精品解析：甘肃省张掖市临泽县校联考2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期期中考试卷 九年级数学 一、卷面分5分．书写规范工整，卷面干净整洁5分． 二、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当平分时，它是菱形 D. 当时，它是菱形 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 实数根的个数由b的值确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 27 8. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ） A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 9. 如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长为（） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 12. 如图，中，，点C、D在线段上，是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：①；②； ③； ④．其中正确的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 13. 若，则______． 14. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 15. 若、是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 17. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 18. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是________． 19. 如图，已知矩形与矩形相似，且，，则________． 20. 如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于____． 四、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 用合适的方法解下列方程 （1） （2） 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）. （1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2． 23. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25. 龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？ 26. 如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 27. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 28. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 29. 如图，直角梯形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接设运动时间为秒． （1）______，______（用含的代数式表示） （2）当四边形为平行四边形时，求的值； （3）如图，将沿翻折，得，是否存在某时刻， ①使四边形为为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②使四边形为正方形，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试卷 九年级数学 一、卷面分5分．书写规范工整，卷面干净整洁5分． 二、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答 【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 2. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．先找出的特征，再根据相似三角形的判定方法，即可判断答案． 【详解】在中，，，， ， ，且， A、图形不是直角三角形，不合题意； B、虽然图形是直角三角形，但两直角边之比不是，不合题意； C、图形不是直角三角形，不合题意； D、图形是直角三角形，且两直角边之比是，符合题意． 故选：D． 3. 已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当平分时，它是菱形 D. 当时，它是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断A；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断B；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断C；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断D． 【详解】解：A、当时，它是矩形，故此选项说法正确，不符合题意； B、当时，它是菱形，故此选项说法不正确，符合题意； C、当平分时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意； D、当时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的判定，关键是掌握菱形和矩形的判定定理．菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 实数根的个数由b的值确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，根据的意义得到方程有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：因为， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选B． 5. 用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和图形可知第一个图形转到红色，同时第二个转到蓝色或者第一个转到蓝色，同时第二个转到红色，可配成紫色，从而可以求得可配成紫色的概率． 【详解】∵第一个转盘红色占 ∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色 ∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色 配成紫色的概率是. 故选C. 【点睛】此题考查了概率问题，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键. 6. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，根据直角三角形斜边上中线的性质可直接求解． 【详解】解：由题意得，点是的中点，， ， 即，两点间的距离为， 故选：C． 7. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．也考查了相似多边形的性质．先利用位似的性质得到，则四边形与四边形相似比为3，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形是四边形关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形与四边形相似比为3， ∴四边形的面积四边形的面积． 故选：D． 8. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ） A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 【答案】B 【解析】 【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴AB∥DC． ∴△EAB∽△EDC． ∴． 又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m， ∴， 解得：AB＝40（m）． 故选：B． 9. 如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，先根据菱形对角线互相垂直平分得到，再由勾股定理得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，为的中点， ∴， 故选：D． 10. 校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据题意可得，据此即可求得，再求出的长即可． 【详解】解：为的黄金分割点，， ， 的长度为， ， ， ， 故选：D． 11. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由折叠的性质可知，DF＝GF，HE＝CE，GH＝DC，∠DFE＝∠GFE． ∵∠GFE＋∠DFE＝180°﹣∠AFG＝120°， ∴∠GFE＝60°． ∵AF∥GE，∠AFG＝60°， ∴∠FGE＝∠AFG＝60°， ∴△GEF为等边三角形， ∴EF＝GE． ∵∠FGE＝60°，∠FGE＋∠HGE＝90°， ∴∠HGE＝30°． 在Rt△GHE中，∠HGE＝30°， ∴GE＝2HE＝CE， ∴GH＝＝HE＝CE． ∵GE＝2BG， ∴BC＝BG＋GE＋EC＝4EC． ∵矩形ABCD的面积为， ∴4EC•EC＝， ∴EC＝1，EF＝GE＝2. 故选：C． 12. 如图，中，，点C、D在线段上，是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：①；②； ③； ④．其中正确的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，通过导角可判断①②，通过证明可判断③④． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ，故①正确； ，， ， 又， ，故②正确； ，， ， ， ，故④正确； ， ，故③错误； 综上可知，正确的有①②④，共3个， 故选B． 三、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键． 先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解． 【详解】解：设 （）， 则 ，，， ． 故答案为 ． 14. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键． 15. 若、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，． 由一元二次方程根与系数的关系直接求出，的值，再将问题中代数式展开代入即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 【答案】5.5 【解析】 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 17. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心． 【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心 ∴M点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 18. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．设与交点为，正方形的边长为，则，根据正方形性质得到，进而得到，从而推出， 将相关值代入计算求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交点为，正方形的边长为，则， 正方形的边在上， ， ， ， 即， 解得， 即这个正方形零件的边长为． 故答案为： ． 19. 如图，已知矩形与矩形相似，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，掌握相似多边形对应边成比例的性质，准确确定出对应边是解题的关键．设，表示出的长，然后根据相似四边形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，且，， ，， 设，则， 矩形与矩形相似， ，即， 解得， 即的长为． 故答案为： ． 20. 如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于____． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=4，S△ABD=6，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：连接AP，如图， ∵菱形ABCD的周长为16， ∴AB=AD=4， ∴S菱形ABCD=2S△ABD， ∴S△ABD=×12=6， 而S△ABD=S△APB+S△APD，PE⊥AB，PF⊥AD， ∴•PE•AB+•PF•AD=6， ∴2PE+2PF=6， ∴PE+PF=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角．也考查了三角形的面积公式． 四、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 用合适的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）. （1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1； （2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2. 【详解】（1）如图：△A1B1C1即为所求； （2）如图：△A2B2C2即为所求. 23. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①200； ②补全的条形统计图如图所示： ③54 （2）1120 （3） 【解析】 【分析】（1）①由组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除组的人数即可得到组的人数；③用乘以 组人数所占比例即可； （2）用乘以组人数所占比例即可； （3）根据题意列出树状图即可求解 【小问1详解】 解：（1）①； ② 组人数， ③； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种， 因此，（恰好抽中甲、乙两人）． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 25. 龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？ 【答案】应将每件上衣的售价降低30元 【解析】 【分析】设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80-x）元，本题的等量关系为：每件上衣的利润×每周售出数量-固定成本=8000． 【详解】解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元， 列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000＝8000， 解得：x1＝30，x2＝25 因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存， 所以x＝30． 答：应将每件上衣的售价降低30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 26. 如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 【答案】（1） 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2） 证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵AD为BC边上的中线， ∴DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形； （3）10． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论； （2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形； （3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接DF， ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用． 28. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【答案】 （1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，4=∠6． ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，3=∠6． ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∴EO=CO，FO=CO． ∴OE=OF． （2）6.5． （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： 当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案． （2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长． （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°． ∵CE=12，CF=5， ∴． ∴OC=EF=6.5． （3）略 29. 如图，直角梯形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接设运动时间为秒． （1）______，______（用含的代数式表示） （2）当四边形为平行四边形时，求的值； （3）如图，将沿翻折，得，是否存在某时刻， ①使四边形为为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②使四边形为正方形，则______． 【答案】（1）， （2） （3）①， 理由如下：根据翻折得 ， ， ∴共线， ∴当时，互相垂直平分， 有， 则，则四边形为菱形， ， 解得：； ② 【解析】 【分析】（1）由，根据即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）①由，可得当时有四边形为菱形，列出方程，求解即可； ②当四边形为正方形时，由翻折可得，则，由，可得，利用勾股定理求得即可． 【小问1详解】 解：如图1． ， ， ∵在直角梯形中，于点， ∴四边形为矩形， ∴， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形时，， ， 解得：； 【小问3详解】 解：① 略 ②当四边形为正方形， 则， ， ， 则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $