精品解析：福建省三明市尤溪县2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷

2025－2026学年第一学期九年级期中教学质量监测 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 温馨提示：答案务必填写在答题卡的相应位置，否则一律无效！ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 已知3x=4y(xy≠0)，则下列比例式成立的是(       ) A. B. C. D. 2. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（　　） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 6. 下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 物理某一实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，，为能正常发光的灯泡.任意闭合开关，，中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 9. 如图，点B是线段的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则________． 12. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 13. 已知、、、是成比例线段，其中，，，则________． 14. 如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置，则蜡烛在屏幕上成的像长是______． 15. 用配方法解方程，方程可变形为，则________． 16. 如图，是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：①；②；③；④若正方形的边长是，则的最小值是．其中正确的结论是______．（填序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 （1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个； （2）在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 19. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 20. 如图，在矩形中，点为的中点，请你只用无刻度的直尺作图． （1）如图1，在上找一点，使； （2）如图2，在上找一点，使． 21. 阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： （1）直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； （2）按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 22. 关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根为 ，，且，求的值． 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 情景 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”． 素材1 某头盔商统计了永恒牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个． 素材2 头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求10月份到12月份销售量的月平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 25. 在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． （1）【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； （2）【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； （3）【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期九年级期中教学质量监测 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 温馨提示：答案务必填写在答题卡的相应位置，否则一律无效！ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 已知3x=4y(xy≠0)，则下列比例式成立的是(       ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解． A、由 得，xy=12，故本选项错误； B、由 得，3x=4y，故本选项正确； C、由 得，4x=3y，故本选项错误； D、由 得，4x=3y，故本选项错误． 故选B． 考点：比例的性质． 2. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少． 【详解】根据题意可知，每分钟内黄灯亮的时间为秒，每分钟内黄灯亮的概率为，故抬头看是黄灯的概率为. 故选A. 【点睛】本题主要考查求随机事件概率的方法，熟悉掌握随机事件A的概率公式是关键. 3. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．直接利用方程根的定义代入计算即可． 【详解】是方程 的根， 代入得：，即， ． 故选：B． 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线等分线段成比例的性质，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线等分线段成比例，解题的关键是掌握平行线等分线段成比例的性质进行解题． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不符合题意； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，不符合题意； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不一定是正方形，不符合题意； D、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，符合题意； 故选：D． 6. 下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个正根的取值范围为：， 故选：B． 7. 物理某一实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，，为能正常发光的灯泡.任意闭合开关，，中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有种， ∴能让两盏灯泡同时发光的概率为， 故选：． 8. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 【答案】C 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． D、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； 故选D． 【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 9. 如图，点B是线段的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，即“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．”根据黄金分割的定义，得到，即可得出答案． 【详解】解：点B是线段的黄金分割点， ， 即，，， 故选：D． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由已知比例关系，设参数表示变量，代入所求表达式计算即可． 【详解】设，（）， 则， 故答案为：． 12. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系．根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 故答案为：4． 13. 已知、、、是成比例线段，其中，，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的定义，根据成比例线段的定义，有，代入已知值求解． 【详解】解：、、、是成比例线段， 根据比例的性质，得， 代入，，，得， 即， ， 故答案为4． 14. 如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置，则蜡烛在屏幕上成的像长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15. 用配方法解方程，方程可变形为，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，配方时，先取一次项系数的一半的平方，即，然后两边同时加上4，得，即，与形式对比，从而确定的值． 【详解】原方程移项得：， 左右两边同时加上4，得， 即， 与形式对比，得， 故答案为9． 16. 如图，是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：①；②；③；④若正方形的边长是，则的最小值是．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用正方形的性质，得出，结合，得出，由勾股定理列式，再证明四边形为矩形，则，故；利用正方形的性质，得证，则，因为四边形为矩形，进行边的等量代换，故；先作图：延长交于点，延长交于点，再证明四边形为正方形，则，，得出，然后证明，再进行角的等量代换得，因为，故当取最小值时，取得最小值，因为点是对角线上一点，根据垂线段最短，则当，即点为对角线的中点时，的值最小；本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练应用正方形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ∴ ， ，，， 四边形为矩形， ， ． ②的结论正确； 连接，如图 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ， 四边形为矩形， ， ． ①的结论正确； 延长交于点，延长交于点，如图， 四边形为正方形， ，， ，， ， 四边形为正方形， ，， ． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ③的结论正确； ， 当取最小值时，取得最小值， 点是对角线上一点， 当，即点为对角线的中点时，的值最小，此时， 的最小值为， ④的结论不正确， 综上，正确结论的序号为：①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 即：. 18. 数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 （1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个； （2）在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1）0.25，； （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率；设袋子中白球的个数为x，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案； （2）先列出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：观察表格得，通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 设袋子中白球的个数为x， 根据题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 估计袋中白球的个数为3； 故答案为：0.25，； 【小问2详解】 列表如下： 颜色 黑球 白球 白球 白球 黑球 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 共有16种等可能的结果，其中恰好两个都是白球的结果有9种， ∴P（恰好两个都是白球的概率）＝． 19. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 【答案】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形及菱形的判定；先判定四边形是平行四边形，再利用平分与平行可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 20. 如图，在矩形中，点为的中点，请你只用无刻度的直尺作图． （1）如图1，在上找一点，使； （2）如图2，在上找一点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，两点确定一条直线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交于点O，作直线交于点F，点F即为所求； （2）在（1）图的基础上，连接交于点M，点即为所求． 【小问1详解】 解：点F即为所求； 【小问2详解】 解：点即为所求 21. 阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： （1）直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； （2）按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【小问1详解】 解：，，， ，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 22. 关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根为 ，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）计算一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将已知等式变形得出，继而解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵ 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， 即 ∴，则，即 解得：，． 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定、菱形的性质、平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质并能灵活运用． （1）首先证明，证出四边形是平行四边形，然后结合，即可证明四边形是矩形． （2）如图，连接，首先证明，得出四边形是平行四边形，即可解决问题． 【小问1详解】 四边形是菱形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 如图，连接 四边形是菱形 ∴ 四边形是矩形 ∴四边形是平行四边形 与互相平分 ∴． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 情景 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”． 素材1 某头盔商统计了永恒牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个． 素材2 头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求10月份到12月份销售量的月平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）10月份到12月份销售量的月平均增长率为20%；（2）每个头盔售价定为50元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为元，根据利润=（售价-进价）×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）设10月份到12月份销售量的月平均增长率为，依题意得： 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：10月份到12月份销售量的月平均增长率为20%； （2）设每个头盔售价上涨元，则每件的销售利润为元，依题意得： 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴元， 答：每个头盔售价定为50元． 25. 在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． （1）【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； （2）【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； （3）【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】（1） 解：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， ， ， （2） 解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解， （2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解， （3）作等腰梯形，利用相似三角形的判定和性质得出，，设，用含的代数式，表示出，，，列出等量关系，即可求解， 本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的线段比，进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，， ， 设，则， ， ，，， ， ，， 过点作，交于点， ∴， ， ， 延长交延长线于带你E，如图所示： ， ， 为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ， ， （舍去），， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $