精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期11月月考数学试卷 一、单选题 1. 若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可判断. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，再求即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的值域、定义域，然后求. 【详解】由，所以 由的定义域，所以， 所以. 故选：A 4. “”是“双曲线的离心率大于2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若双曲线的离心率大于，则，解得， 所以“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件； 故选：C 5. 一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度与时间间的函数关系式为，则的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的物理意义，求函数的导数，将代入到导函数即可. 【详解】，， 则的瞬时速度为. 故选：B. 6. 已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ）． A. 5 B. 512 C. 1024 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，根据已知求出，求出即得解. 【详解】解：设等比数列的公比为q， 因为，所以，解得， 因为与的等差中项为，则有， 即，解得， 所以，故， 则，，，， 所以． 故选：D． 7. ​， 则（ ） A ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】A 【解析】 【分析】通过构造函数，由函数的单调性比较的大小，再构造函数，判断其单调性后比较的大小，从而可得结果. 【详解】构造，，则， 令，则， 所以在上递减， 所以，所以， 所以在上递减， 所以，所以， 所以，即，所以， 令（），则， 所以在上递增， 所以，所以， 所以， 所以，即 故​. 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，通过判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可，考查数学转化思想，属于较难题. 8. 已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得. 【详解】解：设， 过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点为线段的中点， 所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为， 因为， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以最大值为. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值. 二、多选题 9. 已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的是（ ） A. 若，则为“回旋数列” B. 设为等比数列，且公比为有理数，则为“回旋数列” C. 设为等差数列，当，公差时，若为“回旋数列”，则 D. 若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由题可得，然后由回旋数列定义可判断选项正误； 对于B，通过举特例可判断选项正误； 对于C，由回旋数列定义可得，据此可判断选项正误； 对于D，由A分析举特例可判断选项正误. 【详解】[对于A，由可得， 由可得， 取即可，则为“回旋数列”，故A正确； 对于B，当时，，， 由可得，故当时，很明显不成立， 故不是“回旋数列”，故B错误； 对于C，是等差数列，故，， 因为数列“回旋数列”，所以， 即，其中为非负整数， 所以要保证恒为整数， 故为所有非负整数的公约数，且，所以， 此时，当时，；时，； 当时，，当为大于3的整数时，与奇偶性相反，则为正整数， 故满足题意，故C正确； 对于D，由A可知，当时，为“回旋数列”， 取，，显然不存在，使得，故D错误． 故选：AC 10. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若，，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断A，由求解可判断B，由在单调递增，可判断C，由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，， 易知，即，A正确； 对于B，由题意得，解得， 即函数的定义域为，B正确； 对于C，由可得定义域为， 由解析式知在单调递增， 函数最小值为1，故C错误； 对于D，，即，解得， 即，当且仅当取等号，D正确， 故选：ABD 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（    ） A. B. C. 存在最大值 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以为基底，表示与，验证选项A；定义法求向量数量积验证选项B；以点为原点建立平面直角坐标系，，利用向量的坐标运算求的最大值和的最值，验证选项CD. 【详解】对A：因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以， 则，故A正确； 对B：， 则 ，故B正确； 对C、D：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点在以中点为圆心，为半径的半圆上， 所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最大值，故C正确； 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值，故D错误.   故选：ABC. 三、填空题 12. 若函数在区间[2，4]上不存在反函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合反函数的知识以及函数的单调性来求得的取值范围. 【详解】函数的对称轴为， 因为函数在区间[2，4]上不存在反函数，所以函数在区间[2，4]上不是单调函数，因此，解得． 故答案为： 13. 已知，则等于_____ 【答案】 【解析】 【分析】 本题首先可确定，然后将转化为，求出，最后将转化为，即可得出结果. 【详解】若，则，不满足题意，故， 根据同角三角函数关系可得，解得， 则， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查同角三角函数关系，考查的公式有、，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题. 14. 若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，而注意到，则结合二次函数对称轴得出a. 【详解】设， 则可将问题转化为， ，当且仅当， 即时等号成立，故，， 由于，则是最小值，则对称轴，， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数的部分图象如下图所示． （1）求的值； （2）将函数的图象的横坐标伸长为原来的4倍，再向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数的单调区间． 【答案】（1），， （2）单调递减区间为，；单调递增区间为，． 【解析】 【分析】（1）根据图象依次求得的值. （2）根据三角函数图象变换求得，利用整体代入法求得的单调区间. 【小问1详解】 由图可知，， 设函数的最小正周期为，则，则，所以， 所以，所以， 所以，则， 因为，所以取，； 【小问2详解】 由（1）得， 将函数的图象的横坐标伸长为原来的4倍，得到的图象， 再向左平移个单位长度后，得到的图象， 令，，得，； 令，，得，． 故函数的单调递减区间为，； 单调递增区间为，． 16. 设函数，若在处有极值． （1）求实数a的值； （2）求函数的极值； （3）若对任意的，都有，求实数c的取值范围． 【答案】（1） （2）在处有极大值，在处有极小值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数在处有极值，得出，从而求出实数； （2）利用极值定义求解即可； （3）将恒成立问题转化为最值问题求解. 【小问1详解】 ，因为在处有极值，所以，解得. 检验：当时，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值，满足条件. 故. 【小问2详解】 由（1）知 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，. 所以在处有极大值，在处有极小值. 【小问3详解】 原命题等价于对任意的都成立， 由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，， 所以，解得. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角A的大小； （2）若，且，求AP的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，可得 又由知， 即，得，得， 得，所以； 又因为，所以． 【小问2详解】 由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故AP的最小值为． 18. 已知非零数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）若关于的不等式有解，求整数的最小值； （3）在数列中，是否存在首项、第项、第项()，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，即，再由等比数列的定义即可得证； （2）由等比数列的通项公式求得，，再由数列的单调性的判断，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值； （3）假设存在首项、第项、第项()，使得这三项依次构成等差数列，由等差数列的中项的性质和恒等式的性质，可得，的方程，解方程可得所求值. 【详解】解：（1）证明：由， 得，即， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）可得，，则 故， 设， 则 ， 所以单调递增， 则，于是，即 ， 故整数的最小值为； （3）由上面得，， 设， 要使得成等差数列，即， 即， 得， ， ， 故为偶数，为奇数， 或. 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性求得最值，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式的性质，是一道难度较大的题目. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：不是函数的极值点； （3）设u，v为正数，证明：. 【答案】（1）在单调递增 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数分析单调性即可； （2）假设是的极值点得到，然后求导得到时在上单调递增，即可说明不是函数的极值点； （3）根据函数和的单调性得到，，整理得，，然后两不等式相加即可证明原不等式成立. 【小问1详解】 根据题意有. 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 所以，在单调递增. 【小问2详解】 设，则， 若是的极值点， 则，，. 设，则， 由（1）可知，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以，单调递增， 所以不是函数的极值点. 【小问3详解】 当时，，当时，. 因为是增函数，且由（1）可知，单调递增，. 所以，即①， 另有， 即②， 所以①＋②有. 【点睛】方法点睛：导数证明不等式方法： （1）构造函数：转化为求函数的最值问题； （2）放缩法：可以通过函数不等式，切线不等式进行放缩； （3）隐零点法：当导数零点不可求时可先证明零点存在，再用此零点代入求函数最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期11月月考数学试卷 一、单选题 1. 若为虚数单位，复数满足，则虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“双曲线的离心率大于2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度与时间间的函数关系式为，则的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ）． A. 5 B. 512 C. 1024 D. 64 7 ​， 则（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 8. 已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的是（ ） A. 若，则为“回旋数列” B. 设为等比数列，且公比为有理数，则为“回旋数列” C. 设为等差数列，当，公差时，若为“回旋数列”，则 D. 若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得 10. 下列命题正确的是（ ） A B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 若，，且，则 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（    ） A. B. C. 存在最大值 D. 的最小值为 三、填空题 12. 若函数在区间[2，4]上不存在反函数，则实数a取值范围是______． 13. 已知，则等于_____ 14. 若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题 15. 已知函数的部分图象如下图所示． （1）求的值； （2）将函数的图象的横坐标伸长为原来的4倍，再向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数的单调区间． 16. 设函数，若在处有极值． （1）求实数a的值； （2）求函数的极值； （3）若对任意的，都有，求实数c的取值范围． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角A的大小； （2）若，且，求AP的最小值． 18. 已知非零数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）若关于的不等式有解，求整数的最小值； （3）在数列中，是否存在首项、第项、第项()，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：不是函数的极值点； （3）设u，v为正数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $