精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高二上学期11月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，再计算交集即可. 【详解】，. 故选：C. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算即可得到答案. 【详解】， 其对应的点为，在第三象限. 故选：C. 3. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合直线倾斜角与斜率的关系及斜率公式计算解得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，则. 故选：B. 4. 已知数列是等比数列，其公比为q，前n项和为，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义以及等比数列的前n项和公式即可得出选项. 【详解】充分性：当时，，所以“”是“”的充分条件； 必要性：当时，若，成立； 若，，解得， 所以，当时，或，因此“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 如图,矩形中,,,是线段上一点且满足,是线段上一动点,把沿折起得到,使得平面平面,分别记,与平面所成角为,,平面与平面所成锐角为,则:（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形,因为与平面所成角为,平面与平面所成锐角为,与平面所成角为分别求出和,,结合图形分别比较和和,即可求出答案. 【详解】如图, 过作,在中,由,可得． 由等积法可得,则 平面平面,且,可得平面 ． 画出底面平面图: 在,由余弦定理可得: ,故 结合图像可知: ,可得: , 可得 ┄① 过作,垂足为,连接， 则为平面与平面所成的锐角． 到的距离, 由底面图像可知: 即┄② 由①②可得: 都是锐角,根据正切函数单调性可知: 故选:A. 【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的求法.在立体图形中某个平面内的线段较多且关系复杂时,可画出其平面图形进行求解.解题关键是求,和.考查空间想象能力与逻辑思维能力,是中档题． 6. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率. 【详解】椭圆：中，且 则，椭圆长轴长为 则椭圆M的离心率 直线OP斜率为 又由题意可知直线OP为双曲线N的一条渐近线， 双曲线：的渐近线方程为 故，即， 则双曲线的实半轴长为 则双曲线N的离心率 则 故选：A 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为是的左支上一点，的平分线上的点满足，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解即可. 【详解】双曲线的实半轴长为．由，知，如图， 延长交的延长线于点，又因为是的平分线， 所以，故为的中点，又是的中点， 所以． 故选：C. 8. 中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的个数是（ ） ①曲线C关于原点对称 ②曲线C上满足的P有且只有一个 ③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4 ④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求轨迹方程.将代入曲线方程即可判断①；根据点P在y轴上，解得点P的坐标即可判断②；根据曲线方程可得，结合即可判断③；直线与曲线联立，根据方程的解即可判断④. 【详解】设，则， 根据双纽线的定义可得：，即， 对①：曲线C上任一点关于原点的对称点为， 用替换方程中的得： 即也在曲线C上，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确； 对②：若曲线C上点P满足，则点P在y轴上，即， 把代入曲线方程得：，解得， 即点P满足，则， 所以这样的点仅有一个，故②正确； 对③：若，则， 即，则， 当，即不是坐标原点时，则，当且仅当，即时等号成立， 即； 当时，则； 综上所述：曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4，故③正确； 对④：∵直线与曲线C一定有公共点， 若直线与曲线C只有一个交点，将代入方程中，方程无非零解， 联立方程，消去整理得， 可得无非零解，则， 解得或，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛： （1）根据方程，化简可得，结合不等式分析运算； （2）再处理直线与曲线的交点问题时，一般通过联立方程分析判断. 二、多选题 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点的坐标可得向量坐标，即可求得A，根据对称的性质可求得B，向量法可判断直线的位置关系，即可求得C，根据向量共线定理可判断D. 【详解】对于A，由题意，A正确； 对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反， 因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误； 对于C，若，则，所以，C正确； 对于D，若且，则，解得，D正确， 故选：ACD． 10. 已知函数，若函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在内一定取得到最大值 D. 函数在内至多有一个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】应用三角恒等变换求得，由已知单调区间可得，即可判断A；再利用正弦型函数的性质判断B、C、D的正误. 【详解】由， 所以，在上，此时递减， 所以为且的子区间， ，则，故，即，A正确； 当，则，而，故，故上不一定单调，B错误； 由B分析知：，故当时，此时取不到最大值，C错误； 当，则，而，故， 所以，当时，在内无零点； 当时，在内有一个零点； 故在内至多有一个零点，D正确. 故选：AD 11. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边），且．则（ ） A. 当E，F运动时，不存在点E，F使得 B. 当E，F运动时，不存在点E，F使得 C. 当E运动时，二面角的最小值为45° D. 当E，F运动时，直线与平面所成的角为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立坐标系，利用向量法判断AC；由反证法判断B；结合线面角的概念可判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 因为在上，且，， 可设，则， 则， 所以， 故恒为正，故A正确． 若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故B正确． 设平面的法向量为， 又，所以，即， 取，则， 平面的法向量为，所以． 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，在上单调递减， 所以，故， 当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故C正确． 如图，由正方体的性质可得面， 所以点到面的距离为， 设与平面所成的角为， 则不是定值， 所以直线与平面所成的角不为定值，故D错误 故选：ABC. 三、填空题 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，P为圆上一动点(异于点B)，求的最大值___________. 【答案】2 【解析】 【分析】设点，列出的表达式并整理，令，转化成直线与圆有公共点即可计算作答. 【详解】设点，则， 于是得，令，即有， 显然直线与圆有公共点，则，整理得，解得，得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 13. 若直线与圆相切，则实数_________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用几何法列方程即可求解. 【详解】圆可化为. 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即， 解得：或7. 故答案为：或 14. 已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据,且双曲线上的点到焦点的最小距离为，得到，进而求得离心率的范围. 【详解】因为分别为的中点，所以. 又双曲线上的点到焦点的最小距离为， 所以，解得， 因此双曲线的离心率e的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知双曲线E：的中心为坐标原点O，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，且. （1）求双曲线E的渐近线方程； （2）若直线与直线：交于点C，点D是双曲线E上一点，且满足，记直线CD的斜率为，直线OD的斜率为，求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义得到，列方程得到即可得到双曲线方程，然后求渐近线方程即可； （2）设，，根据列方程得到，根据点在双曲线上得到，然后计算即可. 【小问1详解】 由双曲线定义可知，，， 所以， 所以，即，所以双曲线方程为：， 于是其渐近线为或，即或. 【小问2详解】 设，，因为，，所以， 整理得，. 因为点在双曲线上，所以， 即， 所以. 16. 如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，若某科研小组在坝底A点测得15°，沿着坡面前进40米到达E点，测得45°. （1）求BE的长度； （2）求大坝的坡角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求解； （2）由正弦定理求得，再由诱导公式求解． 【小问1详解】 因为，所以. 在中，由正弦定理，得，. 所以解得. 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 所以， 又，所以， 所以大坝的坡角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入，求出与的关系进而可得定点. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 18. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点在平面内的投影是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， ∵四边形为平行四边形，∴， ∵为中点，∴，且， ∵为中点，为中点， ∴为的中位线，∴，且， 即，且， 故四边形是平行四边形，∴， 又平面，平面， ∴平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，取的中点，连接，，结合线面平行的判定定理，即可得到结果； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，∵点在平面内的投影为， ∴平面. ∵， ∴， ∵，则， 由于，，两两垂直，则可以点为坐标原点建系，以为轴，为轴，为轴， 则有，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，故， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，故， ， 设二面角的平面角为，则. 故二面角的正弦值为. 19. 已知椭圆两焦点，并经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆上关于轴对称的不同两点，为轴上两点，且，证明：直线的交点仍在椭圆上； （3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）若椭圆，若，则直线的交点仍在椭圆上； 【解析】 【分析】 （1）已知焦点，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得，写出方程即可. （2）设，得到直线的方程为，直线 的方程为 ，设设交点 ，分别代入直线， 的方程得 ，，两式化简得到，说明交点在椭圆上. （3）根据（2）的论证过程，推知规律是. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长： ， 解得 ， 又 ， 所以椭圆的方程是. （2）设 ， 则直线 的方程为①， 直线 的方程为 ② 设交点 ，代入①②得 ③ ， ④， ③与④两边分别相乘得 ， 又因为，， 所以， 所以直线的交点的坐标适合椭圆的方程， 所以直线的交点仍在椭圆上. （3）若椭圆，若，则直线的交点仍在椭圆上； 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高二上学期11月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是等比数列，其公比为q，前n项和为，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 如图,矩形中,,,是线段上一点且满足,是线段上一动点,把沿折起得到,使得平面平面,分别记,与平面所成角为,,平面与平面所成锐角为,则:（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为是的左支上一点，的平分线上的点满足，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的个数是（ ） ①曲线C关于原点对称 ②曲线C上满足的P有且只有一个 ③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4 ④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，若函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在内一定取得到最大值 D. 函数在内至多有一个零点 11. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边），且．则（ ） A. 当E，F运动时，不存在点E，F使得 B. 当E，F运动时，不存在点E，F使得 C. 当E运动时，二面角的最小值为45° D. 当E，F运动时，直线与平面所成的角为定值 三、填空题 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，P为圆上一动点(异于点B)，求的最大值___________. 13. 若直线与圆相切，则实数_________． 14. 已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知双曲线E：的中心为坐标原点O，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，且. （1）求双曲线E的渐近线方程； （2）若直线与直线：交于点C，点D是双曲线E上一点，且满足，记直线CD的斜率为，直线OD的斜率为，求. 16. 如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，若某科研小组在坝底A点测得15°，沿着坡面前进40米到达E点，测得45°. （1）求BE的长度； （2）求大坝的坡角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 18. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点在平面内的投影是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 19. 已知椭圆两焦点，并经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆上关于轴对称的不同两点，为轴上两点，且，证明：直线的交点仍在椭圆上； （3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $