专题17.1 用提公因式法分解因式（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

本初中数学讲义聚焦“用提公因式法分解因式”，从因式分解概念切入，明确其与整式乘法的逆运算关系，逐步讲解公因式的确定（系数最大公约数、相同字母最低次幂、首项负号处理），构建“概念—公因式—提公因式法”的学习支架。 资料通过即学即练（如辨析因式分解变形）、题型分类（判断、求值、分解等）及变式训练，培养学生抽象能力（数学眼光）、运算能力（数学思维）与推理意识，课中助力分层教学，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题17.1 用提公因式法分解因式 教学目标 1. 掌握因式分解的概念，并能够熟练的判断式子因式分解变形是否正确以及通过变形求值。 2. 掌握公因式的概念以及提公因式分解因式的方法，并能快速判断多项式的公因式以及根据方法准确无误的进行分解。 教学重难点 1. 重点 （1）因式分解的概念； （2）用提公因式法分解因式。 2. 难点 （1）因式分解的变形求值； （2）求多项式的公因式及求提取公因式后的因式。 知识点01 因式分解的概念 1. 分解因式的概念： 把一个多项式写成几个 的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 ，也叫做把这个多项式 。与整式的乘法互为逆运算。 左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相等。 【即学即练1】 1．下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1） C．a2+2ab+b2+1＝（a+b）2+1 D．（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2 【即学即练2】 2．若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（　　） A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2 知识点02 提公因式法分解因式 1. 公因式的概念： 多项式中各项都有的 叫做这个多项式的公因式。如多项式，各项都有一个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。 2. 公因式的求法： 公因式＝系数的 ×相同字母（式子）的 。若多项式首项为负号，则公因式为 。 3. 多项式提取公因式后的另一个因式的求法： 多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷ 。 4. 提公因式分解因式： 一般地，如果多项式的各项都有 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 与另一个因式的 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 【即学即练1】 3．多项式8a3b2+4a3bc各项的公因式是（　　） A．4a3b B．a3b C．4a3 D．﹣a3 【即学即练2】 4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3 【即学即练3】 5．多项式3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）的公因式是 　 ． 【即学即练4】 6．多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为 　 ． 【即学即练5】 7．把2（a﹣3）+a（a﹣3）提取公因式（a﹣3）后，另一个因式为　 　 ． 【即学即练5】 8．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣6x2； （2）2a2b+5ab+b； （3）6p（p+q）﹣4q（p+q）；． （4）（x﹣1）2﹣x+1； （5）﹣3a2b+6ab2﹣3ab． 题型01 判断因式分解的变形 【典例1】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．am+bm+c＝m（a+b）+c B．（2x+1）2＝4x2+4x+1 C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 【变式1】下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x﹣1＝x（1） 【变式2】下列从左到右变形，是因式分解的是（　　） A．2x3﹣4x2+4＝2x（x2﹣2x+2） B．﹣2x3y+2xy3＝﹣2xy（x+y）（x﹣y） C．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2 D．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 题型02 根据因式分解的变形求值 【典例1】若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【变式1】若x2+mx+n＝（x+5）2，则m+n的值为 　 　 ． 【变式2】已知在x2+mx﹣16＝（x+a）（x+b）中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的m值的个数有（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．10个 【变式3】如果2x+1是多项式6x2+mx﹣5的一个因式，则m的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．7 D．﹣7 题型03 求多项式的公因式 【典例1】多项式m2+mn的公因式是（　　） A．m2 B．m C．mn D．n 【变式1】把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．xyz B．2xy C．2xyz D．2x2y2z2 【变式2】多项式﹣6ab2+24a2b2﹣12a3b2c的公因式是（　　） A．﹣6ab2c B．﹣ab2 C．﹣6ab2 D．﹣6a3b2c 【变式3】18ab2（a﹣b）2与12b（a﹣b）的公因式是 　 　 ． 题型04 求多项式提取公因式后的因式 【典例1】多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为（　　） A．x﹣2y B．x﹣4y+1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【变式1】把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 【变式2】把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x 【变式3】把多项式（x+1）（x﹣2）+2﹣x提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+2 B．x+1 C．x D．2 【变式4】多项式x2+8x+k分解因式后的一个因式是x﹣2，则另一个因式是 ． 题型05 用提公因式法分解因式 【典例1】因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【变式1】因式分解： （1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3． 【变式2】因式分解 （1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4； （2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）． 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x2+4x﹣4＝（x+2）（x﹣2）+4x B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 D．x3﹣x2+x＝x（x2﹣x+1） 2．6x2y﹣3xy2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3xy B．3x2y C．3x2y3 D．3x2y2 3．计算﹣22026﹣（﹣2）2027的结果是（　　） A．﹣22025 B．22026 C．22025 D．﹣22026 4．将多项式﹣4a3+16a2+12a分解因式，应提取的公因式是（　　） A．4a3 B．4a2 C．﹣4a2 D．﹣4a 5．（3a+2b）（3x﹣2y）+a（2y﹣3x）因式分解的最终结果是（　　） A．（2a+2b）（2y﹣3x） B．（2a+2b）（3x﹣2y） C．2（a+2b）（3x﹣2y） D．2（a+b）（3x﹣2y） 6．小红和小华在用提公因式法对多项式2x2﹣4x进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（　　） A．2 B．x C．2x D．2x2 7．如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 8．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　） A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5 9．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．24 B．70 C．40 D．140 10．已知（2x﹣8）（3x﹣4）﹣（3x﹣4）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），则a+2b的值是（　　） A．1 B．6 C．7 D．8 11．分解因式：12x3y﹣18x2y2+24xy3＝6xy（　 ）． 12．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： 　 ． 13．已知m（m+n）＝12，n（m+n）＝24，则m+n＝　 　 ． 14．若多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+n），则m﹣n的值是　 　 ． 15．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 　 　 ． 16．分解因式： （1）6x（a﹣b）+4y（b﹣a）； （2）3xmyn+2+xm﹣1yn+1； （3）（a2﹣ab）+c（a﹣b）； （4）（m﹣n）4+m（m﹣n）3+n（n﹣m）3． 17．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： （1）a2b﹣ab2； （2）3a3b﹣6a2b2+3ab3． 18．已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28． （1）求x﹣y的值； （2）求x2+y2，x+y的值． 19．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　 　 ． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 20．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　 ； （2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+⋯+x（1+x）n，则需应用上述方法 n 次，结果是 　 ； （3）分解因式：（1+x）4+x（1+x）4+x（1+x）5+x（1+x）6+x（1+x）7． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.1 用提公因式法分解因式 教学目标 1. 掌握因式分解的概念，并能够熟练的判断式子因式分解变形是否正确以及通过变形求值。 2. 掌握公因式的概念以及提公因式分解因式的方法，并能快速判断多项式的公因式以及根据方法准确无误的进行分解。 教学重难点 1. 重点 （1）因式分解的概念； （2）用提公因式法分解因式。 2. 难点 （1）因式分解的变形求值； （2）求多项式的公因式及求提取公因式后的因式。 知识点01 因式分解的概念 1. 分解因式的概念： 把一个多项式写成几个 整式 的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解 ，也叫做把这个多项式 分解因式 。与整式的乘法互为逆运算。 左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相等。 【即学即练1】 1．下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1） C．a2+2ab+b2+1＝（a+b）2+1 D．（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2 【答案】B 【解答】解：A、等号右边不是积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D、是整式的乘法，不符合题意； 故选：B． 【即学即练2】 2．若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（　　） A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2 【答案】B 【解答】解：根据题意得：x2+mx﹣18＝（x﹣9）（x+n）＝x2+（n﹣9）x﹣9n， ∴m＝n﹣9，﹣18＝﹣9n， 解得：m＝﹣7，n＝2． 故选：B． 知识点02 提公因式法分解因式 1. 公因式的概念： 多项式中各项都有的 因式 叫做这个多项式的公因式。如多项式，各项都有一个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。 2. 公因式的求法： 公因式＝系数的 最大公约数 ×相同字母（式子）的 最低次幂 。若多项式首项为负号，则公因式为 负 。 3. 多项式提取公因式后的另一个因式的求法： 多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷ 公因式 。 4. 提公因式分解因式： 一般地，如果多项式的各项都有 公因式 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式 与另一个因式的 乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 【即学即练1】 3．多项式8a3b2+4a3bc各项的公因式是（　　） A．4a3b B．a3b C．4a3 D．﹣a3 【答案】A 【解答】解：这三项系数的最大公约数是4，三项的字母部分都含有字母a、b，其中a的最低次数是3，b的最低次数是1，因此多项式8a3b2+4a3bc各项的公因式是4a3b． 故选：A． 【即学即练2】 4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3 【答案】A 【解答】解：﹣6a3b2﹣3a2b2＝﹣3a2b2（2a+1）． 所以应提取的公因式是﹣3a2b2． 故选：A． 【即学即练3】 5．多项式3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）的公因式是 　3（a﹣b）　 ． 【答案】3（a﹣b）． 【解答】解：∵3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+9y（a﹣b）， ∴多项式3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）的公因式是3（a﹣b）， 故答案为：3（a﹣b）． 【即学即练4】 6．多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为 x﹣2y+1　 ． 【答案】x﹣2y+1． 【解答】解：2x2﹣4xy+2x＝2x（x﹣2y+1）． 故答案为：x﹣2y+1． 【即学即练5】 7．把2（a﹣3）+a（a﹣3）提取公因式（a﹣3）后，另一个因式为　（2+a）　 ． 【答案】（2+a）． 【解答】解：2（a﹣3）+a（a﹣3）＝（a﹣3）（2+a）， 故答案为：（2+a）． 【即学即练5】 8．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣6x2； （2）2a2b+5ab+b； （3）6p（p+q）﹣4q（p+q）；． （4）（x﹣1）2﹣x+1； （5）﹣3a2b+6ab2﹣3ab． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4x3﹣6x2＝2x2（2x﹣3）； （2）2a2b+5ab+b＝b（2a2+5a+1）； （3）6p（p+q）﹣4q（p+q）＝2（p+q）（3p﹣2q）； （4）（x﹣1）2﹣x+1 ＝（x﹣1）2﹣（x﹣1） ＝（x﹣1）（x﹣2）； （5）﹣3a2b+6ab2﹣3ab ＝﹣3ab（a﹣2b+1）． 题型01 判断因式分解的变形 【典例1】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．am+bm+c＝m（a+b）+c B．（2x+1）2＝4x2+4x+1 C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 【答案】C 【解答】解：A．am+bm+c＝m（a+b）+c，等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B．（2x+1）2＝4x2+4x+1，是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3），是因式分解，故本选项符合题意； D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x﹣1＝x（1） 【答案】C 【解答】解：A、不是因式分解，故本选项错误； B、不是因式分解，故本选项错误； C、是因式分解，故本选项正确； D、不是因式分解，故本选项错误； 故选：C． 【变式2】下列从左到右变形，是因式分解的是（　　） A．2x3﹣4x2+4＝2x（x2﹣2x+2） B．﹣2x3y+2xy3＝﹣2xy（x+y）（x﹣y） C．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2 D．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 【答案】B 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A、右边计算为2x•（x2﹣2x+2）＝2x3﹣4x2+4x，与左边 2x3﹣4x2+4 不相等，故不是因式分解； B、右边计算为﹣2xy•（x+y）（x﹣y）＝﹣2xy•（x2﹣y2）＝﹣2x3y+2xy3，与左边相等，且是积的形式，故是因式分解； C、是整式乘法，不是因式分解； D、右边不是积的形式，故不是因式分解． 故选：B． 题型02 根据因式分解的变形求值 【典例1】若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【答案】A 【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15， ∴m＝﹣2． 故选：A． 【变式1】若x2+mx+n＝（x+5）2，则m+n的值为 　35　 ． 【答案】35． 【解答】解：（x+5）2＝x2+10x+25＝x2+mx+n， 则m＝10，n＝25， 那么m+n＝10+25＝35， 故答案为：35． 【变式2】已知在x2+mx﹣16＝（x+a）（x+b）中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的m值的个数有（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．10个 【答案】B 【解答】解：∵﹣16＝﹣1×16＝﹣2×8＝﹣4×4＝4×（﹣4）＝2×（﹣8）＝1×（﹣16）＝a×b， ∴m＝a+b＝﹣1+16或﹣2+8或﹣4+4或4+（﹣4）或2+（﹣8）或1+（﹣16）， 即m＝±15或±6或0． 则m的可能值的个数为5， 故选：B． 【变式3】如果2x+1是多项式6x2+mx﹣5的一个因式，则m的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．7 D．﹣7 【答案】D 【解答】解：∵2x+1是多项式6x2+mx﹣5的一个因式， ∴6x2+mx﹣5＝（2x+1）（3x﹣5）＝6x2﹣7x﹣5， ∴m＝﹣7． 故选：D． 题型03 求多项式的公因式 【典例1】多项式m2+mn的公因式是（　　） A．m2 B．m C．mn D．n 【答案】B 【解答】解：m2+mn＝m（m+n），即公因式是m， 故选：B． 【变式1】把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．xyz B．2xy C．2xyz D．2x2y2z2 【答案】C 【解答】解：把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是2xyz， 故选：C． 【变式2】多项式﹣6ab2+24a2b2﹣12a3b2c的公因式是（　　） A．﹣6ab2c B．﹣ab2 C．﹣6ab2 D．﹣6a3b2c 【答案】C 【解答】解：系数的最大公约数是﹣6，相同字母的最低指数次幂是ab2， ∴公因式为﹣6ab2． 故选：C． 【变式3】18ab2（a﹣b）2与12b（a﹣b）的公因式是 　6b（a﹣b）　 ． 【答案】6b（a﹣b）． 【解答】解：18ab2（a﹣b）2与12b（a﹣b）的公因式是6b（a﹣b）， 故答案为：6b（a﹣b）． 题型04 求多项式提取公因式后的因式 【典例1】多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为（　　） A．x﹣2y B．x﹣4y+1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【答案】C 【解答】解：2x2﹣4xy+2x＝2x（x﹣2y+1）． 故选：C． 【变式1】把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 【答案】D 【解答】解：（x+2）（x﹣2）+（x﹣2） ＝（x﹣2）（x+2+1）， 故选：D． 【变式2】把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x 【答案】C 【解答】解：2（x﹣3）+x（3﹣x）＝2（x﹣3）﹣x（x﹣3）＝（x﹣3）（2﹣x）， 故选：C． 【变式3】把多项式（x+1）（x﹣2）+2﹣x提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+2 B．x+1 C．x D．2 【答案】C 【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣2） ＝（x﹣2）（x+1﹣1） ＝x（x﹣2）， 则余下的部分是x， 故选：C． 【变式4】多项式x2+8x+k分解因式后的一个因式是x﹣2，则另一个因式是x+10　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x的多项式x2+8x+k分解因式后的一个因式是x﹣2， 当x＝2时多项式的值为0， 即22+8×2+k＝0， ∴20+k＝0， ∴k＝﹣20． ∴x2+8x+k＝x2+8x﹣20＝（x﹣2）（x+10），即另一个因式是x+10． 故应填：x+10． 题型05 用提公因式法分解因式 【典例1】因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【答案】（1）5ab（ab2﹣4b+1）； （2）3（x﹣y）2（x+y）． 【解答】解：（1）5a2b3﹣20ab2+5ab＝5ab（ab2﹣4b+1）； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3 ＝6x（x﹣y）2﹣3（x﹣y）3 ＝3（x﹣y）2（2x﹣x+y） ＝3（x﹣y）2（x+y）． 【变式1】因式分解： （1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3． 【答案】（1）4xy2（xy+2xz﹣3z）； （2）5（x﹣2y）3（x+4y）． 【解答】解：（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z＝4xy2（xy+2xz﹣3z）； （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3 ＝5x（x﹣2y）3+20y（x﹣2y）3 ＝5（x﹣2y）3（x+4y）． 【变式2】因式分解 （1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4； （2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）． 【答案】（1）﹣3xy2（x﹣y）2； （2）3（a﹣b）（x+2y）． 【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2） ＝﹣3xy2（x﹣y）2； （2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b） ＝3（a﹣b）（x+2y）． 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x2+4x﹣4＝（x+2）（x﹣2）+4x B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 D．x3﹣x2+x＝x（x2﹣x+1） 【答案】D 【解答】解：A．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意． 故选：D． 2．6x2y﹣3xy2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3xy B．3x2y C．3x2y3 D．3x2y2 【答案】A 【解答】解：6x2y﹣3xy2＝3xy（2x﹣y），公因式是3xy， 故选：A． 3．计算﹣22026﹣（﹣2）2027的结果是（　　） A．﹣22025 B．22026 C．22025 D．﹣22026 【答案】B 【解答】解：﹣22026﹣（﹣2）2027 ＝﹣22026﹣（﹣22027） ＝﹣22026+22027 ＝22026×（2﹣1） ＝22026， 故选：B． 4．将多项式﹣4a3+16a2+12a分解因式，应提取的公因式是（　　） A．4a3 B．4a2 C．﹣4a2 D．﹣4a 【答案】D 【解答】解：﹣4a3+16a2+12a ＝﹣4a（a2﹣4a﹣3）． 故选：D． 5．（3a+2b）（3x﹣2y）+a（2y﹣3x）因式分解的最终结果是（　　） A．（2a+2b）（2y﹣3x） B．（2a+2b）（3x﹣2y） C．2（a+2b）（3x﹣2y） D．2（a+b）（3x﹣2y） 【答案】D 【解答】解：原式＝（3a+2b）（3x﹣2y）﹣a（3x﹣2y） ＝（3x﹣2y）[（3a+2b）﹣a] ＝（3x﹣2y）（2a+2b） ＝2（a+b）（3x﹣2y）． 故选：D． 6．小红和小华在用提公因式法对多项式2x2﹣4x进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（　　） A．2 B．x C．2x D．2x2 【答案】C 【解答】解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2）， 即多项式2x2﹣4x分解因式时所提取的公因式是2x， 故选：C． 7．如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B 【解答】解：由条件可知当x＝2时，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0， 解得：2a﹣b＝﹣1， 故选：B． 8．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　） A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5 【答案】A 【解答】解：原式＝5（a﹣b）﹣m（a﹣b）＝（a﹣b）（5﹣m）， 另一个因式是（5﹣m）， 故选：A． 9．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．24 B．70 C．40 D．140 【答案】B 【解答】解：由题意得，2（a+b）＝14，ab＝10， ∴a+b＝7， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70， 故选：B． 10．已知（2x﹣8）（3x﹣4）﹣（3x﹣4）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），则a+2b的值是（　　） A．1 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解答】解：（2x﹣8）（3x﹣4）﹣（3x﹣4）（x﹣13） ＝（3x﹣4）[（2x﹣8）﹣（x﹣13）] ＝（3x﹣4）（x+5）， ∵（2x﹣8）（3x﹣4）﹣（3x﹣4）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b）， ∴a＝﹣4，b＝5， ∴a+2b＝﹣4+2×5＝6， 故选：B． 11．分解因式：12x3y﹣18x2y2+24xy3＝6xy（　2x2﹣3xy+4y2 ）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝6xy（2x2﹣3xy+4y2）， 故答案为：2x2﹣3xy+4y2． 12．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 13．已知m（m+n）＝12，n（m+n）＝24，则m+n＝　±6　 ． 【答案】±6． 【解答】解：∵m（m+n）＝12，n（m+n）＝24， ∴m（m+n）+n（m+n）＝12+24， ∴（m+n）（m+n）＝36， 即（m+n）2＝36， ∴m+n＝±6， 故答案为：±6． 14．若多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+n），则m﹣n的值是　3或﹣3　 ． 【答案】3或﹣3． 【解答】解：∵（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+n）， ∴（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2） ＝（x+2）（2x﹣2） ＝2（x+2）（x﹣1） ＝2（x+m）（x+n）， 故m＝2，n＝﹣1或m＝﹣1，n＝2， 则m﹣n＝3或m﹣n＝﹣1﹣2＝﹣3． 故答案为：3或﹣3． 15．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 　（x+1）（x﹣6）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2）， ∴（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6， ∴b＝﹣6， ∵乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3）， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6， ∴a＝﹣5， ∴x2+ax+b＝x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6）． 故答案为：（x+1）（x﹣6）． 16．分解因式： （1）6x（a﹣b）+4y（b﹣a）； （2）3xmyn+2+xm﹣1yn+1； （3）（a2﹣ab）+c（a﹣b）； （4）（m﹣n）4+m（m﹣n）3+n（n﹣m）3． 【答案】（1）2（a﹣b）（3x﹣2y）； （2）xm﹣1yn+1（3xy+1）； （3）＝（a+c）（a﹣b）； （4）2（m﹣n）4． 【解答】解：（1）6x（a﹣b）+4y（b﹣a） ＝6x（a﹣b）﹣4y（a﹣b） ＝2（a﹣b）（3x﹣2y）． （2）3xmyn+2+xm﹣1yn+1 ＝xm﹣1yn+1•3xy+xm﹣1yn+1•1 ＝xm﹣1yn+1（3xy+1）． （3）（a2﹣ab）+c（a﹣b） ＝a（a﹣b）+c（a﹣b） ＝（a+c）（a﹣b）． （4）（m﹣n）4+m（m﹣n）3+n（n﹣m）3 ＝（m﹣n）4+m（m﹣n）3﹣n（m﹣n）3 ＝（m﹣n）3[（m﹣n）+m﹣n] ＝2（m﹣n）3（m﹣n） ＝2（m﹣n）4． 17．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： （1）a2b﹣ab2； （2）3a3b﹣6a2b2+3ab3． 【答案】（1）12； （2）36． 【解答】解：（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12， 当a﹣b＝1，ab＝12时， 原式＝ab（a﹣b） ＝12×1 ＝12； （2）当a﹣b＝1，ab＝12时， 原式＝3ab（a2﹣2ab+b2） ＝3ab（a﹣b）2 ＝3×12×12 ＝36． 18．已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28． （1）求x﹣y的值； （2）求x2+y2，x+y的值． 【答案】（1）2； （2）34；±8． 【解答】解：（1）（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28， xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝28， （x﹣y）（xy﹣1）＝28， ∵xy＝15， ∴14（x﹣y）＝28， ∴x﹣y＝2； （2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝22+2×15＝34； （x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+2×15＝64， ∴x+y＝±8． 19．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　1　 ． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a） 则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a， ∴，解得a＝2，p＝1． 故答案为：1． （2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n ∴， 解得n＝﹣1，k＝5， ∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5． 20．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　提公因式法　 ； （2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+⋯+x（1+x）n，则需应用上述方法 n 次，结果是 　（1+x）n+1 ； （3）分解因式：（1+x）4+x（1+x）4+x（1+x）5+x（1+x）6+x（1+x）7． 【答案】（1）提公因式法； （2）n，（1+x）n+1； （3）（1+x）8． 【解答】解：（1）根据式分解的过程可知，分解因式的方法是提公因式法． 故答案为：提公因式法． （2）第一次提取公因式，得（1+x）[1+x+x（1+x）+…x（1+x）n﹣1]， 第二次提取公因式，得（1+x）2[1+x+…x（1+x）n﹣2]， … 第n次提取公因式，得（1+x）n（1+x），即（1+x）n+1， ∴需应用提公因式法n次，结果是（1+x）n+1． 故答案为：n，（1+x）n+1． （3）原式＝（1+x）4[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3] ＝（1+x）4（1+x）4 ＝（1+x）8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $