3.3勾股定理的简单应用 专项练习 2025--2026学年苏科版八年级数学上册

苏科版数学八年级上册3.3勾股定理的简单应用专项练习 一、折枝问题 1．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深（　　）尺． A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 2．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 3．强大的台风使得一根旗杆在离地面5处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12处，旗杆折断之前的高度是多少米？ 4．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈①的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺(如图).如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? （① “尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺.） 6．如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 二、台风过境问题 7．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 8．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）着火点C 受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 9．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 三、面积问题 10．某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得，，，，． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形的面积． 11．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． （1）求支渠的长度．（结果保留根号） （2）若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 12．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）施工人员测量的是点　 　与点　 　之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 13． （1）问题背景在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积. 请你将△ABC 的面积直接填写在横线上：　 　. （2）思维拓展我们把上述求△ABC 面积的方法叫作构图法，若△ABC 三边的长分别为 请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积. （3）探索创新若△ABC三边的长分别为 且m≠n)，试运用构图法求出这个三角形的面积. 四、滑梯、拉绳问题 14．如图，一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 15．如图所示，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙24米． （1）这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升8米（云梯长度不变），那么云梯底端在水平方向应滑动多少米？ 16．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 17．春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道靓丽风景线，某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向下降2米，则他应该往回收线多少米？ 18．某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙和（即）．一架梯子在走廊上斜靠在左墙时，梯子底端B到左墙的距离，顶端A到地面的距离．（图中所有点均在同一平面内） （1）求梯子的长； （2）如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙上时，若梯子顶端C距离地面的距离，求该教学楼走廊的宽度的长． 19．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） （1）若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ （2）若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 20．综合实践 【问题情境】 某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． （1）【独立思考】 这架云梯顶端距地面的距离有多高？ （2）【深入探究】 消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？ （3）【问题解决】 在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 五、综合题 21．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米. （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路CH比原路CA少多少千米？ 22．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“无字证明”图形（如图①）．其中四个直角三角形较长的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4× ab+（a﹣b）2，由此推导出一个重要的定理． （1）此图可以推导出你学过的什么定理？请写出定理的内容； （2）图②为美国第二十任总统伽菲尔德创造的“无字证明”图形，请你利用图②推导（1）中的定理． （3）根据（1）中的定理，解决下面的问题：如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 23．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示： （1）大正方形的面积为　 　；小正方形的面积为　 　； （2）四个直角三角形的面积和为　 　，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为　 　； （3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的关系是　 　； （4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为　 　. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】 4．【答案】C 5．【答案】解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度 OB为尺.由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.在Rt△OAC中，由勾股定理，可得 即 解得x=12. . 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 6．【答案】解：设为米，∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴湖水深为米． 7．【答案】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∴， 答：台风中心经过从点移到点； （2）解：如图，在射线上取点，使得， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：市受到台风影响的时间持续． 8．【答案】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以， ∵， ∴着火点C受洒水影响． （2）解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 则， 在中， ， ∵CE=CF，CD⊥AB， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 9．【答案】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， ∵飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， ∴着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， ∴． ∵飞机的速度为， ∴， ∵20秒秒， ∴着火点能被扑灭． 答：着火点能被扑灭． 10．【答案】（1）解：连接， ， ， 答：B、D之间的距离为； （2）解：， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积 ． 答：四边形ABCD的面积为． 11．【答案】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； ​​​​​​ （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 12．【答案】（1）A；C （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 13．【答案】（1） （2）解：△ABC 如图所示(位置不唯一)， （3）解：构造△ABC 如图所示， =5mn. 14．【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有12米高 （2）当梯子的顶端下滑5米时，梯子的底端在水平方向后移了米 15．【答案】（1）解：由题意得：米，米， 则（米）． 答：这个梯子的顶端距地面有7米； （2）解：由题意得：米，米，则米， （米）， ∵米， ∴（米）， 答：云梯的底部在水平方向应滑动4米． 16．【答案】解：在中： ，米，米， （米）， 此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， （米）， （米）， （米）， 答：船向岸边移动了9米． 17．【答案】（1）解：如图，在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线米． 18．【答案】（1） （2） 19．【答案】（1） （2） 20．【答案】（1）解：根据题意，， ∴这架云梯顶端距地面的距离的高为； （2）解：，， ∴， ∴； （3）解：能，理由如下， 云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 21．【答案】（1）解：是，理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25， ∴CH2+BH2＝BC2， ∴CH⊥AB， 所以CH是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设AC＝x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2， 由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2 ∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2， 解这个方程，得x＝1.25， 1.25﹣1.2＝0.05（千米） 答：新路CH比原路CA少0.05千米。 22．【答案】（1）解：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积， 可得 ，整理得a2+b2＝c2， 用此图推导出勾股定理， 内容为：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （2）梯形面积=2个直角边长为a，b三角形面积+腰长为c的等腰直角三角形面积， 梯形ABCD的面积为 （a+b）（a+b）＝ a2+ab+ b2， 也可以表示为2× ab+ c2， ∴ ab+ ab+ c2＝ a2+ab+ b2，即a2+b2＝c2； （3）设CA＝x， ∵AB=AC， ∴AH＝ ， 在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，即 ， 解得 ，即CA＝ ， ∴CA﹣CH＝ （千米）， 答：新路CH比原路CA少0.05千米． 23．【答案】（1）； （2）； （3） （4）7.5 学科网（北京）股份有限公司 $