3.1 勾股定理（第1课时 勾股定理的发现）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

3.1 勾股定理 第1课时 勾股定理的发现 第三章 勾股定理 学 习 目 标 2 3 经历探求勾股定理的过程，发展几何直观，体会数形结合的思想． 能够应用勾股定理求直角三角形的未知边长． 能够利用勾股定理表示无理数（a为正整数）． 1 问题引入 直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系： 一个角为直角，另外两个锐角互余．那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢? 探索思考 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 ? 用“补”的方法 探索思考 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 ? S正方形AEDB＝7×7－4×S△ABC ＝49－4××3×4 ＝25． 探索思考 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 用“割”的方法 探索思考 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 S正方形AEDB＝4×S△APB＋1×1 ＝4××3×4＋1 ＝25． P 探索思考 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ B A C D E I F G H 9 16 25 S正方形AEDB＝S正方形BHIC＋S正方形ACFG AB2 BC2 AC2 ＝ ＋ 即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方. 讨论交流 在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系，并与同学交流． 新知归纳 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. C A B 勾股定理 为什么叫“勾股”定理呢？ 知识链接 有一天周公（周文王的儿子）遇到商高（当时的数学家），问到： 周公问数 　我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去丈量，怎样才能得到关于天地的数据呢？ 周公(公元前1123年―前1032年) 知识链接 　数学的方法是从研究圆形和方形开始的．圆形可以由方形来推导，方形可以由直角三角形来推导，而直角三角形的原理又来自于基本的乘法表，也就是九九八十一． 商高(约公元前1100年) 知识链接 　如果我们有一个圆，它的直径是1，那么它的周长大约是3．如果我们有一个正方形，它的边长是1，那么它的周长是4．现在，如果我们有一个直角三角形，它的两条直角边分别是3和4，那么它的斜边（最长的那条边）就是5．这就是我们说的 “勾三股四弦五.”． 商高(约公元前1100年) 知识链接 股修四 股方之矩 勾广三 勾方之矩 径 隅 五 荣方：“矩何以测天？” 陈子：“勾股各自乘，开方除之得弦．此矩道之极也．” 勾的平方＋股的平方＝弦的平方 周髀算经 新知归纳 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. C A B 勾股定理 又叫商高定理 勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理，在古希腊，人们利用勾股定理发现了无理数. 新知归纳 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理 C A B a b c 符号语言： 则 a2＋b2＝c2. 在Rt△ABC中，若∠C＝90°， 新知归纳 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理 C A B a b c 勾股定理只适用于直角三角形，其揭示的是直角三角形三边长之间的平方关系． 典例分析 例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长． 5 12 c (1) 解：(1)根据勾股定理，得 122＋5²＝c2， 即 c2＝169． 所以 c＝＝13． 典例分析 5 b 2 (2) 解：(2)根据勾股定理，得 22＋b²＝52， 即 b2＝21． 所以 b＝． 例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长． 典例分析 例2 如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为411.5m．求梯子顶端距地面的高度h． 解：根据勾股定理，得 1.52＋h²＝2.52， 即 h2＝4． 所以 h＝2． 答：梯子顶端距地面的高度为2m． 新知巩固 1. 求下列直角三角形中未知边的长． 5 x 13 8 15 x x 12 15 x＝12 x＝17 x＝9 新知巩固 2. 求图中x，y的值． 81 100 x (1) 解：(1)根据勾股定理，得 x2＝81＋100， 即 x2＝181． 所以 x＝． y 144 169 (2) 新知巩固 2. 求图中x，y的值． 解：(2)根据勾股定理，得 144＋y²＝169， 即 y2＝25． 所以 y＝5． 新知巩固 3 求图中x的值． 4 4 x (1) 解：(1)根据勾股定理，得 x2＝42＋4²， 即 x2＝32． 所以 x＝． 新知巩固 3 求图中x的值． 8 4 x (2) 解：(2)根据勾股定理，得 82＝x2＋(4)²， 即 x2＝64－48． 所以 x＝4． 典例分析 例3 在数轴上画出对应的点． 0 1 -1 2 3 -2 解：如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形． 由勾股定理知，斜边为．以原点为圆心，斜边长为半径 画弧，与数轴正半轴交于点P，则P为对应的点． P 新知巩固 1. 在数轴上找出表示的点． (不写作法，保留作图痕迹) 0 1 -1 2 3 解：如图，画一个直角边分别为2和2的直角三角形.由勾股定理知，斜边为．以原点为圆心，斜边长为半径 画弧，与数轴正半轴交于对应的点． 新知巩固 -4 -3 -5 -2 -1 0 1 2. 在数轴上找出表示的点． (不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，画一个直角边分别为1和4的直角三角形.由勾股定理知，斜边为．以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴负半轴交于对应的点． 新知巩固 3. 如图，设每个小方格的面积为1，画出图中以格点为端点且长度分别为，，的线段. a b c 解：如图所示，线段a，b，c的长度分别为． 请你欣赏 请你欣赏 课堂小结 勾股定理的发现 内容 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 商高，毕达哥拉斯定理 应用 求直角三角的边长 在数轴上表示无理数（a为正整数） 感谢聆听！ $$