几何模型：三角形+角平分线+垂直平分线+中位线模型 2025-2026学年中考数学一轮复习

常考的重难点几何模型 八年级上册 初中数学 目录 八年级上册 · 三角形 模型1：“8字”模型…… 2 模型6：“双角平分线”模型…… 10 模型2：“A字”模型…… 4 模型7：“垂直平分线”模型…… 13 模型3：“风筝”模型…… 4 模型8：中位线模型……………… 14 模型4：“飞镖”模型…… 6 实战演练…………………………… 17 模型5：角平分线模型…… 8 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“8字”模型 题目条件中含有两条相交线段构成含对顶角的两个三角形，形似阿拉伯数字“8”时，考虑用此模型 已知：如图，AC与BD相交于点O，连接AB，CDA B C D O 结论：∠A+∠B= ∠C+∠D . 模型依据：三角形内角和 证明：法1） 在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°敲黑板，记重点 ∵ ∠AOB=∠COD ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D 角度和相等，是解决角度转化问题的关键.“8字”型常在几何综合题中推导角度时用到. 法2） 对于△ABO中，∠BOC=∠A+∠B 对于△CDO中，∠BOC=∠C+∠D ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D 【例1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 【例2】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 模型2：“A字”模型 题目条件中含有形似大写英文字母“A”的图形时，考虑用此模型A D B C E 已知：如图，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC 结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A . 模型依据：三角形的内角和等于180°，三角形外角定理 证明：∵ ∠DBC和∠ECB是△ABC的外角敲黑板，记重点 见“A字”要想角 两外角和=180°+顶角 ∴ ∠DBC=∠A+∠ACB， ∠ECB=∠A+∠ABC ∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴ ∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A 【例1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 模型3：“风筝”模型 题目条件中含有形如“风筝”的凸四边形，并涉及角度问题时，考虑用此模型 结论：如图，∠1+∠2=∠BAC+∠BFC（腋下两角之和等于上、下两角之和） . 模型依据：三角形外角定理A D B C E F 1 2 3 4 5 6 证明：如图，连接AF ∵ ∠1是△ABF的外角 ∴ ∠1=∠3+∠4 ∵ ∠2是△ACF的外角 ∴ ∠2=∠5+∠6 ∴ ∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6=∠BAC+∠BFC 【例1】在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【详解】试题分析：根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解． 解：∵∠A=65°，∠B=75°， ∴∠C=180°﹣（65°+75°）=40°， ∴∠CDE+∠CED=180°﹣∠C=140°， ∴∠2=360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°﹣300°=60°． 故选B． 点评：本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度． 模型4：“飞镖”模型 题目条件中含有形似“飞镖”的凹四边形时，考虑用此模型A D B C 结论：如图，（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C ； （2）AB+AC＞BD+CD . 模型依据：三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形的三边关系 证明：法1） 如图1，连接BCA D B C 1 2 3 4 图1 ∵ 在△ABC中，∠A+∠1+∠3+∠4+∠2=180°， 在△BCD中，∠D+∠3+∠4=180° ∴ ∠D=180°－（180°－∠A－∠1－∠2）=∠A+∠1+∠2 法2） 如图2，连接AD并延长1 A D B C 2 3 4 图2 ∵ ∠1=∠B+∠4，∠2=∠C+∠3 ∴ ∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠4+∠C+∠3=∠BAC+∠B+∠C 模型括展：A B C F D E O 结论：（1）S△AOB：S△AOC=BD：CD （2）S△AOB：S△BOC=AE：CE （3）S△BOC：S△AOC=BF：AF 证明：如图，分别过点B，C作BH，CG垂直于AD，分别变AD及其延长线于点H，G，过点A作AM⊥BC于点MA B C F D E O M G H ∵ S△AOB= OA·BH，S△AOC= OA·CG ∴ S△AOB：S△AOC= ∵ S△ABD= AD·BH= BD·AM，S△ACD= AD·CG= CD·AM ∴ 敲黑板，记重点 共边三角形的面积问题可转化为线段问题：同高不同底，面积比等于底之比；同底不同高，面积比等于高之比. ∴ ∴ S△AOB：S△AOC=BD：CD 同理可证（2）（3） 【例1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 模型5：角平分线模型 题目条件中含有角平分线时，考虑用此模型 已知：如图，OP平分∠MON，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B 结论：PA=PB，OA=OB，∠APO=∠BPO . 模型依据：角平分线的定义，三角形全等的判定，全等三角形的性质 证明：∵ OP平分∠MONA B O P M N ∴ ∠APO=∠BPO 在△AOP和△BOP中 ∴ △AOP≌△BOP（AAS） ∴ PA=PB，OA=OB，∠APO=∠BPO 模型括展：角平分线常用到的辅助线作法图1 A B O P M N 法1） 作对称 已知：如图1，OP平分∠MON，A为OM上一点 辅助线作法：在ON上截取OB=OA，连接PB 结论：PA=PB，∠APO=∠BPOA B O P M N 图2 法2） 作线段的垂直平分线 已知：如图2，OP平分∠MON，AP⊥OP 辅助线作法：延长AP交ON于点B 结论：PA=PB，OA=OB 法3） 作平行线构造等腰三角形图3 A O P M N Q 已知：如图3，OP平分∠MON 辅助线作法：过点P作PQ∥ON交OM于点Q 结论：OQ=PQ，∠QOP=∠QPO 【例1】如图，在中，平分若则 ． 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 模型6：“双角平分线”模型 题目条件中含有三角形中出现两条角平分线时，考虑用此模型C A B D 一、双内角平分线型 已知：如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线 结论：∠D=90°+ ∠A 依据：角平分线的性质，三角形内角和定理 证明：∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB ∴ ∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB ∴ ∠D=180°－（∠DBC+∠DCB）=180°－（∠ABC+∠ACB） =180°－（180°－∠A）=90°+ ∠A 二、双外角平分线型 已知：如图，BD和CD分别是△ABC的外角∠EBC，∠FCB的平分线 结论：∠D=90°－ ∠AA D B C E F 依据：角平分线的性质，三角形内角和定理 证明：∵ BD平分∠EBC，CD平分∠FCB ∴ ∠DBC= ∠EBC，∠DCB= ∠FCB ∴ ∠D=180°－（∠DBC+∠DCB）=180°－（∠EBC+∠FCB） =180°－（∠ACB+∠A+∠ABC+∠A）敲黑板，记重点 【速记口诀】内内90°加一半，外外90°减一半，一内一外就一半 . =180°－（180°+∠A）=90°－ ∠A 三、一内一外平分线型 已知：如图，BD和CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线 结论：∠D= ∠A 依据：角平分线的性质，三角形内角和定理 证明：∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACE ∴ ∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACEA B C E D ∵ ∠ACE是△ABC的外角 ∴ ∠ACE=∠A+∠ABC ∴ ∠A=∠ACE－∠ABC ∵ ∠DCE是△BCD的外角 ∴ ∠DCE=∠DBC+∠D ∴ ∠D=∠DCE－∠DBC= ∠ACE－∠ABC= （∠ACE－∠ABC）= ∠A 【例1】如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC， ∴∠ECD=（∠A+∠ABC）． 又∵∠ECD=∠E+∠EBC， ∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）． ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠ABC， ∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC）， ∴∠E=∠A=18°， ∴∠A=36°． 故选A． 【例1】如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则 ． 【分析】首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果； 【详解】由图知：， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵的两条高、交于点， ∴，， ∴， ∴在四边形中有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键． 模型7：“垂直平分线”模型 题目条件中含有垂直平分线时，考虑用此模型 已知：如图，直线MN⊥AB于点O，OA=OBB M A O P N 结论：PA=PB 依据：全等三角形的性质 证明：∵ MN⊥AB ∴ ∠AOP=∠BOP=90° 在△AOP和△BOP中， ∴ △AOP≌△BOP（SAS） ∴ PA=PB 【例1】如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为13，则的周长为（   ） A．19 B．20 C．16 D．21 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线，， ， 的周长为13， ， 的周长， 故选：A． 【例2】如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么 ． 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得，再由线段和差可得结论． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 模型8：中位线模型 题目条件中含有两个及两个以上中点，需要解决线段数量或位置关系时，考虑用此模型 一、三角形中位线 已知：如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点 结论：DE∥BC，DE= BCE D C A B 依据：三角形中位线定理 证明：如图，延长DE至点F，使EF=DE，连接CF ∵ D，E分别为边AB，AC的中点 ∴ AD=BD，AE=CE 在△ADE和△CFE中， ∴ △ADE≌△CFE（SAS） ∴ AD=CF，∠A=∠ECF ∴ CF∥BD，CF=BD ∴ 四边形BCFD是平行四边形 ∴ DF=BC，DE∥BC ∴ DE=DF= BC 二、梯形中位线 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为梯形两腰AB，CD的中点A C D E B F 结论：EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC） 依据：三角形中位线定理 三、模型括展 中位线常见的构造方法 图形 特点 辅助线 已知一边中点 取另一边中点，构造中位线 已知一边中点 将另一边倍长，再构造第三边 已知两边中点 构造第三边 已知一条线段与角平分线垂直 延长这条线段构造等腰三角形 B C D E F H A B C D E F A H 已知四边形的对角线相等 分别取AB，CD，BC的中点E，F，H，连接EH，FH 已知四边形的一组对边相等，如AB=CD 分别取AD，BC，AC的中点E，F，H，连接EH，FH，EF 【例1】如图，在中，，，分别为，的中点．若，，则的长为（   ） A．20 B．16 C．12 D．10 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理推出． 由三角形中位线定理推出，由平行线的性质得到，由勾股定理求出，于是得到的长度． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【例2】如图，为四边形的对角线，点、分别为、的中点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理逆定理，首先根据点、分别为、的中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，，，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形，，从而可求． 【详解】解：点、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， ， ，， 又， ， 是直角三角形，， ， ， ． 故选：C． 实 战 演 练 【“8字”模型】 1．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 2．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 【分析】（1）利用三角形内角和定理：，结合对顶角相等可得结论． （2）利用（1）中结论，设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y，可得∠A+x=∠E+y，∠C+y=∠E+x，两式相加可得结论． 【详解】解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）结论：2∠E＝∠A+∠C． 理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E， ∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y， ∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x， ∴∠A+∠C＝∠E+∠E， ∴2∠E＝∠A+∠C ． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 3．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 4．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______． 【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【详解】解：（1）如图.    ，， ． ， ； （2）如图.    ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.    直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即． （4）连接    直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【“A字”模型】 5．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 6．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 7．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【“风筝”模型】 8．如图，是一个三角形的纸片，点、分别是边上的两点，将沿直线折叠，点A落在点处，则，和的关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】由折叠的性质结合平角的定义，可得出，在中，利用三角形内角和定理可得出，将其代入中，即可得出． 【详解】解：由折叠的性质可知，，． ∵，， ∴． 在中，， ， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 9．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】 连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案． 【详解】 解：如图，连接， ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键． 10．如图所示，把△ABC的一部分沿DE折叠，使点C落在点的位置，若，那么的度数为 ． 【分析】先根据折叠的性质得到∠C=∠，然后再利用三角形外角性质解答即可． 【详解】解：由折叠的性质得：∠C=∠=36° 根据外角性得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠ ∴∠1=∠2+∠C+∠=∠2+2∠C=∠2+72° 则∠1-∠2=72°． 故答案为72°． 【点睛】本题考查了折叠的性质和三角形外角性质，根据折叠的性质得到相等的角是解答本题的关键． 11．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角进行求解即可； （2）利用翻折的性质得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根据三角形内角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，结合图形，由平角及各角之间的关系进行计算即可‘ （3）连接．根据三角形外角的性质得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之间的数量关系得出，再由三角形内角和定理即可求解； （4）设AB与交于点F，根据三角形外角得出，，再由折叠的性质得出，结合图形及各角之间的数量关系进行求解即可 【详解】（1）解：∵∠A＝80°， ∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∴， 故答案为：260°； （2）∵∠A＝80°， ∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∵翻折， ∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’, ∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°， ∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°， 故答案为：160°； （3）解：连接．如图所示： ∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A， ∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）解：如图，设AB与交于点F， ∵，， 由折叠可得，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 【“飞镖”模型】 12．如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 【详解】∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°， ∴∠ABE=90°-50°=40°， ∵CF为△ABC的高， ∴∠BFC=90°， ∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°． 故选D． 13．如图，则的度数是 ．   【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图，    ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键． 14．如图，在中，，，平分，平分，则 . 【分析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键. 15．如图，、分别平分和，若，，求的度数. 【分析】根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解； 【详解】解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM， ∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B， 同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M， ∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD， ∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD， ∴∠M-∠B=∠D-∠M， ∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°； 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用． 【角平分线模型】 16．如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．15 D．10 【分析】根据角平分线的性质计算出的高DE，从而计算出的面积． 【详解】 过点D做于点E，如图 ∵ ∴ ∵，，且是的角平分线 ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质并作出辅助线，从而完成求解． 17．如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，，则两条平行线AD与BC间的距离为 ． 【分析】过点作于点，交于点，根据，则，即为所求，根据角平分线的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点P，， ∴， ∴, 即两条平行线AD与BC间的距离为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 18．在 中 ，平分交 于 ，的两边分别与, 相交于，两点，且. （1）如图，若， ，， ，.   ①写出 °，的长是 . ②求四边形的周长. （2）如图，过作于，作于，先补全图乙再证明. 【分析】（1）①由直角三角形两锐角互余可得，结合直角三角形30度角的性质可得AB长，由平行的性质及角平分线的性质可得，易得的度数；②在①的基础上，结合等角对等边的性质可得， 设，根据直角三角形30度角的性质可得，则， 可得AM、MD、DN、AN的长，易得四边形的周长； （3）利用HL定理可证 ≌，，结合全等三角形对应边相等的性质易证. 【详解】解：①解：∵, ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴ 又∵平分 ∴ ∴, 所以90°，的长是18.          ②解：∵, ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴ 又∵平分 ∴ ∴ ∴ 在中，设，则 ∴中, ∴ ∴ ∴ ∴， 所以四边形的周长= （2）补全图如图所示 证明：由作图知，， 由已知，平分， ∴ ≌ 又 . 【点睛】本题是三角形的综合题，涉及了直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，熟练运用角平分线的性质定理，直角三角形全等的HL判定定理是解题的关键. 【双角平分线模型】 19．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（  ）    A． B． C． D． 【详解】∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴∠A1BC+∠A1=(∠A+∠ABC)=∠A+∠ABC=∠A+∠A1BC， ∴∠A1=∠A；, 同理可得：∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，，∠An=∠An-1=， ∴∠A2013=. 故选D． 点睛：利用三角形外角的性质和三角形内角和定理结合角平分线的定义推导得到∠A1和∠A的关系是解这道题的关键，由此可推导出∠A2与∠A1的关系，进一步推广到∠An和∠An-1的关系就可找到规律求得∠A2013. 20．如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 21．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 【详解】∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴∠A1BC+∠A1=(∠A+∠ABC)=∠A+∠ABC=∠A+∠A1BC， ∴∠A1=∠A；, 同理可得：∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，，∠An=∠An-1=， ∴∠A2013=. 故选D． 点睛：利用三角形外角的性质和三角形内角和定理结合角平分线的定义推导得到∠A1和∠A的关系是解这道题的关键，由此可推导出∠A2与∠A1的关系，进一步推广到∠An和∠An-1的关系就可找到规律求得∠A2013. 3．①③/③① 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 4．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）设． 由的内角和为，得．① 由的内角和为，得．② 由②得．③ 把③代入①，得， 即， 即 （2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线， ∴ 由三角形内角和定理得，， =180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]， =180°-（∠A+180°）， =90°-∠A； （3）如图： ∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4， 在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3 ∴∠1+∠3=180°-∠A① 在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1）， 即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②， 把①代入②得∠D=∠A． 【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题． 【垂直平分线模型】 22．在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案． 【详解】解；∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长等于50， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 23．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再根据题意得到，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是13， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 24．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再根据题意得到，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是13， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 25．如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ． （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 26．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 【中位线模型】 27．如图，的对角线，相交于点，是的中点，，，则的周长为（   ） A．14 B．13 C．28 D．19 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，求出的长是解题的关键．根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可得，，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ，点E为边的中点， ，， ． 故选：C． 28．如图，在中，，，，点D和点E分别在和上，F是的中点，若是的中位线，则的长度为 ． 【分析】本题考查了三角形中位线，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据勾股定理可得出，根据三角形中位线定理，可得，，即，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 又∵是的中点， ∴， 故答案为：． 29．如图，在中，点D、点E分别为线段中点，点F在线段上，且，若，，则的长度为 ． 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，再计算即可． 【详解】解：∵点D、点E分别为线段中点，， ∴是的中位线， ∴， 在中，，点E是的中点，， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理的证明，勾股定理，平行线的性质，正确理解题意通过构造中位线进行求解是解题的关键． （1）如图1，延长至点，使得，连接，利用证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证； （2）由（1）可得，，， ，再根据，，由平行线的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ， 点是的边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 又点是的边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即，；   （2）解：点，，分别是，，的中点，，，，， ，，，， ，， ， ， 在中，． 的长为5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $常考的重难点几何模型 八年级上册 初中数学 目录 八年级上册 · 三角形 模型1：“8字”模型…… 2 模型6：“双角平分线”模型…… 6 模型2：“A字”模型…… 3 模型7：“垂直平分线”模型…… 8 模型3：“风筝”模型…… 3 模型8：中位线模型…………… 9 模型4：“飞镖”模型…… 4 实战演练………………………… 11 模型5：角平分线模型…… 5 模 型 导 图 模 型 提 炼 模型1：“8字”模型 题目条件中含有两条相交线段构成含对顶角的两个三角形，形似阿拉伯数字“8”时，考虑用此模型 已知：如图，AC与BD相交于点O，连接AB，CDA B C D O 结论：∠A+∠B= ∠C+∠D . 模型依据：三角形内角和 证明：法1） 在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°敲黑板，记重点 ∵ ∠AOB=∠COD ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D 角度和相等，是解决角度转化问题的关键.“8字”型常在几何综合题中推导角度时用到. 法2） 对于△ABO中，∠BOC=∠A+∠B 对于△CDO中，∠BOC=∠C+∠D ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D 【例1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【例2】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 模型2：“A字”模型 题目条件中含有形似大写英文字母“A”的图形时，考虑用此模型A D B C E 已知：如图，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC 结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A . 模型依据：三角形的内角和等于180°，三角形外角定理 证明：∵ ∠DBC和∠ECB是△ABC的外角敲黑板，记重点 见“A字”要想角 两外角和=180°+顶角 ∴ ∠DBC=∠A+∠ACB， ∠ECB=∠A+∠ABC ∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴ ∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A 【例1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 模型3：“风筝”模型 题目条件中含有形如“风筝”的凸四边形，并涉及角度问题时，考虑用此模型 结论：如图，∠1+∠2=∠BAC+∠BFC（腋下两角之和等于上、下两角之和） . 模型依据：三角形外角定理A D B C E F 1 2 3 4 5 6 证明：如图，连接AF ∵ ∠1是△ABF的外角 ∴ ∠1=∠3+∠4 ∵ ∠2是△ACF的外角 ∴ ∠2=∠5+∠6 ∴ ∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6=∠BAC+∠BFC 【例1】在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°．将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 模型4：“飞镖”模型 题目条件中含有形似“飞镖”的凹四边形时，考虑用此模型A D B C 结论：如图，（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C ； （2）AB+AC＞BD+CD . 模型依据：三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形的三边关系 证明：法1） 如图1，连接BCA D B C 1 2 3 4 图1 ∵ 在△ABC中，∠A+∠1+∠3+∠4+∠2=180°， 在△BCD中，∠D+∠3+∠4=180° ∴ ∠D=180°－（180°－∠A－∠1－∠2）=∠A+∠1+∠2 法2） 如图2，连接AD并延长1 A D B C 2 3 4 图2 ∵ ∠1=∠B+∠4，∠2=∠C+∠3 ∴ ∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠4+∠C+∠3=∠BAC+∠B+∠C 模型括展：A B C F D E O 结论：（1）S△AOB：S△AOC=BD：CD （2）S△AOB：S△BOC=AE：CE （3）S△BOC：S△AOC=BF：AF 证明：如图，分别过点B，C作BH，CG垂直于AD，分别变AD及其延长线于点H，G，过点A作AM⊥BC于点MA B C F D E O M G H ∵ S△AOB= OA·BH，S△AOC= OA·CG ∴ S△AOB：S△AOC= ∵ S△ABD= AD·BH= BD·AM，S△ACD= AD·CG= CD·AM ∴ 敲黑板，记重点 共边三角形的面积问题可转化为线段问题：同高不同底，面积比等于底之比；同底不同高，面积比等于高之比. ∴ ∴ S△AOB：S△AOC=BD：CD 同理可证（2）（3） 【例1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 模型5：角平分线模型 题目条件中含有角平分线时，考虑用此模型 已知：如图，OP平分∠MON，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B 结论：PA=PB，OA=OB，∠APO=∠BPO . 模型依据：角平分线的定义，三角形全等的判定，全等三角形的性质 证明：∵ OP平分∠MONA B O P M N ∴ ∠APO=∠BPO 在△AOP和△BOP中 ∴ △AOP≌△BOP（AAS） ∴ PA=PB，OA=OB，∠APO=∠BPO 模型括展：角平分线常用到的辅助线作法图1 A B O P M N 法1） 作对称 已知：如图1，OP平分∠MON，A为OM上一点 辅助线作法：在ON上截取OB=OA，连接PB 结论：PA=PB，∠APO=∠BPOA B O P M N 图2 法2） 作线段的垂直平分线 已知：如图2，OP平分∠MON，AP⊥OP 辅助线作法：延长AP交ON于点B 结论：PA=PB，OA=OB 法3） 作平行线构造等腰三角形图3 A O P M N Q 已知：如图3，OP平分∠MON 辅助线作法：过点P作PQ∥ON交OM于点Q 结论：OQ=PQ，∠QOP=∠QPO 【例1】如图，在中，平分若则 ． 模型6：“双角平分线”模型 题目条件中含有三角形中出现两条角平分线时，考虑用此模型C A B D 一、双内角平分线型 已知：如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线 结论：∠D=90°+ ∠A 依据：角平分线的性质，三角形内角和定理 证明：∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB ∴ ∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB ∴ ∠D=180°－（∠DBC+∠DCB）=180°－（∠ABC+∠ACB） =180°－（180°－∠A）=90°+ ∠A 二、双外角平分线型 已知：如图，BD和CD分别是△ABC的外角∠EBC，∠FCB的平分线 结论：∠D=90°－ ∠AA D B C E F 依据：角平分线的性质，三角形内角和定理 证明：∵ BD平分∠EBC，CD平分∠FCB ∴ ∠DBC= ∠EBC，∠DCB= ∠FCB ∴ ∠D=180°－（∠DBC+∠DCB）=180°－（∠EBC+∠FCB） =180°－（∠ACB+∠A+∠ABC+∠A）敲黑板，记重点 【速记口诀】内内90°加一半，外外90°减一半，一内一外就一半 . =180°－（180°+∠A）=90°－ ∠A 三、一内一外平分线型 已知：如图，BD和CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线 结论：∠D= ∠A 依据：角平分线的性质，三角形内角和定理A B C E D 证明：∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACE ∴ ∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE ∵ ∠ACE是△ABC的外角 ∴ ∠ACE=∠A+∠ABC ∴ ∠A=∠ACE－∠ABC ∵ ∠DCE是△BCD的外角 ∴ ∠DCE=∠DBC+∠D ∴ ∠D=∠DCE－∠DBC= ∠ACE－∠ABC= （∠ACE－∠ABC）= ∠A 【例1】如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 【例1】如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则 ． 模型7：“垂直平分线”模型 题目条件中含有垂直平分线时，考虑用此模型 已知：如图，直线MN⊥AB于点O，OA=OBB M A O P N 结论：PA=PB 依据：全等三角形的性质 证明：∵ MN⊥AB ∴ ∠AOP=∠BOP=90° 在△AOP和△BOP中， ∴ △AOP≌△BOP（SAS） ∴ PA=PB 【例1】如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为13，则的周长为（   ） A．19 B．20 C．16 D．21 【例2】如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么 ． 模型8：中位线模型 题目条件中含有两个及两个以上中点，需要解决线段数量或位置关系时，考虑用此模型 一、三角形中位线 已知：如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点 结论：DE∥BC，DE= BCE D C A B 依据：三角形中位线定理 证明：如图，延长DE至点F，使EF=DE，连接CF ∵ D，E分别为边AB，AC的中点 ∴ AD=BD，AE=CE 在△ADE和△CFE中， ∴ △ADE≌△CFE（SAS） ∴ AD=CF，∠A=∠ECF ∴ CF∥BD，CF=BD ∴ 四边形BCFD是平行四边形 ∴ DF=BC，DE∥BC ∴ DE=DF= BC 二、梯形中位线 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为梯形两腰AB，CD的中点A C D E B F 结论：EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC） 依据：三角形中位线定理 三、模型括展 中位线常见的构造方法 图形 特点 辅助线 已知一边中点 取另一边中点，构造中位线 已知一边中点 将另一边倍长，再构造第三边 已知两边中点 构造第三边 已知一条线段与角平分线垂直 延长这条线段构造等腰三角形 B C D E F H A B C D E F A H 已知四边形的对角线相等 分别取AB，CD，BC的中点E，F，H，连接EH，FH 已知四边形的一组对边相等，如AB=CD 分别取AD，BC，AC的中点E，F，H，连接EH，FH，EF 【例1】如图，在中，，，分别为，的中点．若，，则的长为（   ） A．20 B．16 C．12 D．10 【例2】如图，为四边形的对角线，点、分别为、的中点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 实 战 演 练 【“8字”模型】 1．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为， 且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 2．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 3．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 4．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______． 【“A字”模型】 5．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 7．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【“风筝”模型】 8．如图，是一个三角形的纸片，点、分别是边上的两点，将沿直线折叠，点A落在点处，则，和的关系是（    ） A． B． C． D． 9．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，把△ABC的一部分沿DE折叠，使点C落在点的位置，若，那么的度数为 ． 11．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 【“飞镖”模型】 12．如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 13．如图，则的度数是 ．    14．如图，在中，，，平分，平分，则 . 15．如图，、分别平分和，若，，求的度数. 【角平分线模型】 16．如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．15 D．10 17．如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，，则两条平行线AD与BC间的距离为 ． 18．在 中 ，平分交 于 ，的两边分别与, 相交于，两点，且. （1）如图，若， ，， ，.   ①写出 °，的长是 . ②求四边形的周长. （2）如图，过作于，作于，先补全图乙再证明. 【双角平分线模型】 19．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（  ）    A． B． C． D． 20．如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 21．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 【垂直平分线模型】 22．在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 23．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 24．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 25．如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 26．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【中位线模型】 27．如图，的对角线，相交于点，是的中点，，，则的周长为（   ） A．14 B．13 C．28 D．19 28．如图，在中，，，，点D和点E分别在和上，F是的中点，若是的中位线，则的长度为 ． 29．如图，在中，点D、点E分别为线段中点，点F在线段上，且，若，，则的长度为 ． 30．（1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $