精品解析：江苏省常州市天宁区某校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025~2026学年第一学期期中质量调研 八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 2. 在中，是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的平方根是 C. D. 4. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 5. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作、的垂线交点为画射线，判断依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 8. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 16的平方根是______． 10. 已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角度数为_____． 11. 我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．圆周率按照四舍五入法对π精确到百分位是________． 12. 一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 13. 如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则___________． 14. 如图所示，是小明和小红跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小红（点）到地面的距离为__________． 15. 如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是___________． 16. 如图，为内一点，平分，若，则的长为__________． 17. 如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 18. 如图，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 三、解答题（本大题共8小题，每题8分，共64分） 19. 求下列各式中的的值： （1）； （2）． 20. 如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为6，则的面积为 ． （2）当时，求的度数． 21. 如图，若，求证：． 22. 如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 23. 在中，为钝角，请按要求尺规作图，并保留作图痕迹（不要求写作法）． （1）如图1，在边上确定一点，使； （2）如图2，在边上确定一点，使． 24. 图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 25. 在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． （1）判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； （2）若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 26. 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期中质量调研 八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 2. 在中，是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无限不循环小数． 无理数是无限不循环小数．通过判断每个数是否为有理数（整数、分数、有限小数或循环小数）来确定无理数的个数． 【详解】解：1是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 中含无理数π，是无理数； 0是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； 是分数，是有理数； ，是分数，是有理数； ∴无理数有2个：和． 故选：B． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的平方根是 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义解答即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、，该选项说法正确，符合题意； 、被开方数不能是负数，没有意义，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 4. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作、的垂线交点为画射线，判断依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由垂线的定义可知和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据判定． 【详解】解：由题意可知，和都是直角三角形， 在和中， ， 满足斜边相等和一组直角边相等，因此， 故选：D． 6. 如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理， 根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【详解】由直角三角形性质知，∵E为AB之中点， ∴CE=AE=BE，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，∴∠ACF=70°， 又∵AD=DB，∴∠B=∠BAD=20°，∴∠FAC=50°， ∴在△ACF中，∠AFC=180°-70°-50°=60°，∴∠DFE=∠AFC=60°． 8. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N， ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动． 综上：满足条件的有无数个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 10. 已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角度数为_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意分两种情况讨论，当为底角时利用三角形内角和求出顶角，当为顶角时即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴当为底角时：顶角为：， 当为顶角时，也符合题意， ∴顶角度数为：或， 故答案为：或． 11. 我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．圆周率按照四舍五入法对π精确到百分位是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查取近似数，涉及四舍五入法，找准小数的百分位，根据千分位的数四舍五入是解决问题的关键． 【详解】解：，将π按照四舍五入法精确到百分位是， 故答案为：． 12. 一个正数的平方根是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出a的值，再代入求出一个平方根，进而求出这个正数． 【详解】解：由题意，得， 解得． 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：121． 13. 如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，由为边的中线，可得，再根据的周长比的周长多，可得，由此可解． 【详解】解：为边的中线， ， 的周长比的周长多， ， ， ， 故答案为：5． 14. 如图所示，是小明和小红跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，当小明到水平线的距离为时，小红（点）到地面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明得到，再加上的长度即可求解． 【详解】解：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， ∵的长度为， ∴小红（点）到地面的距离为， 故答案为：． 15. 如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质； 连结，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：如图，连结， ∵，是的中点， ∴， 又∵在中，是的中点，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，为内一点，平分，若，则的长为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：9． 17. 如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点E表示的数为． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 18. 如图，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 【答案】4或12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，解一元一次方程，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况进行讨论，根据题意表示出线段的长度，根据线段相等列出方程求解即可． 【详解】解：①当点在点左侧时，，是等腰三角形， 此时，， 解得； ②当点在点右侧时，，是等腰三角形， 此时，， 解得； ③当点在点右侧时，，是等腰三角形，且， ∴是等边三角形，即， 此时，， 解得； 综上，当或时，是等腰三角形， 故答案为：4或12． 三、解答题（本大题共8小题，每题8分，共64分） 19. 求下列各式中的的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根是解题的关键； （1）根据平方根求解方程即可； （2）根据立方根求解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴ 【小问2详解】 解： ∴ ∴． 20. 如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为6，则的面积为 ． （2）当时，求的度数． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了中线与面积，三角形内角和性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合是的中线，的面积为6，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运算三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴. ∵平分， ∴. ∵，， ∴， ∴. 21. 如图，若，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，先证明，根据证明，得，从而可判断． 【详解】略 22. 如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 解：如图，即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在中，为钝角，请按要求尺规作图，并保留作图痕迹（不要求写作法）． （1）如图1，在边上确定一点，使； （2）如图2，在边上确定一点，使． 【答案】（1） 如图，点D即为所求； （2） 如图，点D即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查作线段垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，点即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点D，连接，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过A作于E，过B作于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：过A作于E，过B作于F， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 25. 在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． （1）判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； （2）若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】（1）是，不是； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． 【小问2详解】 解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 26. 定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． （1）如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； （2）如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； （3）是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； 【小问3详解】 解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $