2026年九年级中考数学一轮复习【几何模型：勾股树+蚂蚁爬行+赵爽弦图+直角三角形锐角平分线+矩形的翻折+垂美四边形（勾股定理）】

常考的重难点几何模型 八年级下册 初中数学 目录 八年级下册 · 勾股定理 模型1：勾股树……………………………………………………………………… 2 模型2：蚂蚁爬行（最短路径问题）……………………………………………… 3 模型3：赵爽弦图…………………………………………………………………… 4 模型4：直角三角形锐角平分线…………………………………………………… 6 模型5：矩形的翻折………………………………………………………………… 7 模型6：垂美四边形………………………………………………………………… 8 实战演练……………………………………………………………………………… 9 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：勾股树 题目条件中含有直角三角形和以直角三角形三边为边长向外作形状相同的图形时，考虑用此模型 已知：如图，在直角三角形外，分别以三角形的三边为边向外作同样的图形 结论：S1+S2=S3b a M F E D C A B S1 c S2 S3 证明：以等边三角形为例 如图，过点D作DM⊥AC于点M ∵ △ABC是等边三角形 ∴ AM=CM= b 在Rt△ADM中， ∴ 敲黑板，记重点 常用面积公式： 同理可得， ∴ ∵ Rt△ABC满足 ∴ ∴ S1+S2=S3 【例1】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为(　　)    A． B． C． D． 模型2：赵爽弦图 题目条件中含有在正方形内部，有四个全等的直角三角形和一个正方形时，考虑用此模型 已知：如图，在正方形ABCD中，分别在边AB，BC，CD，DA上取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，将点E，F，G，H顺次相接，分别过点E，F，G，H作EJ∥AD，FK∥AB，GL∥BC，HI∥CD 依据：全等三角形的性质 结论：（1）四边形EFGH是正方形； （2）四边形IJKL是正方形； （3）正方形IJKL的边长为HI-HL； （4）； （5） 【例1】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 模型3：蚂蚁爬行（最短路径问题） 题目条件中含有立体图形上的两点，求两点间的最短路径问题时，考虑用此模型 一、蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从点P到点Q的最短路径 已知 在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点P到点Q的最短路径 爬行路线 侧面展开图 结论 PQ= = PQ= = PQ= = 总结 长方体中最短路径PQ= 正方体中最短路径PQ== 二、蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A到点C的最短路径 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A到点C的最短路径为线段AC， 三、蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A到点C的最短路径 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A到点B的最短路径为线段AB， 四、蚂蚁从点A沿着外壁爬行，再沿着内壁爬行到点B的最短路径 作法：如图，将圆柱的半个侧面展开，找到点A关于圆柱上沿的对称点A’，连接A’B 设点A’到点B的竖直距离为，则问题转化成异侧半周长问题 从点A到点B的最短路径为线段A’B， 敲黑板，记重点 做这类题时，我们通常是展开立体图形，化曲线（折线）为直线，按照“展平面，连两点，算勾股”来解决问题，如果有多种到达方式，还需要进行比较，选择最短路径. 【例1】一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（    ） A． B．10 C．14 D．8 【例2】如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 模型4：直角三角形锐角平分线 题目条件中含有直角三角形与锐角的平分线，考虑用此模型 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=c，AC=b，BC=a 求作：过点D作AB的垂线，垂足为E，设CD=x 依据：勾股定理，角平分线的性质A C D E B 结论：（1）； （2）； （3）； （4） 证明：在Rt△ABC中，∵ ∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a ∴ ，即 ∵ AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB ∴ DE=CD= 又∵ AD=AD ∴ Rt△ACD≌Rt△AED ∴ AE=AC=b ∴ BE= 在Rt△DEB中，，即 【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则的长为（    ）cm． A． B． C．3 D． 模型5：矩形的翻折 题目条件中含有矩形出现折叠或对称时，考虑用此模型 已知：如图，在矩形ABCD中，沿对角线AC翻折△ABC，点B的对应点为B’ 依据：勾股定理，翻折变换前后两个图形全等，全等三角形的对应边和对应角相等 结论：（1）△ABC≌△AB’C；E A D C B’ B （2）折痕AC垂直平分BB’； （3）△AEC是等腰三角形 证明：由折叠性质知AB=AB’，∠BAC=∠B’AC 在△ABC和△AB’C中， ∴ △ABC≌△AB’C（SAS） ∴ BC=B’C ∵ AB=AB’ ∴ 折痕AC垂直平分BB’ ∵ 四边形ABCD是矩形敲黑板，记重点 解决矩形翻折问题的思路： （1）利用折叠和矩形的性质找出对应线段的关系； （2）在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理构造方程求解. ∴ AB∥CD ∴ ∠BAC=∠ACD ∴ ∠B’AC=∠BAC=∠ACD ∴ EA=EC ∴ △AEC是等腰三角形 【例1】如图，在矩形中，E是边上的点，连接，将沿线段翻折，点C恰好落在线段上的点F处．若，，则线段的长为（    ） A．4 B．2 C．4 D． 【例2】如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上，若，，则的长为 ． 模型6：垂美四边形 题目条件中含有对角线互相垂直的四边形时，考虑用此模型 定义：对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形D A C B O 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O 结论：（1）； （2） 证明：（1）在Rt△AOD，Rt△BOC，Rt△AOB，Rt△COD中 由勾股定理得①，②， ①，②敲黑板，记重点 勾股定理及等量代换是解决垂美四边形中线段长度问题的重要方法. 由①+②，得 由③+④，得 ∴ （2） 【例1】如图，四边形的对角线与互相垂直，若，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 实 战 演 练 【勾股树】 1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 3．大型古装历史剧《那年花开月正圆》火了“晋商”一词，带动了晋商文化旅游的发展．图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积和是49cm2，则其中最大的正方形S的边长为 cm． 4．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 5．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为． (1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和． (2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积． 【蚂蚁爬行（最短路径问题）】 6．如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距上口的点B处有一小块食物，则蚂蚁吃到这块食物所走的最短路线长度为（   ） A． B． C． D． 7．将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 8．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 9．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 10．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 11．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），蚂蚁怎样走路线最短？最短路线长是多少？ 12．课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【赵爽弦图】 13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 14．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 15．“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ． 16．如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形的面积为25，小正方形的面积为1． （1）如图2，连接得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为 ． （2）如图3，连接，交于点P，交于点M，则 ． 17．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求. 【直角三角形锐角平分线】 18．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ）．    A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm 19．如图，在Rt中，，，，平分交于，则= ． 20．如图，在中，，，，，平分交于D，于E，则的周长等于 ．    21．如图，中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，如果AC=6cm，BC=8cm，那么的周长为 cm． 【矩形的翻折】 22．如图，四边形为一张长方形纸片，E，F分别为，边上的点，将纸片沿折叠，点D，C的对称点分别为，，与边交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，是( ) A． B． C． D． 24．小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（   ） A． B． C． D． 25．如图，将矩形纸片沿折叠，使点D落在处，交于点E，若，则的长为 ． 26．如图，在矩形中，，，点E为AD边上一点，连接CE，将沿CE翻折，点D落在点F处，连接BF，当是等腰三角形时，线段DE的长是 ． 27．如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上时，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求的长； (3)如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【垂美四边形】 28．如图，在四边形中，对角线分别为，，且交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．在四边形中，，则 ． 30．如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 31．规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 探究：如图1，四边形是垂美四边形． (1)若，，则四边形的面积为_______． (2)求证： (3)如图2，在外侧，分别以为直角边构造等腰和等腰，连接，点F为中点，连接，若，，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $常考的重难点几何模型 八年级下册 初中数学 目录 八年级下册 · 勾股定理 模型1：勾股树……………………………………………………………………… 2 模型2：蚂蚁爬行（最短路径问题）……………………………………………… 4 模型3：赵爽弦图…………………………………………………………………… 5 模型4：直角三角形锐角平分线…………………………………………………… 8 模型5：矩形的翻折………………………………………………………………… 9 模型6：垂美四边形………………………………………………………………… 12 实战演练……………………………………………………………………………… 13 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：勾股树 题目条件中含有直角三角形和以直角三角形三边为边长向外作形状相同的图形时，考虑用此模型 已知：如图，在直角三角形外，分别以三角形的三边为边向外作同样的图形 结论：S1+S2=S3b a M F E D C A B S1 c S2 S3 证明：以等边三角形为例 如图，过点D作DM⊥AC于点M ∵ △ABC是等边三角形 ∴ AM=CM= b 在Rt△ADM中， ∴ 敲黑板，记重点 常用面积公式： 同理可得， ∴ ∵ Rt△ABC满足 ∴ ∴ S1+S2=S3 【例1】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为(　　)    A． B． C． D． 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，从而可解决问题． 【详解】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2， 正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2， 又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2， ∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2）． 故选：D．    【点睛】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 模型2：赵爽弦图 题目条件中含有在正方形内部，有四个全等的直角三角形和一个正方形时，考虑用此模型 已知：如图，在正方形ABCD中，分别在边AB，BC，CD，DA上取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，将点E，F，G，H顺次相接，分别过点E，F，G，H作EJ∥AD，FK∥AB，GL∥BC，HI∥CD 依据：全等三角形的性质 结论：（1）四边形EFGH是正方形； （2）四边形IJKL是正方形； （3）正方形IJKL的边长为HI-HL； （4）； （5） 【例1】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键． 利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步即可求得正方形的面积． 【详解】解：由题意知，在正方形中， ， ， ， 正方形的面积为1． 故选：A． 模型3：蚂蚁爬行（最短路径问题） 题目条件中含有立体图形上的两点，求两点间的最短路径问题时，考虑用此模型 一、蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从点P到点Q的最短路径 已知 在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点P到点Q的最短路径 爬行路线 侧面展开图 结论 PQ= = PQ= = PQ= = 总结 长方体中最短路径PQ= 正方体中最短路径PQ== 二、蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A到点C的最短路径 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A到点C的最短路径为线段AC， 三、蚂蚁围绕着圆柱表面爬行，从点A到点C的最短路径 作法：如图，将圆柱的侧面展开，从点A到点B的最短路径为线段AB， 四、蚂蚁从点A沿着外壁爬行，再沿着内壁爬行到点B的最短路径 作法：如图，将圆柱的半个侧面展开，找到点A关于圆柱上沿的对称点A’，连接A’B 设点A’到点B的竖直距离为，则问题转化成异侧半周长问题 从点A到点B的最短路径为线段A’B， 敲黑板，记重点 做这类题时，我们通常是展开立体图形，化曲线（折线）为直线，按照“展平面，连两点，算勾股”来解决问题，如果有多种到达方式，还需要进行比较，选择最短路径. 【例1】一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（    ） A． B．10 C．14 D．8 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ， 答：蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为， 故选：B 【例2】如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴米，米， ∴米， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米， 故选：D． 模型4：直角三角形锐角平分线 题目条件中含有直角三角形与锐角的平分线，考虑用此模型 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=c，AC=b，BC=a 求作：过点D作AB的垂线，垂足为E，设CD=x 依据：勾股定理，角平分线的性质A C D E B 结论：（1）； （2）； （3）； （4） 证明：在Rt△ABC中，∵ ∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a ∴ ，即 ∵ AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB ∴ DE=CD= 又∵ AD=AD ∴ Rt△ACD≌Rt△AED ∴ AE=AC=b ∴ BE= 在Rt△DEB中，，即 【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则的长为（    ）cm． A． B． C．3 D． 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解：，，， ， 由折叠的性质得：，， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟记折叠性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程求解． 模型5：矩形的翻折 题目条件中含有矩形出现折叠或对称时，考虑用此模型 已知：如图，在矩形ABCD中，沿对角线AC翻折△ABC，点B的对应点为B’ 依据：勾股定理，翻折变换前后两个图形全等，全等三角形的对应边和对应角相等 结论：（1）△ABC≌△AB’C；E A D C B’ B （2）折痕AC垂直平分BB’； （3）△AEC是等腰三角形 证明：由折叠性质知AB=AB’，∠BAC=∠B’AC 在△ABC和△AB’C中， ∴ △ABC≌△AB’C（SAS） ∴ BC=B’C ∵ AB=AB’ ∴ 折痕AC垂直平分BB’ ∵ 四边形ABCD是矩形敲黑板，记重点 解决矩形翻折问题的思路： （1）利用折叠和矩形的性质找出对应线段的关系； （2）在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理构造方程求解. ∴ AB∥CD ∴ ∠BAC=∠ACD ∴ ∠B’AC=∠BAC=∠ACD ∴ EA=EC ∴ △AEC是等腰三角形 【例1】如图，在矩形中，E是边上的点，连接，将沿线段翻折，点C恰好落在线段上的点F处．若，，则线段的长为（    ） A．4 B．2 C．4 D． 【分析】本题主要考查了三角形的全等、勾股定理、矩形的性质、折叠的性质等知识点，掌握全等三角形的判定方法和勾股定理成为解题的关键． 由矩形的性质可得．根据翻折的性质可得，则，再由得，根据证出，则，设，从而表示，再由勾股定理求得即可． 【详解】解：∵矩形， ∴． ∵将沿线段翻折，点C恰好落在线段上的点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，由勾股定理可得， 又∵， ∴， 在中，． 故选：D． 【例2】如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上，若，，则的长为 ． 【分析】本题考查翻折变换，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．先结合矩形的性质得，再根据折叠的性质可知，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵点是边的中点，且 ∴ 根据折叠的性质可知，， 设，则， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 模型6：垂美四边形 题目条件中含有对角线互相垂直的四边形时，考虑用此模型 定义：对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形D A C B O 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O 结论：（1）； （2） 证明：（1）在Rt△AOD，Rt△BOC，Rt△AOB，Rt△COD中 由勾股定理得①，②， ①，②敲黑板，记重点 勾股定理及等量代换是解决垂美四边形中线段长度问题的重要方法. 由①+②，得 由③+④，得 ∴ （2） 【例1】如图，四边形的对角线与互相垂直，若，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 【分析】根据勾股定理可得，在中可得，；在中可得：；在中可得：；即可得，代入数值计算后，即可求得的长.．本题考查了勾股定理的知识，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形的对角线与互相垂直， ∴， 在中可得，； 在中可得：； 在中可得：； ∴ ， ∴ ． 故选：A． 实 战 演 练 【勾股树】 1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 2．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可． 【详解】∵∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2， ∴S3=S2−S1=10−3=7， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 3．大型古装历史剧《那年花开月正圆》火了“晋商”一词，带动了晋商文化旅游的发展．图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积和是49cm2，则其中最大的正方形S的边长为 cm． 【分析】根据勾股定理的几何意义可得正方形S的面积，继而根据正方形面积公式进行求解即可. 【详解】根据勾股定理的几何意义，可知 S=SE+SF =SA+SB+SC+SD =49 cm2， 所以正方形S的边长为=7cm， 故答案为7. 【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键． 4．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3； （2）根据（1）中的求解即可得出答案； （3）利用（2）中的结论进行求解． 【详解】（1）解：①， 根据勾股定理可知：， ； （2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得； （3）解：由（2）知． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用． 5．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为． (1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和． (2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积． 【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理，列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为，， 由勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积；正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ，，，四个正方形的面积之和正方形的面积， 答：，，，四个正方形的面积之和为； （2）解：每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为， 设中间的直角三角形的较短的直角边为，斜边为，由题意得：，解得， 较短的直角边为，另一直角边为， 设的边长为，的边长为，则，解得：， 的面积是：；的面积是：， 同理： 设的边长为，的边长为，则，解得：， 的面积是；；的面积是：， 答：正方形，，，的面积分别为：，，，． 【点睛】本题考查了勾股定理在计算中的应用，数形结合并正确列式是解题的关键． 【蚂蚁爬行（最短路径问题）】 6．如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距上口的点B处有一小块食物，则蚂蚁吃到这块食物所走的最短路线长度为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，过点B作于H，根据题意可求出，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，过点B作于H， ∵底面圆的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁吃到这块食物所走的最短路线长度为 故选：B． 7．将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开长方形，由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是， 故选∶ ． 8．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题的是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图所示： ∵长方体的底面边长分别为和，高为． ∴，， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短路径长为； 故选：B． 9．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理应用，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故答案为：15． 10．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【分析】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键． 将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则，作A关于的对称点，连接，则此时线段即为蚂蚁走的最短路径，过B作于点D，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图，则，作A关于的对称点，连接，则此时线段即为蚂蚁走的最短路径， 过B作于点D，则， 在中，由勾股定理得：， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是， 故答案为：． 11．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），蚂蚁怎样走路线最短？最短路线长是多少？ 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键． 分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案． 【详解】解：有三种展开方式， 如图（1），，所以． 如图（2），． 如图（3）， 因为， 所以，路线（1）最短，最短路线是5． 12．课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图． （1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． （2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可． （3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：. 在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 【赵爽弦图】 13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ，，， 因为，即 ， ， 所以， 的值是8， 故选：B． 14．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 15．“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ． 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 根据题意得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵风车的外围周长（虚线部分）为76， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 16．如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形的面积为25，小正方形的面积为1． （1）如图2，连接得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为 ． （2）如图3，连接，交于点P，交于点M，则 ． 【分析】（1）根据题意在中，利用勾股定理求出的长即可求出答案； （2）根据正方形的性质证明，得到，再根据即可求解． 【详解】（1）∵正方形的面积为25，正方形的面积为1 ∴正方形的边长为5，正方形的边长为1 设， ∵四个直角三角形全等， ∴，则 在中，，即，解得：（负值舍去） ∴， ∵ ∴ 同理可得：，， ∴风车图案的周长为； （2）∵四边形是正方形， ∴ ∵四个直角三角形全等， ∴ ∴，即 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用所学知识是关键． 17．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求. 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质； （1）根据列式化简即可验证； （2）先根据外围轮廓线的周长和勾股定理求出，再根据即可求解； （3）设，，分别表示出、、，再结合即可求解． 【详解】（1）由图可得：，即 整理得： （2）∵外围轮廓线的周长为24，且四条外围轮廓线相等 ∴ ∵ ∴设，则， 在中，由勾股定理得：，即 解得： ∴ ∴ （3）设， ∴，， ∴ ∵ ∴ 整理得：，解得： 【直角三角形锐角平分线】 18．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ）．    A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm 【分析】由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：在中，， 根据折叠的性质可知：． ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理，折叠的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 19．如图，在Rt中，，，，平分交于，则= ． 【分析】过D作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明Rt和Rt全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，再在Rt中利用勾股定理求出即可得解． 【详解】过D作于， 是的平分线，，于， ， 在Rt和Rt中， ， ∴RtRt（HL）， ， 由勾股定理得，， ， 设，则 在Rt中 ∴ 解得 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键． 20．如图，在中，，，，，平分交于D，于E，则的周长等于 ．    【分析】证明，可得，，求出，根据的周长等于可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，将的周长转化为的长是解题的关键． 21．如图，中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，如果AC=6cm，BC=8cm，那么的周长为 cm． 【分析】依据△ACD≌△AED（AAS），即可得到AC=AE=6cm，CD=ED，再根据勾股定理可得AB的长，进而得出EB的长；设DE=CD=x，则BD=8-x，依据勾股定理可得，Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，解方程即可得到DE的长，再利用BC-CD得出BD的长，最后把BE,DE和BD相加求解即可． 【详解】解：∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠EAD， 又∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴∠C=∠AED=90°， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC=AE=6cm，CD=ED， ∵Rt△ABC中，AB==10（cm）， ∴BE=AB-AE=10-6=4（cm）， 设DE=CD=x，则BD=8-x， ∵Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2， ∴x2+42=（8-x）2， 解得x=3， ∴DE=CD=3cm， ∴BD=BC-CD=8-3=5cm， ∴BE+DE+BD=3+4+5=12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义以及勾股定理的运用，利用直角三角形勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 【矩形的翻折】 22．如图，四边形为一张长方形纸片，E，F分别为，边上的点，将纸片沿折叠，点D，C的对称点分别为，，与边交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了矩形的折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠与性质，平行线的性质，平角性质，是解题的关键． 根据得到，根据折叠的性质得到，根据长方形性质得到，． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠知，， ∵四边形为长方形， ∴， ∴． 故选为：B． 23．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，是( ) A． B． C． D． 【分析】本题主要考查的是折叠图形的性质以及勾股定理的应用首先根据折叠图形和平行线的性质得出，然后设，则，根据勾股定理求出的值，最后根据即可求解． 【详解】解：根据折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故选：B． 24．小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设 ，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离． 【详解】解：四边形是矩形，，， ， 由折叠可得：，，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设 ，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 则， 则点到的距离为：， 则点到的距离为：． 故选：C． 25．如图，将矩形纸片沿折叠，使点D落在处，交于点E，若，则的长为 ． 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，可得，设，则，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：由折叠得：， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即的长为， 故答案为：． 26．如图，在矩形中，，，点E为AD边上一点，连接CE，将沿CE翻折，点D落在点F处，连接BF，当是等腰三角形时，线段DE的长是 ． 【分析】本题主要考查矩形与折叠，分和两种情况结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ①当时，如图， 过点作于点，则于点， 所以，四边形是矩形， ∴， ∵，, ∴， ∴， 在中， ∴, 设，则， 由折叠得：, 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当时， 过点作于点，则于点， 所以，四边形是矩形， ∴， 过点作于点，则， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∴， 又四边形是矩形， ∴， 设，则， 由折叠得：, 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 27．如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上时，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求的长； (3)如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【分析】本题考查了矩形与折叠，化为最简二次根式，解题关键是熟练运用矩形的性质、勾股定理和折叠的性质及等腰三角形的判定进行推理证明与计算； （1）根据折叠和平行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列出方程即可求； （3）过点P作于H，证明，设，则，由勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； （3）解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 【垂美四边形】 28．如图，在四边形中，对角线分别为，，且交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键，分别是两个直角三角形的斜边，在中，，在中，，，进而求解． 【详解】解：在和中，，， ； 故选：A． 29．在四边形中，，则 ． 【分析】根据勾股定理可得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ， ， 即， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意找出对角线互相垂直的四边形四条边的关系是解题的关键． 30．如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解； （2）由条件易证，得到，所以，即可求解． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点H， ， ， ， ∴， ，即是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：10； （2），， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 故答案为：6． 31．规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 探究：如图1，四边形是垂美四边形． (1)若，，则四边形的面积为_______． (2)求证： (3)如图2，在外侧，分别以为直角边构造等腰和等腰，连接，点F为中点，连接，若，，，求的长． 【分析】（1）由四边形是垂美四边形可知，从而依据，代入相关数据进行计算即可； （2）由勾股定理列出等式可求解； （3）连接，证出，由证明，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）∵四边形是垂美四边形， ∴ （2）∵四边形是垂美四边形， 在中， 在中， 在中， 在中， ， ∴ （3）连接，交于点，交于点，如图， 均为等腰直角三角形， 即 在和中， ， ， ， ， 即 ∴四边形是垂美四边形； 在等腰和中， 由勾股定理得， 延长到点，使，连接 为的中点， 又 过点作于点， 设则 由勾股定理得， ， 解得，即 ∵四边形是垂美四边形； , （负值舍去） 过点作，则有： 即：, 解得， 过点作交于， 同理可得，； （负值舍去） 【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $