精品解析：辽宁省大连市普兰店区第九中学2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题

高一数学试题 满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，再根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得，解得，则， 则. 故选：C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可知命题“”的否定为“”. 故选：C. 3. 下列函数在其定义域上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由解析式直接判断单调性即可. 【详解】，定义域为，且在单调递减，在定义域上不是减函数，A错， ，定义域为，因为在单调递增， 所以在单调递减，即在其定义域上是减函数，B对， 定义域域为，在单调递增，C错， 定义域为，在区间单调递增，在定义域上不是减函数，D错， 故选：B 4. 已知，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三个数化为同底，再结合指数函数的单调性求解. 【详解】，，， 因为在上单调递增，则. 故选：A 5. 已知函数是偶函数，若方程有且仅有两实根，，那么（ ） A. 0 B. 2 C. -6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数关于直线对称，根据对称性即可得结果. 【详解】若是偶函数，则， 可知函数关于直线对称， 若方程有且仅有两实根，，根据对称性可得. 故选：D. 6. 已知函数.对于，都有成立，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立， 所以函数在上单调递减， 故，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 7. 对于函数的零点，下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上只有一个零点 B. 函数在区间上无零点 C. 函数在上有三个零点 D. 函数在上至少有两个零点 【答案】A 【解析】 【分析】先利用导数判断函数的单调性，再确定零点存在性定理，及零点所在区间的变化过程，最后分析各项的正确性. 【详解】因为， 由于 ，因此 对所有 恒成立， 所以 在 上是单调递增函数， 若连续函数 在区间 内端点函数值异号（即 ）， 则 在 内至少有一个零点，所以： ，， 因此 ，结合 单调递增（单调函数最多有一个零点）， 可得： 在 上只有一个零点， 选项A：正确，由上述分析可知； 选项B：错误， 且 ，结合单调性必有一个零点； 选项C：错误， 单调递增，最多只有一个零点； 选项D：错误，单调函数最多一个零点. 故选A. 8. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程化为，然后利用韦达定理即可求解. 【详解】显然，所以方程可化为， 又因为且，所以和是方程的两个实数解， 所以，即. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数满足，则下列不等式一定成立是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由作差法判断A，取特殊值判断BD，利用作差法判断C. 【详解】对A，，则，所以，故A正确； 对B，当时，不成立，故B错误； 对C，， 因为，,所以，即，故C正确； 对D，当时，不成立，故D错误. 故选：AC 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】分别用“构造均值不等式；判断定义域；求抽象函数解析式；求抽象函数定义域”来逐项判断. 【详解】对于A，当时，， 当且仅当即时取等号，故A正确. 对于B，的定义域为， 而的定义域为，定义域不同，故B错误. 对于C，因为，，可令，即， 所以有，解得，故C错误. 对于D，函数的定义域为，可知，则， 所以的定义域为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象过定点 C. 为偶函数 D. 当时，函数的最大值是0 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可得A；代入计算即可得B；利用偶函数定义判断可得C；利用函数单调性可得D. 【详解】A：当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递增，则在上单调递增， 故在上的单调性与的取值有关，故A错误； B：，故的图象过定点，故B正确； C：， 由，则，， 故为偶函数，故C正确； D：当时，，令， 则在上单调递减，故， 即当时，函数的最大值是，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用换元法求解. 【详解】令，则， 因为， 所以， 故. 故答案为：. 13. 已知，其中，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将指数关系式写成对数关系式，代入题干条件即可解出. 【详解】由可得，. 由可得，即， 解得. 故答案为：. 14. 设矩形（其中）的周长为12，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．设，求的最大面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，证得，得到，设，在直角中，利用勾股定理，列出方程求得，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因，可得， 又因为，可得，所以，则， 又由，且，所以， 所以， 设，则且， 在直角中，， 由勾股定理，可得，即， 整理得，所以， 则的面积为， 因，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以的面积得最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算律化简即可； （2）将平方处理可得. 【详解】（1） ； （2）因，则， 因，则， 因，则， 则. 16. 已知集合，集合． （1）若，求和． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求得集合，进而求得，可求和． （2）由题意可得，分与讨论，列出不等式，计算可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由，得，所以，所以 所以，解得， 所以，所以， 当时，， 所以，或； 【小问2详解】 由，则，由（1）可知 若，则，解得，满足； 若，由，得，解得，即， 综上所述：实数的取值范围为． 17. 已知定义在上的函数（其中）． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先因式分解得到，再根据关于的不等式的解集为，由求解. （2）将不等式对任意恒成立，根据，转化为求解. 【小问1详解】 ， 因为关于的不等式的解集为， 所以， 解得 【小问2详解】 因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为， 所以 所以，对任意恒成立， 而，当且仅当 ，即 时，取等号， 所以 ， 所以的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明． （3）求解关于的不等式． 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）先得函数的解析式，再根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 可知，即，则. 由，解得， 则， ，函数是定义在上奇函数满足题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，此时为奇函数，满足题意. 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得. 则关于的不等式的解集为. 19. 我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数的对称中心； （2）函数的最大值为，最小值为，其中，求的值． （3）函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）4050； （3）. 【解析】 【分析】（1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心； （2）分离常数后构造奇函数，再根据对称性即可得到答案； （3）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”列不等式，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 假设的图象存在对称中心， 则的图象关于原点中心对称， 因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立， 所以，解得， 所以的图象存在对称中心. 【小问2详解】 ，， 设，，其中， 则， 则为在上的奇函数， 则，则， 则. 【小问3详解】 函数在区间上单调递减，其在区间上值域为， 由题可知，，即对恒成立. 由得对恒成立， ， 根据函数均在上单调递增， 所以， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数在其定义域上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是偶函数，若方程有且仅有两实根，，那么（ ） A 0 B. 2 C. -6 D. 6 6. 已知函数.对于，都有成立，求取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 对于函数的零点，下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上只有一个零点 B. 函数在区间上无零点 C. 函数在上有三个零点 D. 函数上至少有两个零点 8. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 图象过定点 C. 为偶函数 D. 当时，函数的最大值是0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则__________． 13. 已知，其中，则__________． 14. 设矩形（其中）的周长为12，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．设，求的最大面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知，求值． 16. 已知集合，集合． （1）若，求和． （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知定义在上的函数（其中）． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明． （3）求解关于的不等式． 19. 我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数的对称中心； （2）函数的最大值为，最小值为，其中，求的值． （3）函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $