精品解析：福建省南平市建阳区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

建阳区2025-2026学年第一学期八年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷） 说明：1．本试卷仅供选用学校使用． 2．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下面四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形三条边的长度分别为2厘米，3厘米，厘米，则可能是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为( ) A. B. C. D. 4. 如图所示，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的一个外角，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，垂直平分，若，，则的周长是（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 8. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 斜边和一条直角边分别相等 B. 两个锐角分别相等 C. 两条直角边分别相等 D. 一个锐角和一条直角边分别相等 9. 如图，在中，点在上，点在上，连接和，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①若，则是等边三角形； ②的周长等于线段的长； ③平分； ④．正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有_____． 12. “等边对等角”的逆命题是________________________________． 13. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于6，则它的周长等于______________． 14. 如图是油纸伞的张开示意图，若是油纸伞的一根骨架，且，请你添加一个条件后，就能证得，你添加的条件是___________． 15. 如图，已知，点的对应点为点，点的对应点为点．若，，则的长为_____． 16. 如图，点是等边三角形的重心，连接，点是的中点，过点作，垂足为点，则的值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的； （2）点的坐标为（ ）； （3）在轴上找出点，使取最小值． 18. 如图，已知． （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点； （2）尺规作图：在（1）的条件下，过点作的平行线，交于点； （要求：保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，中，是边上的高，是的平分线，，，求和的度数． 20. 如图，、相交于点，，，求证：． 21. 如图，点A、B、C在同一直线上，点在上，连接并延长交于点，且，，． （1）求的长； （2）若，猜想的度数，并说明理由． 22. 如图，，，是上的一点，且，． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 如图，在中，，平分，交于点．过点作于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 25. 如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在x轴上，且，点C是线段上的一点，以为边向下作等边． （1）如图2，当点D落在y轴上时，则_____， （2）如图3，连接，当平分时，猜想的度数，并说明理由； （3）点C在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点D也会随之滑动，通过图1探究点D的运动过程中，请直接写出点D运动路径的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建阳区2025-2026学年第一学期八年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷） 说明：1．本试卷仅供选用学校使用． 2．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下面四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 一个三角形三条边的长度分别为2厘米，3厘米，厘米，则可能是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用三角形三边关系得出a的范围，再结合选项判断． 【详解】解：∵一个三角形三边长分别为2厘米，3厘米，厘米， ∴，即， ∴a可能是4． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称的点的坐标的变化规律． 4. 如图所示，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键．由轴对称的性质可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ，， ． 故选：B． 5. 如图，是的一个外角，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角等于与其不相邻两个内角之和．根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：是的一个外角，，， ． 故选：C． 6. 如图，在中，，，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解决问题的关键．根据等腰三角三线合一的性质即可得到，进而可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，垂直平分，若，，则的周长是（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得出，由此可得出结论． 【详解】解：∵垂直平分，，， ∴， ∴的周长 ． 故选：D． 8. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 斜边和一条直角边分别相等 B. 两个锐角分别相等 C. 两条直角边分别相等 D. 一个锐角和一条直角边分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、利用，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意； B、利用，不能得到两个直角三角形全等，符合题意； C、利用，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意； D、利用或，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，点在上，点在上，连接和，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．根据，推出，由外角性质求得，再根据“”证明，得即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 在和中，， ， ． 故选：C． 10. 如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①若，则是等边三角形； ②的周长等于线段的长； ③平分； ④．正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】 解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形． 故①正确． 由轴对称可知，，， ． 故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ，． ． 平分． 故③正确． ，， ． ， ． ． 故④正确． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有_____． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性 12. “等边对等角”的逆命题是________________________________． 【答案】等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题． 【详解】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边； 故答案为：等角对等边． 13. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于6，则它的周长等于______________． 【答案】16或14． 【解析】 【分析】由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分4为底边与6为底边两种情况进行讨论． 【详解】当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长=4+6+6=16； 当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长=4+4+6=14； 故答案为16或14． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解是解题关键． 14. 如图是油纸伞的张开示意图，若是油纸伞的一根骨架，且，请你添加一个条件后，就能证得，你添加的条件是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：在和中，，， ∴当时，； 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，已知，点的对应点为点，点的对应点为点．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，点是等边三角形的重心，连接，点是的中点，过点作，垂足为点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过O作于F，连接，设等边三角形的边长为，则；根据重心的性质以及等边三角形的性质可得点O是中线的交点，是高的交点，垂直平分线的交点，即，；再根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得；再说明、再根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，最后代入求比例即可． 【详解】解：如图：过O作于F，连接 设等边三角形的边长为，则 ∵点是等边三角形的重心， ∴点O是中线的交点，是高的交点，垂直平分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：； ∵点是的中点， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的； （2）点的坐标为（ ）； （3）在轴上找出点，使取最小值． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3）如图； 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换及最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标得到点，即可； （2）由（1）中作图，解答即可； （3）连接交y轴于点M，则点M即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 解：连接交y轴于点M，则点M即为所求． 18. 如图，已知． （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点； （2）尺规作图：在（1）的条件下，过点作的平行线，交于点； （要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2） 如图所示：即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角以及线段垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和作一个角等于已知角的基本作图． （1）利用线段垂直平分线的作法得出的垂直平分线即可； （2）作，利用同位角相等，两直线平行即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，中，是边上的高，是的平分线，，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，掌握三角形的内角和是180度是解题关键． 根据三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义可得的度数，然后结合直角三角形的性质可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵是的一个外角， ∴， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，、相交于点，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用角边角证明即可． 【详解】略 21. 如图，点A、B、C在同一直线上，点在上，连接并延长交于点，且，，． （1）求的长； （2）若，猜想的度数，并说明理由． 【答案】（1）5 （2） ，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握全等三角形的对应边，对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等结合三角形内角和即可得到结论． 【小问1详解】 证明：，， ，， ； 【小问2详解】 略 22. 如图，，，是上的一点，且，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可； （2）根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，在中，，平分，交于点．过点作于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，平分，，， ，． 在和中， ，，， （）． ． （2）10 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由角平分线的性质得出，再由证，即可得出结论； （2）先由证，得出，结合（1）中进而得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ，， ． ． 24. 综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）由（1）知，得到，根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质结合等腰三角形的性质可知，即可得出答案． 【详解】解：（1）点是的中点， ， 在和中， ， （依据）， 故答案为：，； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ， 故答案为：，； （3）延长到，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 25. 如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在x轴上，且，点C是线段上的一点，以为边向下作等边． （1）如图2，当点D落在y轴上时，则_____， （2）如图3，连接，当平分时，猜想的度数，并说明理由； （3）点C在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点D也会随之滑动，通过图1探究点D的运动过程中，请直接写出点D运动路径的长度． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵等边， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （3）9 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得出的度数； （2）根据角平分线定理得出，再证明得到，由得出，利用三角形外角的性质得出结论； （3）在x轴上取点E，使，连接，证明，得到，进而推出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵等边， ∴， ∵，点D落在y轴上， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在x轴上取点E，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点C在滑动时，点D总在与x轴夹角为的直线上滑动， ∵，点C在y轴上从点A向点O滑动，， 当点C运动到终点O处时，，， 此时点D随之到达终点，， 即点D运动路径的长度为9． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含的直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义及勾股定理等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $