期末复习08平面直角坐标系讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学平面直角坐标系复习讲义通过表格梳理特殊位置点坐标特征、口诀提炼平移规律等方式构建知识体系，涵盖坐标系概念、点的坐标、象限特征、平移与对称等核心内容，清晰呈现知识内在联系，发展学生几何直观与空间观念。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的有序数对确定位置（如“东经116.35°，北纬23.55°”实例）到综合的动点问题、规律探索，典例结合跟踪专练强化运算能力与推理意识。提供坐标规律总结等方法指导，基础生可掌握通法，优秀生能深化探究，助力教师实施精准复习教学。

期末复习08平面直角坐标系讲义 1. 用有序数对确定位置 2. 读取直角坐标系中点的坐标 3. 判断平面直角坐标系内点所在的象限 4. 根据点所在象限求未知参数 5. 在平面直角坐标系中描点 6. 实际问题：用坐标描述物体位置 7. 计算点到坐标轴的距离 8. 平面直角坐标系中的点平移 9. 已知平移方式，求对应点的坐标 10. 已知点平移前后坐标，判断平移方向与距离 11. 已知图形平移方式，求图形上点的坐标 12. 平面直角坐标系中的点对称 13. 坐标与图形变化：轴对称 14. 求平面直角坐标系内点关于原点的对称点坐标 15. 已知两点关于原点对称，求未知参数 16. 平面直角坐标系中的动点问题（不含函数） 17. 平面直角坐标系内点的坐标规律探索 18. 用方向角 + 距离确定物体的位置 【知识点01】平面直角坐标系的概念 1.定义 在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴所组成的图形，叫做平面直角坐标系。 2.要素拆解 *两条数轴：一条水平，一条竖直，二者缺一不可。 *互相垂直：两条数轴的夹角为90∘，这是构成直角坐标系的核心条件。 *公共原点：两条数轴的交点重合，这个点称为原点，是坐标的参照点。 3.符号表示 水平的数轴称为x 轴（横轴），习惯上规定向右为正方向； 竖直的数轴称为y 轴（纵轴），习惯上规定向上为正方向； 原点的坐标记为(0,0)。 4.核心作用 建立平面直角坐标系后，平面内的任意一点都可以用唯一的一对有序实数对(x,y)来表示，实现了数与形的一一对应，是数形结合思想的基础工具。 【知识点02】点的坐标 1.定义 在平面直角坐标系中，过平面内任意一点P，分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴上对应的数称为点P的横坐标，在y轴上对应的数称为点P的纵坐标。 把横坐标写在前面，纵坐标写在后面，用有序实数对(x,y)表示点P的坐标，记作P(x,y)。 2.核心性质 *有序性：横坐标和纵坐标的顺序不能颠倒，(x,y)和(y,x)（x=y时）表示平面内两个不同的点。 *一一对应性：平面内的任意一点，都有唯一的一组有序实数对与之对应；反之，任意一组有序实数对，都能在平面内找到唯一的点与之对应。 3.点到坐标轴的距离 若点P的坐标为(x,y)，则 *点P到x轴的距离为∣y∣（纵坐标的绝对值）； *点P到y轴的距离为∣x∣（横坐标的绝对值）。 4.特殊位置点的坐标特征 点的位置 坐标特征 举例 第一象限 (+,+) (1,2) 第二象限 (−,+) (−1,2) 第三象限 (−,−) (−1,−2) 第四象限 (+,−) (1,−2) x轴上 纵坐标为0，即(x,0) (3,0)、(−2,0) y轴上 横坐标为0，即(0,y) (0,4)、(0,−1) 原点 横、纵坐标均为0，即(0,0) —— 一、三象限角平分线 横、纵坐标相等，即x=y (5,5)、(−3,−3) 二、四象限角平分线 横、纵坐标互为相反数，即x=−y (−2,2)、(4,−4) 【知识点03】象限及坐标特点 1.象限的划分 平面直角坐标系中，x 轴和 y 轴将平面分成四个区域，这四个区域称为象限，按逆时针方向依次命名为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注：坐标轴（x 轴、y 轴）上的点和原点不属于任何象限。 2.各象限内点的坐标符号特点 *第一象限内的点：横坐标为正，纵坐标为正。 *第二象限内的点：横坐标为负，纵坐标为正。 *第三象限内的点：横坐标为负，纵坐标为负。 *第四象限内的点：横坐标为正，纵坐标为负。 3.象限角平分线上的点的坐标特点 *位于一、三象限角平分线上的点：横、纵坐标相等，坐标可表示为(a,a)（a为非零实数）。 *位于二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数，坐标可表示为(a,−a)（a为非零实数）。 【知识点04】用坐标描述简单的几何图形 1.核心思路 确定图形各顶点的坐标，通过坐标特征判断图形的位置、形状和边长。 2.常见图形的坐标描述 *线段 已知端点 A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)： y1​=y2→ 线段平行于 x 轴，长度为 ∣x1​−x2​∣ x1​=x2→ 线段平行于 y 轴，长度为 ∣y1​−y2​∣ *矩形 顶点取 O(0,0)、A(a,0)、B(a,b)、C(0,b)（a,b>0），对边分别平行于坐标轴，长为a，宽为b。 *直角三角形 顶点取 D(0,0)、E(m,0)、F(0,n)（m,n>0），直角在原点，两条直角边长分别为m和n。 3.根据坐标画图形的步骤 (1)在坐标系中描出所有顶点 (2)按顺序连接顶点 (3)根据坐标关系判断图形类型（如直角、等腰） 【知识点04】根据关键点坐标确定简单几何图形 核心步骤 描点：在平面直角坐标系中，根据给定的关键点坐标，依次标出每个点的位置。 连线：按照图形的顶点顺序，用直线连接相邻的点（封闭图形需连接首尾点）。 判断：根据顶点坐标的特征，确定图形的形状和属性。 【知识点05】利用坐标表示地理位置 核心步骤 1.建立坐标系 *选择一个参照物作为原点（如学校、广场），方便确定其他地点的位置。 *规定 x 轴、y 轴的正方向（通常向右为 x 轴正方向，向上为 y 轴正方向）。 *确定单位长度（如 1 个单位代表 100 米），根据实际范围合理设定。 2.确定各地点的坐标 *过目标地点分别作 x 轴、y 轴的垂线，根据垂足对应的数和单位长度，写出该地点的有序实数对(x,y)。 3.标注与描述 在坐标系中描出各地点的位置，标注名称；也可直接用坐标描述位置关系。 【知识点06】坐标系中点的平移 1.核心规律 口诀：左减右加横坐标，下减上加纵坐标 设点的坐标为 P(x,y)，平移的单位长度为 n(n>0)： *左右平移（只变横坐标）： 向右平移 n 个单位 → P(x+n,y) 向左平移 n 个单位 → P(x−n,y) *上下平移（只变纵坐标）： 向上平移 n 个单位 → P(x,y+n) 向下平移 n 个单位 → P(x,y−n) 2.组合平移 先左右平移，再上下平移（或反之），分步计算即可。 【知识点07】坐标系中图形的平移 1.核心原则 图形的平移本质是图形上所有顶点的同步平移，平移后图形的形状、大小、方向均不变，仅位置发生改变。 2.平移步骤 (1)确定顶点坐标：写出图形所有关键点（顶点）的坐标。 (2)按规律平移顶点：根据 “左减右加横坐标，下减上加纵坐标” 的规则，计算每个顶点平移后的新坐标。 (3)连接新顶点：按原图形的顶点顺序，依次连接平移后的新顶点，得到平移后的图形。 关键结论:图形平移的方向和距离，与任意一个顶点平移的方向和距离完全一致。 【知识点08】从点的坐标变化判断图形平移 1.判断核心依据 图形的平移规律与顶点的坐标变化规律完全一致，只需对比平移前后同一顶点的坐标变化，即可确定图形的平移方向和距离。 2.坐标变化与平移的对应关系 设平移前点的坐标为 P(x,y)，平移后对应点的坐标为 P′(x′,y′)，令 Δx=x′−x，Δy=y′−y： *左右平移判断（看横坐标变化 Δx） 若 Δx>0 → 图形向右平移 Δx 个单位； 若 Δx<0 → 图形向左平移 ∣Δx∣ 个单位； 若 Δx=0 → 图形无左右平移。 *上下平移判断（看纵坐标变化 Δy） 若 Δy>0 → 图形向上平移 Δy 个单位； 若 Δy<0 → 图形向下平移 ∣Δy∣ 个单位； 若 Δy=0 → 图形无上下平移。 注意事项 1.只需选取任意一个顶点对比坐标变化即可，图形上所有顶点的坐标变化量 Δx、Δy 完全相同； 2.若 Δx 和 Δy 均不为 0，说明图形做了组合平移；若其中一个为 0，说明图形仅沿某一坐标轴方向平移。 【知识点09】点到坐标轴及原点的距离 1.点到坐标轴的距离 设平面内任意一点的坐标为 P(x,y)： *点P到x 轴的距离 = 纵坐标的绝对值，即 ∣y∣； *点P到y 轴的距离 = 横坐标的绝对值，即 ∣x∣。 2.点到原点的距离 原点坐标为(0,0)，点P(x,y)到原点的距离可通过勾股定理推导，公式为：d=​ 注意事项 距离是非负数，计算时必须取绝对值或算术平方根，结果不能为负； 点在坐标轴上时，到对应坐标轴的距离为 0（如 x 轴上的点到 x 轴距离为 0） 题型1.用有序数对确定位置 【典例】揭阳古城历史悠久，文化底蕴深厚．以下能够准确表示揭阳古城地理位置的是（   ） A．离汕头市50千米 B．在广东省 C．在潮州市西方 D．东经116.35°，北纬23.55° 【答案】D 【详解】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解利用有序实数对表示位置是解题的关键． 根据确定一个位置需要两个数据解答即可． 【分析】解：A、只提供了距离，没有提供方位，无法确定位置，故此选项不符合题意； B、只提供了一个范围，无法确定位置，故此选项不符合题意； C、只提供了方向，没有提供距离，无法确定位置，故此选项不符合题意； D、提供精确的经纬度坐标，能准确表示位置，故此选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图的密码表是用来玩听声音猜字母的，如果听到“叮叮—叮叮，叮—叮，叮叮叮—叮”表示的是“”，那么听到“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”时，表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键． 根据题意求解即可． 【详解】解：∵“叮叮—叮叮，叮—叮，叮叮叮—叮”表示的是“”，表示对应的字母为“”， ∴“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”表示，对应表格中的“”． 故选B． 【跟踪专练2】将正整数1，2，3，4，5，6，……，按如下数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示14，则2024用数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有序数对；通过观察数阵的排列规律，每行的数字个数为奇数，且奇数行数字从大到小排列，偶数行数字从小到大排列．第m行的数字最大为，通过计算确定2024所在的行数和列数即可求出． 【详解】解：有数阵可知：第m行的数字最大为， ∵，，且， ∴2024在第45行． 第45行为奇数行， ∵奇数行数字从大到小排列，该行第一个数字为2025，第二个数字为2024， ∴2024位于第2个． 用数对表示为． 故答案为：． 题型2.读取直角坐标系中点的坐标 【典例】如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上B、C的坐标分别为．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系．根据B、C的坐标确定坐标系，从而可确定A的坐标． 【详解】解：∵B、C的坐标分别为， 故坐标系如图所示： ， 故点的坐标为， 故选：A． 【跟踪专练1】《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的运用，理解重心的计算方法是关键． 根据题意分别算出，结合重心坐标的计算方法代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系， ∴， ∵四边形，四边形是长方形，点是对角线的交点， ∴，即， ，即， ∴“”形的重心坐标的计算如下， ，， ∴， 故选：B ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，若，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能根据题意分别求出及的长是解题的关键． 过点A作的垂线，垂足为M，分别求出及的长即可解决问题． 【详解】解：过点A作的垂线，垂足为M， ，且， ， 又点B的坐标是，点C的坐标是， ， ， 点M的纵坐标为， 则点A的纵坐标为7， 在中，， 则， 点A的坐标为， 故答案为：． 题型3.判断平面直角坐标系内点所在象限 【典例】下列各点中，位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断点所在的象限．根据平面直角坐标系中象限的定义，第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负，因此，只需检查各选项点的坐标符号，即可判断． 【详解】解：依题意，位于第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负， 观察四个选项，唯有符合横坐标为正，纵坐标为负， 故选：D 【跟踪专练1】若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点所在的象限求参数．先根据第一象限内的点横纵坐标都为正得到，，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∴点在第二象限． 故选：B． 【跟踪专练2】如果点在第三象限，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了象限及点的坐标的有关性质，解题的关键是熟练的掌握象限及点的坐标的有关性质，根据第三象限点的横坐标是负数，纵坐标是负数判断出的正负情况，进而判断出点B的横坐标与纵坐标的正负情况，然后解答即可． 【详解】解：点在第三象限， ，， ，， 则点在第四象限． 故答案为：四． 题型4.根据点所在象限求未知数 【典例】已知点是第四象限的点，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握各象限中点的符号是关键． 第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，点P的纵坐标已为负，故只需横坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标， ∴， ∴a的取值范围是， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征．观察平面直角坐标系，根据点P的位置确定m的取值范围，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察平面直角坐标系可知：点P在第三象限， ， ， ，C，D选项不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】若点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的坐标特征是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得：， 所以， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 题型5.在平面直角坐标系中描点 【典例】在平面直角坐标系中，过，两点作直线，下列说法正确的是（    ） A．轴 B．轴 C．轴 D．AB经过原点 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，垂直于轴的直线上点的横坐标相同是解题的关键． 根据两点的横坐标相等，纵坐标不等，即可得出过两点的直线垂直于轴． 【详解】， 轴， 故选：A． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 题型6.实际问题:用坐标描述物体位置 【典例】秋天，小红在劳动公园采集了一片树叶，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角坐标系．根据已知点A、B的坐标建立平面直角坐标系，进而确定点C的坐标． 【详解】解：∵叶片尖端两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示∶ ∴叶柄底部点C的坐标为． 故选：A． 【跟踪专练1】小明同学在做许昌胖东来游玩攻略时，绘制了胖东来各店位置的示意图如图所示，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示时代广场店的点的坐标为，表示大众服饰店的点的坐标为，则表示天使城店的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据时代广场店的点的坐标为，大众服饰店的点的坐标为，可确定坐标轴和原点的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，故表示天使城店的点的坐标是， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将一片枫叶固定在平面直角坐标系中．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，能根据点和点的坐标确定出平面直角坐标系是解答本题的关键． 根据所给点和点的坐标，确定平面直角坐标系，据此可解决问题． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 则平面直角坐标系如图所示： 所以点的坐标为， 故答案为：． 题型7.计算点到坐标轴的距离 【典例】平面直角坐标系中有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为1，2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值，以及第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负的特征，直接计算即可． 【详解】解：∵点P在第四象限， ∴横坐标为正，纵坐标为负， ∵点P到x轴的距离为1， ∴， ； ∵点P到y轴的距离为2， ∴， ； ∴点P的坐标为． 故选：B． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键． 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标系中与y轴平行的直线上点的坐标特点：根据轴，可知点M与点N的横坐标相等，从而建立方程求解． 【详解】解：因为轴，点N的横坐标为， 所以点M的横坐标， 解得， 代入点M的纵坐标， 故点M的坐标为， 故答案为：． 题型8.平面直角坐标系中点的平移 【典例】将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 【跟踪专练1】在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中原点变换后的坐标规律，先确定点相对于点的位置，再根据相对位置关系求出以为原点时点的坐标即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为， 故选：B． 【跟踪专练2】已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的下边与上边两种情况求出点的纵坐标，即可得解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为，， ∴点在点的下边时，纵坐标为， 点在点的上边时，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 题型9.已知平移方式,求对应点的坐标 【典例】点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移，根据点的平移规律：左减右加，上加下减，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度， ∴ 即点Q坐标为， 故选：C 【跟踪专练1】如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中的平移，根据给定的点的坐标，确定平移方式，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵点，点，线段平移后得到线段，点，点， ∴点向右平移个单位，得到，点向下平移1个单位得到， 即将线段先向右平移个单位，再向下平移1个单位得到线段， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点的坐标分别为，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，若的面积为6，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形与坐标的变化-平移． 先根据，的面积为6，求出的长，再根据平移规律即可求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，的面积为6， ∴， ∴， ∵线段平移后得到线段，， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 题型10.已知点平移前后坐标,判断平移方向与距离 【典例】如图，点，的坐标分别为，，将线段平移至线段，点，的坐标分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查点平移的规律：纵坐标上加下减，横坐标左减右加，根据题意可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，对应的点，的坐标分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键． 根据点A和的坐标确定出横向平移规律，点B和的坐标确定出纵向平移规律，即可求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴平移规律为向右个单位，向上个单位， ∴， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练2】对于点与点，下列说法错误的是（   ） A．将点A向左平移6个单位长度可以得到点B B．线段的长度为6 C．点A与点B关于y轴对称 D．点A与点B关于x轴对称 【答案】D 【分析】本题考查了平移，轴对称，熟练掌握平移规律，轴对称的坐标特征是解题的关键．根据平移，对称的思想解答即可． 【详解】解：由点与点， 得轴，且，横坐标互为相反数， A. 将点A向左平移6个单位长度可以得到点B，说法正确，不符合题意； B. 线段的长度为6，说法正确，不符合题意； C. 点A与点B关于y轴对称，说法正确，不符合题意； D. 点A与点B关于x轴对称，说法错误，符合题意； 故选：D． 题型11.已知图形平移方式,求图形上点的坐标 【典例】将点向右平移3个单位后得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移性质，根据向右平移时横坐标增加，纵坐标不变即可得出答案，掌握点的平移性质是解题的关键． 【详解】解：点向右平移3个单位后得到，点的坐标是，即， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移规律，坐标轴上点的特征；设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时，结合点的平移规律和坐标轴上点的特征，即可求解；②当在轴上，在轴上时，同理可求．能利用点的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”求解是解题的关键． 【详解】解：设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时， ，， 解得：， ； ②当在轴上，在轴上时， ，， ， 解得：， ； 综上所述：P平移后的对应点的坐标是或， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点与点得出平移方式，即可求解． 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1． ∵点的对应点为点D， ∴点D的坐标为，即． 故答案为：． 题型12.平面直角坐标系中的点对称 【典例】已知点，、Q两点关于x轴对称，则点Q的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，掌握知识点是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的横坐标与相同，为；纵坐标与的纵坐标互为相反数，为， 故点的坐标为． 故答案为． 【跟踪专练1】已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 题型13.坐标与图形的变化:轴对称 【典例】点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点在平面直角坐标系中的对称问题，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标规律． 点关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此作答即可． 【详解】解：因为点关于轴对称， 所以它的对称点的坐标为． 故选：D． 【跟踪专练1】平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为，则为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数．据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为， ∴与关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点关于这条幸福直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征，熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 点A关于幸福直线的对称点B的坐标，由于对称轴是垂直于x轴的直线，因此点B的纵坐标与点A相同，横坐标满足点A和点B的横坐标的平均值等于，解答即可． 【详解】解：设点B的坐标为，由对称性可知：， ，解得， 故点B的坐标为， 故答案为：． 题型14.求平面直角坐标系内关于原点的对称点坐标 【典例】已知点与是关于原点的对称点，则的值是（    ） A．8 B． C． D．11 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：因为关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，点与关于原点对称，所以，． 则． 故选：C． 【跟踪专练1】点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称点的坐标特征，关于原点对称的坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是．据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质得：点关于原点对称点的点的坐标是 故答案为：． 题型15.已知两点关于原点对称,求未知参数 【典例】已知和关于原点对称，则的值（   ） A． B． C．7 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称的点的坐标特征，代数求值，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征． 关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴，且， 解得； ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横，纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征列出关于a，b，k的方程组，进而求出的值． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， 由，得， 将其代入，得， 整理得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】若点与关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】根据原点对称的点的特征求解即可； 【详解】点与点关于原点对称， ，， 故． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，准确计算是解题的关键． 题型16.平面直角坐标系中的动点问题(不含函数) 【典例】如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点的变化规律．由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在A点相遇； … 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵， 故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是第一次相遇的点， 物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，如图， 此时相遇点的坐标为：， 故选：B． 【跟踪专练1】如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键．根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动2025秒所走的路程为4050个单位长度，,则点P相当于运动了253圈后又运动2个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动2025秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动253圈后又运动2个单位长度， 即第2025秒点所在的位置是， 故选：A． 【跟踪专练2】已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 题型17.平面直角坐标系内点的坐标规律探索 【典例】规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一种新型的运算法则，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是理解两种运算改变了哪个坐标的符号．根据变换定义，先计算内层函数，再计算外层函数g的结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿…的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点，，…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题的关键是识别点的移动周期，根据周期确定对应点的坐标特征． 观察已知点的坐标，发现每8个点为一个移动周期，分析周期内点的坐标变化规律；用除以周期数8，通过商和余数确定在周期中的位置，进而推导坐标． 【详解】解：由已知点坐标可知，点的移动以8个为一个周期，即（k为非负整数）． 每个周期内第1个点（余数为1）的坐标特征为， ∵余1，即， ∴， ∴的x坐标，y坐标， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段，垂足为；线段，，垂足为；线段，垂足为，……，按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标点的规律问题，合理找出规律是解题的关键． 找出变化为偶数时的规律，求出，再向下平移一个单位即可解答． 【详解】解：由题意可得：当变化为偶数时，则有： ∵， ， ， ， ∴， ∴为向下平移1个单位，即， 故答案为：． 题型18.用方向角+距离确定物体的位置 【典例】点A的位置如图所示，则关于点A的位置描述是 ． 【答案】北偏东距离处 【分析】本题考查了方向角．先求出的余角，再根据方向角的定义，即可解答． 【详解】解：如图，， ∴点A的位置描述是北偏东距离处， 故答案为：北偏东距离处． 【跟踪专练1】如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则为 ． 【答案】120或300 【分析】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键． 设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C的位置，即可得到答案． 【详解】解： 如图：设中心点为点O，在中， ， ， 是直角三角形，且 ∴C的位置为：或． 故答案为：120或300 【跟踪专练2】钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图，下列描述能够准确表示钓鱼岛地点的是（   ） A．北纬 B．福建的正东方向 C．距离温州市约千米 D．北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，利用坐标确定位置的方法，即可解答． 【详解】解：A、选项仅提供纬度，缺少经度，无法确定具体位置； B选项仅指出方向，未说明距离，无法精确定位； C、选项仅给出距离，缺乏方向，同样无法准确描述位置； D、选项同时包含纬度和经度的具体数值，符合用地理坐标准确定位的要求． 故选：D． 1.如图，将正整数按下图所示规律排列下去，若用有序数对表示排从左到右第个数.如表示9，则表示(   ) A．56 B．57 C．58 D．59 【答案】C 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类，找到第排的最后的数的表达式是解题的关键． 从图中可以发现，第排的最后的数为：，据此规律进行求解即可. 【详解】解：从图中可以发现，第排的最后的数为：， ∵第10排最后的数为：， ∴表示第11排第3个数，则第11排第3个数为， 故选C． 2．五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋的坐标为，黑棋的坐标为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用有序数对表示点的坐标，先根据白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，建立平面直角坐标系，再结合图象即可得解，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：∵白棋A的位置为，黑棋B的位置为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是， 故答案为：． 3．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 【答案】（4，8） 【分析】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：设A（x，y）， ∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5）， ∴x＋2＝−2，y−3＝5， 解得x＝−4，y＝8， ∴点A的坐标为（−4，8）， ∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）． 故答案为：（4，8）． 【点睛】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 4．若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查判断点所在象限，求出点在各个象限内时，的范围进行判断即可． 【详解】解：当，在第一象限时，且，解得；故A不符合题意； 当，在第二象限时，且，解得；故B不符合题意； 当，在第三象限时，且，无解；故C符合题意； 当，在第四象限时，且，解得；故D不符合题意； 故选C． 5．如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形面积问题．根据轴，，可求出的高，再根据点C在第四象限，即可求解． 【详解】解：由图可知，轴，且， 设点到的距离为， 则的面积， 解得， 点在第四象限， 点的位置如图所示，共有3个． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 7．将矩形，其中、、、沿直线折叠，得到矩形，设矩形内的点折叠后的对应点为．定义：若落在原矩形内部（不包含边界），且到y轴的距离比到x轴的距离大1，则称P为“重叠关联点”． （1）原矩形内点折叠后的对应点坐标为 ； （2）“重叠关联点”P的横坐标m的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查翻折问题一次函数图象上点的坐标特征，属于中档题． （1）沿直线折叠的点，其对应点坐标为原坐标的横纵坐标互换，因此点折叠后的对应点为； （2）设，折叠后坐标为，列出P和在原矩形内部的条件：，，，，根据距离条件得，即，将代入不等式，合并得． 【详解】解：（1）点沿直线折叠后的对应点坐标为， 故答案为：①； （2）设点，沿直线折叠后的对应点坐标为， ∵在原矩形内部（不含边界）， ∴，； ∵在原矩形内部（不含边界）， ∴，； ∵到y轴的距离比到x轴的距离大1， ∴，即， 将代入上述不等式： 由得， 即； 由和得， 综合得， 故答案为：②． 8．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、图形与坐标等知识点，灵活运用全等三角形解决坐标问题是解题的关键．过点A、点B分别作、垂直于x轴，先证明得到、，进而得求点A的坐标即可解答． 【详解】解：如图：过点A、点B分别作、垂直于x轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，即：， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 9．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解:由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：C． 10．如图，在中，，，，P是的中点．点M从A点出发以向点C运动，点N从C点出发以向点B运动，点Q是的中点，连接．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长是时，点M的运动时间为 s． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中动点问题和勾股定理等知识点，解决此题的关键是合理的建立平面直角坐标系；先根据图中直角的存在建立平面直角坐标系，再根据勾股定理算出两点的距离，算出未知数，要注意找到符合题目要求的数，即可得到答案； 【详解】解：如图，以为x轴，为y轴，构造直角坐标系， 则点B的坐标为，点A的坐标为， ∵点P是的中点， ∴点P的坐标为， （秒），（秒）， 当运动时间为t秒时， 点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， 由题意可得： ，整理得：， 解得： ， ， 经检验，， 是所列方程的解符合题意，不合题意，舍去， ∴点M的运动时间为s． 故答案为：． 11．若直线与直线（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值有 个． 【答案】 【分析】本题考查了两直线相交的问题，熟练掌握联立解析式求交点坐标是解题的关键．先联立解析式求出交点的坐标，再根据交点坐标的特点列不等式组，即可求得m的值． 【详解】解：联立直线解析式， 解得：， 直线与直线（m为常数）的交点在第四象限， ， 解得：， m为整数， ，，，， 整数m的值有个， 故答案为：． 12．如图是动物园的平面示意图，分别表示熊猫馆、水族馆、鸟类馆、猴山和河马馆．请借助比例尺、量角器解决如下问题： (1)写出的图上坐标． (2)位于原点东偏北的是哪个馆，它到O点（大门）的实际距离是多少？（精确到1米） 【答案】(1) (2)河马馆，1556（米） 【分析】本题考查了勾股定理，平面直角坐标系，方位角等知识点，准确找出各点的坐标是解题的关键． （1）根据坐标系直接求解； （2）由坐标系可得原点东偏北的是哪个馆，再由勾股定理求解，利用比例尺求解即可． 【详解】（1）解：由坐标系可得：． （2）解：在原点东偏北的点是，其坐标为，到原点的距离为． 实际距离约为（米）．它是河马馆． 13．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”、点到坐标轴的距离等知识点，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6． （2）解：点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点的长距为7，且点C在第三象限内， ∴，解得：， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． ..14．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（n是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 【答案】(1)，，， (2)，点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，，观察可知，每四次运动为一个循环，横坐标增加2，即可解答； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案；由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，， ∴，，， 观察可知，每四次运动为一个循环，横坐标增加2， ∴在轴上， ∴， ∴； （2）解：观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现， ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． ， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 15．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“纵横距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“视差”，记为．已知点，． (1)点与点的“纵横距离”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“视差”为3，求点的坐标； (3)若点与点的“纵横距离”为4，求所有符合题意的点组成的图形与轴围成的面积． 【答案】(1)2 (2)或 (3)23 【分析】本题为新定义问题，理解新定义，运用好数形结合思想是解题关键﹒ （1）根据与点的“纵横距离”定义即可求解； （2）设点C坐标为，分点C在点B的左侧和右侧两种情况分类讨论，结合图形分别表示出点A到线段上一点的“纵横距离”的最大值和最小值，再根据线段关于点的“视差”为3列出方程，解方程即可求解； （3）根据题意得到所有符合题意的点组成的图形与轴围成的图形为五边形，即可求出五边形的面积为﹒ 【详解】（1）解：∵点，， ∴﹒ 故答案为：2； （2） 解：设点C坐标为﹒ 当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图：， 此时点A到线段上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为， ∴， 解得； 当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图： ∵线段关于点的“视差”为3，最大值不能为， ∴点C在x轴正半轴，， 此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为， ∴， 解得， 综上所述：点C的坐标为或； （3）解：如图，∵点与点的“纵横距离”为4， ∴所有符合题意的点组成的图形与轴围成的图形为五边形﹒ ∴五边形的面积为﹒ 16.．在平面直角坐标系中，，，点为轴上的动点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接交于点． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出点的坐标； (2)如图2，当点运动到中点处时，求证：； (3)已知点F（0，4），当点在轴上运动时，连接、，在射线上取一点，连接、，使得．请补充完图形并直接写出、、三者的数量关系． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)作图见解析，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据题目可知是的中点，即可得解； （2）过点作，垂足为，证明和，即可得证； （3）当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，再分两种情况讨论：当点在点与点之间时，当点在点的右边时讨论即可． 【详解】（1）由题可知：， ， ，， ． （2）过点作，垂足为， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 当点在轴负半轴且时，点不可能在射线上；当点与点重合时，点与点重合时，此时，；当点与点重合时，此时点与点重合，此时，． ①当点在点与点之间时，过点作交的延长线于点，如图（1）， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点在点的右边时，作，如图（2）， 由题可得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习08平面直角坐标系讲义 1. 用有序数对确定位置 2. 读取直角坐标系中点的坐标 3. 判断平面直角坐标系内点所在的象限 4. 根据点所在象限求未知参数 5. 在平面直角坐标系中描点 6. 实际问题：用坐标描述物体位置 7. 计算点到坐标轴的距离 8. 平面直角坐标系中的点平移 9. 已知平移方式，求对应点的坐标 10. 已知点平移前后坐标，判断平移方向与距离 11. 已知图形平移方式，求图形上点的坐标 12. 平面直角坐标系中的点对称 13. 坐标与图形变化：轴对称 14. 求平面直角坐标系内点关于原点的对称点坐标 15. 已知两点关于原点对称，求未知参数 16. 平面直角坐标系中的动点问题（不含函数） 17. 平面直角坐标系内点的坐标规律探索 18. 用方向角 + 距离确定物体的位置 【知识点01】平面直角坐标系的概念 1.定义 在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴所组成的图形，叫做平面直角坐标系。 2.要素拆解 *两条数轴：一条水平，一条竖直，二者缺一不可。 *互相垂直：两条数轴的夹角为90∘，这是构成直角坐标系的核心条件。 *公共原点：两条数轴的交点重合，这个点称为原点，是坐标的参照点。 3.符号表示 水平的数轴称为x 轴（横轴），习惯上规定向右为正方向； 竖直的数轴称为y 轴（纵轴），习惯上规定向上为正方向； 原点的坐标记为(0,0)。 4.核心作用 建立平面直角坐标系后，平面内的任意一点都可以用唯一的一对有序实数对(x,y)来表示，实现了数与形的一一对应，是数形结合思想的基础工具。 【知识点02】点的坐标 1.定义 在平面直角坐标系中，过平面内任意一点P，分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴上对应的数称为点P的横坐标，在y轴上对应的数称为点P的纵坐标。 把横坐标写在前面，纵坐标写在后面，用有序实数对(x,y)表示点P的坐标，记作P(x,y)。 2.核心性质 *有序性：横坐标和纵坐标的顺序不能颠倒，(x,y)和(y,x)（x=y时）表示平面内两个不同的点。 *一一对应性：平面内的任意一点，都有唯一的一组有序实数对与之对应；反之，任意一组有序实数对，都能在平面内找到唯一的点与之对应。 3.点到坐标轴的距离 若点P的坐标为(x,y)，则 *点P到x轴的距离为∣y∣（纵坐标的绝对值）； *点P到y轴的距离为∣x∣（横坐标的绝对值）。 4.特殊位置点的坐标特征 点的位置 坐标特征 举例 第一象限 (+,+) (1,2) 第二象限 (−,+) (−1,2) 第三象限 (−,−) (−1,−2) 第四象限 (+,−) (1,−2) x轴上 纵坐标为0，即(x,0) (3,0)、(−2,0) y轴上 横坐标为0，即(0,y) (0,4)、(0,−1) 原点 横、纵坐标均为0，即(0,0) —— 一、三象限角平分线 横、纵坐标相等，即x=y (5,5)、(−3,−3) 二、四象限角平分线 横、纵坐标互为相反数，即x=−y (−2,2)、(4,−4) 【知识点03】象限及坐标特点 1.象限的划分 平面直角坐标系中，x 轴和 y 轴将平面分成四个区域，这四个区域称为象限，按逆时针方向依次命名为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注：坐标轴（x 轴、y 轴）上的点和原点不属于任何象限。 2.各象限内点的坐标符号特点 *第一象限内的点：横坐标为正，纵坐标为正。 *第二象限内的点：横坐标为负，纵坐标为正。 *第三象限内的点：横坐标为负，纵坐标为负。 *第四象限内的点：横坐标为正，纵坐标为负。 3.象限角平分线上的点的坐标特点 *位于一、三象限角平分线上的点：横、纵坐标相等，坐标可表示为(a,a)（a为非零实数）。 *位于二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数，坐标可表示为(a,−a)（a为非零实数）。 【知识点04】用坐标描述简单的几何图形 1.核心思路 确定图形各顶点的坐标，通过坐标特征判断图形的位置、形状和边长。 2.常见图形的坐标描述 *线段 已知端点 A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)： y1​=y2→ 线段平行于 x 轴，长度为 ∣x1​−x2​∣ x1​=x2→ 线段平行于 y 轴，长度为 ∣y1​−y2​∣ *矩形 顶点取 O(0,0)、A(a,0)、B(a,b)、C(0,b)（a,b>0），对边分别平行于坐标轴，长为a，宽为b。 *直角三角形 顶点取 D(0,0)、E(m,0)、F(0,n)（m,n>0），直角在原点，两条直角边长分别为m和n。 3.根据坐标画图形的步骤 (1)在坐标系中描出所有顶点 (2)按顺序连接顶点 (3)根据坐标关系判断图形类型（如直角、等腰） 【知识点04】根据关键点坐标确定简单几何图形 核心步骤 描点：在平面直角坐标系中，根据给定的关键点坐标，依次标出每个点的位置。 连线：按照图形的顶点顺序，用直线连接相邻的点（封闭图形需连接首尾点）。 判断：根据顶点坐标的特征，确定图形的形状和属性。 【知识点05】利用坐标表示地理位置 核心步骤 1.建立坐标系 *选择一个参照物作为原点（如学校、广场），方便确定其他地点的位置。 *规定 x 轴、y 轴的正方向（通常向右为 x 轴正方向，向上为 y 轴正方向）。 *确定单位长度（如 1 个单位代表 100 米），根据实际范围合理设定。 2.确定各地点的坐标 *过目标地点分别作 x 轴、y 轴的垂线，根据垂足对应的数和单位长度，写出该地点的有序实数对(x,y)。 3.标注与描述 在坐标系中描出各地点的位置，标注名称；也可直接用坐标描述位置关系。 【知识点06】坐标系中点的平移 1.核心规律 口诀：左减右加横坐标，下减上加纵坐标 设点的坐标为 P(x,y)，平移的单位长度为 n(n>0)： *左右平移（只变横坐标）： 向右平移 n 个单位 → P(x+n,y) 向左平移 n 个单位 → P(x−n,y) *上下平移（只变纵坐标）： 向上平移 n 个单位 → P(x,y+n) 向下平移 n 个单位 → P(x,y−n) 2.组合平移 先左右平移，再上下平移（或反之），分步计算即可。 【知识点07】坐标系中图形的平移 1.核心原则 图形的平移本质是图形上所有顶点的同步平移，平移后图形的形状、大小、方向均不变，仅位置发生改变。 2.平移步骤 (1)确定顶点坐标：写出图形所有关键点（顶点）的坐标。 (2)按规律平移顶点：根据 “左减右加横坐标，下减上加纵坐标” 的规则，计算每个顶点平移后的新坐标。 (3)连接新顶点：按原图形的顶点顺序，依次连接平移后的新顶点，得到平移后的图形。 关键结论:图形平移的方向和距离，与任意一个顶点平移的方向和距离完全一致。 【知识点08】从点的坐标变化判断图形平移 1.判断核心依据 图形的平移规律与顶点的坐标变化规律完全一致，只需对比平移前后同一顶点的坐标变化，即可确定图形的平移方向和距离。 2.坐标变化与平移的对应关系 设平移前点的坐标为 P(x,y)，平移后对应点的坐标为 P′(x′,y′)，令 Δx=x′−x，Δy=y′−y： *左右平移判断（看横坐标变化 Δx） 若 Δx>0 → 图形向右平移 Δx 个单位； 若 Δx<0 → 图形向左平移 ∣Δx∣ 个单位； 若 Δx=0 → 图形无左右平移。 *上下平移判断（看纵坐标变化 Δy） 若 Δy>0 → 图形向上平移 Δy 个单位； 若 Δy<0 → 图形向下平移 ∣Δy∣ 个单位； 若 Δy=0 → 图形无上下平移。 注意事项 1.只需选取任意一个顶点对比坐标变化即可，图形上所有顶点的坐标变化量 Δx、Δy 完全相同； 2.若 Δx 和 Δy 均不为 0，说明图形做了组合平移；若其中一个为 0，说明图形仅沿某一坐标轴方向平移。 【知识点09】点到坐标轴及原点的距离 1.点到坐标轴的距离 设平面内任意一点的坐标为 P(x,y)： *点P到x 轴的距离 = 纵坐标的绝对值，即 ∣y∣； *点P到y 轴的距离 = 横坐标的绝对值，即 ∣x∣。 2.点到原点的距离 原点坐标为(0,0)，点P(x,y)到原点的距离可通过勾股定理推导，公式为：d=​ 注意事项 距离是非负数，计算时必须取绝对值或算术平方根，结果不能为负； 点在坐标轴上时，到对应坐标轴的距离为 0（如 x 轴上的点到 x 轴距离为 0） 题型1.用有序数对确定位置 【典例】揭阳古城历史悠久，文化底蕴深厚．以下能够准确表示揭阳古城地理位置的是（   ） A．离汕头市50千米 B．在广东省 C．在潮州市西方 D．东经116.35°，北纬23.55° 【跟踪专练1】如图的密码表是用来玩听声音猜字母的，如果听到“叮叮—叮叮，叮—叮，叮叮叮—叮”表示的是“”，那么听到“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”时，表示的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将正整数1，2，3，4，5，6，……，按如下数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示14，则2024用数对表示为 ． 题型2.读取直角坐标系中点的坐标 【典例】如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上B、C的坐标分别为．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，若，则点的坐标是 ． 题型3.判断平面直角坐标系内点所在象限 【典例】下列各点中，位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练2】如果点在第三象限，则点在第 象限． 题型4.根据点所在象限求未知数 【典例】已知点是第四象限的点，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 【跟踪专练2】若点在轴上，则点的坐标是 ． 题型5.在平面直角坐标系中描点 【典例】在平面直角坐标系中，过，两点作直线，下列说法正确的是（    ） A．轴 B．轴 C．轴 D．AB经过原点 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 题型6.实际问题:用坐标描述物体位置 【典例】秋天，小红在劳动公园采集了一片树叶，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小明同学在做许昌胖东来游玩攻略时，绘制了胖东来各店位置的示意图如图所示，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示时代广场店的点的坐标为，表示大众服饰店的点的坐标为，则表示天使城店的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将一片枫叶固定在平面直角坐标系中．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 题型7.计算点到坐标轴的距离 【典例】平面直角坐标系中有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为1，2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 题型8.平面直角坐标系中点的平移 【典例】将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为 ． 题型9.已知平移方式,求对应点的坐标 【典例】点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是 ． 【跟踪专练2】如图，点的坐标分别为，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，若的面积为6，则点的坐标为 ． 题型10.已知点平移前后坐标,判断平移方向与距离 【典例】如图，点，的坐标分别为，，将线段平移至线段，点，的坐标分别为，，则的值为 ． 【跟踪专练1】如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 【跟踪专练2】对于点与点，下列说法错误的是（   ） A．将点A向左平移6个单位长度可以得到点B B．线段的长度为6 C．点A与点B关于y轴对称 D．点A与点B关于x轴对称 题型11.已知图形平移方式,求图形上点的坐标 【典例】将点向右平移3个单位后得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 题型12.平面直角坐标系中的点对称 【典例】已知点，、Q两点关于x轴对称，则点Q的点的坐标是 ． 【跟踪专练1】已知与点关于x轴对称，则 ． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型13.坐标与图形的变化:轴对称 【典例】点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为，则为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【跟踪专练2】定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点关于这条幸福直线的对称点的坐标是 ． 题型14.求平面直角坐标系内关于原点的对称点坐标 【典例】已知点与是关于原点的对称点，则的值是（    ） A．8 B． C． D．11 【跟踪专练1】点关于原点的对称点的坐标为 ． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 题型15.已知两点关于原点对称,求未知参数 【典例】已知和关于原点对称，则的值（   ） A． B． C．7 D．3 【跟踪专练1】已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 【跟踪专练2】若点与关于原点对称，则 ． 题型16.平面直角坐标系中的动点问题(不含函数) 【典例】如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 题型17.平面直角坐标系内点的坐标规律探索 【典例】规定以下两种变换：①，如；②，如；按照以上变换有：，那么等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿…的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点，，…，则点的坐标是 ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段，垂足为；线段，，垂足为；线段，垂足为，……，按此规律，点的坐标为 ． 题型18.用方向角+距离确定物体的位置 【典例】点A的位置如图所示，则关于点A的位置描述是 ． 【跟踪专练1】如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为5，则为 ． 【跟踪专练2】钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图，下列描述能够准确表示钓鱼岛地点的是（   ） A．北纬 B．福建的正东方向 C．距离温州市约千米 D．北纬，东经 1.如图，将正整数按下图所示规律排列下去，若用有序数对表示排从左到右第个数.如表示9，则表示(   ) A．56 B．57 C．58 D．59 2．五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋的坐标为，黑棋的坐标为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是 ． 3．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 4．若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点，，在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点，使的面积为3，则这样的点共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 7．将矩形，其中、、、沿直线折叠，得到矩形，设矩形内的点折叠后的对应点为．定义：若落在原矩形内部（不包含边界），且到y轴的距离比到x轴的距离大1，则称P为“重叠关联点”． （1）原矩形内点折叠后的对应点坐标为 ； （2）“重叠关联点”P的横坐标m的取值范围是 ． 8．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在中，，，，P是的中点．点M从A点出发以向点C运动，点N从C点出发以向点B运动，点Q是的中点，连接．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长是时，点M的运动时间为 s． 11．若直线与直线（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值有 个． 12．如图是动物园的平面示意图，分别表示熊猫馆、水族馆、鸟类馆、猴山和河马馆．请借助比例尺、量角器解决如下问题： (1)写出的图上坐标． (2)位于原点东偏北的是哪个馆，它到O点（大门）的实际距离是多少？（精确到1米） 13．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． ..14．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（n是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 15．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“纵横距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“视差”，记为．已知点，． (1)点与点的“纵横距离”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“视差”为3，求点的坐标； (3)若点与点的“纵横距离”为4，求所有符合题意的点组成的图形与轴围成的面积． 16.．在平面直角坐标系中，，，点为轴上的动点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接交于点． (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出点的坐标； (2)如图2，当点运动到中点处时，求证：； (3)已知点F（0，4），当点在轴上运动时，连接、，在射线上取一点，连接、，使得．请补充完图形并直接写出、、三者的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $