第01讲 角的概念及三角函数定义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习三角函数（新高考通用）

该高中数学讲义聚焦角的概念及三角函数定义核心考点，涵盖任意角、弧度制、三角函数定义与三角函数线，按概念理解-运算转化-几何应用逻辑架构知识体系，通过知识要点梳理、解题策略指导、分层题型训练等环节，帮助学生系统突破终边相同角判定、扇形公式应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数形结合与分类讨论思想，如利用单位圆直观理解三角函数线（数学眼光），通过“题型归纳+变式训练”培养推理意识（数学思维），设置从基础概念到综合应用的分层练习，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升三角函数模块的应考能力。

第01讲 角的概念及三角函数定义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 7 角 的 概 念 7 题型01：对任意角的概念理解 7 题型02：终边相同的角 8 题型03：确定角所在象限 8 题型04：根据图形写出角的范围 9 题型05：由已知角确定角的范围 9 题型06：倍角分角 10 弧 度 制 10 题型01：任意角弧度制的概念 10 题型02：角度与弧度制的转化 11 题型03：钟表中的弧度制 12 题型04：弧度制表示终边相同角的集合 13 题型05：用弧度制表示终边对称 13 题型06：弧长公式 14 题型07：扇形面积公式 15 题型08：最值相关 16 三角函数的定义 17 题型01：利用定义求三角函数值 17 题型02：利用三角函数值求参数 18 题型03：特殊角三角函数值 19 题型04：三角函数值的符号 19 题型05：圆上动点与旋转点 22 三 角 函 数 线 23 题型01：三角函数线的画法 23 题型02：三角函数线在比较大小中的应用 25 题型03：三角函数线解决取值（范围)问题 26 考纲要求： 1. 了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 2. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握三角函数值在各象限的符号规律。 考情分值： • 题型分布：多以选择题、填空题出现，偶尔融入解答题的基础环节。 • 分值占比：单独考查约5分；常与三角恒等变换、三角函数图象与性质、解三角形等综合命题，总分值约10–15分。 • 难度定位：基础保分题，侧重概念理解与基本运算，极少出难题。 • 命题热点：终边相同的角表示、弧度与角度互化、利用定义求三角函数值、三角函数值符号判断、扇形弧长与面积计算。 命题趋势： 1. 强调概念本质：聚焦“终边定义法”与“单位圆定义法”的理解与应用，突出三角函数的几何意义。 2. 注重知识融合：与诱导公式、同角三角函数关系、三角恒等变换、解三角形、立体几何、解析几何等综合考查，体现工具性。 3. 稳定中求创新：题型与难度保持稳定，偶尔结合实际情境（如扇形面积最值）或数学文化命题。 1. 概念体系化：掌握任意角的分类（正角、负角、零角）、象限角、终边相同的角的集合表示，能熟练进行弧度与角度互化。 2. 定义精准化：能依据终边上点的坐标或单位圆，准确计算三角函数值，快速判断三角函数值的符号。 3. 运算熟练化：熟练运用扇形弧长公式与面积公式 解决问题。 4. 综合应用化：能将本模块知识与后续三角知识衔接，解决化简、求值、求参数等综合问题。 5. 知识点一：角的概念 一、任意角的定义 1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类： （1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 二、象限角与其集合表示 1、终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和. 2、象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 3、象限角的集合表示 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 三、轴线角及其集合表示 1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 2、轴线角的集合表示 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 知识点二：弧度制 一．弧度角的规定. 它的单位是rad 读作弧度 如图：AOB=1rad o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B AOC=2rad 周角=2rad 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。 （1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o 角度制=弧度制*180o/π 2π=360o 弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式： 弧长公式：，扇形面积公式：（初中） 二． 弧度制与角度制的换算： 因为周角的弧度数是2，角度是360°，所以有 把上面的关系反过来写 之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握. 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 2 知识点三：三角函数的定义 一、任意角的正弦、余弦与正切的定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 2、三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、三角函数另一种定义 设点（不与原点重合）为角终边上任意一点， 点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 二、正弦、余弦与正切在各象限的符号 【口诀记忆】 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是在第一象限各三角函数值全为正， 在第二象限只有正弦值为正，在第三象限 只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 知识点四：三角函数线 .正弦线与余弦线 1.一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2+y²=1的点组成的集合称为单位圆· 2.过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，当的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα=|,的方向方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα=-|,则为角α的余弦线，类似可以直观的表示sinα，称为角α的正弦线， 知识点二.正切线 定义：设角α的终边与直线x=1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正切线. 当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x=1没有交点，但终边的反向延长线与x=1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值. 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 一、 核心题型与对应解法 1. 终边相同的角与象限角判定 2. 弧度与角度的互化 3. 利用定义求三角函数值 4. 三角函数值的符号判断：牢记“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的象限符号规律；若角的终边在坐标轴上，三角函数值为0或不存在。 5. 扇形的弧长与面积计算 方法：涉及最值问题时，可将面积表示为关于半径r或圆心角θ的函数，结合函数单调性或基本不等式求解。 二、 综合解题技巧 1. 数形结合思想：借助单位圆或坐标系，直观理解角的终边位置、三角函数的几何意义，快速判断符号或求值。 2. 分类讨论思想：当角的终边位置不确定时（如已知\tan\alpha=1），需分类讨论角所在的象限，避免漏解。 3. 知识衔接技巧：本模块结论常与同角三角函数基本关系、诱导公式结合，解题时注意步骤衔接，先定符号再算数值。 角 的 概 念 题型01：对任意角的概念理解 【典型例题】下列说法中，正确的是（ ） A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等 C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角 【答案】A 【解析】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确； 对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确； 对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确； 对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角， 此时，所以D不正确.故选：A. 【变式训练1-1】下列命题中正确的是（ ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等 【变式训练1-2】已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ） A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D．A＝B＝C 【变式训练1-3】喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ） A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60° 【变式训练1-4】已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于（ ） A．－60° B．－30° C．60° D．30° 题型02：终边相同的角 【典型例题】将化为的形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知.故选：B. 【变式训练2-1】已知，则下列四个角中与角终边相同的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为（ ） A．β＝α+90° B．β＝α±90° C．β＝α+90°+k•360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k•360°（k∈Z） 【变式训练2-3】已知角的终边与角的终边关于轴对称，求. 【变式训练2-4】求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角. 题型03：确定角所在象限 【典型例题1】－240°是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】因为－240°角的终边落在第二象限，所以该角为第二象限角.故选：B 【变式训练3-1】(多选)在①；②；③；④这四个角中，是第二象限角的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练3-2】已知角，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式训练3-3】若，则的终边在（ ） A．第二或第三象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 题型04：根据图形写出角的范围 【典型例题】已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B． 【变式训练4-1】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】写出如图所示阴影部分的角α的范围. （1）； （2）. 【变式训练4-3】已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围． 题型05：由已知角确定角的范围 【典型例题】若α是第四象限角，则90º－α是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】由题知，，， 则，在第二象限，故选：B 【变式训练5-1】若α是第四象限角，则180°－α是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式训练5-2】（多选）若是第三象限的角，则可能是（ ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【变式训练5-3】已知是第四象限角，则是第象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 题型06：倍角分角 【典型例题】若角是第一象限角，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解析】因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角.故选：C． 【变式训练6-1】若是钝角，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式训练6-2】角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练6-3】已知α锐角，那么2α是（ ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 【变式训练6-4】角的终边在第二象限，则角的终边在_________． 弧 度 制 题型01：任意角弧度制的概念 【典型例题】下列说法中错误的是（   ） A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系 B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 【答案】D 【解析】根据弧度的定义判断各选项． 依据弧度的意义可知A正确； 1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确； 根据弧度的定义，一定等于弧度，C正确； 根据角度制与弧度制的定义可知，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查弧度制的定义，属于基础题． 【变式训练1-1】下列说法中，错误的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 【变式训练1-2】关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练1-3】下面关于弧度的说法，错误的是（    ） A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数 B．一个角的角度数为，弧度数为，则. C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为 D．航海罗盘半径为，将圆周32等分，每一份的弧长为. 题型02：角度与弧度制的转化 【典型例题】把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【解析】由换算即可. （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 【变式训练2-1】把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【变式训练2-2】分别把下列各角从弧度化为度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练2-3】弧度制是当今数学主要的角的单位制，它使进位制统一．在古巴比伦以及古希腊时期，数学家在研究天文学问题时，普遍习惯使用60进制对角进行度量，为了进位制的统一，也用60进制度量弦长和弧长．此时，角度制满足了这种需求，而随着历史的发展，10进制取代了60进制成了度量长度的主要进位制．为了保持进位制的统一，自然也将角的进位制换成10进制．弧度制满足了这一需求，而且可以与角度制进行一一位制表示的数，便于数与数之间的对比，提高解决问题的效率．比如：化弧度制为角度制是 ，化角度制-240°为弧度制是 ． 题型03：钟表中的弧度制 【典型例题】将时钟的分针拨快5分钟，则分针转过的弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据弧度的定义，可得答案. 由题意，分针转过的角度为，由转动的方向为顺时针，则弧度为. 故选：B. 【变式训练3-1】本次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了 弧度 【变式训练3-2】如图所示的时钟显示的时刻为4：30，设半个小时后时针与分针的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】从2024年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 题型04：弧度制表示终边相同角的集合 【典型例题1】已知，角的终边与角的终边关于直线对称，求角的集合． 【答案】 【解析】由对称性写出角的集合． 角的终边与角的终边关于直线对称 由此角的集合为 【典型例题2】下列与终边相同角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】下列各对角中，终边相同的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练4-2】已知． (1)把表示成的形式，其中，； (2)求，使与的终边相同，且． 题型05：用弧度制表示终边对称 【典型例题1】若角和的终边关于直线对称，且，则角的集合是 . 【答案】 【解析】根据，可得其关于直线对称的一个角，然后根据终边相同的角得到相应的集合. 由题可知： 关于直线对称的一个角为 所以角的集合为 故答案为： 【典型例题2】已知，与的终边相同，且，则 . 【答案】/ 【解析】变形可得，结合已知，即可得出答案. 因为， 与的终边相同，且， 所以，. 故答案为：. 【变式训练5-1】直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于 对称；角的终边与的终边关于 对称. 【变式训练5-2】的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 题型06：弧长公式 【典型例题1】设r为圆的半径，弧长为的圆弧所对的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据弧长、圆心角、半径的关系，代入求解，再转化为角度制即可. 由弧长、圆心角、半径的关系：， 弧长为的圆弧所对的圆心角：. 故选：A. 【典型例题2】已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【解析】根据扇形的弧长公式，即可求得答案. 由扇形的圆心角为，即为， 又弧长为，故扇形的半径为， 故选：D 【变式训练6-1】若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为 . 【变式训练6-2】已知某个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为 ． 【变式训练6-3】《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练6-4】如图，线段，以为直径作半圆，再分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点，则图中阴影部分的周长为 ． 【变式训练6-5】如图，圆心在原点、半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆周上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周匀速运动.点P按逆时针方向每秒转，点Q按顺时针方向每秒转，求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长.    题型07：扇形面积公式 【典型例题1】已知扇形的半径为2，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为 【答案】/ 【解析】根据扇形的面积公式，即可求解. 设扇形的圆心角的弧度数为， 则扇形的面积，解得. 故答案为：. 【典型例题2】《九章算术》中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，弧田是由弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分）.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，求出扇形所在圆的半径，再求出的面积即可求解. 依题意，，解得， 因此等腰腰上的高，的面积， 所以此弧田的面积为. 故选：B 【变式训练7-1】已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】如图，正六边形的边长为1，以点为圆心，的长为半径，作扇形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和）. 题型08：最值相关 【典型例题1】已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)己知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大? 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可． （2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解； （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． （1）由题意知，所以弧长. （2）由题意得，解得（舍），，故扇形圆心角为. （3）由题意知， 所以， 所以当时，取得最大值，此时，. 【变式训练8-1】已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【变式训练8-2】已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 【变式训练8-3】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 三角函数的定义 题型01：利用定义求三角函数值 【典型例题1】已知点为角的终边上的一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点为角的终边上的一点， 所以，故选：C 【典型例题2】若点在角的终边上，则tan＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点在角的终边上， ∴.故选:B. 【典型例题3】已知角α的终边过点P(4a,-3a)(a<0),则2sin α+cos α的值是(　　) A.- B. C.0 D.- 【答案】B　 【解析】∵角α的终边过点P(4a,-3a)(a<0),∴cos α==-,sin α=,则2sin α+cos α=,故选B. 【典型例题4】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线：，则______. 【答案】 【解析】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴， 终边为射线，在射线上任取一点， 则 【变式训练1-1】已知角的终边经过点，则的值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 【变式训练1-2】已知函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,且点P在角α的终边上,则sin αcos α=　　　　　. 【变式训练1-3】.已知角θ的终边上有一点P(-,m),且sin θ=m,求cos θ与tan θ的值. 【变式训练1-4】.若角α的终边经过点P(-2cos 60°,-sin 45°),则sin α的值为(　　) A.- B.- C. D.- 【变式训练1-5】.(多选题)角α终边上一点的坐标为P(x,-1),且cos α=,关于tan α下列结论正确的有(　　) A.若x≠0,则tan α>sin α B.当x=0时,tan α不存在 C.若α为第三象限角,则tan α= D.若α为第四象限角,则tan α=- 【变式训练1-6】.设α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,-),且cos α=x,求sin α和tan α. 【变式训练1-7】.已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+的值. 题型02：利用三角函数值求参数 【典型例题1】已知角的终边上有一点，且，则m的值为______． 【答案】或0 【解析】由题意可知，解得或0． 故答案为：或0 【典型例题2】已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角终边经过点，且， 所以，解得，故选：C 【变式训练2-1】已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知点是角终边上一点， ，则__________． 题型03：特殊角三角函数值 【典型例题1】计算：______． 【答案】 【解析】，故答案为：. 【变式训练3-1】若，则角______. 【变式训练3-2】计算：________． 【变式训练3-3】已知角的终边上一点的坐标为，则角的值为（ ） A． B． C． D． 题型04：三角函数值的符号 【典型例题1】若，则是（ ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】B 【解析】因为，则在第一，二象限或轴非负半轴； 又因为，则在第二，三象限或轴非正半轴， 所以在第二象限.故选:B. 【典型例题2】坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解析】，， 则点位于第二象限，故选：B 【典型例题3】.(多选题)下列三角函数值为负数的是(　　) A.tan- B.tan 505° C.sin 7.6π D.sin 186° 【答案】BCD 【解析】对于A,tan(-)=-tan=-(-1)=1; 对于B,tan 505°<0;对于C,sin 7.6π<0; 对于D,sin 186°<0,故选BCD. 【典型例题4】若角满足，，则在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】，是第二或第四象限角； 当是第二象限角时，，，满足； 当是第四象限角时，，，则，不合题意； 综上所述：是第二象限角.故选：B. 【典型例题5】若是第四象限角，则点在（ ） A．第二或第四象限 B．第一或第三象限 C．第三或第四象限 D．第一或第二象限 【答案】C 【解析】因为是第四象限角，即，， 所以，． 当时，，，此时是第二象限角， 则，，点P在第三象限； 当时，，，此时是第四象限角， 则，，点P在第四象限． 所以点P在第三或第四象限．故选：C. 【变式训练4-1】设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练4-2】若，则θ角是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练4-3】.(多选题)y=2的值可能是(　　) A.2 B.3 C.-4 D.0 【变式训练4-4】.已知α=,则点P(sin α,cos α)所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式训练4-5】下列说法正确的是(　　) A.若点P(tan α,cos α)在第三象限,则α是第二象限角 B.角θ的终边与圆心在原点、半径为r的圆的交点为(rcos θ,rsin θ) C.长度等于半径的倍的弦所对的弧长为r(其中r为半径) D.钟表时针走过2小时,则时针转过的角的弧度数为　 【变式训练4-6】已知P(sin θ,tan θ)是第四象限的点,则角θ的终边位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限　 【变式训练4-7】.点P(a,-a)(a<0)是角α终边上一点,那么sin α=　　　　　. 【变式训练4-8】.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则a的取值范围是　　　　. 【变式训练4-9】已知角α∈(0,2π),角α终边上有一点M(cos 2,cos 2),则α=　　　　　. 【变式训练4-10】.若角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是其终边上一点,且|OP|=,则m-n等于　　　　　. 【变式训练4-11】.已知sin α<0,且tan α>0. (1)求角α的集合; (2)求角的终边所在的象限; (3)试判断sin,cos的符号. 题型05：圆上动点与旋转点 【典型例题1】点P从出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为__． 【答案】（，） 【解析】如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点， 则∠xOQ，∴Q点坐标为（cos，sin）， 即（，）． 故答案为：． 【典型例题2】已知某质点从直角坐标系xOy中的点出发，沿以O为圆心，2为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达B点，若B在y轴上的射影为C，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点得坐标为， 根据三角函数定义可知：， 则 ∴故选：C． 【变式训练5-1】已知P是半径为3的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若，则点P到x轴的距离d关于时间t（单位：）的函数关系为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 三 角 函 数 线 题型01： 三角函数线的画法 三角函数线的画法 （1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线. （2）作正切线时，应从A（1，0）点引x轴的垂线，交α的终边（α为第一或第四象限角）或α终边的反向延长线（α为第二或第三象限角）于点T，即可得到正切线. 【典型例题1】如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（    ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 【答案】D 【解析】根据题图及三角函数线的定义判断角的正弦线､余弦线､正切线. 由题图知：圆O为单位圆，则， 且， 故角的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT. 故选：D 【典型例题2】．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】答案见解析 【解析】作出单位圆，角的终边与单位圆交于，过作轴，交轴于，角的终边或终边的反向延长线交过且平行于轴的直线交于点，则是正弦线，是余弦线，是正切线． （1） 解： 的终边与单位圆交于点，与过且平行于轴的直线交于点，过作轴，交轴于，如下图： 则是正弦线，是余弦线，是正切线． （2） 解：的终边与单位圆交于点，的终边的反向延长线与过且平行于轴的直线交于点， 过作轴，交轴于，如下图： 则是正弦线，是余弦线，是正切线． （3） 的终边与单位圆交于点，的终边与过且平行于轴的直线交于点， 过作轴，交轴于，如下图： 则是正弦线，是余弦线，是正切线． （4） 的终边与单位圆交于点，与过且平行于轴的直线交于点， 过作轴，交轴于，如下图： 则是正弦线，是余弦线，是正切线． 【变式训练1-1】作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练1-2】下列说法不正确的是 A．当角的终边在轴上时，角的正切线是一个点 B．当角的终边在轴上时，角的正切线不存在 C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D．余弦线和正切线的始点都是原点 【变式训练1-3】（多选题）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） A．一定时，单位圆中的正弦线一定 B．单位圆中，有相同正弦线的角相等 C．和有相同的正切线 D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上 题型02 三角函数线在比较大小中的应用 【典型例题1】若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，根据三角函数线比较大小即可. 如图， 在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线. 由图知，，又分别与轴、轴的正方向相反，而与轴的正方向相同， 所以. 故选：D 【典型例题2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出的三角函数线即得解. 设的终边与单位圆相交于点， 根据三角函数线的定义可知，，， 显然. 所以. 故选：D 【变式训练2-1】下面四个选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是（    ） A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α 【变式训练2-3】(多选)已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 【变式训练2-4】用三角函数线比较与的大小，结果是______.（用“>”连接） 【变式训练2-5】设，，，则a､b､c的大小顺序为___________(按从小到大的顺序排列). 【变式训练2-6】设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 三角函数线解决取值（范围)问题 【典型例题1】利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）或；（2） 或；（3） ． 【解析】（1）根据正弦线作图求解即可； （2）根据余弦线作图求解即可； （3）根据正切线作图求解即可. 解　（1） 作出如图所示的图形，则根据图形可得 或； （2）作出如图所示的图形，则根据图形可得或； （3）作出如图所示的图形，则根据图形可得 ． 【典型例题2】．已知，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】利用三角函数的定义、三角函数线及基本不等式即得. 如图，作出单位圆中的三角函数线，则有，，， 在中，， ∴, 又， ∴即， 当且仅当取等号， ∴， 故答案为：. 【典型例题3】函数y＝的定义域为________． 【答案】 (k∈Z) 【解析】解不等式2cos x－1≥0即得函数的定义域. ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥. 由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x∈ (k∈Z)． 故答案为 (k∈Z) 【点睛】（1）本题主要考查三角函数线和解三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角函数线是解三角不等式较好的工具，要理解掌握并灵活运用. 【变式训练3-1】在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】若，则的取值范围是______． 【变式训练3-3】如图，在平面直角坐标系中，､､､分别是单位圆上的四段弧，点在其中一段上，角以为始边，为终边.若，则所在的圆弧是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】不等式在区间上的解集为______． 【变式训练3-5】求函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 角的概念及三角函数定义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 7 角 的 概 念 7 题型01：对任意角的概念理解 7 题型02：终边相同的角 8 题型03：确定角所在象限 9 题型04：根据图形写出角的范围 10 题型05：由已知角确定角的范围 11 题型06：倍角分角 12 弧 度 制 13 题型01：任意角弧度制的概念 13 题型02：角度与弧度制的转化 15 题型03：钟表中的弧度制 16 题型04：弧度制表示终边相同角的集合 17 题型05：用弧度制表示终边对称 18 题型06：弧长公式 20 题型07：扇形面积公式 23 题型08：最值相关 24 三角函数的定义 26 题型01：利用定义求三角函数值 26 题型02：利用三角函数值求参数 29 题型03：特殊角三角函数值 30 题型04：三角函数值的符号 31 题型05：圆上动点与旋转点 35 三 角 函 数 线 37 题型01：三角函数线的画法 37 题型02：三角函数线在比较大小中的应用 40 题型03：三角函数线解决取值（范围)问题 45 考纲要求： 1. 了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 2. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握三角函数值在各象限的符号规律。 考情分值： • 题型分布：多以选择题、填空题出现，偶尔融入解答题的基础环节。 • 分值占比：单独考查约5分；常与三角恒等变换、三角函数图象与性质、解三角形等综合命题，总分值约10–15分。 • 难度定位：基础保分题，侧重概念理解与基本运算，极少出难题。 • 命题热点：终边相同的角表示、弧度与角度互化、利用定义求三角函数值、三角函数值符号判断、扇形弧长与面积计算。 命题趋势： 1. 强调概念本质：聚焦“终边定义法”与“单位圆定义法”的理解与应用，突出三角函数的几何意义。 2. 注重知识融合：与诱导公式、同角三角函数关系、三角恒等变换、解三角形、立体几何、解析几何等综合考查，体现工具性。 3. 稳定中求创新：题型与难度保持稳定，偶尔结合实际情境（如扇形面积最值）或数学文化命题。 1. 概念体系化：掌握任意角的分类（正角、负角、零角）、象限角、终边相同的角的集合表示，能熟练进行弧度与角度互化。 2. 定义精准化：能依据终边上点的坐标或单位圆，准确计算三角函数值，快速判断三角函数值的符号。 3. 运算熟练化：熟练运用扇形弧长公式与面积公式 解决问题。 4. 综合应用化：能将本模块知识与后续三角知识衔接，解决化简、求值、求参数等综合问题。 5. 知识点一：角的概念 一、任意角的定义 1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类： （1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 二、象限角与其集合表示 1、终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和. 2、象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 3、象限角的集合表示 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 三、轴线角及其集合表示 1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 2、轴线角的集合表示 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 知识点二：弧度制 一．弧度角的规定. 它的单位是rad 读作弧度 如图：AOB=1rad o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B AOC=2rad 周角=2rad 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。 （1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o 角度制=弧度制*180o/π 2π=360o 弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式： 弧长公式：，扇形面积公式：（初中） 二． 弧度制与角度制的换算： 因为周角的弧度数是2，角度是360°，所以有 把上面的关系反过来写 之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握. 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 2 知识点三：三角函数的定义 一、任意角的正弦、余弦与正切的定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 2、三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、三角函数另一种定义 设点（不与原点重合）为角终边上任意一点， 点P与原点的距离为：，则：，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 二、正弦、余弦与正切在各象限的符号 【口诀记忆】 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是在第一象限各三角函数值全为正， 在第二象限只有正弦值为正，在第三象限 只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 知识点四：三角函数线 .正弦线与余弦线 1.一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2+y²=1的点组成的集合称为单位圆· 2.过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，当的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα=|,的方向方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα=-|,则为角α的余弦线，类似可以直观的表示sinα，称为角α的正弦线， 知识点二.正切线 定义：设角α的终边与直线x=1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正切线. 当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x=1没有交点，但终边的反向延长线与x=1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值. 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 一、 核心题型与对应解法 1. 终边相同的角与象限角判定 2. 弧度与角度的互化 3. 利用定义求三角函数值 4. 三角函数值的符号判断：牢记“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的象限符号规律；若角的终边在坐标轴上，三角函数值为0或不存在。 5. 扇形的弧长与面积计算 方法：涉及最值问题时，可将面积表示为关于半径r或圆心角θ的函数，结合函数单调性或基本不等式求解。 二、 综合解题技巧 1. 数形结合思想：借助单位圆或坐标系，直观理解角的终边位置、三角函数的几何意义，快速判断符号或求值。 2. 分类讨论思想：当角的终边位置不确定时（如已知\tan\alpha=1），需分类讨论角所在的象限，避免漏解。 3. 知识衔接技巧：本模块结论常与同角三角函数基本关系、诱导公式结合，解题时注意步骤衔接，先定符号再算数值。 角 的 概 念 题型01：对任意角的概念理解 【典型例题】下列说法中，正确的是（ ） A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等 C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角 【答案】A 【解析】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确； 对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确； 对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确； 对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角， 此时，所以D不正确.故选：A. 【变式训练1-1】下列命题中正确的是（ ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等 【答案】C 【解析】A：角显然是第一象限角，但它是负角，本选项命题不正确； B：锐角是小于的正角，所以本选项命题不正确； C：钝角是大于小于的角，显然是第二象限的角，所以本选项命题正确； D：角和角显然是终边相同的角，但它们不相等， 所以本选项命题不正确，故选：C 【变式训练1-2】已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ） A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D．A＝B＝C 【答案】B 【解析】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以该选项错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故B C，故选项B正确； 对C，AC，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，A＝B＝C错误. 如在第二象限，但是并不在集合B,C中.故选：B 【变式训练1-3】喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ） A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60° 【答案】D 【解析】因为分针为顺时针旋转， 所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 .故选：D． 【变式训练1-4】已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于（ ） A．－60° B．－30° C．60° D．30° 【答案】A 【解析】∵点P在圆O上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转30°， ∴2秒钟后，OP转过的角等于．故选:A． 题型02：终边相同的角 【典型例题】将化为的形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知.故选：B. 【变式训练2-1】已知，则下列四个角中与角终边相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】与终边相同的角的集合为：， 令，得；故选：A. 【变式训练2-2】在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为（ ） A．β＝α+90° B．β＝α±90° C．β＝α+90°+k•360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k•360°（k∈Z） 【答案】D 【解析】∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°+k•360°（k∈Z）．故选：D． 【变式训练2-3】已知角的终边与角的终边关于轴对称，求. 【答案】 【解析】易知角与角的终边关于轴对称.   所以角的终边与角的终边重合. 所以. 【变式训练2-4】求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角. 【答案】最小正角为，最大负角为，角是第四象限角 【解析】， 角是第四象限角，与角终边相同的角可以表示为， 当时，；当时，； 与角终边相同的最小正角为，最大负角为. 题型03：确定角所在象限 【典型例题1】－240°是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】因为－240°角的终边落在第二象限，所以该角为第二象限角.故选：B 【变式训练3-1】(多选)在①；②；③；④这四个角中，是第二象限角的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABC 【解析】在内，第二象限角满足：， 因，则①是第二象限角； 因，而，则②是第二象限角； 因，而，则③是第二象限角； 因，则④不是第二象限角.故选：ABC 【变式训练3-2】已知角，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为 所以与是同一象限角， 因为是第三象限角，故为第三象限角．故选：C． 【变式训练3-3】若，则的终边在（ ） A．第二或第三象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】B【分析】分k为奇数和偶数讨论可得. 【解析】当k为奇数时，记，则，此时为第三象限角； 当k为偶数时，记，则， 此时为第一象限角.故选：B 题型04：根据图形写出角的范围 【典型例题】已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B． 【变式训练4-1】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样， 当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)， 此时的终边和π≤≤π＋的终边一样．故选：B． 【变式训练4-2】写出如图所示阴影部分的角α的范围. （1）； （2）. 【答案】（1）{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}； （2）{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}. 【解析】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式， 与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式. 所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为 {α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}. （2）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式， 与－60°＋360°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式， 所以图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}. 【变式训练4-3】已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围． 【答案】 【解析】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为 ． 题型05：由已知角确定角的范围 【典型例题】若α是第四象限角，则90º－α是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】由题知，，， 则，在第二象限，故选：B 【变式训练5-1】若α是第四象限角，则180°－α是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为与关于轴对称 而是第四象限角，所以是第一象限角， 又与关于原点对称， 所以是第三象限角.故选：C. 【变式训练5-2】（多选）若是第三象限的角，则可能是（ ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】AC 【解析】由于是第三象限的角，故， 所以， 所以. 当为偶数时，为第一象限角； 当为奇数时，为第三象限角. 所以可能是第一象限角，也可能是第三象限角. 故选：AC. 【变式训练5-3】已知是第四象限角，则是第象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【解析】由题意知，则， ， 显然是第四象限角.故选：D 题型06：倍角分角 【典型例题】若角是第一象限角，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解析】因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角.故选：C． 【变式训练6-1】若是钝角，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】，，,在第四象限.故选：D 【变式训练6-2】角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】∵角的终边在第一象限， ∴，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限， 当时，此时的终边落在第二象限， 当时，此时的终边落在第三象限， 综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D. 【变式训练6-3】已知α锐角，那么2α是（ ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 【答案】A 【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故选：A． 【变式训练6-4】角的终边在第二象限，则角的终边在_________． 【答案】第三、四象限或y轴非正半轴 【解析】是第二象限角，，． ，． 的终边的位置是第三或第四象限，的非正半轴． 故答案为：第三、第四象限或轴的非正半轴 弧 度 制 题型01：任意角弧度制的概念 【典型例题】下列说法中错误的是（   ） A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系 B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 【答案】D 【解析】根据弧度的定义判断各选项． 依据弧度的意义可知A正确； 1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确； 根据弧度的定义，一定等于弧度，C正确； 根据角度制与弧度制的定义可知，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查弧度制的定义，属于基础题． 【变式训练1-1】下列说法中，错误的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 【答案】D 【解析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可. 根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位， 的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确； 1rad的角是，故C正确； 无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误. 故选：D 【变式训练1-2】关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】根据弧度制的知识确定正确答案. 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角， 与圆的半径无关，据此可知③正确，①②错误． 故选：B 【变式训练1-3】下面关于弧度的说法，错误的是（    ） A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数 B．一个角的角度数为，弧度数为，则. C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为 D．航海罗盘半径为，将圆周32等分，每一份的弧长为. 【答案】D 【解析】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项. A.根据弧度数定义可知A正确； B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确； C.根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为，即弧度数为，故C正确； D.圆周长为，32等分后，每一份弧长为，故D错误. 故选：D 题型02：角度与弧度制的转化 【典型例题】把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【解析】由换算即可. （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 【变式训练2-1】把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案. （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 【变式训练2-2】分别把下列各角从弧度化为度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】根据弧度与度互化公式求得各小题结果. （1）； （2）； （3） （4）. 【变式训练2-3】弧度制是当今数学主要的角的单位制，它使进位制统一．在古巴比伦以及古希腊时期，数学家在研究天文学问题时，普遍习惯使用60进制对角进行度量，为了进位制的统一，也用60进制度量弦长和弧长．此时，角度制满足了这种需求，而随着历史的发展，10进制取代了60进制成了度量长度的主要进位制．为了保持进位制的统一，自然也将角的进位制换成10进制．弧度制满足了这一需求，而且可以与角度制进行一一位制表示的数，便于数与数之间的对比，提高解决问题的效率．比如：化弧度制为角度制是 ，化角度制-240°为弧度制是 ． 【答案】 / 【解析】根据对应弧度即可进一步转换求解. , . 题型03：钟表中的弧度制 【典型例题】将时钟的分针拨快5分钟，则分针转过的弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据弧度的定义，可得答案. 由题意，分针转过的角度为，由转动的方向为顺时针，则弧度为. 故选：B. 【变式训练3-1】本次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了 弧度 【答案】 由角度制和弧度制之间互化可得答案. 【解析】本次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了， 即. 故答案为：. 【变式训练3-2】如图所示的时钟显示的时刻为4：30，设半个小时后时针与分针的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，根据时钟的特性，结合弧度制的写法，可得答案. 半小时后是5：00整，时针指向5，分针指向12，． 故选：B． 【变式训练3-3】从2024年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据弧度的概念求解. 因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角， 所以分针转动的弧度为. 故选：C. 题型04：弧度制表示终边相同角的集合 【典型例题1】已知，角的终边与角的终边关于直线对称，求角的集合． 【答案】 【解析】由对称性写出角的集合． 角的终边与角的终边关于直线对称 由此角的集合为 【典型例题2】下列与终边相同角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据终边相同的角分析判断. 因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误； 因为，故C正确； 对于选项D：因为， 则与终边不相同，故D错误； 故选：C. 【变式训练4-1】下列各对角中，终边相同的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】利用终边相同的角的定义，即可得出结论． 若终边相同，则两角差， A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项正确； D. ，故D选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查终边相同的角的概念，属于基础题. 【变式训练4-2】已知． (1)把表示成的形式，其中，； (2)求，使与的终边相同，且． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）将直接表示为的形式，其中，； （2）设，由可求得的值，即可得解. （1）解：. （2）解：，设， 由可得，解得， ，则，故. 题型05：用弧度制表示终边对称 【典型例题1】若角和的终边关于直线对称，且，则角的集合是 . 【答案】 【解析】根据，可得其关于直线对称的一个角，然后根据终边相同的角得到相应的集合. 由题可知： 关于直线对称的一个角为 所以角的集合为 故答案为： 【典型例题2】已知，与的终边相同，且，则 . 【答案】/ 【解析】变形可得，结合已知，即可得出答案. 因为， 与的终边相同，且， 所以，. 故答案为：. 【变式训练5-1】直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于 对称；角的终边与的终边关于 对称. 【答案】 轴 直线. 【解析】将两角相加再除以2，即可得到对称轴终边所在位置，即可得到对称轴方程； 解：因为，所以角的终边与的终边关于轴对称； 因为，所以角的终边与的终边关于直线对称； 故答案为：轴；直线； 【变式训练5-2】的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 【答案】 【解析】由题知的终边与角的终边相同，再根据终边相同的角的集合求解即可. 解：的终边与的终边关于直线对称， 所以的终边与角的终边相同， 所以的取值集合为 故答案为： 题型06：弧长公式 【典型例题1】设r为圆的半径，弧长为的圆弧所对的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据弧长、圆心角、半径的关系，代入求解，再转化为角度制即可. 由弧长、圆心角、半径的关系：， 弧长为的圆弧所对的圆心角：. 故选：A. 【典型例题2】已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【解析】根据扇形的弧长公式，即可求得答案. 由扇形的圆心角为，即为， 又弧长为，故扇形的半径为， 故选：D 【变式训练6-1】若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为 . 【答案】 【解析】利用扇形的弧长公式求解. 因为，又扇形的圆心角为，半径为， 所以它的弧长为， 故答案为： 【变式训练6-2】已知某个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【解析】根据扇形弧长公式计算即可. 由题意可知扇形的圆心角为，即，故扇形弧长为. 故答案为：. 【变式训练6-3】《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】根据弧长公式求解即可. 由题意可知，“弓”所在圆的弧长为， 由弧度数公式得， 则掷铁饼者双手之间的距离约为. 故选：.    【变式训练6-4】如图，线段，以为直径作半圆，再分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】/ 【解析】阴影部分的周长为弧，弧和半圆的和，从而求解. 因为分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点， 所以是等边三角形，所以， 所以阴影部分的周长为. 故答案为：. 【变式训练6-5】如图，圆心在原点、半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆周上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周匀速运动.点P按逆时针方向每秒转，点Q按顺时针方向每秒转，求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长.    【答案】第五次相遇时的位置在点M处，M为角的终边与圆的交点，这时动点P，Q走过的弧长分别为，. 【解析】先求出点P，Q从点A出发到第五次相遇经过的时间，再计算出各自走过的弧长，进而求出点P转过的角度，得出它们出发后第五次相遇时的位置. 设点P，Q从点A出发到第五次相遇经过的时间为t秒，走过的弧长分别为，， 则，. 因为，即， 所以，从而，. 由此可知，动点P转过的角度为， 故第五次相遇时的位置在点M处，M为角的终边与圆的交点， 这时动点P，Q走过的弧长分别为，. 题型07：扇形面积公式 【典型例题1】已知扇形的半径为2，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为 【答案】/ 【解析】根据扇形的面积公式，即可求解. 设扇形的圆心角的弧度数为， 则扇形的面积，解得. 故答案为：. 【典型例题2】《九章算术》中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，弧田是由弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分）.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，求出扇形所在圆的半径，再求出的面积即可求解. 依题意，，解得， 因此等腰腰上的高，的面积， 所以此弧田的面积为. 故选：B 【变式训练7-1】已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由扇形的弧长和面积公式求解即可. 因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为4，为圆心，如下图， 取的中点，连接，则，则， 则扇形的半径，所以扇形的弧长， 则扇形的面积为. 故选：A.    【变式训练7-2】如图，正六边形的边长为1，以点为圆心，的长为半径，作扇形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和）. 【答案】 【解析】先求得正六边形的面积和扇形的面积，作差即可. 解：因为正六边形的边长为1， 所以正六边形的面积为， 扇形的面积为：， 所以阴影部分的面积为： ， 故答案为：， 题型08：最值相关 【典型例题1】已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)己知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大? 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可． （2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解； （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． （1）由题意知，所以弧长. （2）由题意得，解得（舍），，故扇形圆心角为. （3）由题意知， 所以， 所以当时，取得最大值，此时，. 【变式训练8-1】已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【答案】(1)；(2)；(3)当时，扇形面积有最大值，为 【解析】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案； （2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案； （3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案. （1）由，则. （2）由，解得或18，因为，所以. （3）由，得， 则， 由，则，当且仅当时，等号成立， 当时，扇形面积有最大值. 【变式训练8-2】已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 【答案】(1)；(2)最大值为，此时扇形的圆心角为弧度 【解析】（1）根据弧长公式计算即可； （1）根据扇形的周长将用表示，再根据扇形的面积公式结合基本不等式即可得解. （1）， 故扇形的周长为； （2）扇形的周长为20， 则，所以， 则扇形的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以扇形面积的最大值为，此时扇形的圆心角为弧度. 【变式训练8-3】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. （1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 三角函数的定义 题型01：利用定义求三角函数值 【典型例题1】已知点为角的终边上的一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点为角的终边上的一点， 所以，故选：C 【典型例题2】若点在角的终边上，则tan＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点在角的终边上， ∴.故选:B. 【典型例题3】已知角α的终边过点P(4a,-3a)(a<0),则2sin α+cos α的值是(　　) A.- B. C.0 D.- 【答案】B　 【解析】∵角α的终边过点P(4a,-3a)(a<0),∴cos α==-,sin α=,则2sin α+cos α=,故选B. 【典型例题4】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线：，则______. 【答案】 【解析】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴， 终边为射线，在射线上任取一点， 则 【变式训练1-1】已知角的终边经过点，则的值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】由，得，，， 代入原式得．故选：A 【变式训练1-2】已知函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,且点P在角α的终边上,则sin αcos α=　　　　　. 【答案】-　 【解析】因为函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,令x+1=0,则x=-1,y=2,所以P(-1,2),于是sin α=,cos α==-, 所以sin αcos α=×(-)=-. 【变式训练1-3】.已知角θ的终边上有一点P(-,m),且sin θ=m,求cos θ与tan θ的值. 【答案】θ= 【解析】解由已知,得m=, 解得m=0或m=±. (1)当m=0时,r=,cos θ=-1,tan θ=0; (2)当m=时,r=2,cos θ=-,tan θ=-; (3)当m=-时,r=2,cos θ=-,tan θ=. 【变式训练1-4】.若角α的终边经过点P(-2cos 60°,-sin 45°),则sin α的值为(　　) A.- B.- C. D.- 【答案】D　 【解析】由题知r=|OP| =, 则sin α==-.故选D. 【变式训练1-5】.(多选题)角α终边上一点的坐标为P(x,-1),且cos α=,关于tan α下列结论正确的有(　　) A.若x≠0,则tan α>sin α B.当x=0时,tan α不存在 C.若α为第三象限角,则tan α= D.若α为第四象限角,则tan α=- 【答案】BC　 【解析】∵角α终边上一点的坐标为P(x,-1),且cos α=,∴x=0或x=±,当x=时,α为第四象限角,tan α=-<-=sin α,故A错误,D错误;当x=0时,点P(0,-1)在y轴上,tan α不存在,故B正确;当x=-时,α为第三象限角,tan α=,故C正确. 故选BC. 【变式训练1-6】.设α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,-),且cos α=x,求sin α和tan α. 【答案】α= 【解析】解依题意,α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,-),则x>0,cos α=x, 解得x=,则P(,-),所以sin α==-,tan α=. 【变式训练1-7】.已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+的值. 【答案】0 【解析】.解设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0), 则x=k,y=-3k,r=|k|. 当k>0时,r=k,α是第四象限角, sin α==-, , 所以10sin α+=10×+3=-3+3=0;当k<0时,r=-k,α为第二象限角, sin α=, =-, 所以10sin α+=10×+3×(-)=3-3=0. 综上,10sin α+=0. 题型02：利用三角函数值求参数 【典型例题1】已知角的终边上有一点，且，则m的值为______． 【答案】或0 【解析】由题意可知，解得或0． 故答案为：或0 【典型例题2】已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角终边经过点，且， 所以，解得，故选：C 【变式训练2-1】已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】角的终边经过点，由， 可得，所以， 所以，， 所以.故选：A． 【变式训练2-2】已知点是角终边上一点， ，则__________． 【答案】 【解析】因为是角终边上一点， ， 所以，解得（舍去），或， 题型03：特殊角三角函数值 【典型例题1】计算：______． 【答案】 【解析】，故答案为：. 【变式训练3-1】若，则角______. 【答案】 【解析】∵ ∴ ， 又∵，∴ 【变式训练3-2】计算：________． 【答案】-2 【解析】，故答案为：-2 【变式训练3-3】已知角的终边上一点的坐标为，则角的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得：角的终边上一点的坐标为，位于第二象限， 它到原点的距离为，， 则由任意角的三角函数的定义可知：即，故选：. 题型04：三角函数值的符号 【典型例题1】若，则是（ ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】B 【解析】因为，则在第一，二象限或轴非负半轴； 又因为，则在第二，三象限或轴非正半轴， 所以在第二象限.故选:B. 【典型例题2】坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解析】，， 则点位于第二象限，故选：B 【典型例题3】.(多选题)下列三角函数值为负数的是(　　) A.tan- B.tan 505° C.sin 7.6π D.sin 186° 【答案】BCD 【解析】对于A,tan(-)=-tan=-(-1)=1; 对于B,tan 505°<0;对于C,sin 7.6π<0; 对于D,sin 186°<0,故选BCD. 【典型例题4】若角满足，，则在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】，是第二或第四象限角； 当是第二象限角时，，，满足； 当是第四象限角时，，，则，不合题意； 综上所述：是第二象限角.故选：B. 【典型例题5】若是第四象限角，则点在（ ） A．第二或第四象限 B．第一或第三象限 C．第三或第四象限 D．第一或第二象限 【答案】C 【解析】因为是第四象限角，即，， 所以，． 当时，，，此时是第二象限角， 则，，点P在第三象限； 当时，，，此时是第四象限角， 则，，点P在第四象限． 所以点P在第三或第四象限．故选：C. 【变式训练4-1】设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为是第三象限角，所以，， 所以，，则是第二或第四象限角， 又，即，所以是第四象限角.故选：D． 【变式训练4-2】若，则θ角是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由对数函数的定义域可知： ，，， 又，所以有， 所以角是第二象限角.故选：B 【变式训练4-3】.(多选题)y=2的值可能是(　　) A.2 B.3 C.-4 D.0 【答案】ACD 【解析】　①当角x在第一象限时,sin x>0,cos x>0,tan x>0,y=2=2+1-1=2. ②当角x在第二象限时,sin x>0,cos x<0,tan x<0,y=2=2-1+1=2. ③当角x在第三象限时,sin x<0,cos x<0,tan x>0,y=2=-2-1-1=-4. ④当角x在第四象限时,sin x<0,cos x>0,tan x<0,y=2=-2+1+1=0.故选ACD. 【变式训练4-4】.已知α=,则点P(sin α,cos α)所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】因为α=,则其终边在第二象限,所以sin α>0,cos α<0,故点P在第四象限. 【变式训练4-5】下列说法正确的是(　　) A.若点P(tan α,cos α)在第三象限,则α是第二象限角 B.角θ的终边与圆心在原点、半径为r的圆的交点为(rcos θ,rsin θ) C.长度等于半径的倍的弦所对的弧长为r(其中r为半径) D.钟表时针走过2小时,则时针转过的角的弧度数为　 【答案】ABC 【解析】对于A,由点P(tan α,cos α)在第三象限,则即α是第二象限角,故A正确;对于B,由三角函数的定义可知,θ的终边与圆心在原点、半径为r的圆的交点为(rcos θ,rsin θ),故B正确;对于C,设圆弧的圆心角为α,由题意可知,α=,故弧长l=r,故C正确;对于D,钟表时针走过2小时,则时针转过的角的弧度数为-×2π=-,故D错误.故选ABC. 【变式训练4-6】已知P(sin θ,tan θ)是第四象限的点,则角θ的终边位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限　 【答案】B 【解析】∵P(sin θ,tan θ)是第四象限的点, ∴∴角θ的终边位于第二象限.故选B. 【变式训练4-7】.点P(a,-a)(a<0)是角α终边上一点,那么sin α=　　　　　. 【答案】 【解析】因为点P(a,-a)(a<0)是角α终边上一点, 所以sin α=. 【变式训练4-8】.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则a的取值范围是　　　　. 【答案】.(-2,3]　 【解析】因为≤0,>0,所以x≤0,y>0, 即故-2<a≤3. 【变式训练4-9】已知角α∈(0,2π),角α终边上有一点M(cos 2,cos 2),则α=　　　　　. 【答案】 【解析】因为cos 2<0,且α∈(0,2π),所以α∈(π,). 又tan α==1,所以α=. 【变式训练4-10】.若角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是其终边上一点,且|OP|=,则m-n等于　　　　　. 【答案】2　 【解析】因为sin α<0,则角α的终边位于第三象限,故m<0,n<0,且n=3m,又,可得m=-1,n=-3,因此m-n=2. 【变式训练4-11】.已知sin α<0,且tan α>0. (1)求角α的集合; (2)求角的终边所在的象限; (3)试判断sin,cos的符号. 【答案】(1)；(2)的终边在第二或第四象限；(3)sin<0,cos>0 【解析】.解(1)∵sin α<0,且tan α>0,∴角α是第三象限角, 即. (2)∵π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z), ∴+kπ<+kπ(k∈Z). 当k为偶数时,角的终边在第二象限;当k为奇数时,角的终边在第四象限. ∴角的终边在第二或第四象限. (3)当角的终边在第二象限时,sin>0,cos<0; 当角的终边在第四象限时,sin<0,cos>0. 题型05：圆上动点与旋转点 【典型例题1】点P从出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为__． 【答案】（，） 【解析】如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点， 则∠xOQ，∴Q点坐标为（cos，sin）， 即（，）． 故答案为：． 【典型例题2】已知某质点从直角坐标系xOy中的点出发，沿以O为圆心，2为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达B点，若B在y轴上的射影为C，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点得坐标为， 根据三角函数定义可知：， 则 ∴故选：C． 【变式训练5-1】已知P是半径为3的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若，则点P到x轴的距离d关于时间t（单位：）的函数关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】经过t秒后，点P在角的终边上， 由三角函数定义可知，点P到x轴的距离.故选：D 【变式训练5-2】已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点， 点的横坐标为，所以， 即， 所以， 设点的横坐标为， 则.故选：B 【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，过点作轴与点， 在直角中，， 所以， 因为，所以，可得， 由题意， 所以点的坐标次一个循环，即周期为， 又因为，所以.故选：B. 三 角 函 数 线 题型01： 三角函数线的画法 三角函数线的画法 （1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线. （2）作正切线时，应从A（1，0）点引x轴的垂线，交α的终边（α为第一或第四象限角）或α终边的反向延长线（α为第二或第三象限角）于点T，即可得到正切线. 【典型例题1】如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（    ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 【答案】D 【解析】根据题图及三角函数线的定义判断角的正弦线､余弦线､正切线. 由题图知：圆O为单位圆，则， 且， 故角的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT. 故选：D 【典型例题2】．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】答案见解析 【解析】作出单位圆，角的终边与单位圆交于，过作轴，交轴于，角的终边或终边的反向延长线交过且平行于轴的直线交于点，则是正弦线，是余弦线，是正切线． （1） 解： 的终边与单位圆交于点，与过且平行于轴的直线交于点，过作轴，交轴于，如下图： 则是正弦线，是余弦线，是正切线． （2） 解：的终边与单位圆交于点，的终边的反向延长线与过且平行于轴的直线交于点， 过作轴，交轴于，如下图： 则是正弦线，是余弦线，是正切线． （3） 的终边与单位圆交于点，的终边与过且平行于轴的直线交于点， 过作轴，交轴于，如下图： 则是正弦线，是余弦线，是正切线． （4） 的终边与单位圆交于点，与过且平行于轴的直线交于点， 过作轴，交轴于，如下图： 则是正弦线，是余弦线，是正切线． 【变式训练1-1】作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】见解析 【解析】直接利用定义分别作出正弦线、余弦线和正切线即可. (1) 解：如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； (2) 解：如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； (3) 解：如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； (4) 解：如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段. 【变式训练1-2】下列说法不正确的是 A．当角的终边在轴上时，角的正切线是一个点 B．当角的终边在轴上时，角的正切线不存在 C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D．余弦线和正切线的始点都是原点 【答案】D 【解析】利用三角函数线对每一个选项逐一分析判断得解. 根据三角函数线的概念，A，B，C都是正确的，只有D不正确；因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与轴正半轴的交点上． 故选D 【点睛】本题主要考查三角函数线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 【变式训练1-3】（多选题）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） A．一定时，单位圆中的正弦线一定 B．单位圆中，有相同正弦线的角相等 C．和有相同的正切线 D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上 【答案】AD 【解析】利用正弦线的定义及正切线的定义即可判断. 由正弦线定义可知当一定时，单位圆中的正弦线一定，故A正确； 与有相同正弦线，但，故B错误； 由正切线的定义可知，当时，和的正切线均不存在，故C错误； 具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上，故D正确． 故选：AD． 题型02 三角函数线在比较大小中的应用 【典型例题1】若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，根据三角函数线比较大小即可. 如图， 在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线. 由图知，，又分别与轴、轴的正方向相反，而与轴的正方向相同， 所以. 故选：D 【典型例题2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出的三角函数线即得解. 设的终边与单位圆相交于点， 根据三角函数线的定义可知，，， 显然. 所以. 故选：D 【变式训练2-1】下面四个选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在单位圆中分别做出角和的正弦线、余弦线以及正切线，比较它们的大小即可得出答案. 如图，在单位圆中作出角的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT， 角的正弦线、余弦线、正切线， 由于，因此和的终边关于y轴对称， 由图可得，， ， ∴，∴A，C，D均错误，B正确． 故选：B 【变式训练2-2】若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是（    ） A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α 【答案】C 【解析】在单位圆中画出三角函数线，观察三角函数线可得结果. 如图所示 作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－＜α＜－，所以OM，MP均为负值，且，AT为正值，，故有sin α＜cos α＜tan α. 故选：C 【点睛】本题考查利用三角函数线比较同角三角函数的大小，熟悉各象限的符号和三角函数线是解题的关键，属于基础题. 【变式训练2-3】(多选)已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 【答案】BD 【解析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小. 设，分别为单位圆与角，终边的交点，则，，，． 若，是第一象限角，如图，由，可得，此时，即，所以A不正确； 若，是第二象限角，如图，，，观察可知，即，所以B正确； 若，是第三象限角，如图，由，可得，此时，即，所以C不正确； 若，是第四象限角，如图，，，则，即，所以D正确. 故选：BD． 【变式训练2-4】用三角函数线比较与的大小，结果是______.（用“>”连接） 【答案】## 【解析】画出图形运用三角函数数线的定义，直角三角形结合大小判断即可． 解： ， 中， 根据三角函数线的定义得出：，， ． 故答案为：. 【变式训练2-5】设，，，则a､b､c的大小顺序为___________(按从小到大的顺序排列). 【答案】 【解析】利用单位圆作出三角函数线，利用和的终边关于轴对称，以及，利用三角函数线比较的大小. 如图，在单位圆中分别作出角的正弦线，角的余弦线､正切线. 由知， 又， 易知， ∴， 故. 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数线的简单应用，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 【变式训练2-6】设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意在单位圆中作出角的正弦线、余弦线和正切线，结合三角函数线的含可比较它们的大小，即得答案. 根据题意在单位圆中作出角的正弦线、余弦线和正切线，如下： 由图可知， ∵，∴， ∴，∴， 故选：B 题型03 三角函数线解决取值（范围)问题 【典型例题1】利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）或；（2） 或；（3） ． 【解析】（1）根据正弦线作图求解即可； （2）根据余弦线作图求解即可； （3）根据正切线作图求解即可. 解　（1） 作出如图所示的图形，则根据图形可得 或； （2）作出如图所示的图形，则根据图形可得或； （3）作出如图所示的图形，则根据图形可得 ． 【典型例题2】．已知，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】利用三角函数的定义、三角函数线及基本不等式即得. 如图，作出单位圆中的三角函数线，则有，，， 在中，， ∴, 又， ∴即， 当且仅当取等号， ∴， 故答案为：. 【典型例题3】函数y＝的定义域为________． 【答案】 (k∈Z) 【解析】解不等式2cos x－1≥0即得函数的定义域. ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥. 由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x∈ (k∈Z)． 故答案为 (k∈Z) 【点睛】（1）本题主要考查三角函数线和解三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角函数线是解三角不等式较好的工具，要理解掌握并灵活运用. 【变式训练3-1】在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断即可. 如图所示， 在单位圆中，设，则，，， 由图形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒成立，即在第一象限恒成立，以为分界线，当时，即，当时，即；综上在第一象限无解； 由图形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限无解； 由图形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限无解； 有图形可得在第四象限大于0，小于0，且恒成立，即在恒成立，所以 在第四象限的解为， 综上在的解集为， 故选：C 【变式训练3-2】若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】由正弦线来求的正弦值的范围 由下图可知，，，即． 故答案为： 【变式训练3-3】如图，在平面直角坐标系中，､､､分别是单位圆上的四段弧，点在其中一段上，角以为始边，为终边.若，则所在的圆弧是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线. A选项：当点在上时，， ，故A选项错误； B选项：当点在上时，，， ，故B选项错误； C选项：当点在上时，，， ，故C选项正确； D选项：点在上，，故D选项错误. 故选：C. 【变式训练3-4】不等式在区间上的解集为______． 【答案】 【解析】利用余弦函数的定义及三角函数线即得. 如图所示，由于， 所以在上的解集为． 故答案为： 【变式训练3-5】求函数的定义域． 【答案】 【解析】根式要满足被开方数不小于0，对数式的真数必须大于0，利用三角函数线找自变量满足的条件．应先在区间内确定，再确定满足题意的所有角的区间． 由题意知，自变量x应满足不等式组，即． 则不等式组的解的集合如图（阴影部分）所示， ∴函数的定义域为 学科网（北京）股份有限公司38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $