4.1点的位置与坐标系（第一课时）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第四章平面直角坐标系第一节点的位置与坐标表示（第一课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解平面直角坐标系的构成（x轴、y轴、原点），能准确识别坐标轴、象限及各象限内点的位置特征。 2.掌握有序数对与平面内点的一一对应关系，能根据有序数对在坐标系中描点，也能根据坐标系中的点写出对应的有序数对。 3.经历从实际问题（确定位置）抽象出平面直角坐标系的过程，感受数学与生活的联系，提升抽象概括能力和数形结合意识。 4.规范书写有序数对和坐标系相关符号，养成严谨的数学书写习惯。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.认识平面直角坐标系的组成（x轴、y轴、原点、象限）。 2.理解有序数对与平面内点的一一对应关系，能进行 “ 点 ” 与 “ 有序数对 ” 的互化。 （二）难点 1.理解 “ 有序数对 ” 中 “ 有序 ” 的含义，区分有序数对（a,b）与（b,a）（a ≠ b）对应的不同点。 2.准确判断平面内点所在的象限，掌握各象限内点的横、纵坐标的符号规律。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.我们用______来表示平面内点的位置，这种有顺序的两个数叫做有序数对，记作______。 2.在平面内，两条互相______且有______的数轴，组成平面直角坐标系。 3.水平的数轴叫做______轴（简称x轴），取______为正方向；垂直的数轴叫做______轴（简称y轴），取______为正方向；两轴的交点叫做平面直角坐标系的______。 4.平面直角坐标系被x轴和y轴分成四个部分，分别叫做第______象限、第______象限、第______象限、第______象限，坐标轴上的点______（填 “ 属于 ” 或 “ 不属于 ” ）任何一个象限。 5.对于平面内任意一点P，过点P作x轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的______；过点P作y轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的______；把横坐标和纵坐标合起来，就得到点P的______，记作______。 【 答案 】 1.有序数对；（a,b）（a、b为实数） 2.垂直；公共原点 3.横；向右；纵；向上；原点 4.一；二；三；四；不属于 5.   横坐标；纵坐标；有序数对；（横坐标，纵坐标） ) 四．课堂探秘 （一）确定位置的烦恼 问题1：在班级里，如何快速说出你的座位位置？ 【解释】可以用“第几列（排）第几行”的方式快速说出座位位置。比如可以说“我在第3列第4行”，先确定列（一般是从教室前门方向从左往右数的竖排），再确定行（从前往后数的横排），这样别人就能快速找到对应的位置。 问题2：如果把班级地面看成一个平面，只说“第3排”或只说“第4列”，能确定唯一的座位吗？ 【解释】只说“第3排”或只说“第4列”不能确定唯一的座位。只说“第3排”，只能确定是哪一行的横排，但不知道具体是这一排里的哪一个位置；只说“第4列”，只能确定是哪一列的竖排，也不知道具体是这一列里的哪一个位置。 结论：平面内确定一个点的位置，需要2个有顺序的数——引出“有序数对”。 （二）有序数对 1.有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 2.有序数对理解：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 例1.如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是 排 号. 【答案】10,13. 【解析】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.故答案为10,13. 例2.已知有序数对(2x-1，5-3y)表示出的点为(5，2)，则x＝________，y＝________． 【答案】3，1； 【解析】有序数对要求两个数的位置不能随意交换；由2x-1=5，得x=3；由5-3y=2，得y=1．故答案为3，1； （三）认识平面直角坐标系 1.构建过程：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图). 2.组成要素（结合图形讲解）： （1）两条数轴：水平的x轴（横轴）、垂直的y轴（纵轴）； （2）公共交点：原点O（坐标为（0,0））； （3）正方向：x轴向右为正，y轴向上为正； （4）单位长度：两条数轴的单位长度要统一（可根据实际情况确定）。 3.象限划分： （1）第一象限：x轴正方向、y轴正方向之间的区域； （2）第二象限：x轴负方向、y轴正方向之间的区域； （3）第三象限：x轴负方向、y轴负方向之间的区域； （4）第四象限：x轴正方向、y轴负方向之间的区域； 注意：x轴、y轴上的点（包括原点）不属于任何象限。 4.点的坐标 （1）定义：平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图. （2）理解 ①表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． ②点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 例3.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标. 【答案】A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)． 【解析】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标． 所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)． 例4.若点P（1，b）到x轴的距离为2，则P点坐标为　 　． 【答案】（1，2）或（1，﹣2） 【解析】坐标的几何意义．熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键；∵点P（1，b）到x轴的距离为2，∴|b|=2，解得b=±2，∴P点坐标为（1，2）或（1，﹣2）．故答案为：（1，2）或（1，﹣2）． （四）点与有序数对的对应关系 1.由点求有序数对（写坐标）： 步骤：① 过点P作x轴的垂线，垂足对应的数为横坐标； ② 过点P作y轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标； ③ 横坐标在前，纵坐标在后，写成（横坐标，纵坐标）的形式。 2.由有序数对描点： 步骤：① 先在x轴上找到横坐标对应的点，作x轴的垂线； ② 再在y轴上找到纵坐标对应的点，作y轴的垂线； ③ 两条垂线的交点，即为该有序数对对应的点。 例5.（1）写出图中点A、B、C、D、E、F的坐标． （2）在上图中描出下列各点：L（﹣5，﹣3），M（4，0），N（0，5），P（6，2）． 【解析】（1）A（﹣2，﹣2）、B（﹣5，4）、C（5，4）、D（0，﹣3）、E（2，5），F（﹣3，0）；（2）如图所示， 3.核心结论：平面内的每一个点，都有唯一的一对有序数对与之对应；反过来，每一对有序数对，都能在平面内找到唯一的一个点与之对应——即“点”与“有序数对”是一一对应关系。 （五）各象限内点的坐标特征 【探究】观察下列点的坐标，总结规律： （1）第一象限：（2,3）、（5,1）——横坐标＞0，纵坐标＞0（均为正数）； （2）第二象限：（-2,3）、（-1,5）——横坐标＜0，纵坐标＞0（横坐标负，纵坐标正）；（3）第三象限：（-2,-3）、（-5,-1）——横坐标＜0，纵坐标＜0（均为负数）； （4）第四象限：（2,-3）、（5,-1）——横坐标＞0，纵坐标＜0（横坐标正，纵坐标负）； （5）坐标轴上的点：原点（0,0）、x轴上（2,0）（-3,0）——纵坐标为0；y轴上（0,3）（0,-2）——横坐标为0。 【归纳】各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 【要点解读】 （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 例6.若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）位于第　二　象限． 【答案】二 【解析】考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．∵点A（﹣2，n）在x轴上，∴n=0，∴点B（n﹣1，n+1）为（﹣1，1）， ∴点B位于第二象限．故答案为：二． 例7.一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标是（　　） A．（2，2） B．（3，3） C．（3，2） D．（2，3） 【答案】C 【解析】过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为（3，2），即为第四个顶点坐标．故选：C． 例8.已知A（-1，0），B（5，0），C（-2，-4），求△ABC的面积. 【答案】12平方单位. 【解析】由图可知，AB＝5－（﹣1）＝6，高＝，所以△ABC的面积＝.答：△ABC的面积为12平方单位. 五．课堂检测 （一）选择题 1.平面直角坐标系中，原点的坐标是（ ） A. （1，0） B. （0，0） C. （0，1） D. （1，1） 【答案】：B 【解析】：原点是横轴与纵轴的交点，其横、纵坐标均为0，故选B。 2.点M（-3，5）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】：B 【解析】：第二象限的点坐标特征为“横坐标负，纵坐标正”，点M符合该特征，故选B。 3.下列各点中，在y轴上的是（ ） A. （2，0） B. （-1，3） C. （0，-5） D. （3，-4） 【答案】：C 【解析】：y轴上的点横坐标为0，只有选项C的横坐标为0，故选C。 4.下列关于平面直角坐标系的说法正确的是（ ） A. 横轴与纵轴不一定垂直 B. 原点O的坐标是（0，1） C. 横轴的正方向向右，纵轴的正方向向上 D. 坐标轴上的点属于某个象限 【答案】：C 【解析】：平面直角坐标系的核心特征是横轴与纵轴互相垂直且有公共原点，故A错误；原点坐标为（0，0），B错误；横轴正方向向右、纵轴正方向向上是标准规定，C正确；坐标轴上的点不属于任何象限，D错误。 5.已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 【答案】B 【解析】∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴M′的纵坐标y=﹣2，∵“M′到y轴的距离等于4”，∴M′的横坐标为4或﹣4．所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） 6.在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6，4﹣2m＜﹣2，所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6，4﹣2m＞﹣2，点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，综上所述，点P不可能在第一象限．故选A． （二）填空题 7．点在平面直角坐标系的第 象限． 【答案】二 【解析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据每个象限内点的坐标特点求解即可：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．∵，∴点在平面直角坐标系的第二象限，故答案为；二． 8．已知第二象限的点，那么点P到x轴的距离为 ． 【答案】1 【解析】本题考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解题关键理解平面直角坐标系内点到坐标轴的距离．根据平面直角坐标系内点到坐标轴的距离的意义求解．∵第二象限的点，∴点P到x轴的距离为，故答案为：1． 9.若点的坐标是，则它到轴的距离是 ． 【答案】2 【解析】本题主要考查点的坐标，根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值解答即可．点到轴的距离是，故答案为：． 10．若点的坐标满足，，，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【解析】本题考查了绝对值，平方根，象限中的点坐标．计算，求出符合要求的解即可．∵，，∴或，或，∵，∴，或，，∴点坐标为或，故答案为：或． （三）解答题 11.如图已知四边形ABCD. (1)分别写出点A,B,C,D的坐标; (2)试求四边形ABCD的面积.(网格中每个小正方形的边长均为1) 【答案】(1)A(-2,1),B(-3,-2),C(3,-2),D(1,2).（2）16 【解析】(1)本题考查由点求有序数对（写坐标）A(-2,1),B(-3,-2),C(3,-2),D(1,2). (2)S四边形ABCD=3×3+2××1×3+×2×4=16. 12. 已知A（a-3，a2-4），求a的值及点A的坐标． （1）当点A在x轴上； （2）当点A在y轴上． 【答案】（1）(－1，0)或(－5，0)；（2）(0，5) 【解析】(1)∵A在x轴上，∴a2－4＝0，即a＝±2，∴a－3＝－1或－5，∴点A的坐标为(－1，0)或(－5，0)． （2）∵A在y轴上，∴a－3＝0，即a＝3，∴a2－4＝5，∴点A的坐标为(0，5)． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.水平的数轴叫做______，通常记作______，它的正方向是______；竖直的数轴叫做______，通常记作______，它的正方向是______。 2.横轴（x轴）与纵轴（y轴）的______叫做原点，原点的坐标是______。 3.由两条______且______的数轴组成的图形叫做平面直角坐标系。 4.平面内任意一点P，过点P作x轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的______；过点P作y轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的______；点P的坐标记作______，其中第一个数是______，第二个数是______。 5.坐标轴把平面分成四个部分，每个部分叫做______，按______方向依次称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 6.第一象限内点的坐标特征是______（用“+”“-”表示），第二象限是______，第三象限是______，第四象限是______。 7.坐标轴上的点______（填“属于”或“不属于”）任何象限；x轴上所有点的______坐标为0，y轴上所有点的______坐标为0。 8.点P（x，y）到x轴的距离是______，到y轴的距离是______。 9.已知点A（a，b）在第一象限，则a______0，b______0（填“＞”“＜”或“=”）；若点A在第三象限，则a______0，b______0。 10.若点B（m，n）在x轴正半轴上，则m______0，n______0；若点B在y轴负半轴上，则m______0，n______0。 11.坐标平面内，确定一个点的位置需要______个数据，这两个数据是______的（填“有序”或“无序”）。 12.点（2，3）中，横坐标是______，纵坐标是______；点（-5，1）中，横坐标是______，纵坐标是______。 【答案】1.横轴；x轴；向右；纵轴；y轴；向上 2.交点；（0，0） 3.互相垂直；有公共原点 4.横坐标；纵坐标；（x，y）；横坐标；纵坐标 5.象限；逆时针 6.（+，+）；（-，+）；（-，-）；（+，-） 7.不属于；纵；横 8.|y|；|x| 9.＞；＞；＜；＜ 10.＞；=；=；＜ 11.两；有序 12.2；3；-5；1 （二）强化训练 一．选择题 1.下列关于平面直角坐标系的说法正确的是（ ） A. 平面直角坐标系中两条数轴可以不垂直 B. 平面直角坐标系的横轴正方向一定向左 C. 平面直角坐标系的原点是两数轴的交点 D. 平面直角坐标系只有横轴，没有纵轴 【答案】：C 【解析】：平面直角坐标系中两条数轴必须互相垂直，A 选项错误；横轴正方向习惯上取向右，B 选项错误；平面直角坐标系由横轴（x轴）和纵轴（y轴）组成，D 选项错误；两坐标轴的交点为原点，C 选项正确。 2.在构建平面直角坐标系时，下列做法错误的是（ ） A. 先画一条水平数轴作为x轴，取向右为正方向 B. 再画一条与x轴垂直的数轴作为y轴，取向上为正方向 C. 两数轴交点处不标记原点 D. 在两数轴上标注适当的单位长度 【答案】：C 【解析】：平面直角坐标系中两数轴交点必须标记为原点，C 选项做法错误，A、B、D 选项做法均正确。 3.如果点P（a﹣4，a）在y轴上，则点P的坐标是（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4） 【答案】：B 【解析】：由点P（a﹣4，a）在y轴上，得a﹣4=0，解得a=4，P的坐标为（0，4），故选：B． 4．若点A（a+1，b﹣1）在第二象限，则点B（﹣1，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】：B 【解析】：由点A（a+1，b﹣1）在第二象限，得b﹣1＞0，解得b＞1，点B（﹣1，b）在第二象限，故选：B． 5.我国自主研制的“雪豹”6×6轮式载具用于南极考察，在极地导航坐标系中，某考察点的坐标为（0，-5），则该点的位置是（ ） A. x轴正半轴 B. x轴负半轴 C. y轴正半轴 D. y轴负半轴 【答案】：D 【解析】：y轴上的点横坐标为0，纵坐标为负时位于y轴负半轴。点（0，-5）横坐标为0、纵坐标-5＜0，故在y轴负半轴，选D。 6.2025年我国钍基熔盐实验堆实现重大突破，若用坐标系标记堆体关键设备位置，某传感器坐标为（4，-1），则该点到y轴的距离是（ ） A. 4 B. -1 C. 1 D. 5 【答案】：A 【解析】：平面内点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，点（4，-1）的横坐标为4，其绝对值为4，故选A。 7.华为昇腾384超节点在AI算力领域实现突破，若在算力分布坐标系中，某算力节点坐标为（-3，-2），则该点所在象限的坐标特征是（ ） A. （+，+） B. （-，+） C. （-，-） D. （+，-） 【答案】：C 【解析】：点（-3，-2）的横、纵坐标均为负数，第三象限的坐标特征正是“横纵坐标均为负”，即（-，-），故选C。 8.商汤科技“绝影开悟”世界模型用于自动驾驶训练，在模拟驾驶坐标系中，某虚拟障碍物的坐标为（-4，1），则下列说法正确的是（ ） A. 该点横坐标是1 B. 该点纵坐标是-4 C. 该点在第二象限 D. 该点在第四象限 【答案】：C 【解析】：坐标（x，y）中第一个数为横坐标、第二个数为纵坐标，故该点横坐标是-4、纵坐标是1；又因第二象限特征为（-，+），符合该点坐标，故选C。 9.杜甫《望岳》“会当凌绝顶，一览众山小”，若以泰山之巅为原点（0，0），某山峰位置为（-1，4），则该山峰相对于泰山之巅的方向是（ ） A. 东北方向 B. 西北方向 C. 东南方向 D. 西南方向 【答案】：B 【解析】：点（-1，4）横坐标为负（对应左方，即西方），纵坐标为正（对应上方，即北方），结合方位判断为西北方向，故选B。 10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点P的坐标为( ) A. （2025，1 ） B. （2025，0） C. （2024，2） D. （2026，0） 【答案】A 【解析】根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，第4次运动到点(4，0)，第5次接着运动到点(5，1)，…，∴横坐标为运动次数，经过第2025次运动后，动点P的横坐标为2025，纵坐标1，0，2，0，每4次一轮，∴经过第2025次运动后，动点P的纵坐标为：2025÷4＝506余1，故纵坐标为四个数中第三个，即为1，∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是(2025，1)．故选：A． 二．填空题 11．某地10:00时气温是6℃，表示为(10，6)，那么(3，-7)表示_______________． 【答案】3:00时该地气温是零下7℃ 【解析】根据题意可知(3，-7)表示3:00时该地气温是零下7℃． 12.在y轴上，位于原点的下方，且距离原点4个单位长度的点的坐标是　　． 【答案】（0，﹣4） 【解析】∵点在y轴上，位于原点的下方，∴点在y轴负半轴，∵距离原点4个单位长度，∴点的坐标是（0，﹣4）．故答案为：（0，﹣4）． 13.点P（2a﹣1，a+2）在x轴上，则点P的坐标为　　． 【答案】（﹣5，0） 【解析】由题意，得a+2=0，解得a=﹣2，2a﹣1=﹣5，点P的坐标为（﹣5，0）， 故答案为：（﹣5，0）． 14.点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且在第四象限，则P点坐标是　　． 【答案】（3，﹣2） 【解析】由点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，得|y|=2，|x|=3．由第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得点P的坐标是（3，﹣2），故答案为：（3，﹣2）． 15．如果坐标平面内点A（a，b）在第二象限，那么点B（b，a）在第　　象限． 【答案】四 【解析】由题意，得a＜0，b＞0，点B（b，a）在第 四象限，故答案为：四． 16.点P（﹣4，5）到x轴的距离等于　　． 【答案】5 【解析】P（﹣4，5）到x轴的距离等于5，故答案为：5． 17. 如果点P（x2﹣4，y+1）是坐标原点，求代数式2x+y的值为_________． 【答案】﹣5 【解析】由题意，得x2﹣4=0，y+1=0，解得x=2或x=﹣2，y=﹣1．当x=2时，2x+y=2×2+（﹣1）=3，当x=﹣2时，2x+y=2×（﹣2）+（﹣1）=﹣5． 18.在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点……则边长为8的正方形内部的整点个数为____． 【答案】49 【解析】边长为1和2的正方形内部有1个整点，边长为3和4的正方形内部有9个整点，边长为5和6的正方形内部有25个整点，从而推出边长为7和8的正方形内部有49个整点． 19.如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,1)为端点的四条射线AB,AC,AD,AE分别过点B(1,1),点C(1,3),点D(4,4),点E(5,2),则∠BAC　　　　∠DAE(填“>”“=”或“<”)  【答案】= 【解析】如图,连结BC,DE,易知AB=2,BC=2,AB⊥BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,在△ADE中,由勾股定理可得AE2=22+12=5,DE2=22+12=5,AD2=32+12=10, ∴AE=DE,AE2+DE2=AD2,∴△ADE是等腰直角三角形,∴∠DAE=45°,∴∠BAC=∠DAE. 20. 如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标是______． 【答案】(2，0) 或(4，0)或（2，0）或(-2，0) 【解析】(1)当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时 ∵A的坐标是(2，2)，∴∠AOP=45°，OA=2，∴P的坐标是(4，0)或(2，0)；②以OA为底边时，∵点A的坐标是(2，2)， ∴当点P的坐标为：(2，0)时，OP=AP；(2)当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时， ∵A的坐标是(2，2)，∴OA=2，∴OA=AP=2，∴P的坐标是(−2，0)． 故答案为(2，0)或(4，0)或(2，0)或(−2，0)． 三．解答题 21.每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中． （1）写出图中从原点O出发，按箭头所指方向先后经过的A、B、C、D、E这几个点点的坐标； （2）按图中所示规律，找到下一个点F的位置并写出它的坐标． 解：（1）A（1，0）、B（1，2）、C（﹣2，2）、D（﹣2，﹣2）、E（3，﹣2）； （2）按图中所示规律，点F的位的坐标F（3，4）； 22.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中． （1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值； （2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值． 解：（1）由题意，得4x=x﹣3，解得x=﹣1 ∴点P在第三象限的角平分线上时，x=﹣1． （2）由题意，得4x+[﹣（x﹣3）]=9，则3x=6，解得x=2，此时点P的坐标为（8，﹣1）， ∴当点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9时，x=2． 23、在平面直角坐标系中，点A（a，3﹣2a）在第一象限． （1）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值； （2）若点A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围． 解：（1）∵点A（a，3﹣2a）在第一象限，∴点A到y轴的距离为a、到x轴的距离为3﹣2a，∴a=3﹣2a，解得a=1； （2）∵点A到x轴的距离小于到y轴的距离，∴a＞3﹣2a，解得a＞1，∵点A（a，3﹣2a）在第一象限，∴，即0＜a＜，∴当1＜a＜时，点A到x轴的距离小于到y轴的距离． 24.已知三角形ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，0）、（1，﹣2），在下图的平面直角坐标系中表示出来，并根据图形回答下列问题． （1）点A到x轴的距离为　　，点B到y轴的距离为　　； （2）点C（1，﹣2）到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　； （3）若在该平面直角坐标系内有一点P（x，y），它到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，求点P的坐标． 解：（1）∵点A、B、的坐标分别是（0，2）、（﹣3，0），∴点A到x轴的距离为：2，点B到y轴的距离为：3．故答案为：2，3； （2）∵点C（1，﹣2），∴C点到x轴的距离为：2，到y轴的距离为：1．故答案为：2，1；（3）∵点P（x，y），它到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，∴点P的坐标为：（2，1），（﹣2，1），（2，﹣1），（﹣2，﹣1）． 25.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P’（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，这样依次得到点． （1）当点A1的坐标为（2，1），则点A3的坐标为　　，点A2025的坐标为　 　； （2）若A2025的坐标为（﹣3，2），则设A1（x，y），求x+y的值； （3）设点A1的坐标为（a，b ），若A1，A2，A3，…An，点An均在y轴左侧，求a、b的取值范围． 解：（1）观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，﹣3），A3（﹣4，﹣1），A4（﹣2，3），A5（2，1），…，∴A4n+1（2，1），A4n+2（0，﹣3），A4n+3（﹣4，﹣1），A4n+4（﹣2，3）（n为自然数）．∵2025=506×4余1，∴点A2025的坐标为（2，1）．故答案为：（﹣4，﹣1）；（2，1）． （2）∵A2016的坐标为（﹣3，2），∴A1（-3，2），∴x+y=-1． （3）∵A1（a，b），A2（b﹣1，﹣a﹣1），A3（﹣a﹣2，﹣b），A4（﹣b﹣1，a+1）， ∵A1，A2，A3，…An，点An均在y轴左侧，∴和， 解得：﹣2＜a＜0，﹣1＜b＜1． 26.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点B,C在x轴上,点C的坐标为(1,0),AB=AC=5,BC=6. (1)求点A和点B的坐标; (2)当点D在y轴正半轴上,且△ACD是等腰三角形时,直接写出点D的坐标. 解：(1)如图,过点A作AH⊥x轴于点H,则∠AHB=∠AHC=90°,∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,又∵BC=6,AH⊥BC,∴BH=CH=BC=3,∵C(1,0),∴B(-5,0),H(-2,0), ∵AB=5,∠AHB=90°,BH=3,∴AH=4,∴A(-2,4). (2)设D(0,a),则AD2=4+(a-4)2,CD2=1+a2.①当AD=CD时,4+(a-4)2=1+a2,解得a=,∴（0,）; ②当AD=AC时,4+(a-4)2=25,解得a=4+或a=4-(舍去),∴D(0,4+); ③当AC=CD时,25=1+a2,解得a=或a=-(舍去),∴D(0,). 综上所述,点D的坐标为（0,）或(0,4+)或(0,). ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第四章平面直角坐标系第一节点的位置与坐标表示（第一课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解平面直角坐标系的构成（x轴、y轴、原点），能准确识别坐标轴、象限及各象限内点的位置特征。 2.掌握有序数对与平面内点的一一对应关系，能根据有序数对在坐标系中描点，也能根据坐标系中的点写出对应的有序数对。 3.经历从实际问题（确定位置）抽象出平面直角坐标系的过程，感受数学与生活的联系，提升抽象概括能力和数形结合意识。 4.规范书写有序数对和坐标系相关符号，养成严谨的数学书写习惯。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.认识平面直角坐标系的组成（x轴、y轴、原点、象限）。 2.理解有序数对与平面内点的一一对应关系，能进行 “ 点 ” 与 “ 有序数对 ” 的互化。 （二）难点 1.理解 “ 有序数对 ” 中 “ 有序 ” 的含义，区分有序数对（a,b）与（b,a）（a ≠ b）对应的不同点。 2.准确判断平面内点所在的象限，掌握各象限内点的横、纵坐标的符号规律。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.我们用______来表示平面内点的位置，这种有顺序的两个数叫做有序数对，记作______。 2.在平面内，两条互相______且有______的数轴，组成平面直角坐标系。 3.水平的数轴叫做______轴（简称x轴），取______为正方向；垂直的数轴叫做______轴（简称y轴），取______为正方向；两轴的交点叫做平面直角坐标系的______。 4.平面直角坐标系被x轴和y轴分成四个部分，分别叫做第______象限、第______象限、第______象限、第______象限，坐标轴上的点______（填 “ 属于 ” 或 “ 不属于 ” ）任何一个象限。 5.对于平面内任意一点P，过点P作x轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的______；过点P作y轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的______；把横坐标和纵坐标合起来，就得到点P的______，记作______。 ) 四．课堂探秘 （一）确定位置的烦恼 问题1：在班级里，如何快速说出你的座位位置？ 问题2：如果把班级地面看成一个平面，只说“第3排”或只说“第4列”，能确定唯一的座位吗？ 结论：平面内确定一个点的位置，需要2个有顺序的数——引出“有序数对”。 （二）有序数对 1.有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)． 2.有序数对理解：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号． 例1.如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是 排 号. 例2.已知有序数对(2x-1，5-3y)表示出的点为(5，2)，则x＝________，y＝________． （三）认识平面直角坐标系 1.构建过程：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图). 2.组成要素（结合图形讲解）： （1）两条数轴：水平的x轴（横轴）、垂直的y轴（纵轴）； （2）公共交点：原点O（坐标为（0,0））； （3）正方向：x轴向右为正，y轴向上为正； （4）单位长度：两条数轴的单位长度要统一（可根据实际情况确定）。 3.象限划分： （1）第一象限：x轴正方向、y轴正方向之间的区域； （2）第二象限：x轴负方向、y轴正方向之间的区域； （3）第三象限：x轴负方向、y轴负方向之间的区域； （4）第四象限：x轴正方向、y轴负方向之间的区域； 注意：x轴、y轴上的点（包括原点）不属于任何象限。 4.点的坐标 （1）定义：平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图. （2）理解 ①表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． ②点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 例3.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标. 例4.若点P（1，b）到x轴的距离为2，则P点坐标为　 　． （四）点与有序数对的对应关系 1.由点求有序数对（写坐标）： 步骤：① 过点P作x轴的垂线，垂足对应的数为横坐标； ② 过点P作y轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标； ③ 横坐标在前，纵坐标在后，写成（横坐标，纵坐标）的形式。 2.由有序数对描点： 步骤：① 先在x轴上找到横坐标对应的点，作x轴的垂线； ② 再在y轴上找到纵坐标对应的点，作y轴的垂线； ③ 两条垂线的交点，即为该有序数对对应的点。 例5.（1）写出图中点A、B、C、D、E、F的坐标． （2）在上图中描出下列各点：L（﹣5，﹣3），M（4，0），N（0，5），P（6，2）． 3.核心结论：平面内的每一个点，都有唯一的一对有序数对与之对应；反过来，每一对有序数对，都能在平面内找到唯一的一个点与之对应——即“点”与“有序数对”是一一对应关系。 （五）各象限内点的坐标特征 【探究】观察下列点的坐标，总结规律： （1）第一象限：（2,3）、（5,1）——横坐标＞0，纵坐标＞0（均为正数）； （2）第二象限：（-2,3）、（-1,5）——横坐标＜0，纵坐标＞0（横坐标负，纵坐标正）；（3）第三象限：（-2,-3）、（-5,-1）——横坐标＜0，纵坐标＜0（均为负数）； （4）第四象限：（2,-3）、（5,-1）——横坐标＞0，纵坐标＜0（横坐标正，纵坐标负）； （5）坐标轴上的点：原点（0,0）、x轴上（2,0）（-3,0）——纵坐标为0；y轴上（0,3）（0,-2）——横坐标为0。 【归纳】各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 【要点解读】 （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 例6.若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）位于第　　象限． 例7.一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标是（　　） A．（2，2） B．（3，3） C．（3，2） D．（2，3） 例8.已知A（-1，0），B（5，0），C（-2，-4），求△ABC的面积. 五．课堂检测 （一）选择题 1.平面直角坐标系中，原点的坐标是（ ） A. （1，0） B. （0，0） C. （0，1） D. （1，1） 2.点M（-3，5）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.下列各点中，在y轴上的是（ ） A. （2，0） B. （-1，3） C. （0，-5） D. （3，-4） 4.下列关于平面直角坐标系的说法正确的是（ ） A. 横轴与纵轴不一定垂直 B. 原点O的坐标是（0，1） C. 横轴的正方向向右，纵轴的正方向向上 D. 坐标轴上的点属于某个象限 5.已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 6.在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （二）填空题 7．点在平面直角坐标系的第 象限． 8．已知第二象限的点，那么点P到x轴的距离为 ． 9.若点的坐标是，则它到轴的距离是 ． 10．若点的坐标满足，，，则点P的坐标为 ． （三）解答题 11.如图已知四边形ABCD. (1)分别写出点A,B,C,D的坐标; (2)试求四边形ABCD的面积.(网格中每个小正方形的边长均为1) 12. 已知A（a-3，a2-4），求a的值及点A的坐标． （1）当点A在x轴上； （2）当点A在y轴上． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.水平的数轴叫做______，通常记作______，它的正方向是______；竖直的数轴叫做______，通常记作______，它的正方向是______。 2.横轴（x轴）与纵轴（y轴）的______叫做原点，原点的坐标是______。 3.由两条______且______的数轴组成的图形叫做平面直角坐标系。 4.平面内任意一点P，过点P作x轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的______；过点P作y轴的垂线，垂足对应的数叫做点P的______；点P的坐标记作______，其中第一个数是______，第二个数是______。 5.坐标轴把平面分成四个部分，每个部分叫做______，按______方向依次称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 6.第一象限内点的坐标特征是______（用“+”“-”表示），第二象限是______，第三象限是______，第四象限是______。 7.坐标轴上的点______（填“属于”或“不属于”）任何象限；x轴上所有点的______坐标为0，y轴上所有点的______坐标为0。 8.点P（x，y）到x轴的距离是______，到y轴的距离是______。 9.已知点A（a，b）在第一象限，则a______0，b______0（填“＞”“＜”或“=”）；若点A在第三象限，则a______0，b______0。 10.若点B（m，n）在x轴正半轴上，则m______0，n______0；若点B在y轴负半轴上，则m______0，n______0。 11.坐标平面内，确定一个点的位置需要______个数据，这两个数据是______的（填“有序”或“无序”）。 12.点（2，3）中，横坐标是______，纵坐标是______；点（-5，1）中，横坐标是______，纵坐标是______。 （二）强化训练 一．选择题 1.下列关于平面直角坐标系的说法正确的是（ ） A. 平面直角坐标系中两条数轴可以不垂直 B. 平面直角坐标系的横轴正方向一定向左 C. 平面直角坐标系的原点是两数轴的交点 D. 平面直角坐标系只有横轴，没有纵轴 2.在构建平面直角坐标系时，下列做法错误的是（ ） A. 先画一条水平数轴作为x轴，取向右为正方向 B. 再画一条与x轴垂直的数轴作为y轴，取向上为正方向 C. 两数轴交点处不标记原点 D. 在两数轴上标注适当的单位长度 3.如果点P（a﹣4，a）在y轴上，则点P的坐标是（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4） 4．若点A（a+1，b﹣1）在第二象限，则点B（﹣1，b）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.我国自主研制的“雪豹”6×6轮式载具用于南极考察，在极地导航坐标系中，某考察点的坐标为（0，-5），则该点的位置是（ ） A. x轴正半轴 B. x轴负半轴 C. y轴正半轴 D. y轴负半轴 6.2025年我国钍基熔盐实验堆实现重大突破，若用坐标系标记堆体关键设备位置，某传感器坐标为（4，-1），则该点到y轴的距离是（ ） A. 4 B. -1 C. 1 D. 5 7.华为昇腾384超节点在AI算力领域实现突破，若在算力分布坐标系中，某算力节点坐标为（-3，-2），则该点所在象限的坐标特征是（ ） A. （+，+） B. （-，+） C. （-，-） D. （+，-） 8.商汤科技“绝影开悟”世界模型用于自动驾驶训练，在模拟驾驶坐标系中，某虚拟障碍物的坐标为（-4，1），则下列说法正确的是（ ） A. 该点横坐标是1 B. 该点纵坐标是-4 C. 该点在第二象限 D. 该点在第四象限 9.杜甫《望岳》“会当凌绝顶，一览众山小”，若以泰山之巅为原点（0，0），某山峰位置为（-1，4），则该山峰相对于泰山之巅的方向是（ ） A. 东北方向 B. 西北方向 C. 东南方向 D. 西南方向 10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点P的坐标为( ) A. （2025，1 ） B. （2025，0） C. （2024，2） D. （2026，0） 二．填空题 11．某地10:00时气温是6℃，表示为(10，6)，那么(3，-7)表示_______________． 12.在y轴上，位于原点的下方，且距离原点4个单位长度的点的坐标是　　． 13.点P（2a﹣1，a+2）在x轴上，则点P的坐标为　　． 14.点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且在第四象限，则P点坐标是　　． 15．如果坐标平面内点A（a，b）在第二象限，那么点B（b，a）在第　　象限． 16.点P（﹣4，5）到x轴的距离等于　　． 17. 如果点P（x2﹣4，y+1）是坐标原点，求代数式2x+y的值为_________． 18.在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点……则边长为8的正方形内部的整点个数为____． 19.如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,1)为端点的四条射线AB,AC,AD,AE分别过点B(1,1),点C(1,3),点D(4,4),点E(5,2),则∠BAC　　　　∠DAE(填“>”“=”或“<”)  20. 如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标是______． 三．解答题 21.每个小方格都是边长为1的正方形，在平面直角坐标系中． （1）写出图中从原点O出发，按箭头所指方向先后经过的A、B、C、D、E这几个点点的坐标； （2）按图中所示规律，找到下一个点F的位置并写出它的坐标． 22.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中． （1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值； （2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值． 23、在平面直角坐标系中，点A（a，3﹣2a）在第一象限． （1）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值； （2）若点A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围． 24.已知三角形ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，0）、（1，﹣2），在下图的平面直角坐标系中表示出来，并根据图形回答下列问题． （1）点A到x轴的距离为　　，点B到y轴的距离为　　； （2）点C（1，﹣2）到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　； （3）若在该平面直角坐标系内有一点P（x，y），它到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，求点P的坐标． 25.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P’（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，…，这样依次得到点． （1）当点A1的坐标为（2，1），则点A3的坐标为　　，点A2025的坐标为　 　； （2）若A2025的坐标为（﹣3，2），则设A1（x，y），求x+y的值； （3）设点A1的坐标为（a，b ），若A1，A2，A3，…An，点An均在y轴左侧，求a、b的取值范围． 26.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点B,C在x轴上,点C的坐标为(1,0),AB=AC=5,BC=6. (1)求点A和点B的坐标; (2)当点D在y轴正半轴上,且△ACD是等腰三角形时,直接写出点D的坐标. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $