精品解析：山东省泰安市肥城市2025-2026学年上学期期中八年级数学考试

2025—2026学年度上学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题卡相应的位置） 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、原变形错误，故该选项不符合题意； B、不符合将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，故该选项不符合题意； C、不符合将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查已知平均数，求未知数，根据平均数的定义，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得； 故选B． 3. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”及“一个图形绕某个点旋转180度后仍能与原图完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 4. 若，，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，先将多项式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 5. 在一次考试中，某班名男生平均得分，名女生平均得分，这个班全体同学的平均分是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据总分除以总人数即可求出这个班全体同学的平均分，正确理解题意是解题的关键．根据平均分的定义，全班平均分等于总分除以总人数；先计算男生和女生的总分，再求总人数，最后求平均分． 【详解】解：∵男生总分，女生总分， ∴全班总分，总人数， ∴平均分． 故选：C． 6. 有一道题目，“化简：．”甲、乙两同学解答过程如下： 甲 乙 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙两同学的解答都正确 B. 甲、乙两同学的解答都不正确 C. 只有甲同学的解答正确 D. 只有乙同学的解答正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．甲同学直接利用平方差公式因式分解后约分，乙同学通过分子分母同乘构造平方差公式后再约分，但不能确定是否为0，甲同学的解法正确；乙同学的解法没有考虑所乘式子可能为0的情况，过程不正确． 【详解】解：∵ ， ∴ 甲同学：，过程正确； 乙同学：，但不能确定是否为0，过程不正确； ∴ 甲同学的解答正确，乙同学的解答不正确． 故选：C． 7. 欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 8. 如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC（ 　） A. 把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B. 把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C. 把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D. 把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案． 解答：解：根据图形，△DEF向左平移4个单位，向下平移2个单位，即可得到△ABC． 故选A． 9. 若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（ ） A. B. 7 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多个整数解，求得的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解且至多有个整数解， 所以， 解得：， ， 方程两边同时乘得：， 化简得：， 当时，， ∵是分式方程的增根，此时分式方程无解， ∴，解得：， ∵方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， 又∵且，， ∴或或， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转60°得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质，可得，，根据三角形的内角和，可得，判断①；连接，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得△△，判断③；假设②④结论正确，再推导出矛盾之处，即可判断其错误． 【详解】解：△绕点顺时针旋转得到△， ，， ， ， ， ， ； ， ， ， ； ①正确； ，，如图，连接， △是等边三角形， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ③正确； ， ， ， 若，则， ， ， 是等边三角形， ， 而，且， ，互相矛盾， ②错误； 将△绕点顺时针旋转得到△， ，， ， ， 中，， ， 要使，则要使， 则要使， 由②可得不能成立， ④错误； 综上所述，正确的为①③，共2个； 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果） 11. 分式与的最简公分母为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的定义．求两个分式的最简公分母，需先确定分母系数的最小公倍数，再取各字母因子的最高次幂． 【详解】解：分式与的分母分别是，，故最简公分母是． 故答案为：． 12. 如果是的一个因式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，代入求解即可． 【详解】解：若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，即： ， ， ， ， 故答案为：． 13. 若一组数据，，，，，，它们的众数是，则这组数据的中位数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数的概念，正确理解概念，注意求中位数时需将整组数据按照大小顺序重新排列． 先根据众数的定义确定的值，再将整组数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数． 【详解】解：由于这组数据的众数是， ∵、均已出现次，要使众数是，需， 将这组数据按照从小到大的顺序排列，为，，，，，， 根据中位数的定义，中位数为， 故中位数为． 故答案为：． 14. 已知，，，利用发现的规律计算： ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式规律问题，分式的混合运算，根据已知规律将每一项拆分为两个分式的差的形式，进而通过中间项抵消求出结果． 【详解】∵，，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 15. 分解因式及利用因式分解计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，利用因式分解进行计算． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先整理，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式进行简便计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 16. 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则以及分式有意义的条件． 先化简分式，通过通分和乘法运算得到最简形式，再根据取值范围选择合适的整数代入求值，注意分母不为零的条件． 【详解】解：  ∵ ， ∴整数  的值为 ， 又∵ 且（分母不零）， ∴ ， ∴原式． 17. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛、竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______，______，______（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级300名学生和八年级240名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1）93.2，96.5，； （2）七年级，理由见解析 （3）384 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，利用方差作决策，从统计图中有效的获取信息，熟练掌握各数的计算方法是解题的关键： （1）根据平均数，中位数的计算方法进行计算，根据方差的意义结合统计图判断方差的大小关系； （2）利用平均数和方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 八年级的数据排序后，第5个和第6个数据分别为， ∴； 由统计图可知，八年级的成绩波动程度大于七年级的成绩波动， ∴； 【小问2详解】 解：七年级的学生环保知识掌握较好，理由如下： 七年级成绩的平均数大于八年级成绩的平均数，且七年级成绩的方差小于八年级成绩的方差，故七年级的学生环保知识掌握较好； 【小问3详解】 解：（名）； 答：估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为384． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（注：图中每个小方格的边长为1，正方形的顶点均称为格点） （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于原点成中心对称的． （3）若是一格点，且满足，，在给出的网格中画出点的位置，并直接写出点坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握轴对称的性质，中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据中心对称的性质，画出即可； （3）将绕点旋转90度，再倍长，即可得到点，根据点的位置，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求； 由图可知：． 19. 阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ，即， ， ； 【小问2详解】 ， ，即， ， ， ． 20. 如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． （1）利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； （2）若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】（1） （2）384 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解正方形的面积，设，则，而，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 小问1详解】 解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设正方形的边长为， 则 ， 设，则：正方形边长为， ∵， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 21. 端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲粽子每个的进价为2元，乙粽子每个的进价为3元 （2）①W与m的函数关系式为 ②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为266元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得； ②由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种粽子的进价为x元，则乙种粽子的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：甲种粽子的进价为2元，则乙种粽子的进价为3元； 【小问2详解】 解：①设购进甲中粽子m个，则购进乙粽子个，根据题意得： ， ∴W与m函数关系式为：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得， ∴（m为正整数）． 即W与m的函数关系式为（m为正整数）； ②由①可知，，，m为正整数， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时． ∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为266元． 22. 综合与实践 在中，，，将线段绕点逆时针旋转至，旋转角记为，连接，过点作，交直线于点，连接． （1）如图1，当时，的度数为______； 类比迁移 （2）如图2，当时，求证：； 拓展延伸 （3）在（2）的条件下，当时，若，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质及等腰三角形的性质求得，设交于点O，则由三角形内角和得，从而求解；　 （2）由旋转的性质及等腰三角形的性质求得，，设交于点O，则由三角形内角和得，则可得的度数，从而证明； （3）过点A作的垂线交所在直线于点F，证明三角形全等，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， 设交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形内角和得， 故答案为：； （2）证明：由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形内角和得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，如图3，过点A作的垂线交所在直线于点F， 则， ∵， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设点A到直线的距离为h， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题卡相应的位置） 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一组数据4，5，，6，7平均数是5，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 3. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 5. 在一次考试中，某班名男生平均得分，名女生平均得分，这个班全体同学的平均分是（ ） A. B. C. D. 6. 有一道题目，“化简：．”甲、乙两同学的解答过程如下： 甲 乙 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙两同学的解答都正确 B. 甲、乙两同学的解答都不正确 C. 只有甲同学的解答正确 D. 只有乙同学的解答正确 7. 欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC（ 　） A 把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B. 把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C. 把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D. 把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位 9. 若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（ ） A. B. 7 C. 12 D. 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转60°得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果） 11. 分式与最简公分母为______． 12. 如果是的一个因式，则的值为______． 13. 若一组数据，，，，，，它们的众数是，则这组数据的中位数为___________． 14. 已知，，，利用发现的规律计算： ______ ． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 15. 分解因式及利用因式分解计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 17. 为了增强学生环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛、竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______，______，______（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级300名学生和八年级240名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（注：图中每个小方格的边长为1，正方形的顶点均称为格点） （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于原点成中心对称的． （3）若是一格点，且满足，，在给出的网格中画出点的位置，并直接写出点坐标． 19. 阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 20. 如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． （1）利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； （2）若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 21. 端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 22. 综合与实践 在中，，，将线段绕点逆时针旋转至，旋转角记为，连接，过点作，交直线于点，连接． （1）如图1，当时，的度数为______； 类比迁移 （2）如图2，当时，求证：； 拓展延伸 （3）在（2）的条件下，当时，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $