几何模型：线段双中点+双角平分线模型（几何初步）2025-2026学年中考数学一轮复习

常考的重难点几何模型 七年级部分 初中数学 目录 七年级上册 · 几何图形初步 模型1：“线段——双中点”模型………………………………………………… 1 模型2：“角——双角平分线”模型……………………………………………… 3 实战演练…………………………………………………………………………… 4 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“线段——双中点”模型 题目条件中含有三点共线+两个中点时，考虑用此模型 一、双中点和型 已知：如图，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点 结论：MN= AB . 模型依据：线段中点的定义 证明：∵ M，N分别是线段AC，BC的中点 ∴ CM= AC，CN= BC ∴ MN=CM+CN= AC+ BC= （AC+BC）= AB 二、双中点差型 1）正向延长线： 已知：如图，C是线段AB延长线上的一点，M，N分别是线段AC，BC的中点 结论：MN= AB . 模型依据：线段中点的定义 证明：∵ M，N分别是线段AC，BC的中点 ∴ CM= AC，CN= BC ∴ MN=CM－CN= AC－ BC= （AC－BC）= AB敲黑板，记重点 线段双中点，一半，一半又一半 3）反向延长线： 已知：如图，C是线段AB延长线上的一点，M，N分 别是线段AC，BC的中点 结论：MN= AB . 模型依据：线段中点的定义 证明：∵ M，N分别是线段AC，BC的中点 ∴ CM= AC，CN= BC ∴ MN=CM－CN= AC－ BC= （AC－BC）= AB 【例1】如图，点C是线段AB上的一点，且，M和N分别是AB和BC的中点，已知，则线段MN的长度是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 模型2：“角——双角平分线”模型 题目条件中含有共顶点+两条角平分线时，考虑用此模型 一、双角平分线和型 已知：如图，OP为∠AOB内部的一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP 结论：∠MON= ∠AOB . 模型依据：角平分线的定义 证明：∵ OM平分∠BOP，ON平分∠AOP ∴ ∠MOP= ∠BOP，∠NOP= ∠AOP ∴ ∠MON=∠MOP+∠NOP= ∠BOP+ ∠AOP= （∠BOP+∠AOP）= ∠AOB 二、双角平分线差型 已知：如图，OP为∠AOB外部的一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP 结论：∠MON= ∠AOB . 模型依据：角平分线的定义 证明：∵ OM平分∠BOP，ON平分∠AOP ∴ ∠MOP= ∠BOP，∠NOP= ∠AOP ∴ ∠MON=∠MOP－∠NOP= ∠BOP－ ∠AOP敲黑板，记重点 双角平分线组成的“新角”等于原角的一半 = （∠BOP－∠AOP）= ∠AOB 【例1】平面内有公共端点的三条射线OA，OB，OC，构成的角，，OM和ON分别是和的角平分线，则的度数是 ． 【例2】如图，，射线在外，且，若平分，平分，则 ． 实 战 演 练 【“线段——双中点”模型】 1．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C． D．或 2．如图，已知、、三点在同一直线上，cm，，是的中点，是的中点，则的长 ． 3．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的长； （3）若，求的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 4．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点． 求线段的长; 若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由; 若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由; 请用一句简洁的话，描述你发现的结论． 【“角——双角平分线”模型】 5．如图，已知，，平分，平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，分别平分平分，下列结论:①；②；③；④其中正确的个数有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB＝84°. (1)∠MON= ； (2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值 改变．(填“会”或“不会”)   8．如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $常考的重难点几何模型 七年级部分答案 初中数学 目录 七年级上册 · 几何图形初步 模型1：“线段——双中点”模型………………………………………………… 2 模型2：“角——双角平分线”模型……………………………………………… 3 实战演练…………………………………………………………………………… 5 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“线段——双中点”模型 题目条件中含有三点共线+两个中点时，考虑用此模型 一、双中点和型 已知：如图，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点 结论：MN= AB . 模型依据：线段中点的定义 证明：∵ M，N分别是线段AC，BC的中点 ∴ CM= AC，CN= BC ∴ MN=CM+CN= AC+ BC= （AC+BC）= AB 二、双中点差型 1）正向延长线： 已知：如图，C是线段AB延长线上的一点，M，N分别是线段AC，BC的中点 结论：MN= AB . 模型依据：线段中点的定义 证明：∵ M，N分别是线段AC，BC的中点 ∴ CM= AC，CN= BC ∴ MN=CM－CN= AC－ BC= （AC－BC）= AB敲黑板，记重点 线段双中点，一半，一半又一半 3）反向延长线： 已知：如图，C是线段AB延长线上的一点，M，N分 别是线段AC，BC的中点 结论：MN= AB . 模型依据：线段中点的定义 证明：∵ M，N分别是线段AC，BC的中点 ∴ CM= AC，CN= BC ∴ MN=CM－CN= AC－ BC= （AC－BC）= AB 【例1】如图，点C是线段AB上的一点，且，M和N分别是AB和BC的中点，已知，则线段MN的长度是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 【分析】先根据中点的定义求出BC=14，从而求出AB=24，继而得到BM=12，由此即可求解． 【详解】解：∵N是CB的中点，NB=7， ∴BC=2NB=14， ∵AC=10， ∴AB=AC+BC=24， ∵M是AB的中点， ∴MB=AB=12， ∴MN=MB-NB=5 故选D． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，解题的关键在于能够理清线段之间的关系． 模型2：“角——双角平分线”模型 题目条件中含有共顶点+两条角平分线时，考虑用此模型 一、双角平分线和型 已知：如图，OP为∠AOB内部的一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP 结论：∠MON= ∠AOB . 模型依据：角平分线的定义 证明：∵ OM平分∠BOP，ON平分∠AOP ∴ ∠MOP= ∠BOP，∠NOP= ∠AOP ∴ ∠MON=∠MOP+∠NOP= ∠BOP+ ∠AOP= （∠BOP+∠AOP）= ∠AOB 二、双角平分线差型 已知：如图，OP为∠AOB外部的一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP 结论：∠MON= ∠AOB .敲黑板，记重点 双角平分线组成的“新角”等于原角的一半 模型依据：角平分线的定义 证明：∵ OM平分∠BOP，ON平分∠AOP ∴ ∠MOP= ∠BOP，∠NOP= ∠AOP ∴ ∠MON=∠MOP－∠NOP= ∠BOP－ ∠AOP= （∠BOP－∠AOP）= ∠AOB 【例1】平面内有公共端点的三条射线OA，OB，OC，构成的角，，OM和ON分别是和的角平分线，则的度数是 ． 【分析】分两种情况讨论，再结合角平分线的定义解题即可． 【详解】分两种情况讨论， ①如图， OM和ON分别是和的角平分线， ， ， ②如图， OM和ON分别是和的角平分线， ， ， 综上所述，的度数是20°或50°， 故答案为：20°或50°． 【点睛】本题考查角的和差、角平分线的定义等知识，涉及分类讨论数学思想，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【例2】如图，，射线在外，且， 若平分，平分，则 ． 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先根据周角的定义得到，进而得到，再有角平分线的定义得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：． 实 战 演 练 1．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C． D．或 【分析】本题考查的是两点间的距离，首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段上时和当点C在线段的延长线上时． 【详解】解：如图， 当点C在线段上时，则； 当点C在线段的延长线上时，则． 综合上述情况，线段的长度是． 故选：B． 2．如图，已知、、三点在同一直线上，cm，，是的中点，是的中点，则的长 ． 【分析】根据中点的定义求出AD，根据已知可求BC=9，进一步由AC=AB+BC求得AC，再根据中点的定义求得AE，再根据DE=AE-AD即可求解． 【详解】∵AB=24cm，D是AB中点， ∴AD=AB=12cm， ∵BC=AB， ∴BC=9，AC=AB+BC=33cm， ∵E是AC中点， ∴AE=AC=cm， ∴DE=AE-AD=-12=4.5cm， ∴DE=4.5cm． 【点睛】本题考查两点间距离，线段中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案； （2）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （3）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （4）由（1）（2）（3）总结出结论即可. 【详解】解：（1） ，分别是的中点， （2） ，分别是的中点， （3） ，分别是的中点， （4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关. 【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键. 4．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点． 求线段的长; 若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由; 若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由; 请用一句简洁的话，描述你发现的结论． 【分析】根据“点、分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可； 当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在； 点在的延长线上时，根据、分别为、的中点，即可求出的长度； 根据前面的结果解答即可． 【详解】解：分别是的中点， 分别是的中点 又 ∵， ∴在点的右边， 如图示： 分别是的中点， 又 只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点．那么就等于的一半 【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键． 5．如图，已知，，平分，平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了基本几何图形中的角度计算，角平分线的含义，掌握角度的运算法则是解题的关键．根据题意计算出，，的度数，再根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵平分，平分， ∴ ∴， 故答案为：B． 6．如图，分别平分平分，下列结论:①；②；③；④其中正确的个数有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的性质得出∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC，再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案. 【详解】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC ∴∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC ∴∠MON=∠AOC，∠HOC=∠AOC ∴∠MON=∠HOC，故①正确； 2∠MOH=2(∠BOM-∠BOH)=2∠BOM-2∠BOH=∠AOB-∠BOH-∠BOH=∠AOH-∠BOH，故②正确； 2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=∠AOC≠∠AOC+∠BOH，故③正确； 2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正确； 故答案选择C. 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键. 7．如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB＝84°. (1)∠MON= ； (2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值 改变．(填“会”或“不会”)   【分析】根据角平分线的定义求解即可． 【详解】①∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°， ∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°. ②当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值不会改变. 故答案为42°、不会. 【点睛】本题较为简单，主要考查了角平分线的定义，牢牢掌握角平分线的定义是解答本题的关键. 8．如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的计算，根据已知条件，平分，可得，再根据，由角平分线的定义可得，由即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $