5.1-5.4圆、圆的对称性、垂径定理、圆周角和圆心角的关系过关检测练习2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

5.1圆过关检测 一、单选题 1．若点M在外，且，则的半径r满足（   ） A． B． C． D． 2．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 4．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 6．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 二、填空题 7．已知⊙O的半径为，，是的中点，则点与⊙O的位置关系是点在 ．（填圆内、圆外或圆上） 8．如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ．(填“外”“内”或“上”) 9．在平面直角坐标系中，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，则的最大值为 ． 10．如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ． 11．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 三、解答题 12．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形． (1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积； (2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积关于半径的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3）． 13．如图，矩形中，，．作于点． (1)求的长； (2)若以点为圆心作圆，、、、四点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，求的半径的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点在圆外时，点到圆心的距离大于半径；注意半径为正数． 根据点与圆的位置关系，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 【详解】解：∵点M在外， ∴， ∵， ∴，即， 又∵圆的半径， ∴， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 4．C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 5．C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 6．A 【分析】因为圆心到A，B，C三点距离相等，所以圆心在的垂直平分线上，根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，比较半径和的长度即可得出结论． 【详解】解：∵圆心到A，B，C三点距离相等， ∴圆心在的垂直平分线上， 故如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点． 即为圆心， 则， ， ∵， ， 点在这条圆弧所在圆的圆内． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线，点和圆的位置关系，实数的比较大小，勾股定理，数形结合是解答此题的关键． 7．圆内 【分析】本题考查点与圆位置关系，解题的关键在于正确计算的长度．要判断点与⊙O的位置关系，需计算点到圆心的距离，并与圆的半径比较．点是的中点，已知为，因此可求出的长度，进而比较与半径的大小关系． 【详解】解：，且是的中点， , ⊙O的半径为，而， 则， 点到圆心的距离小于半径，说明点在圆内． 故答案为：圆内． 8．内 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系. 先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D在圆C内． 故答案为：内． 9．1 【分析】本题考查直线与圆的位置关系、斜率的几何意义，解题思路是将转化为直线斜率，通过求过原点与圆相切的直线斜率得最大值；考查的知识点是直线与圆的相切性质、斜率的几何意义，用到的思想是转化思想，方法是几何意义转化法，技巧是将代数问题几何化，解题关键是理解的几何意义并利用直线与圆相切的性质，易错点是忽略斜率的几何意义导致思路受阻． 【详解】解：设过原点的直线方程为， 由题意得：即， 解得，即，最大值为1， 故答案为． 10． 【分析】本题考查圆的内切，圆上两点间距离的最值：连接，延长交圆于C，求出圆P和圆R的半径．连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B，则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值． 【详解】如图，连接，延长交圆于C， 由圆O和圆P内切知C点即为切点， ∴， 连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B， 则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：连接，如下图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， 在直角中，， ∴， 由图可知，的取值范围为：， 故答案为：． 12．(1)平方米 (2)①；②平方米 【分析】本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积． （1）根据面积公式计算即可； （2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式； ②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 【详解】（1）， 隧道截面上部半圆O的半径， 隧道截面上部半圆O的面积为（平方米）； （2）①，， ， ； ②由①知，， 又23， ， ． 由①知，， ， 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴， 又，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大， 故当时，S有最大值，最大值为平方米． 13．(1) (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （1）先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出DE； （2）利用、、、到点的距离可判断的半径的取值范围． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点到的距离：， 点到的距离：， 点到的距离：， 点到的距离：， 且 ∴， ∵至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外， ∴的半径的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4圆周角和圆心角的关系过关检测 一、单选题 1．下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 2．如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，，，．若，则的度数为（    ）     A． B． C． D． 4．如图，为的直径，点A为弧的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图．为的直径，点、在上，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的个数有（   ） ①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②等弧所对的圆心角相等；③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；④的角所对的弦是直径． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ． 9．如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，的度数为，则 ． 10．如图，点、、、在上，且，．则的周长为 ． 11．如图，是圆的直径，，点为弧的三等分点，则为 ． 12．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 三、解答题 13．如图，中，为直径，，为，的平分线交于， (1)试判断的形状，并给出证明； (2)求、的长． 14．如图，内接于，是的直径，是上一点，是的中点，连接，，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，求的长． 15．如图，四边形内接于，延长，相交于点D，E是上一点，交于点F，且， (1)若，，求的度数； (2)求证； (3)若，，求的周长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的基本概念及性质，根据圆周角与圆心角的基本概念及性质逐一分析即可，掌握圆周角与圆心角的基本概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； 、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； 、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 2．B 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系． 【详解】解：如图，连接、、， ∵、分别是、中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形两锐角互余，熟知圆周角定理是解题的关键． 根据的度数，结合圆周角定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题． 【详解】解：， ． ， ． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理作答即可． 连接，根据圆周角定理得出，确定所对的圆心角为，得出其所对的圆周角为，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可知，所对的圆周角， ∴其所对的圆心角为， 所对的圆心角为， ∴其所对的圆周角为， 又∵点A是的中点， ∴． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据为的直径得到，进而得到，根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查圆周角定理，根据直角所对的弦为直径，进行判断即可． 【详解】解：由直角所对的弦为直径，可知，只有选项C中的零件是合格的； 故选C． 7．B 【分析】本题考查圆的基本性质，注意垂径定理的条件和圆周角定理的应用． 根据圆的性质，垂径定理和圆心角、弧、弦的关系判断每个说法的正确性． 【详解】解：① ∵ 当弦是直径时，平分弦的直径不一定平分弦所对的弧，∴ 说法错误； ② ∵ 等弧所对的圆心角相等，∴ 说法正确； ③ ∵ 在等圆中，弧相等则圆心角相等，所对的弦也相等，∴ 说法正确； ④ ∵ 只有的圆周角所对的弦是直径，但这里未指定角类型，∴ 说法错误． ∴ 正确的有2个． 故选：B． 8． 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，由圆周角定理得是圆形镜面的直径，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， ∵，， ∴， 故答案为：． 9．105 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余，先根据圆周角定理求得 ，，则，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵的度数为， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为：105． 10．9 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等得到，进而推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为． 故答案为：9． 11．或 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及弧、弦圆周角的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由圆周角的定理可得，再分、两种情况解答即可． 【详解】解：∵是圆的直径，， ∴， ∵点为弧的三等分点， ∴当，即时，； 当，即时，． 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 13．(1)等腰直角三角形，见解析 (2)， 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定，角直角三角形的性质等知识点． （1）先由圆周角定理得到，再由角平分线得到，再由圆周角定理得到，，继而可证明其为等腰直角三角形； （2）在中，，解直角三角形即可求解，然后在中，，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，为直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵，为，， ∴， ∴； ∵，， ∴． 14．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由是的直径，得，故有，由垂直定义可得，所以，通过同角的余角相等得，再由等弧所对圆周角相等可得，，然后可得，从而得出； （）根据弧、弦、圆心角的关系可得，由勾股定理得，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的判定，垂直定义，同角的余角相等，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理,勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，即可得解； （2）倒角可证，再证，即可得证； （3）过点A作，垂足为H，易证，则，再建立勾股方程求出即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：， 由（1）知，， 即 （3）解：过点A作，垂足为 ， ， 四边形内接于， , , 同理， ， 解得 的周长 ， 的周长为 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2圆的对称性过关检测 一、单选题 1．下列命题中，正确的个数是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦：④优弧一定长于劣弧；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是 ． 7．如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为 ． 8．如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是 ． 9．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 10．如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 三、解答题 11．已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 12．如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 13．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了圆的基本概念．熟练掌握圆的定义，半圆，弧，优弧，劣弧，弦，半径定义，是解题的关键．根据弧、弦、半径、优弧劣弧以及圆的定义．逐一判断各命题的正确性． 【详解】①∵ 半圆是圆的一半，属于弧，∴ ①正确； ②∵ 弦是连接圆上两点的线段，而非“部分”，∴ ②错误； ③∵ 半径是从圆心到圆上一点的线段，不是弦（弦需两端点在圆上），∴ ③错误； ④∵ 优弧和劣弧的长度比较取决于圆的大小，不在同圆中不一定成立，∴ ④错误； ⑤∵ 在同一平面内，到定点距离等于定长的点都在同一个圆上，是圆的定义，∴ ⑤正确． ∴ 正确的命题有①和⑤，共2个． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 6． 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，圆周角与弦、弧之间的关系，解直角三角形，勾股定理，过点作于点，通过轴对称的性质，可证，，然后，不妨设，然后在利用勾股定理求得答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示：   上一点关于直线对称的点落在上， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 不妨设， ， ， ， （舍去）或， ． 故答案为：． 7． 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．延长交于，连接，，过作于，证明是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：延长交于，连接，，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 8．①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 9． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 11．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 12．见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接，根据题意得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：连接． ， ， ， ． 又， ， ． 13．(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3垂径定理过关检测 一、单选题 1．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 3．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 4．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 5．下列命题中正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．圆心角相等，则所对的弧也相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 6．如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 二、填空题 8．如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，圆形拱门所在圆的半径长为，拱门高为 ． 9．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 10．如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    11．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 12．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是 ． 13．古代交通工具如图是博物馆展出的古代车轮，已知兵车之轮直径约为六尺六寸，田车之轮直径约为六尺三寸．如图所示，在车轮上取，两点，设所在圆的圆心为，半径为．作弦的垂线交于点，为垂足，经测量，，，已知战国时期尺，则车轮的直径约为 尺．（结果保留一位小数） 三、解答题 14．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，．若，，求的长． 15．如图，，交于点，，是的半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16．如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点为圆心的圆的一部分，已知的半径为，横梁的长为，点为的中点，连接交于点． (1)求拱高的长； (2)若要在离蔬菜大棚中心处安装一支撑柱，且支撑柱垂直于横梁，求支撑柱的长． 2 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理．假设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，假设圆的圆心为点，连接， 根据题意得，，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵是上的一动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为， 故选：A 3．C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 4．D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 5．C 【分析】根据圆的相关定理逐一判断各命题的正确性解答即可． 本题考查圆的基本性质，垂径定理及其推论，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 A：∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦为直径，则平分它的直径不一定垂直，∴A错误； B：∵圆心角相等所对的弧相等必须基于同圆或等圆，命题未指定条件， ∴B错误； C：∵直径是通过圆心的弦，且是圆中最长的弦， ∴C正确； D：∵同圆中两条等弦所对的弧可能一是优弧一是劣弧，弧长不一定相等， ∴D错误． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7．B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点，设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴于点M， ∴， ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接， 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为 故选：B 8．9 【分析】此题考查了垂径定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键．连接，根据垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，， 在中，由勾股定理得，， 即， 得． 故答案为：9． 9．15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 10． 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11． 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由，得，，然后通过勾股定理，即，求出即可，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴（尺）， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，再根据勾股定理进行列式，得，解出，再结合中位线的性质，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，． 15．(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的半径为． 16．(1)拱高的长为 (2)支撑柱的长为 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，由勾股定理得，即可求出的长； （2）过点作于点，连接则．可得四边形是矩形，设，则，在中，由勾股定理得，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵的半径为， ∴． ∵点为的中点， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 答：拱高的长为． （2）解：过点作于点，连接则．如图， 设， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，，，， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 答：支撑柱的长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $