精品解析：湖南省岳阳市汨罗市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中义务教育学业水平监测九年级数学科 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 下列是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数进行排除选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的形式为（）， 选项A：，是正比例函数； 选项B：，符合形式，且，是反比例函数； 选项C：，是一次函数； 选项D：，不是反比例函数； 故选B． 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 先化成一元二次方程的一般形式，再判断出二次项系数． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 则二次项系数为1， 故选：A． 3. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质解答即可. 【详解】解：中，， ∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基础题型，熟知反比例函数的性质是解题的关键. 4. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此解答即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， 故选：A． 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据△ABC∽△DEF，可以得到然后根据BC=6，EF=4，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ，， 故选D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 正比例函数的解析式是 B. 与都随的增大而增大 C. 两个函数图像的另一交点坐标为 D. 当或时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据交点坐标求出正比例函数和反比例函数的解析式，再逐一分析各选项的正确性． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法，交点问题的解答思路是解题的关键． 【详解】解：由正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， 得， 故， 根据图象的中心对称，得另一交点， 随的增大而减小，在每一个象限内，随的增大而增大． 当或时，， 故A，B，C都是错误的，D是正确的， 故选：D． 7. 如图，在中，、分别为线段、的中点，设的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质和定理是解决本题的关键．根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：在中，D、E分别为线段BC、BA的中点， 为的中位线， ， ， ， ， 即， 故选：B． 8. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可． 【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题． 9. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握比例线段的对应关系是解题的关键；根据在中，，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，即可求得的长． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，反比例函数在第三象限的图象是在第四象限的图象是，点、在上，过点作轴交于点，过点作轴于点，点为轴上任意一点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，设点，得到，设设点，则，根据求出，即可得到答案． 【详解】解：设点，则， ∵轴， ∴点B的纵坐标是b， ∵点B在上， ∴点， ∴，点P到的距离为， ∵， ∴， 设点，则， ∵过点作轴于点， ∴，点P到的距离为， ∴， 即， ∴， ∴ 故选：B 二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分） 11. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题实际是考查比例性质．熟练掌握比例的合比性质，是解题的关键． 可以逆用分式的加法性质，将拆分为，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 方程的两个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；通过因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 或， 解得； 故答案为． 13. 已知点与点在反比例函数的图象上，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积相等，都等于比例系数k，然后问题可求解． 【详解】解：因为点和点在反比例函数的图象上， 所以， 解得； 故答案为． 14. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么________． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根时，判别式为0，列出方程解方程即可． 【详解】∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴ ， 解得， 故答案为：1． 15. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），若四边形的面积是2，则四边形的面积是________． 【答案】18 【解析】 【分析】通过位似得到四边形与四边形相似比为，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】四边形与四边形是位似图形， ． 又． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，以及相似多边形的性质，正确得出面积比是解决此题的关键． 16. 年东阳市初中男生篮球比赛在小组初赛之后，每个小组的第一名再进行决赛，决赛采用单循环比赛（单循环比赛是指所有参赛队伍可在比赛中相遇一次）方式，单循环比赛共进行了场，参加比赛的队伍共有______支． 【答案】 【解析】 【分析】设参加比赛的队伍有支，根据单循环比赛的方式列式求解即可． 【详解】解：设参加比赛的队伍有支，单循环比赛共进行了场， ∴，整理得，， ∴（不符合题意，舍去），， ∴参加比赛的队伍有支， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题意中单循环比赛的数量关系，掌握一元二次方程是运用及解法是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，证明△OAB∽△HAC，再求出点C坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴将y=0代入，得，将x=0代入，得y=1， ∴A（，0），B（0，1）， ∴OA=，OB=1， ∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH， ∴△OAB∽△HAC， ∴ ∵OA=，OB=1，， ∴ ∴AH=，CH=2， ∴OH=1， ∵点C在第一象限， ∴C（1，2）， ∵点C在上， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标． 18. 在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列三个结论：①；②；③．其中正确的结论有________（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键，根据矩形的性质易证得，可判断①正确；根据相似三角形的判定与性质判断②正确；延长交的延长线于M，易证，结合直角三角形的性质可判断③为正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 延长交的延长线于M，如图： ∵E是边的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共8道小题，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【小问2详解】 ∴，． 20. 已知关于x的方程有一个根是，求另一个根及m的值． 【答案】 方程的另一根为，的值为． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，掌握，是解题的关键． 根据根与系数的关系：，即可得出答案． 【详解】解：设方程的另一根为， 则由韦达定理知：， ， 方程的另一根为，的值为． 21. 如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 【答案】4m 【解析】 【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解． 【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去) 答：道路的宽应为4m． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程． 22. 如图：已知△ABC∽△DEC，∠D=45°，∠ACB=60°，AC=3cm，BC=4cm，CE=6cm．求： （1）∠B的度数； （2）求AD的长． 【答案】(1) 75°；(2)cm. 【解析】 【分析】（1）直接利用相似三角形对应角相等进而得出答案； （2）直接利用相似三角形的对应边成比例进而得出答案． 详解】（1）∵△ABC∽△DEC， ∴∠A=∠D=45°， 在△ACB中，∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣45°﹣60°=75°； （2）∵△ABC∽△DEC， ∴， 即DC=×CE=cm， ∴AD=AC+CD=cm． 【点睛】此题主要考查了相似三角形性质，正确得出掌握相似三角形的性质是解题关键． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连接（是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）7.5 【解析】 【分析】（1）把代入求出，把代入求出即可； （2）把，代入得出解析式，求出，，得出一次函数的解析式，把代入求出，得出，根据的面积代入求出即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 反比例函数解析式为， 把代入，得， 反比例函数的解析式为，； 【小问2详解】 解：把，代入得， 解得，， 一次函数的解析式为， 把代入，得， ， ， ． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式，求三角形的面积等知识点的应用，用了数形结合思想． 24. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个． （1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价可定为多少元？ （2）商场采取涨价措施后，每月能盈利15000元？ （3）台灯的售价定为多少元时，获得的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）这种台灯的售价应定为80元或50元； （2）不能盈利15000元； （3）台灯的售价定为65元时利润最大，最大利润为12250元． 【解析】 【分析】（1）设这种台灯上涨了x元，台灯将少售出10x，那么利润为，解方程即可； （2）根据题意列方程，根据，判断即可； （3）根据销售利润=每个台灯的利润×销售量，每个台灯的利润=售价-进价，关键是用售价x表示销售量．列出二次函数，用二次函数的性质，求最大值． 【小问1详解】 解：设这种台灯上涨了x元， 根据题意得， 整理得，， 解得：或， 或（元）， 答：这种台灯的售价应定为80元或50元； 【小问2详解】 解：每天不能盈利15000元， 理由：假设能盈利15000元，于是得到， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴每天不能盈利15000元； 小问3详解】 解：设台灯的售价为x元，利润为w元，依题意： ， ∴， ∵，对称轴，在对称轴的左侧w随着x的增大而减小， ∴当时，w的最大值为12250元， 答：台灯的售价定为65元时利润最大，最大利润为12250元． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点M作于G，交于H，证明，根据全等三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点M作于K，交于L，证明，根据相似三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （3）过点作E作于点I，过点G作于点J，解得四边形是矩形，再证明，根据相似三角形的性质得，可得四边形和四边形都是矩形，勾股定理求出，代入比例式计算即得． 【详解】（1）解：如图，过点M作于G，交于H，则， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵于点O， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 故答案为： （2）如图，过点M作于K，交于L，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）如图，过点E作于点I，过点G作于点J，则， ∵于点M， ∴, ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵恰好经过四边形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中心对称性质，正确构造辅助线，是解题的关键． 26. 如图，一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于点，与y轴的负半轴交于点B，且． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）已知点C在x轴上，且的面积是8，求此时点C的坐标； （3）反比例函数的图像记为曲线C1，将C1向左平移3个单位长度，得曲线C2，则C1平移至C2处所扫过的面积是_____． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出a的值，即可求出反比例函数解析式；根据勾股定理可求出的长，即得出的长，从而得出点坐标，再将A，B两点坐标代入，求出和的值即可； （2）设AB与x轴交于点D，由一次函数解析式即可求出D点坐标．设，再根据，即可列出关于t的等式，解出t即可； （3）如图，根据反比例函数解析式求出函数图像两端点M，N的坐标，再根据平移的性质可求出其对应点P，Q的坐标．再由平移至处所扫过的面积正好为平行四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； ∵， ∴， ∴． 将，代入，得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 如图，设与轴交于点， 对于，令，则， 解得：， ∴． 设， 则， ∵， ∴，即， 解得：或， ∴或； 【小问3详解】 对于，令，则；令，则．设其所对应点分别为M，N，如图， ∴，． 由平移的性质可知点M平移后所对应的点的坐标，点N平移后所对应的点Q的坐标为，且四边形为平行四边形，如图． ∴平移至处所扫过的面积正好为平行四边形的面积． ∵， ∴平移至处所扫过的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数与反比例函数的综合，一次函数与几何的综合，反比例函数与几何的综合，勾股定理，平行四边形的判定等知识．利用数形结合的思想是解题关键．解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于m的含绝对值符号的一元一次方程；（3）求出平行四边形EMNF的面积．本题属于中档题，难度不小，解决（3）时，巧妙的借助平行四边的面积公式求出C1平移至C2处所扫过的面积，此处要注意数形结合的重要性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中义务教育学业水平监测九年级数学科 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 下列是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 3. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 若，是方程两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 正比例函数的解析式是 B. 与都随的增大而增大 C. 两个函数图像的另一交点坐标为 D. 当或时， 7. 如图，在中，、分别为线段、的中点，设的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，反比例函数在第三象限的图象是在第四象限的图象是，点、在上，过点作轴交于点，过点作轴于点，点为轴上任意一点，连接，若，则（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分） 11. 如果，那么________． 12. 方程的两个根为________． 13. 已知点与点在反比例函数的图象上，则m的值为________． 14. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么________． 15. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），若四边形的面积是2，则四边形的面积是________． 16. 年东阳市初中男生篮球比赛在小组初赛之后，每个小组第一名再进行决赛，决赛采用单循环比赛（单循环比赛是指所有参赛队伍可在比赛中相遇一次）方式，单循环比赛共进行了场，参加比赛的队伍共有______支． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为______． 18. 在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列三个结论：①；②；③．其中正确的结论有________（填序号） 三、解答题（本大题共8道小题，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2）． 20. 已知关于x的方程有一个根是，求另一个根及m的值． 21. 如图，在长为50m，宽为38m矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 22. 如图：已知△ABC∽△DEC，∠D=45°，∠ACB=60°，AC=3cm，BC=4cm，CE=6cm．求： （1）∠B的度数； （2）求AD的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连接（是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值； （2）求的面积． 24. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个． （1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价可定为多少元？ （2）商场采取涨价措施后，每月能盈利15000元？ （3）台灯的售价定为多少元时，获得的利润w最大？最大利润是多少？ 25. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 26. 如图，一次函数与反比例函数图像在第一象限交于点，与y轴的负半轴交于点B，且． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）已知点C在x轴上，且的面积是8，求此时点C的坐标； （3）反比例函数的图像记为曲线C1，将C1向左平移3个单位长度，得曲线C2，则C1平移至C2处所扫过的面积是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $