精品解析：四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

绵阳南山中学高2024级高一下期半期考试试题 数学 命题人：丁雪花 李盛锦 审题人：蔡晓军 宋玉贤 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上. 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写. 4．请按题号顺序在各题目的答案区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】. 故选：D. 2. 已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 3. 如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 4. 设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，已知，由即可得到半径. 【详解】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 5. 某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（ ） A. 30 B. 60 C. 40或60 D. 30或60 【答案】D 【解析】 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 6. 已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【详解】由图象可知：，， 由，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由，，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误． 故选：B． 7. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 8. 在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，从而得到为等腰直角三角形，再根据得到点在线段上，所以的最大值即为的长，在中，利用余弦定理即可得到答案. 【详解】如图所示，作， 在中，由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，即， 又，所以，为等腰直角三角形， 又因为，，，， 所以点在线段上，所以的最大值即为的长， 在中，，由知， ，即， 所以的最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C. 若复数z满足，则复数z的虚部为 D. 若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的性质逐一判断选项. 【详解】对于A，复数无法比大小，复数的模可以比大小，A选项错误； 对于B，纯虚数时，在复平面内对应的点在虚轴上，B选项正确； 对于C，，则， 复数的虚部为，C选项正确； 对于D，， 即复数在复平面内对应的点所构成的图形是一个半径为的圆， 则圆的面积，D选项错误. 故选：BC 10. 若已知存在线段AB是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值是 D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，当三点共线时，取最大值即可判断，对于B，根据数量积的定义即可判断，对于C，建立平面直角坐标系，设，，计算即可判断，对于D，当时，即，得点在上的位置有两个位置，进而判断. 【详解】对于A，由点为上任意一点，当三点共线时，取最大值，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，建立平面直角坐标系，设，， 所以，， 所以， 当时，即时，的最小值是，故C正确； 对于D，当时，即，所以点在上的位置有两个位置，如图所示，所以不止一个答案，故D错误； 故选：ABC. 11. 在中，角的对应边分别为，则（ ） A. 若，，则周长的最大值为18 B. 若，，为的中点，且，则 C. 若是锐角三角形且，，则的最小值为 D. 若角的内角平分线交于，且，，则面积的最大值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理得，从而由结合三角恒等变换公式得，进而得解；对于B，由，即结合余弦定理即可求；对于C，由已知得，再应用向量数量积的运算律、定义有，即可判断；对于D，设，由正弦定理和得，接着由余弦定理得，从而由一元二次函数性质结合即可得. 【详解】对于A，由题以及正弦定理得， 所以， 所以 ， 所以， 因为，所以，所以， 所以，故周长的最大值为18，正确； 对于B，因为，所以， 所以即， 所以，正确； 对于C，由，且为锐角三角形，则， 所以，而， 所以，显然在上单调递增， 所以，错误； 对于D，设，则， 所以由正弦定理得， 所以，由题可知，所以， 所以由余弦定理得， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以面积的最大值为3，正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案. 【详解】因是关于x的实系数方程的一个复数根， 则，则. 故答案为： 13. 已知，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求得，再结合的取值范围，由同角三角关系式，求得. 【详解】由，， 得. 因为，所以，所以. 所以 由，得. 故答案为：. 14. 已知O为的外心，若，则实数m的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义，将已知条件化简整理为，结合正弦定理、三角形内角性质、三角恒等变换得到，进而有，应用基本不等式求最值，注意取等条件. 【详解】如图，过点作于点,因点是的外心，则. 则，同理 故由可得： ， 令外接圆半径，，由正弦定理，得， 所以，， 所以，而， 所以， 所以， 由，可得，则， 当且仅当时取等号，故， 所以实数m的最大值为. 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，函数（其中，）的最小正周期为． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式求出，利用最小正周期求出； （2）由求出，由求出，利用变角思想将变为，利用两角和差的余弦公式求出. 【小问1详解】 ，，， ， （其中，）的最小正周期为， ，； 【小问2详解】 ，， ，，， ，，， . 16. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求； （2）设的面积为，，判断的形状． 【答案】（1） （2）为钝角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理可得，再根据以及求解即可. （2）由三角形面积公式可求得，求解与，再由，，的关系即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 17. 设是平面内相交成的两条数轴，分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记． （1）在仿射坐标系中若，求的坐标及； （2）由题意在仿射坐标系中，的顶点A，C分别在x轴、y轴上，CE为边OA的中线，过A点作CE的垂线，交CE于B，交OC于D，此时，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合向量的数量积的运算公式，求得的值，得到答案； （2）设，求得，，根据，利用向量的数量积的运算公式，求得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：在仿射坐标系中，可得且， 因为，可得 则 所以，所以. 【小问2详解】 解：在仿射坐标系中，可得且， 如图所示，设， 则的中点，所以， 因为，可得，向量， 又因为，所以， 可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． 18. 某湿地公园为方便民众周末游玩，拟建造一个四边形的亲子游乐园，如图所示.为考虑亲子游玩的需求，在四边形区域中，将三角形区域等分为植物园和科学博览园，三角形区域建成游乐场，相互间修建游览小径，连接，其中米，米，． （1）如果游乐园区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么小径需要修建多长？ （2）考虑到儿童游玩的安全性，在规划四边形区域时，首先保证游乐场的占地面积最大时，再使得植物园的面积尽可能大，求满足条件的的长度． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由米，米，结合三角形面积公式求得，根据同角三角函数关系式求得，利用余弦定理求得； （2）由三角形的面积为，知当时，取得最大值，因此的面积取得最大值，求出.因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大.由三角形面积公式知，由余弦定理及基本不等式可得的最大值，及此时的长度. 【小问1详解】 （1）由题可知，所以. 因为，所以. 若，则由余弦定理得. 所以所以是锐角， 因为，所以是锐角三角形，与是钝角三角形矛盾，所以. 所以. 所以 所以小径BD需要修建米. 【小问2详解】 的面积为，当时，取得最大值，最大值为1， 因此的面积最大为平方米. 此时，. 因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大. 的面积为. 由余弦定理，得， 所以，即. 当且仅当时，等号成立. 所以植物园面积最大值为平方米，此时米. 19. 定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． （1）若向量为函数的积向量，求； （2）若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； （3）当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：由函数为向量的积函数，可得， 因为，可得，即， 又因为，所以，所以，解得， 因为， 又因为，所以， 两式相加，可得，两式相减可得， 所以，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数，根据“积函数”的定义，得到，结合向量的模的计算公式，即可求解； （2）根据题意，由，求得，再由两角和与差的正弦公式，联立方程组，求得和，两式相除，即可得证； （3）根据题意，得到，得到，根据正弦函型函数的图象与性质，分类讨论，分别求得的表达式，进而求得其范围. 【小问1详解】 由函数， 根据“积函数”的定义，可得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由向量时，可得积函数为， 则， 设在区间上的最大值与最小值之差为， 因为，可得， ①当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ②当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ③当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ④当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑤当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑥当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 综上可得：， 所以在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2024级高一下期半期考试试题 数学 命题人：丁雪花 李盛锦 审题人：蔡晓军 宋玉贤 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上. 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写. 4．请按题号顺序在各题目的答案区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（其中为虚数单位），则为（ ） A. B. 5 C. D. 3. 如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 5. 某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（ ） A. 30 B. 60 C. 40或60 D. 30或60 6. 已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C. 若复数z满足，则复数z的虚部为 D. 若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 若已知存在线段AB是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值是 D. 当时， 11. 在中，角的对应边分别为，则（ ） A. 若，，则周长的最大值为18 B. 若，，为的中点，且，则 C. 若是锐角三角形且，，则的最小值为 D. 若角的内角平分线交于，且，，则面积的最大值为3 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 13. 已知，，，则________． 14. 已知O为的外心，若，则实数m的最大值为________． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，函数（其中，）的最小正周期为． （1）求的值； （2）若，，求的值． 16. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求； （2）设的面积为，，判断的形状． 17. 设是平面内相交成的两条数轴，分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记． （1）在仿射坐标系中若，求的坐标及； （2）由题意在仿射坐标系中，的顶点A，C分别在x轴、y轴上，CE为边OA的中线，过A点作CE的垂线，交CE于B，交OC于D，此时，求的最小值． 18. 某湿地公园为方便民众周末游玩，拟建造一个四边形的亲子游乐园，如图所示.为考虑亲子游玩的需求，在四边形区域中，将三角形区域等分为植物园和科学博览园，三角形区域建成游乐场，相互间修建游览小径，连接，其中米，米，． （1）如果游乐园区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么小径需要修建多长？ （2）考虑到儿童游玩的安全性，在规划四边形区域时，首先保证游乐场的占地面积最大时，再使得植物园的面积尽可能大，求满足条件的的长度． 19. 定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． （1）若向量为函数的积向量，求； （2）若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； （3）当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $