4.1点的位置与坐标表示 教案2025-2026学年 苏科版八年级数学上册

该教案聚焦平面直角坐标系的概念、点的坐标及象限含义，课堂导入先复习数轴三要素及实数与点的对应关系，以一维数轴为支架，通过北京地图描述西直门位置的实例，引导学生从一维定位过渡到二维定位，构建前后知识联系。 该教案以生活实例驱动探究，通过北京地图位置描述活动培养数学眼光中的抽象能力，结合象限特征推理发展数学思维，例题与分层练习强化坐标表达的数学语言。探究式流程助学生构建数形结合意识，也为教师提供素养导向的清晰教学方案。

第四章 平面直角坐标系 4.1点的位置与坐标表示   一、教材分析 “认识平面直角坐标系”是苏科版八年级上册第四章的起始课，在整个初中数学知识体系中扮演着桥梁的角色．在此之前，学生主要学习了“代数式”、“方程”等以纯代数运算为主的知识，同时也初步接触了“图形的初步知识”等几何内容．本章节首次系统地将代数与几何两大领域紧密地联系在一起，是“数形结合”思想正式登场的里程碑．教材的编排遵循了从具体到抽象、从一维到二维的认知规律．它首先引导学生回顾七年级上册学到的“数轴”概念，数轴是一维的坐标系，建立了实数与直线上点之间的一一对应关系．本节则在此基础上，通过引入一条垂直的数轴，将这种对应关系从直线（一维）扩展到平面（二维），从而构建出平面直角坐标系．教材通过北京市城市地图的一部分，小丽站在点O处.如何描述西直门相对于点O的位置？学生熟悉的生活实例，生动地引出用有序实数对确定平面内点的位置的必要性，进而精确定义了原点、坐标轴、象限等核心概念．这不仅是后续学习函数图象及其性质、乃至高中解析几何的基础，也为解决实际生活中的定位问题提供了普适的数学模型，因此本节内容具有极高的奠基性价值.   二、学习目标 1.认识并能画出平面直角坐标系，知道点的坐标及象限的含义. 2.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标和由点的坐标指出它的位置. 3.经历画坐标系，由点找坐标等过程，发展数形结合意识.   三、教学重难点 重点：能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标和由点的坐标指出它的位置. 难点：经历画坐标系，由点找坐标等过程，发展数形结合意识.   四、教学过程 · 本章引入 数轴上的点和实数是一一对应的，本章将通过平面直角坐标系建立点和有序实数对之间的一一对应. 利用平面直角坐标系，一方面可以从数量上描述点的位置关系，另一方面也可以直观地表示两个数量之间的变化规律. 数形结合是一种常用的数学方法，有助于建立数与形之间的联系，能够解决数学和生活中的许多问题. · 复习回顾 1、规定了______、_______和_________的直线叫作数轴． 2、数轴建立了______与点的一一对应，也建立了数（绝对值）与距离（线段长度）之间的对应关系，可以利用＿＿＿＿＿关系来描述数的大小关系． 预设答案： 1、原点；正方向；单位长度； 2、实数；点的位置 追问：平面直角坐标系是什么呢？ 一起来探究吧！ 师生活动：教师演示，学生倾听、回答，独立思考． 设计意图：通过复习坐标轴的概念及相关知识，回顾相关知识，为接下来的平面直角坐标系的学习提供理论依据． · 探究新知 活动一：探究平面直角坐标系的概念 探究：下图是北京市城市地图的一部分，小丽站在点O处.如何描述西直门相对于点O的位置？ 生1：中轴线西边，长安街北边． 生2：中轴线正西方向约3.7km处． 生3：长安街正北方向约3.6km处． 师：以上说法正确吗？你认为应该如何描述？ 师生活动：学生思考、动手、回答，师提示，总结． 预设答案：中轴线正西方向约3.7km，长安街正北方向约3.6km处． 思考：请你类比直线上点的位置描述方法，思考如何描述平面内点的位置？说出你的想法与同学交流． 预设答案：西直门的位置可以用有序实数对(－3.7，3.6)来描述． 师生活动：学生思考、动手、回答，师提示，巡视，讲解． 师：如图，平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O称为原点． 师生活动：教师讲授，学生听课，思考并理解相关知识． 探究：平面直角坐标系有哪些特征？ 预设答案：1.两条数轴原点重合、互相垂直； 2.向右、向上为正方向； 3.两条坐标轴的单位长度是通常一致的． 注意：在有些实际问题中，两条坐标轴的单位长度可以不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同． 师生活动：学生思考、动手、回答，师提示，总结． 活动二：探究平面直角坐标系的点的坐标 师：在平面直角坐标系中，任意一个点的位置都可以用有序实数对表示． 如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上表示的数分别是a，b，有序实数对(a，b)称为点P的坐标，a称为点P的横坐标，b称为点P的纵坐标． 点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起，如P(a，b)．原点O的坐标为(0，0)． 注意：(1)在写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来；(2)点的坐标是有序数对，(a，b) 和(b，a) (a≠b)表示不同的点的坐标． 活动三：探究平面直角坐标系的象限 师：如图，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成的四个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限.坐标轴不属于任何象限. 师生活动：教师讲授，学生听课，思考并理解相关知识． 探究：第一象限的点的坐标有什么特点？其他象限的点呢？ 预设答案：第一象限的点横坐标、纵坐标都是正数；第二象限的点横坐标是负数，纵坐标是正数；第三象限的点横坐标、纵坐标都是负数；第四象限的点横坐标是正数，纵坐标是负数. 探究：坐标轴上的点的坐标有什么特点？ 预设答案：在x轴上的点，纵坐标等于0，横坐标为任意实数，表示为(x，0)；在y轴上的点，横坐标等于0，纵坐标为任意实数，表示为(0，y)．反过来，也可以根据坐标的符号判断点所在的象限. 师生活动：学生思考、动手、回答，师提示，总结． 设计意图：从北京地图西直门例子抽象出平面直角坐标系，平面上点的位置必须用一对有序实数对表示，然后通过一系列探究活动探究平面直角坐标系的概念，点的坐标，以及象限．学生在探究活动中进行讨论、交流，培养发现新问题的能力． · 应用新知 例1写出图中点A，B，C，D，E，F的坐标． 解：过点A分别作x轴、y轴的垂线，得点A的横坐标是−4, 纵坐标是3，于是点A的坐标为(−4，3)．类似地，点B，C，D的坐标分别为(−3，−2)，(1，−3)，(2，1)．点E在y轴上，横坐标为0，可得点E的坐标为(0，2).类似地，点F的坐标为(−2，0)． 思考：如何在平面直角坐标系中找到点Q(c，d)的位置？ 预设答案：过x轴上表示c的点作x轴的垂线，过y轴上表示d的点作y轴的垂线，两条垂线的交点即为点Q(c，d)的位置． 总结：确定点的坐标的方法： 例2在直角坐标系中，描出下列各点： （1）A（－1，4），B（－4，－2），C（4，1），D（3，－2）； （2）E（0，1），F（－4，0）． 解：(1)如图，过x轴上表示−1的点和y轴上表示4的点分别作x轴和y轴的垂线，两条垂线的交点为A(−1，4)．用类似的方法描出点B，C，D． (2)过y轴上表示1的点作y轴的垂线，垂足为E(0,1)．用类似的方法描出点F． 总结：建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对是一一对应的. 对象 关系 本质 数轴上的点与实数 一一对应 线上的点与实数的关系 平面直角坐标系内的点与有序实数对 一一对应 面上的点与有序实数对的关系 例3在平面直角坐标系中，有一点P(a−1，2a)． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P在第二象限，求a的取值范围． 分析：紧扣平面直角坐标系中点的坐标特征解答． 解：（1）∵点P在x轴上， ∴2a＝0，解得a＝0. ∴a−1＝0−1＝−1， ∴P(−1，0) （2）∵点P在第二象限， ∴ 解得0 <a<1． 设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计符号语言说理能力，让学生理解运用本节课所学． · 课堂练习 【教材习题】 1.如图，分别写出图中点A，B，C的坐标，并指出各点所在的象限. 2.如图，在平面直角坐标系中画出下列各点： A(2，,4)，B(−2.5，3)，C(−3，−2)，D(1.5，−3.5)，E(0，−1). 【自选习题】 3.已知点A(−3，a+2)与点B(a−3，4)在同一平面直角坐标系中，且AB//y轴，则A，B两点间的距离为 . 4.下列各点分别在坐标平面的什么位置上？ A (3，2) B (0，－2) C (－3，－2) D (－3，0) E (－1.5，3.5) F (2，－3) 5.在平面直角坐标系xOy中，点(10−a，a−4)到x轴的距离等于到y轴距离的一半，则a的值为_______. 【答案】 1．解：A(4，5)，B(−5，−3)，C(3，−4). 点A在第一象限， 点B在第三象限， 点C在第四象限. 2． 3．分析：由AB//y轴可知点A，B的横坐标相等，即可求出a的值，再求出A，B两点坐标，即可得出答案. 解∵AB//y轴， ∴a−3=−3， ∴a=0， ∴A(−3，2)，B(−3，4)， ∴点A，B间的距离为4−2=2.故答案为2. 4.点A在第一象限，点B在y轴上，点C在第三象限，点D在x轴上，点E在第二象限，点F在第四象限. 5.解∵点(10−a，a−4)到x轴的距离等于到y轴距离的一半， ∴2|a−4|=|10−a|， ∴2(a−4)=10−a或2(a−4)=−(10−a)， ∴a=6或−2． 故答案为6或−2． 师生活动：学生独立完成，教师批阅． 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用． · 归纳总结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $