精品解析:甘肃省白银市平川区第四中学2025--2026学年上学期九年级数学期中试卷

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九年级数学试卷 一、单选题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1. 一元二次方程化成一般形式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式,把方程右边的项移到左边,即可解答. 【详解】解:把一元二次方程化为一般形式得. 故选:B. 2. 下列四组线段中,是成比例线段的一组是( ) A. ,,8, B. 5,6,7,8 C. 3,6,4,7 D. 2,4,6,8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段.在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段.对于按顺序给出的四条线段,我们通常检验其是否满足,即.据此对各选项进行判断即可. 【详解】解:A中,由,可知这一组线段是成比例线段.所以A符合题意; B中,由,可知这一组线段不是成比例线段.所以B不符合题意; C中,由,可知这一组线段不是成比例线段.所以C不符合题意; D中,由,可知这一组线段不是成比例线段.所以D不符合题意. 故选:A. 3. 如图,菱形的对角线、相交于点O,,则菱形的边长为( ) A. 26 B. 20 C. 15 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得,,,再由勾股定理求出的长即可. 本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键. 【详解】解:∵四边形是菱形,, ∴,,, ∴, ∴, 即菱形的边长为13, 故选:D. 4. 在长方体灯笼的四个侧面不重复地随机绘上生、旦、净.丑四种京剧脸谱,则生、旦两种脸谱正好相对的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.画树状图得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,在根据概率公式求解可得. 【详解】解:画树状图如下: 由树状图知,共有12种等可能结果,其中生、旦两种脸谱正好相对的有2种结果, 所以生、旦两种脸谱正好相对的概率为, 故选D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ) A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式,且求解即可. 【详解】解:由题意得 ,且, 解得且, 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系,熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当时,一元二次方程有两个相等的实数根;当时,一元二次方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义. 6. 已知一元二次方程 的两个实数根分别是 x1 、 x2 则 x12 x2 x1 x22 的值为( ) A. -6 B. - 3 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3,x1•x2=﹣1,再把x12x2+x1x22变形为x1•x2(x1+x2),然后利用整体代入的方法计算即可. 【详解】根据题意得:x1+x2=3,x1•x2=﹣1,所以原式=x1•x2(x1+x2)=﹣1×3=-3. 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x1,x2,则x1+x2,x1•x2. 7. 如图,在中,点分别在上,,则下列结论不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理. 根据平行线分线段成比例定理对选项进行判断. 【详解】解:, ,,,. C选项结论不成立. 故选:C. 8. 如图,E、分别为矩形的边、上的点,,则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质,相似三角形的判定及性质,熟记相似三角形的判定定理是解题的关键.根据矩形的性质得到,推出,由此证明①和③一定相似. 【详解】解:∵四边形是矩形, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴,即①和③一定相似, 故选:A. 9. 如图,将边长为8的正方形沿其对角线剪开,再把沿着方向平移,得到.当两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为16时,移动的距离等于( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、图形的平移、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识,熟练掌握正方形和平移的性质是解题关键.先证出两个三角形重叠部分(阴影部分),即四边形是平行四边形,再证出,设,则,利用平行四边形的面积公式建立方程,解方程即可得. 【详解】解:∵四边形是边长为8的正方形, ∴,, 由平移的性质得:, ∴两个三角形重叠部分(阴影部分),即四边形是平行四边形,, ∴, ∴, ∴, 设,则, ∵两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为16, ∴, 解得,符合题意, 即, 故选:A. 10. 如图1,在中,于点.动点从点出发,沿折线方向运动,运动到点停止.设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2,则的长为( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】从图象可知,,点M运动到点 B位置时, 的面积达到最大值y=3,结合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得 AC的长. 【详解】解:根据函数图象可知,点M的运动路程,点 M运动到点B的位置时,的面积y达到最大值3,即的面积为3. ∵ ∴ ∴. ∴,即: , ,即: . ∵, ∴. 两式相加,得,2AD=6. ∴AC=2AD=6. 故选:B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点,从函数图象中获取相应的信息,利用勾股定理和三角形的面积公式,进行等式的恒等变形是解题的关键. 二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分) 11. 已知,则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的拆分变形,熟练掌握分式的拆分方法并结合已知条件代入计算是解题的关键.将所求式子拆分为已知比例式与常数的差,代入计算. 【详解】解:∵, ∴, 故答案为:. 12. 如图,在菱形中,,垂足为E.若,则_________. 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质,等边三角形的判定和性质,垂直平分线的性质,解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质,连接,先证明是等边三角形,得出,根据等边三角形的性质得出平分,即可得出答案. 【详解】解:如图,连接, ∵,, ∴, ∵在菱形中,, ∴, ∴是等边三角形, ∴, ∵, ∴平分, ∴, 故答案为:30. 13. 四张写有不同诗句的卡片,除正面内容不同外其余完全相同,背面朝上随机收在桌面,任意抽取两张,在不计顺序的情况下,恰能组成名篇名句的概率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图求概率,熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键. 列表可得出所有等可能的结果数以及恰能组成名篇名句的结果数,再利用概率公式可得出答案. 【详解】解:将四张卡片分别记为A,B,C,D,则A和B恰能组成名篇名句,C和D恰能组成名篇名句. 列表如下: A B C D A B C D 共有12种等可能的结果,其中恰能组成名篇名句的结果有:,,,,共4种, ∴恰能组成名篇名句的概率为. 故答案为: 14. 近年来,我国数字技术不断革新,影响着全民阅读形态.为预计某市2024年数字阅读市场规模,经查询得数据:该市2021年数字阅读市场规模为412万元,2023年数字阅读市场规模为523万元.设该市年平均增长率为x,根据题意可列方程______. 【答案】 【解析】 【分析】利用该市2023年数字阅读市场规模该市2021年数字阅读市场规模该市年平均增长率,即可列出关于x的一元二次方程. 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 【详解】解:根据题意得:. 故答案为:. 15. 如图,在中,为斜边上的中线,若,则________. 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】解:∵中,为斜边上的中线, ∴, ∵, ∴, 故答案为:5. 16. 若,则________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质,由得,代入进行计算即可得到答案. 【详解】解:∵, ∴, ∴, 故答案为:. 17. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=________. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出BO=3,CO=4,AC⊥BD,进而利用勾股定理以及直角三角形面积求法得出答案. 【详解】∵四边形ABCD为菱形, ∴AC⊥BD,OB=OD=BD=3,OA=OC=AC=4, 在Rt△OBC中,∵OB=3,OC=4, ∴BC=, ∵OE⊥BC, ∴OE•BC=OB•OC, ∴OE=. 18. 将矩形沿它的一条对称轴对折,如果对折后得到的新矩形与矩形相似,那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质,根据相似多边形的性质得出比例式,求出,代入求出即可,能根据相似多边形的性质求出是解此题的关键. 【详解】解:如图, 是矩形的一条对称轴, 、分别为,的中点, ,, 四边形是矩形, ,, 矩形与相似, , , , , , 故答案为:. 三、解答题(共88分) 19. 解方程: (1) (2) 【答案】(1)x1=-1,x2=5;(2)x1=,x2=4 【解析】 【分析】(1)先化简方程得到,然后利用因式分解法解方程; (2)先移项得到,然后利用因式分解法解方程. 【详解】解:(1), ∴, ∴, ∴x1=-1,x2=5; (2), ∴, ∴, ∴, ∴3x+2=0或x-4=0, ∴x1=,x2=4. 【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握因式分解法是解题的关键. 20. 已知,且. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】(1)2 (2)6 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是本题的关键. (1)根据等比性质求解即可; (2)根据给出的条件将整理,再代入即可得出答案. 【小问1详解】 解:∵, ∴, . 【小问2详解】 解:由得, ∵, ∴. 21. 已知关于的一元二次方程. 若是方程的一个根.求的值和方程的另一根; 对于任意实数,判断方程的根的情况. 【答案】方程的另一根为. ∵在方程中,, ∴对于任意实数,方程总有两个不相等的实数根. 【解析】 【分析】(1)把x=-1代入原方程即可求出m的值,解方程进而求出方程的另一个根; (2)由方程的判别式△=b2-4ac计算的结果和0比较大小即可知道方程根的情况. 【详解】将代入中,得:, 解得:, 当时,原方程为, 解得:,, ∴方程的另一根为. 略 【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式,解题的关键是熟练的掌握一元二次方程与根的判别式的计算. 22. 中国有着悠久的历史文化,一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定,在娱乐匮乏的古代社会,中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼.为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产,在某次班会上,甲、乙、丙、丁、戊五位班干部准备从A.牛郎织女传说、B.蔡伦造纸传说、C.仓颉传说、D.陕北民谚、E.三顾茅庐这五个故事传说中,各选一个进行讲解,班长做了张背面完全相同的卡片,如图,卡片正面分别绘制了这个故事传说的插画,将卡片背面朝上洗匀后,让甲先从这张卡片中随机抽取一张,不放回,乙再从剩下的张卡片中随机抽取一张,以所抽取的卡片正面内容为准进行讲解. (1)甲所抽取的卡片正面是C.仓颉传说的概率为________; (2)请用列表或画树状图的方法,求甲、乙二人中,有一个人讲解E.三顾茅庐这个故事传说的概率. 【答案】(1); (2)有一个人讲解E.三顾茅庐的概率为. 【解析】 【分析】()直接利用概率公式进行计算即可; ()画出树状图,利用概率公式计算即可; 本题考查了概率公式求概率,树状图法或列表法求概率,熟练掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键. 【小问1详解】 解:∵一共有A.牛郎织女传说、B.蔡伦造纸传说、C.仓颉传说、D.陕北民谚、E.三顾茅庐这五个故事传说, ∴甲所抽取的卡片正面是C.仓颉传说的概率为, 故答案为:; 【小问2详解】 解:根据题意画树状图如下: 共有种等可能的结果,有一个人讲解E.三顾茅庐的结果数为种, ∴有一个人讲解E.三顾茅庐的概率为. 23. 甘肃是面食之乡,其中“金城炒面”也最为有名,它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道,与兰州牛肉面一样享誉全国.兰州某餐馆一份炒面成本价为7元,若每份卖12元,平均每天销售160份,若价格每提高1元,平均每天少销售10份,每份炒面价格是多少元时,该餐馆能实现每天1080元的利润? 【答案】销售价格为元或元时,餐馆能实现每天元的利润. 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用,理解题目数量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 根据题意,设提高了元,用含的式子表示出销售价格,利润,销售份数,根据题目数量关系列一元二次方程求解即可. 【详解】解:设提高了元,则销售价格为元,利润为元,销售份数为份, ∴,整理得,, ∴, 解得,,, ∴销售价格为元或元时,餐馆能实现每天的利润. 24. 如图,在中,点D、B、C、E在同一条直线上,且. (1)求证:; (2)若,求的长度. 【答案】(1) 解:∵ ∴, ∴, ∵, ∴; (2) 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定,等边对等角: (1)由等边对等角,得,结合,即可作答; (2)因为相似,所以,直接代数计算,即可作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:∵ ∴ ∵, ∴ 解得 25. 如图,在菱形中,是的中点,,的延长线交于点,连接,. (1)求证:; (2)连接,请判断与的位置关系,并说明理由; (3)当菱形满足______时,四边形是菱形. 【答案】(1) 证明∶∵四边形是菱形, ∴, ∴. ∵是的中点, ∴, 在与中. ∴, ∴; (2) ,理由: 如图, ∵四边形是菱形 ∴. ∵, ∴, ∴,, ∴, ∴; (3). 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质,平行线的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键. (1)根据菱形的性质得到,求得,根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论; (2)根据菱形的性质得到,求得,得到,根据垂直的定义得到; (3)根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形,求得,根据菱形的判定定理即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解:当菱形满足时,四边形是菱形,理由如下: ∵四边形是菱形 ∴. ∵,, ∴是等边三角形, ∴, ∴. ∵,, ∴四边形是菱形. 故答案为:. 26. 如图,在矩形中,的平分线交于点E,于点F,于点G,与相交于点O. (1)求证:四边形是正方形; (2)若,直接写出与的数量关系 . (3)在(2)的条件下,已知,求的长. 【答案】(1) 证明:∵四边形是矩形, ∴, ∵, ∴, ∴四边形是矩形, ∵平分, ∴, ∴, ∴四边形是正方形; (2) (3) 【解析】 【分析】(1)根据矩形的性质和题意得,再根据矩形的判定证得四边形是矩形,由角平分线的定义得,再由等角对等边得,最后根据正方形的判定求证即可; (2)由角平分线的定义得,再由垂线的定义和矩形的性质得,根据等腰直角三角形的判定和勾股定理得,,即可求证; (3)由(2)得、是等腰直角三角形,,利用勾股定理求得,进而求得,再根据正方形的性质得,再根据等腰直角三角形的判定得,进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:∵平分, ∴, ∵,四边形是矩形, ∴, ∴、是等腰直角三角形, ∴,, 又∵, ∴, 故答案为:; 【小问3详解】 解:由(2)得、是等腰直角三角形,, ∴,, ∴, ∵四边形是正方形, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴. 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义,熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的判定与性质是解题的关键. 27. 如图1,在等腰三角形中,,,有两动点P、Q分别在边、上运动,点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,它们分别从点A和点B同时出发,点P沿线段按方向向终点B运动,点Q沿线段按方向向终点C运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒,请解答下列问题: (1)如图1,当t为何值时,; (2)当t为何值时,以点P、B、Q为顶点的三角形与相似; (3)点P、Q在运动过程中,是否存在这样的t,使得的面积等于4?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在, 【解析】 【分析】(1)根据平行线的性质判定,得到,表示出,,代入比例式,解方程即可; (2)分和分别讨论即可; (3)过P作,垂足为D,作边上的高,利用三线合一和勾股定理求出,证明,得到,表示出,再根据三角形的面积得出关于t的方程,解之即可. 【小问1详解】 解:当时,, ∴, ∵,, ∴,, ∴, 解得:, 当时,; 【小问2详解】 ∵,,, ∴当时, 同(1)可得:; 当时, ,即, 解得:; 综上:当或时,以点P、B、Q为顶点的三角形与相似; 【小问3详解】 存在,理由是: 如图,过P作,垂足为D,作边上的高, ∵,, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴,即, ∴, ∴, 解得:或, 当时,,故不合题意, ∴,即存在,使得的面积等于4. 【点睛】本题考查了三角形综合题,相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形三线合一,解一元二次方程,分类讨论. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、单选题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1. 一元二次方程化成一般形式为( ) A. B. C. D. 2. 下列四组线段中,是成比例线段的一组是( ) A. ,,8, B. 5,6,7,8 C. 3,6,4,7 D. 2,4,6,8 3. 如图,菱形的对角线、相交于点O,,则菱形的边长为( ) A. 26 B. 20 C. 15 D. 13 4. 在长方体灯笼的四个侧面不重复地随机绘上生、旦、净.丑四种京剧脸谱,则生、旦两种脸谱正好相对的概率是( ) A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ) A. B. 且 C. 且 D. 6. 已知一元二次方程 的两个实数根分别是 x1 、 x2 则 x12 x2 x1 x22 的值为( ) A. -6 B. - 3 C. 3 D. 6 7. 如图,在中,点分别在上,,则下列结论不成立的是( ) A. B. C. D. 8. 如图,E、分别为矩形的边、上的点,,则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①④ 9. 如图,将边长为8的正方形沿其对角线剪开,再把沿着方向平移,得到.当两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为16时,移动的距离等于( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 10. 如图1,在中,于点.动点从点出发,沿折线方向运动,运动到点停止.设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2,则的长为( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分) 11. 已知,则的值是________. 12. 如图,在菱形中,,垂足为E.若,则_________. 13. 四张写有不同诗句的卡片,除正面内容不同外其余完全相同,背面朝上随机收在桌面,任意抽取两张,在不计顺序的情况下,恰能组成名篇名句的概率是_______. 14. 近年来,我国数字技术不断革新,影响着全民阅读形态.为预计某市2024年数字阅读市场规模,经查询得数据:该市2021年数字阅读市场规模为412万元,2023年数字阅读市场规模为523万元.设该市年平均增长率为x,根据题意可列方程______. 15. 如图,在中,为斜边上的中线,若,则________. 16. 若,则________. 17. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=________. 18. 将矩形沿它的一条对称轴对折,如果对折后得到的新矩形与矩形相似,那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是______. 三、解答题(共88分) 19. 解方程: (1) (2) 20. 已知,且. (1)求的值; (2)若,求的值. 21. 已知关于的一元二次方程. 若是方程的一个根.求的值和方程的另一根; 对于任意实数,判断方程的根的情况. 22. 中国有着悠久的历史文化,一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定,在娱乐匮乏的古代社会,中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼.为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产,在某次班会上,甲、乙、丙、丁、戊五位班干部准备从A.牛郎织女传说、B.蔡伦造纸传说、C.仓颉传说、D.陕北民谚、E.三顾茅庐这五个故事传说中,各选一个进行讲解,班长做了张背面完全相同的卡片,如图,卡片正面分别绘制了这个故事传说的插画,将卡片背面朝上洗匀后,让甲先从这张卡片中随机抽取一张,不放回,乙再从剩下的张卡片中随机抽取一张,以所抽取的卡片正面内容为准进行讲解. (1)甲所抽取的卡片正面是C.仓颉传说的概率为________; (2)请用列表或画树状图的方法,求甲、乙二人中,有一个人讲解E.三顾茅庐这个故事传说的概率. 23. 甘肃是面食之乡,其中“金城炒面”也最为有名,它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道,与兰州牛肉面一样享誉全国.兰州某餐馆一份炒面成本价为7元,若每份卖12元,平均每天销售160份,若价格每提高1元,平均每天少销售10份,每份炒面价格是多少元时,该餐馆能实现每天1080元的利润? 24. 如图,在中,点D、B、C、E在同一条直线上,且. (1)求证:; (2)若,求的长度. 25. 如图,在菱形中,是的中点,,的延长线交于点,连接,. (1)求证:; (2)连接,请判断与的位置关系,并说明理由; (3)当菱形满足______时,四边形是菱形. 26. 如图,在矩形中,的平分线交于点E,于点F,于点G,与相交于点O. (1)求证:四边形是正方形; (2)若,直接写出与的数量关系 . (3)在(2)的条件下,已知,求的长. 27. 如图1,在等腰三角形中,,,有两动点P、Q分别在边、上运动,点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,它们分别从点A和点B同时出发,点P沿线段按方向向终点B运动,点Q沿线段按方向向终点C运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒,请解答下列问题: (1)如图1,当t为何值时,; (2)当t为何值时,以点P、B、Q为顶点的三角形与相似; (3)点P、Q在运动过程中,是否存在这样的t,使得的面积等于4?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $

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