17.1用提公因式法分解因式 （第1课时）习讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“用提公因式法分解因式”核心知识点，前承整式乘法（强调二者为相反变形），通过思维导图构建“概念-提公因式法-结果规范”知识框架，知识清单细化公因式确定、提取步骤等要点，形成从基础理解到综合应用的学习支架。 资料以思维导图直观呈现知识脉络，培养抽象能力与几何直观（数学眼光），题型精讲通过典例变式训练推理意识与运算能力（数学思维），结合简便计算、求值等应用场景渗透应用意识（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后便于学生针对性练习，弥补知识盲点。

第17章 因式分解 第01讲 用提公因式法分解因式 第01讲 用提公因式法分解因式 思维导图 ①因式分解的概念 ①判断因式分解 ②根据因式分解的变形求值 ②提公因式法分解因式 ①求多项式的公因式 ②求多项式提取公因式后的式子 ③用提公因式法分解因式 ④提公因式法分解因式的应用 用提公因式法分解因式 ③因式分解的结果规范 知识清单 知识点01 因式分解的概念 1.因式分解的概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 2.因式分解与整式乘法： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即 因式分解 . 整式乘法 知识点02 提公因式法分解因式 1.公因式的概念： 多项式的各项都有的因式叫作这个多项式各项的公因式. 如：多项式，各项都有一个公因式，则就是这个多项式的公因式. 2.提公因式法分解因式： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 3.公因式的求法： 公因式=系数的最大公因数×相同字母（式子）的最低次幂. 若多项式首项为负号，则公因式为负. 4.多项式提取公因式后的另一个因式的求法： 多项式提取公因式后，另一个因式=多项式的每一项÷公因式. 知识点03 因式分解的结果规范 1.因式分解的结果规范： ①每个因式都不能再因式分解； ②相同的因式要写成幂的形式. 题型精讲 知识点运用01 因式分解的概念 【题型一 判断因式分解】 【典例1】下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ）. A. B. C. D. 【变式1】下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）. A. B. C. D. 【变式2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）. A. B. C. D. 【题型二 根据因式分解的变形求值】 【典例1】若能分解为，那么的值是（ ）. A.7，2 B.-7，2 C.-7，-2 D.7，-2 【变式1】已知多项式分解因式后结果为，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【典例2】已知在中，为整数，能使这个因式分解过程成立的值的个数有（ ）. A.4个 B.5个 C.8个 D.10个 【典例3】若将多项式进行因式分解后，有一个因式是，则的值为_________. 【变式1】多项式中，有一个因式为，则的值为（ ）. A.-15 B.-3 C.15 D.3 【变式2】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值. 解：设另一个因式为，得 ， 则. ∴ 解得：，. ∴另一个因式为，的值为-21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值. 知识点运用02 提公因式法分解因式 【题型一 求多项式的公因式】 【典例1】在多项式中，各项的公因式是（ ）. A. B. C. D. 【变式1】多项式的公因式是（ ）. A. B. C. D. 【变式2】多项式的公因式是_________. 【变式3】多项式（均为大于1的整数）各项的公因式是（ ）. A. B. C. D. 【变式4】若，，则的值与的公因式为（ ）. A. B. C. D. 【题型二 求多项式提取公因式后的式子】 【典例1】把多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是_________. 【变式1】把提公因式后一个因式是，另一个因式是_________. 【变式2】把多项式提取公因式后，另一个因式为_________. 【变式3】多项式提公因式后，另一个因式为（ ）. A. B. C. D. 【典例2】若（），则是_________. 【题型三 用提公因式法分解因式】 【典例1】把下列各式分解因式. （1）； （2）. 【变式1】因式分解. （1）； （2）. 【变式2】把下列各式因式分解. （1）； （2）； （3）； （4）. 【题型四 提公因式法分解因式的应用】 【典例1】如图，边长分别为的长方形，它的周长为15，面积为10，则_________. 【提公因式法简便计算】 【典例1】计算的结果是_________. 【变式1】计算：_________. 【变式2】简便计算： （1）； （2）. 【典例2】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： （1） 上述分解因式的方法是_________，共用了_________次； （2） 若分解，则结果是_________； （3） 依照上述方法分解因式：（为正整数）. 【变式1】计算的结果为_________. 【典例3】已知，则的值为_________. 【利用提公因式法因式分解求值】 【典例1】如果，，那么的值是_________. 【变式1】已知：，，求下列各式的值： （1）； （2）. 【变式2】已知可分解因式为，其中均为整数，则的值为_________. 题型精讲 知识点运用01 因式分解的概念 【题型一 判断因式分解】 【典例1】下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ A ）. A. B. C. D. 【变式1】下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ C ）. A. B. C. D. 【变式2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ A ）. A. B. C. D. 【题型二 根据因式分解的变形求值】 【典例1】若能分解为，那么的值是（ B ）. A.7，2 B.-7，2 C.-7，-2 D.7，-2 【变式1】已知多项式分解因式后结果为，则的值为（ D ）. A. B. C. D. 【典例2】已知在中，为整数，能使这个因式分解过程成立的值的个数有（ B ）. A.4个 B.5个 C.8个 D.10个 解析：且，∵为整数，∴. 【典例3】若将多项式进行因式分解后，有一个因式是，则的值为____3____. 解析：设另一个因式为，， ∴，解得. 【变式1】多项式中，有一个因式为，则的值为（ C ）. A.-15 B.-3 C.15 D.3 解析：设另一个因式为，， ∴，解得. 【变式2】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值. 解：设另一个因式为，得 ， 则. ∴ 解得：，. ∴另一个因式为，的值为-21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值. 解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴ 解得：，. ∴另一个因式为，的值为20. 知识点运用02 提公因式法分解因式 【题型一 求多项式的公因式】 【典例1】在多项式中，各项的公因式是（ B ）. A. B. C. D. 【变式1】多项式的公因式是（ C ）. A. B. C. D. 【变式2】多项式的公因式是____. 【变式3】多项式（均为大于1的整数）各项的公因式是（ B ）. A. B. C. D. 【变式4】若，，则的值与的公因式为（ D ）. A. B. C. D. 解析：，所以与的公因式为. 【题型二 求多项式提取公因式后的式子】 【典例1】把多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是__. 【变式1】把提公因式后一个因式是，另一个因式是__. 【变式2】把多项式提取公因式后，另一个因式为__. 【变式3】多项式提公因式后，另一个因式为（ B ）. A. B. C. D. 【典例2】若（），则是__. 【题型三 用提公因式法分解因式】 【典例1】把下列各式分解因式. （1）； （2）. 解：原式 解：原式 【变式1】因式分解. （1）； （2）. 解：原式 解：原式 【变式2】把下列各式因式分解. （1）； （2）； 解：原式 解：原式 （3）； （4）. 解：原式 解：原式 【题型四 提公因式法分解因式的应用】 【典例1】如图，边长分别为的长方形，它的周长为15，面积为10，则___225__. 解析：，，∴. 【提公因式法简便计算】 【典例1】计算的结果是____. 解析：原式. 【变式1】计算：____. 解析：原式. 【变式2】简便计算： （1）； （2）. 解：原式 解：原式 【典例2】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： （1） 上述分解因式的方法是_提公因式法_，共用了____2____次； （2） 若分解，则结果是__； （3） 依照上述方法分解因式：（为正整数）. 解：原式 【变式1】计算的结果为____3____. 解析：原式 【典例3】已知，则的值为____0____. 解析：原式. 【利用提公因式法因式分解求值】 【典例1】如果，，那么的值是___21____. 【变式1】已知：，，求下列各式的值： （1）； （2）. 解：原式 解：原式 【变式2】已知可分解因式为，其中均为整数，则的值为___-31___. 解析：， ∴，，∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $