精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一上学期11月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高一上学期11月月考数学试卷 一、单选题 1. 设集合，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由确定集合，解二次不等式确定集合,再由补集和交集运算即可求解. 【详解】， ， 所以， 故选：B 2. 函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（ ） A. （0，2） B. （1，2） C. （1，0） D. （-1，2） 【答案】C 【解析】 【分析】令，求得，即可得到函数的图象恒过定点，得到答案. 【详解】由题意，函数且 令，解得，所以函数的图象恒过定点. 故选C. 【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，用换元法求出函数解析式即可. 【详解】令，则，因此，， 所以. 故选：B 4. 为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：小时）的变化关系为（为常数，），当时池水中药品的浓度为，当小时池水中药品的浓度为，则池水中药品达到最大浓度需要（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出解析式，再由定义证明的单调性得出其最小值，进而得出池水中药品达到最大浓度需要的时间. 【详解】由题意可得，解得 当时，，当时， 令 任取，且，则 当时，，即；当时，，即 则函数在上单调递减，在上单调递增，即，即当时， 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由定义证明函数的单调性进而得出其最小值. 5. 某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时的速度减少，经过小时后他血液中的酒精含量在以下，则的最小整数值为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意解不等式，即可得解. 【详解】根据题意可得， 所以， 由于经过小时后他血液中的酒精含量在以下， 所以， 故选：B 6. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7. 是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】从的结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，，再由依次求解. 【详解】若，， 则有， 取，则有，即， 是定义在上的偶函数， ， 则，解得：， 则， 取，则有，即， 故选：A. 8. 已知定义在上的函数，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求出的值，进而可得，的值，以此类推即可得出结果。 【详解】令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， ， 依次类推可得。 故选：C 二、多选题 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 已知函数的值域为 B. 关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C. 函数，定义域，值域，则满足条件的有3个 D. 若函数，且，则实数m的值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用常数分离法求值域，小充分大必要，函数定义，配凑法求解析式等逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，在上单调递增， 故其值域为，故A正确； 对于B，关于“的不等式有解”等价于，即， 根据小充分大必要，是充分条件不是必要条件，故B错误； 对于C，定义域可以是，故C正确； 对于D，， 故， 若，即，则，故D错误. 故选：AC 10. 下列命题中，真命题是（　　） A. 若“”是“”的充分条件，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “中，”是“为直角三角形”的充要条件 D. “”的一个必要不充分条件为“” 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由充分条件、子集的定义判断即可；对于BCD，由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，若“”是“”的充分条件，则，故A正确； 对于B，因为或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，若“在中，”，则“为直角三角形”， 若，此时为直角三角形，但此时不满足， 所以“中，”是“为直角三角形”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，因为，所以“”的一个充分不必要条件为“”，故D错误. 故选：AB. 11. 现有以下结论 ①函数的最小值是； ②若，且，则； ③的最小值是； ④函数的最小值为． 其中，不正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，取时可判断；对于，由均值不等式可判断；对于，令，，由函数的单调性可判断. 对于，取时 可判断. 【详解】解：对于，当时, ,故错误； 对于，由知，，由基本不等式知，故正确； 对于，令，，在上是增函数， 故该函数的最小值是，故错误； 对于，取时，故错误； 故选：． 三、填空题 12. 已知，则用表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式及对数运算计算. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将展开，利用代换1，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，关键是1的代换，属于中档题. 14. 记号表示，中取较大的数，如．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意，当时，令，故 解得，此时 故时， 令，故 解得，此时， 又因为函数是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称，且， 故时， 所以函数的图象如图所示， 要使得，根据图象的平移变换， 由图象分析可得且，解得且，即且. 故答案为： 【点睛】主要考查了分段函数图象与性质的综合应用，其中解答中借助新定义，得到函数在的解析式，并作出函数的图象，在根据函数的奇偶性，得到函数的图象，由，根据图象的变换得出相应的条件，即可求解的取值范围，解答中正确得到函数的图象，利用图象得到是解答关键. 四、解答题 15. 已知函数且. （1）讨论函数的奇偶性; （2）当时，判断在的单调性并加以证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数 （2）增函数， ， 因为，所以， 且 所以所以， 所以在的单调递增. （3）当时，解集为，当时，解集为. 【解析】 【分析】(1)根据奇函数的定义证明； (2)根基单调性的定义证明； (3)利用单调性和奇偶性解不等式. 【小问1详解】 由可得，所以的定义域为， 又因为， 所以， 所以函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由(2)可知，当时，在的单调递增， 且函数为奇函数，所以在的单调递增， 又因为同号，所以由可得解得， 当时，以下先证明在的单调递减， ， 因为，所以， 且 所以所以， 所以在的单调递减. 且函数为奇函数，所以在的单调递减， 又因为同号，所以由可得解得， 综上，当时，解集为，当时，解集为. 16. 已知是定义域为的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若函数在区间 上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）当时，有，故可代入中，结合奇函数的性质即可得时函数解析式，又定义域为，故，即可得函数在上的解析式； （2）求出函数在时的单调性，由为奇函数，即可得时单调性，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，有，又为定义在上的奇函数，故， 故， 即当时，， 即； 【小问2详解】 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又为奇函数，故在上单调递减，在上单调递增， 若函数在区间 上单调递减， 则或，即或. 17. 如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为． （1）设，试用表示，并求的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，S取得最小值，为2000. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围； （2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 依题意，得，所以，即，得， 所以，， 所以，解得； 【小问2详解】 由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，S取得最小值，为2000. 18. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数“不动点”函数，实数为该函数的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不动点，且，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据不动点定义求解即可; (2)根据不动点的范围,分类讨论列式求解可得范围. 【小问1详解】 设不动点,因为又因为,所以,,即得 【小问2详解】 因为函数有两个不动点 所以,, ①当 若，则，不满足题意， 则 ,,解得 ②当 若，则，不满足题意， 则，， 又,,解得， 综合①②,可知的取值范围是 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 19. 已知函数、分别为定义在上奇函数和偶函数，且满足. （1）若，令函数，，求的值域； （2）当时，讨论关于的方程的根的个数. 【答案】（1）； （2）当，时，原方程有两个不等根； 当时，原方程有三个不等根； 当，时，原方程有四个不等根. 【解析】 【分析】（1）先结合奇偶性将代入关系式并化简，解方程即得两个函数，再利用解出参数，得到函数，最后利用换元，解出二次函数的值域，即得到的值域； （2）先化简方程得到，验证不是根，再分离参数构造函数，根据图象变换画出图像，进行数形结合即得到结果. 【详解】（1）① ，结合奇偶性即得② 联立①②得，. 又，即，解得， ，均有， 则，， 设，，则设，. 故，而在上单调递增，时取最小值，时，取得最大值， 值域为，即值域为； （2） 为奇函数. 又， 定义域上单调， ， ， ， 当时，式子为1=0，显然不成立，故不是方程的根； 当时，，该函数图象是由对勾函数向上平移4个单位后保留x轴及x轴上侧部分，将x轴下侧部分对称到x轴上侧，再将整个图象将右平移一个单位得到，如图所示，结合图象可知： 当时，函数有两个不同交点，所以原方程有两个不等根； 当时，函数有四个不同交点，所以方程有四个不等根； 当时，函数有三个不同交点，所以原方程有三个不等根； 当时，函数有两个不同交点，所以方程有两个不等根； 当时，函数有三个不同交点，所以原方程有三个不等根 当时，函数有四个不同交点，所以方程有四个不等根； 综上所述，当，时，原方程有两个不等根； 当时，原方程有三个不等根； 当，时，原方程有四个不等根. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数（或方程的根的个数）的方法： （1）直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点； （2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点； （3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数； （4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高一上学期11月月考数学试卷 一、单选题 1. 设集合，则＝（ ） A. B. C. D. 2. 函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（ ） A. （0，2） B. （1，2） C. （1，0） D. （-1，2） 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：小时）的变化关系为（为常数，），当时池水中药品的浓度为，当小时池水中药品的浓度为，则池水中药品达到最大浓度需要（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 5. 某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时的速度减少，经过小时后他血液中的酒精含量在以下，则的最小整数值为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 6. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 8. 已知定义在上的函数，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 已知函数的值域为 B. 关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C. 函数，定义域，值域，则满足条件的有3个 D. 若函数，且，则实数m的值为 10. 下列命题中，真命题是（　　） A. 若“”是“”的充分条件，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “中，”是“为直角三角形”的充要条件 D. “”的一个必要不充分条件为“” 11. 现有以下结论 ①函数的最小值是； ②若，且，则； ③的最小值是； ④函数的最小值为． 其中，不正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三、填空题 12. 已知，则用表示为______． 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值是___________. 14. 记号表示，中取较大的数，如．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知函数且. （1）讨论函数的奇偶性; （2）当时，判断在的单调性并加以证明； （3）解关于的不等式. 16. 已知是定义域为的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若函数在区间 上单调递减，求实数的取值范围. 17. 如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为． （1）设，试用表示，并求的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 18. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数“不动点”函数，实数为该函数的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不动点，且，，求实数的取值范围. 19. 已知函数、分别为定义在上奇函数和偶函数，且满足. （1）若，令函数，，求的值域； （2）当时，讨论关于的方程的根的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $