精品解析：山东省临沂市兰陵县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度上学期阶段质量调研 八年级 数学 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 《国语•楚语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．里里外外皆均衡妥帖，方为“美”，对称即是这样的美．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（ ） A. 贵州航空 B. 中国南方航空 C. 江西航空 D. 中国国际航空 2. 河南所有行政村实现了网络覆盖，如图，为了让安装设备的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当，且点，，在同一直线上时，电线杆.这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 两点之间线段最短 C. 等腰三角形三线合一的性质 D. 垂线段最短 3. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 4. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 5. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，则的面积是（ ） A. 40 B. 22 C. 20 D. 10 6. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 8. 如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 120° 9. 如图，在中，于点，，，，则的长度为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 10. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为_____． 12. 如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为___________ 13. 中，边上的高与边所构成的，则________ 14. 如图，在和中，连接，若，，，，，则的度数为_______°． 15. 【用数学的眼光观察】在数学《综合与实践-最短路径问题》课上，我们遇到了这样一个问题，如图1，牧民每天从生活区的边缘处出发，先到草地边的处牧马，再到河边处饮马，然后回到处，如何确定、、的位置，使从处出发，到处牧马，再到处饮马，最后回到处所走的路径最短？ 【用数学的语言表达】如图2，我们可以把该问题抽象成数学问题，把生活区、草地和河围成的区域看成，则问题可以转化成在的三边上分别确定三个点、、，使的周长最小． 【用数学的思维思考】如图2，为锐角三角形，测得，m，的面积为，则可求得的周长最小值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，已知△ABC． （1）请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接CE，如果△ABC的周长为27，DC的长为5，求△BCE的周长． 17. 在直角坐标系内的位置如图所示． （1）在这个坐标系内画出，使与关于轴对称，写出，的坐标； （2）求的面积． 18. 小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 19. 电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图①是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图，如图②是图①的简易示意图，若笔记本电脑的屏幕垂直于支架底座的位置． （1）与的数量关系是 ，并写出证明过程； （2）若图②中的撑杆于点E，试探索与的数量关系？并说明理由． 20. 如图，已知是等边三角形，，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：． 21. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行、10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东60°方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围14海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 22. 我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． （1）和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 23. 综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期阶段质量调研 八年级 数学 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 《国语•楚语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．里里外外皆均衡妥帖，方为“美”，对称即是这样的美．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（ ） A. 贵州航空 B. 中国南方航空 C. 江西航空 D. 中国国际航空 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 河南所有行政村实现了网络覆盖，如图，为了让安装设备的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当，且点，，在同一直线上时，电线杆.这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 两点之间线段最短 C. 等腰三角形三线合一的性质 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， 依据是等腰三角形三线合一的性质． 故选C． 3. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质， 根据题意可知，再根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】根据题意可知． ∵是的外角， ∴． 故选：B． 4. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 5. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，则的面积是（ ） A. 40 B. 22 C. 20 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图：作已知角的角平分线．也考查了角平分线的性质．利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到点D到的距离为4，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， 由作图可知，射线为的平分线， ， ， 的面积为 故选：C 6. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， 故选：A． 7. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而求得，再得到，根据含角的直角三角形的性质求得，最后根据即可得解． 【详解】解：，， ， ， ，即， ， ∴， ∴， ， ∵， ， ， 故选：D． 8. 如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格与全等三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 根据网格特点证得即可得出答案． 【详解】解：如图，取网格点E，设交于点F， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故选B． 9. 如图，在中，于点，，，，则的长度为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，作关于的对称点，连接，得出，，根据得出，根据三角形的外角的性质得出，即可得出，根据等角对等边得出，进而求得的长． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴ ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 10. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③，为3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件；根据4为腰和底边两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①当是腰长时，底边为， 此时，不能组成三角形； ②当是底边时，腰长为， 此时，，三边能够组成三角形． 所以腰长为． 故答案为：． 12. 如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为___________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，即全等三角形的面积相等，以及图形面积的转化．解题的关键在于理解全等三角形面积相等这一性质，并能发现四边形与四边形的面积都可以通过全等三角形面积与面积的差来表示，从而建立起它们之间的等量关系．因为三角形全等，所以这两个三角形的面积相等．观察图形可知，的面积减去的面积就是四边形的面积，的面积减去的面积就是四边形（阴影部分）的面积，由此可通过面积的等量关系求出阴影部分面积． 【详解】∵ ∴ ∴ 即 故答案为：9． 13. 中，边上的高与边所构成的，则________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的高线定义，分类讨论是解题的关键．要分在的内部和在的外部两种情况进行讨论．中，与互余． 【详解】解：分为两种情况： ①如图①，因为为边上的高， 所以． 因为， 所以． ②如图②，因为为边上的高， 所以． 因为， 所以， 所以． 综上所述，或． 故答案为：或． 14. 如图，在和中，连接，若，，，，，则的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，可得，由三角形内角和定理得，可得，结合，从而可得结论． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 【用数学的眼光观察】在数学《综合与实践-最短路径问题》课上，我们遇到了这样一个问题，如图1，牧民每天从生活区的边缘处出发，先到草地边的处牧马，再到河边处饮马，然后回到处，如何确定、、的位置，使从处出发，到处牧马，再到处饮马，最后回到处所走的路径最短？ 【用数学的语言表达】如图2，我们可以把该问题抽象成数学问题，把生活区、草地和河围成的区域看成，则问题可以转化成在的三边上分别确定三个点、、，使的周长最小． 【用数学的思维思考】如图2，为锐角三角形，测得，m，的面积为，则可求得的周长最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等边三角形的判定和性质，垂线最短，解题关键是证明是等边三角形．分别作点A关于、的对称点、，连接，分别交、于点B、C．先证的周长最小长为，再证是等边三角形．由垂线段最短，及三角形的面积得出的长，即为的周长． 【详解】解：分别作点A关于、的对称点、，连接，分别交、于点B、C． ，． 的周长． 两点之间线段最短， 此时的周长最小，长为． 点A关于、的对称点、， ，，． ， ． 是等边三角形． ． 当时为垂线最短． ，， ． 即的周长最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，已知△ABC． （1）请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接CE，如果△ABC的周长为27，DC的长为5，求△BCE的周长． 【答案】 （1）如图，DE为所作； （2）17 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作DE垂直平分AC； （2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，AD＝CD＝5，则利用△ABC的周长得到AB+BC＝17，然后根据等线段代换可求出△AEC的周长． 【详解】（1） 略 （2）∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC，AD＝CD＝5， ∴AC＝10， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27， ∴AB+BC＝27﹣10＝17， ∴△AEC的周长＝BE+EC+BC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝17． 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 17. 在直角坐标系内的位置如图所示． （1）在这个坐标系内画出，使与关于轴对称，写出，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示： ，； （2） 【解析】 【分析】本题考查网格中作对称图形、网格中求三角形面积等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）由点的对称性，作三个顶点关于轴的对称点，连接三个顶点即可得到，数形结合即可得到，的坐标； （2）如图所示，由网格中长方形面积减去顶点处的三个直角三角形表示的面积求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： 的面积为． 18. 小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】（1） 解：与全等． 理由如下： 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）爸爸是在距离地面的地方接住小明的 【解析】 【分析】（1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵、分别为和， ∴， ∵， ∴， 答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 19. 电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图①是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图，如图②是图①的简易示意图，若笔记本电脑的屏幕垂直于支架底座的位置． （1）与的数量关系是 ，并写出证明过程； （2）若图②中的撑杆于点E，试探索与的数量关系？并说明理由． 【答案】（1） ，证明如下： 延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，垂直的定义，掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）延长交于点G，由得到，根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知是等边三角形，，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：． 【答案】（1）是等边三角形， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴是等边三角形 （2） 证明：∵ ∴． 在和中 ∴． ∴． 又由（1）是等边三角形 ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的性质得，结合平行线的性质可证，可得是等边三角形； （2）根据证明得，由是等边三角形得，从而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行、10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东60°方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围14海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）30海里 （2）不会有触礁的危险， 理由如下： 过作交的延长线于点， ，（海里）， （海里） ， 若这条船继续由西向东航行不会有触礁的危险． 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的判定即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，，（海里）， ， ， （海里）， 答：处到灯塔的距离为30海里； 【小问2详解】 略 22. 我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． （1）和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 【答案】（1）是 （2） 证明：延长至E，使， 由条件可知， 在和中，， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∵，， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）证明（），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 解：由条件可知， 又∵，， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是； 【小问2详解】 略 23. 综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】 （1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）； （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】（1）略 （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $