根据角的范围和同角三角函数的基本关系得出，进一步得到，将式子弦化切即可求解； (2)利用诱导公式将式子化简为，结合（1）即可求解. （1）因为且，所以， 则， 所以. （2）. 【变式训练6-14】．已知是第二象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； （2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解. （1）由， 可得，即， 解得或. 因为是第二象限角，所以. （2）. 【变式训练6-15】．已知． (1)若角的终边过点，求； (2)若，分别求和的值． 【答案】(1)；(2)， 【解析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得. （2）根据齐次式的知识求得正确答案. （1） ， 若角的终边过点，则， 所以. （2）若， 所以； . 【变式训练6-16】．已知在第二象限，且． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)1 【解析】(1)先利用对数的运算进行化简，然后得出正弦值，再根据同角关系和所在象限得出余弦， 即可得出结果； (2)先利用诱导公式进行化简，然后再根据正切的齐次式化简，代入第一问正切值可得结果. （1）由，可得， 而，则， 因为是第二象限角，所以， 所以； （2）， 由，则原式. 【变式训练6-17】．已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用诱导公式化简； （2）由，可求得和，可得. （1）. （2）若是第三象限角，且，有 则，， 所以. 【变式训练6-18】．已知 (1)求 的值； (2)若，求的值 【答案】(1)；(2) 【检查】（1）将平方后结合即可得； （2）由确定三角函数正负符号后，可计算出、后，结合诱导公式即可得. （1）， 则， 又，则有； （2）， 则，由，故、， 即， 则有、， 则. 【变式训练6-19】．（1）化简； （2）已知，. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）利用诱导公式计算可得； （2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. （1）； （2）因为， 所以. 【变式训练6-20】．已知． (1)化简； (2)若为第四象限角且，求的值； (3)若，求． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）由诱导公式和同角三角函数的关系化简即可. （2）根据象限确定三角函数的符号，由同角三角函数的关系计算. （3）由函数解析式使用诱导公式化简计算. （1）． （2）因为为第四象限角且，所以， 所以． （3）因为，， 所以． 【变式训练6-21】．已知 (1)化简． (2)若，求的值． (3)若，且，求的值． 【答案】(1)；(2)1；(3) 【解析】（1）直接利用诱导公式即可得到化简得； （2）； （3）根据同角三角函数关系求得，则得到的值. （1）由题知 （2）因为，， 所以， （3）因为，且，所以，则 所以 【变式训练6-22】．已知为第三象限角，且. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据诱导公式即可求解；（2）根据同角三角函数的基本关系式即可求解. （1） . （2）， 所以， 为第三象限角， 所以， 又，且（为第三象限角）， 所以， 所以. 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角函数诱导公式求得，将进行弦化切，可得，将代入计算可得答案. 因为，所以， 所以, 故选：A. 2．在△中，“”是“△为钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由同角三角函数基本关系与三角函数性质判断 由，若，则为钝角； 若，则，此时，故充分性成立. △为钝角三角形，若为钝角，则不成立； ∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：. 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据诱导公式求得，再根据弦化切，将化为，即可求得答案. 由可得，， 故， 故选：D. 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据诱导公式及三角函数的值在各象限的符号，再利用同角三角函数的平方关系即可求解. 由，得，又，所以， 所以. 故选：A. 5．已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】应用诱导公式可得，再由平方关系及由弦化切求目标式的值. 由诱导公式得：， 所以. 则. 故选：D. 6．函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】利用三角函数的平方关系将化为，配方后结合二次函数知识，求得答案. ， 当时，取得最大值，且最大值为3, 故选：B. 7．若为任意角，则满足的一个的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，可得，结合四个选项可选出答案. 因为，所以，即， 所以满足条件的一个的值为2. 故选：B. 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案. 故选：B. 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，点，，，则下列说法正确的是（    ） A．线段与的长均为1 B．线段的长为1 C．当时，点，关于轴对称 D．当时，点，关于轴对称 【答案】ACD 【解析】对于A，直接代入公式计算即可；对于B，由结合勾股定理即可求得的长；对于C，将代入坐标即可；对于D，将代入坐标即可. 由勾股定理可得，同理可得，故A正确； 由题意得，由勾股定理得，故B错误； 当时，即，即，点，关于轴对称，故C正确； 当时，，即，即，故点，关于轴对称，故D正确. 故选：ACD. 10．已知函数，则（    ） A． B． C．， D．， 【答案】AD 【解析】根据函数的解析式逐项检验函数是否满足相应的性质，必要时可利用反例. 对于A，，故A正确. 对于B，，故， 故B错误. 对于C，，故， 故C错误. 对于D，当k为奇数时，； 当k为偶数时，， 所以. 故D正确. 故选：AD. 11．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错. ∵，∴，若，则，所以，故A符合条件； ，故B不符合条件； ，即，又，∴，故C符合条件； ，即，又，∴，故D不符合条件. 故选：AC. 12．已知，，则可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由诱导公式，即，再结合范围求解即可. 解：因为， 所以由得， 所以， 因为 所以可能等于或 故选：BD. 三、填空题 13．已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____. 【答案】18 【解析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值. 由，可得， ∴ . 故答案为：18. 14．______． 【答案】 【解析】利用三角函数的诱导公式化简，再借助特殊角的三角函数值计算可得. . 故答案为: . 15．______． 【答案】 【解析】根据诱导公式即可求得答案. 由题意，原式= . 故答案为：. 16．已知，则________． 【答案】-2 【解析】利用，，即可求出答案. 故答案为：-2. 四、解答题 17．已知，为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先利用同角三角函数的关系化简，则由，可得，而，代值计算即可， （2）由已恬条件可得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系化简计算即可. （1） 为第二象限角，则. . ∵，∴. ∴. （2） ， 则. ∵为第二象限角， ∴，，. ∴ . 18．已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)见解析 【解析】（1）由终边上的点可得，根据商数关系及诱导公式化简求值即可； （2）讨论、，结合终边上的点分别求出、，进而求目标式的值. （1）由题意，，所以． （2）当时，，， 所以． 当时，，， 所以． 综上，当时，； 当时，． 19．已知函数. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用诱导公式将角全部化成，再约分化简即可. （2）由条件代入解析式得，利用诱导公式求解即可． （1） （2）因为， 所以， ， 故. 20．在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足． (1)求点的坐标； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得点的坐标． （2）由题意利用诱导公式即可计算求解． （1）因为在第二象限，，所以，所以，又点的坐标为，所以 （2）． 21．已知 . (1)化简； (2)若是第四象限角，且 ，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，可得答案； （2）由诱导公式结合是第四象限角可求得以及，由（1）的结果可得答案. (1) 根据诱导公式可得： , 所以. (2) 由诱导公式可知,则由可得,     又是第四象限角, 所以,   所以. 22．已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)4 【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出，即可求得的值； (2)利用诱导公式化简原式为，再化为正切即可得解. (1) ∵，， ∴ ∴ (2) ， . 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 诱导公式 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：利用诱导公式给角求值 5 题型02：诱导公式给值求值 7 题型03：互余互补关系求值 11 题型04：化简求值 13 题型05：三角恒等式的证明 18 题型06 诱导公式与三角函数定义、同角三角函数关系的运用 20 巩固提升 27 一、考情定位 诱导公式是三角函数的核心基础，在新高考中属必考内容，通常以5分的选择题或填空题出现，难度为基础偏易，偶与同角三角函数关系、三角恒等变换、三角函数图象性质结合命题，是送分题的重要来源。 二、核心考点 1. 公式记忆与应用：掌握“奇变偶不变，符号看象限”的口诀，能熟练运用六组诱导公式化简任意角的三角函数，将其转化为锐角三角函数。 2. 角度转化：实现负角转正角、大角化小角，快速计算特殊角的三角函数值。 3. 符号判断：根据角所在象限，结合诱导公式准确判断三角函数值的符号。 4. 综合衔接：与同角三角函数的平方关系、商数关系结合，解决“知一求二”、齐次式求值等问题。 三、命题趋势 1. 题型稳定：以选择、填空为主，聚焦化简求值，强调对公式的快速准确应用，较少出现复杂推理。 2. 角度创新：常考查较大角度、负角或含参数的角，核心仍是“负化正、大化小、化到锐角”的转化逻辑。 3. 素养导向：突出数学运算与逻辑推理素养，要求考生熟练运用公式，避免因符号判断错误或公式混淆丢分。 四、备考建议 1. 口诀强化：通过典型例题巩固“奇变偶不变，符号看象限”的应用，确保公式记忆准确无误。 2. 多练基础：集中训练角度互化、符号判断、化简求值等基础题型，提升计算速度与准确率。 3. 衔接训练：结合同角三角函数关系、三角恒等变换进行综合练习，掌握“先化简、再求值”的解题流程。 4. 易错防范：注意角的范围对符号的影响，避免弧度与角度混用，确保步骤规范、结果正确。 1. 公式掌握目标 牢记诱导公式的核心口诀“奇变偶不变，符号看象限”，熟练掌握六组诱导公式的形式，理解公式中“奇、偶”指的是的倍数奇偶性，“符号看象限”的判断逻辑。 2. 转化应用目标 能运用诱导公式实现任意角三角函数的转化，完成负角转正角、大角化小角、小角化锐角的三步转化，准确计算任意角的三角函数值。 3. 符号判断目标 掌握根据角的象限判断三角函数值符号的方法，结合诱导公式使用时，能精准确定化简后式子的符号，避免因符号失误导致结果错误。 4. 综合衔接目标 能将诱导公式与同角三角函数的基本关系、三角恒等变换结合，解决化简、求值、证明等基础综合问题，为后续三角函数图象性质、解三角形等内容的学习奠定基础。 一、诱导公式 1、诱导公式（一~六） 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四：，，，其中 诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 3、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1、“负化正”：用公式一或三来转化． 2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． 3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． 4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 三、利用诱导公式求值与求解解题策略 1、条件求值问题的策略 （1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． （2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． 3、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 诱导公式一 诱导公式二 诱导公式三 诱导公式四 诱导公式五 诱导公式六 诱导公式七 诱导公式八 1.诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2.常见的互余关系有与，与，与等； 1. 数形结合思想：借助单位圆或坐标系，直观理解角的终边位置、三角函数的几何意义，快速判断符号或求值。 2. 分类讨论思想：当角的终边位置不确定时，需分类讨论角所在的象限，避免漏解。 3. 知识衔接技巧：本模块结论常与同角三角函数基本关系、诱导公式结合，解题时注意步骤衔接，先定符号再算数值。 4.条件求值问题的策略： （1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． （2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 5.给值求角问题： 先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． 6：观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 题型01：利用诱导公式给角求值 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化； (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【典型例题1】 　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】．故选A． 【典型例题2】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,故选：B. 【典型例题3】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】故选：B． 【典型例题4】　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ．故选B． 【典型例题5】______． 【答案】 【解析】. 故答案为: . 【变式训练1-1】．　　 A． B． C． D． 【变式训练1-2】．计算的值为　　 A． B． C． D． 【变式训练1-3】.= . 【变式训练1-4】cos（﹣150°）＝（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【变式训练1-5】等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】.（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】若f（cosx）＝cos3x，则f（sin30°）的值为　　． 【变式训练1-9】已知，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 【变式训练1-10】计算：________. 【变式训练1-11】设，其中，若，则（ ） A．4 B．3 C．－5 D．5 题型02：诱导公式给值求值 　解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【典型例题1】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， ∴.故选：A. 【典型例题2】已知，则　　 A． B．1 C． D．5 【答案】D 【解析】因为，所以，即， 原式．故选D． 【典型例题3】若，且是第三象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 又是第三象限角，， .故选：C. 【典型例题4】已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：由诱导公式可得，所以，. 因此，.故选：D. 【典型例题5】若，其中，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，其中， 可得，． ，， 则． 故选C． 【变式训练2-1】设，若则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】设，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】已知为锐角，且，则的值为 . 【变式训练2-7】已知α为钝角，且cos（+α）＝﹣，则cosα＝　　． 【变式训练2-8】已知为第二象限角，，则 . 【变式训练2-9】已知，则 . 【变式训练2-10】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-11】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-12】已知，则的值为 . 【变式训练2-13】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-14】若、是关于的方程的两个根，则 . 【变式训练2-15】已知sin，则（　　） A． B． C． D．± 【变式训练2-16】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-17】当，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【变式训练2-18】已知，则　　 A． B． C． D． 【变式训练2-19】若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-20】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-21】．函数，的图象与直线的交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2-22】．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-23】．若为任意角，则满足的一个的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-24】．如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（    ） A．-1 B． C． D． 题型03：互余互补关系求值 【典型例题1】若则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，故选：B. 【典型例题2】已知 ，，则cos()=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ， ，故选：A 【典型例题3】已知，则___________. 【答案】 【解析】， 又 . 【变式训练3-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】．已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-8】．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-9】．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-10】若，则__________． 【变式训练3-11】已知函数. （1）化简； （2）若，求的值. 题型04：化简求值 三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan. 【典型例题1】．化简求值： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【答案】1； 【解析】（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【典型例题2】已知角终边上一点 （1）求的值； （2）化简并求值：. 【答案】1； 【解析】（1）由题得，所以. （2） . 【典型例题3】已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)-tanθ;(2)11;(3) 【解析】(1). (2)，. (3)，. 【典型例题4】已知. (1)若是第三象限角，，求的值； (2)若，求的值. 【答案】（1）;（2） 【解析】（1）解：由三角函数的诱导公式，可得， 因为是第三象限角，且，所以，所以. （2）解：将代入得. 【典型例题5】．若是锐角三角形的内角，则点在第_____________象限. 【答案】二 【解析】由题得,因为锐角三角形, 故,故,即. 又,同理.即. 故点在第二象限. 故答案为：二 【典型例题6】化简：＝________. 【答案】 【解析】原式= 故答案为： 【典型例题7】．若，，则___________. 【答案】-1 【解析】因为，所以， 所以， 所以，即或, 当时， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以. 当时，即， 所以， 所以，则. 因为，所以，所以， 故不符合题意，应舍去， 综合以上， 故答案为：-1 【典型例题8】．______． 【答案】 【解析】由题意，原式= . 故答案为：. 【变式训练4-1】化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（多选）已知角满足，则的取值可能为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知． （1）化简； （2）若是第四象限角，且，求的值． 【变式训练4-4】已知， （1）化简； （2）求． 【变式训练4-5】已知为第二象限角，． （1）求的值； （2）若，求的值． 【变式训练4-6】（1）计算的值； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值. 【变式训练4-7】已知 （1）化简 （2）若，α为第三象限角，求的值. 【变式训练4-8】已知函数． （1）化简； （2）若，求的值． 【变式训练4-9】已知，且. (1)求的值；(2)求'的值. 【变式训练4-10】已知角满足. (1)若角是第一象限角，求的值； (2)若角是第三象限角，，求的值. 【变式训练4-11】已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求，的值； (2)求的值． 【变式训练4-12】已知 (1)化简； (2)若，求的值． 【变式训练4-13】已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值. 题型05：三角恒等式的证明 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 同角三角函数关系化简常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称； (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号； (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 【典型例题1】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：左边右边，得证． 【典型例题2】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：． 【典型例题3】已知、、为的三个内角，求证： 【答案】证明见解析 【解析】证明：在中，，则. 所以，， 故原等式得证. 【典型例题4】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：左边=右边， 所以原式成立． 【典型例题5】求证：=. 【答案】证明见解析 【解析】左边===， 右边===， 所以等式成立. 【变式训练5-1】证明：，． 【变式训练5-2】．证明下列等式： （1） （2） 【变式训练5-2】．已知，，，证明：． 【变式训练5-3】．求证： 【变式训练5-4】求证：． 【变式训练5-5】．设.求证：. 【变式训练5-6】．求证：＝． 【变式训练5-7】．（1）求证：； （2）设，求证. 题型06 诱导公式与三角函数定义、同角三角函数关系的运用 【典型例题1】．已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）利用平方关系及商数关系有，再代入求值. （2）应用诱导公式化简，再由商数关系及已知求值. （1）因为， 所以. （2）因为， . 【典型例题2】．已知角的终边过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据三角函数的定义计算；（2）利用诱导公式计算. （1） （2）原式=. 【典型例题3】．已知角的终边经过点． (1)求及的值； (2)若函数，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先求点到坐标原点的距离，然后根据任意角的三角函数的定义求解出对应三角函数值； （2）先根据诱导公式化简，然后根据（1）的结果可得答案. （1）角的终边经过点, ，且点到坐标原点的距离, ； （2） . 【典型例题4】．已知，且是第一象限角. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先弦化切，再结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. （2）先应用诱导公式，再弦化切，最后结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. （1） （2） 【典型例题5】．已知角的终边经过点． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由三角函数的定义可求得、的值； （2）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值. （1）解：因为角的终边经过点， 由三角函数定义可得， . （2）解：由三角函数的定义可得， 原式 . 【典型例题6】．已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）利用诱导公式即得； （2）利用同角三角函数关系及诱导公式即得. （1）因为， 所以； （2）因为，且， 所以，又， 所以， 所以, 所以. 【变式训练6-1】．已知角是第一象限角，且. (1)求的值； (2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值. 【变式训练6-2】．已知 并且α是第二象限的角 (1)求sinα和tanα的值： (2)求的值. 【变式训练6-3】．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练6-4】．（1）已知，求的值； （2）已知角的终边经过点，求的值． 【变式训练6-5】(1)已知角终边上一点，求的值； (2)已知关于x的方程的两根为和，.求实数b以及的值. 【变式训练6-6】．已知角的终边经过点，且. (1)求m的值； (2)求的值. 【变式训练6-7】．已知. (1)求； (2)已知，求． 【变式训练6-8】．已知． (1)求的值； (2)已知，求的值． 【变式训练6-9】．已知为第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练6-10】．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 (1)求的值； (2)求的值. 【变式训练6-11】．已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【变式训练6-12】．已知，. (1)求的值； (2)若角的终边与角关于轴对称，求的值. 【变式训练6-13】．已知，且.求下列各式的值： (1)： (2). 【变式训练6-14】．已知是第二象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【变式训练6-15】．已知． (1)若角的终边过点，求； (2)若，分别求和的值． 【变式训练6-16】．已知在第二象限，且． (1)求； (2)求的值． 【变式训练6-17】．已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求. 【变式训练6-18】．已知 (1)求 的值； (2)若，求的值 【变式训练6-19】．（1）化简； （2）已知，. 【变式训练6-20】．已知． (1)化简； (2)若为第四象限角且，求的值； (3)若，求． 【变式训练6-21】．已知 (1)化简． (2)若，求的值． (3)若，且，求的值． 【变式训练6-22】．已知为第三象限角，且. (1)化简； (2)若，求的值. 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．在△中，“”是“△为钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D．2 6．函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若为任意角，则满足的一个的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，点，，，则下列说法正确的是（    ） A．线段与的长均为1 B．线段的长为1 C．当时，点，关于轴对称 D．当时，点，关于轴对称 10．已知函数，则（    ） A． B． C．， D．， 11．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，，则可能等于（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____. 14．______． 15．______． 16．已知，则________． 四、解答题 17．已知，为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 18．已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 19．已知函数. (1)化简； (2)若，求的值. 20．在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足． (1)求点的坐标； (2)求的值． 21．已知 . (1)化简； (2)若是第四象限角，且 ，求的值. 22．已知， (1)求的值； (2)求的值． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $