精品解析：河北省衡水中学2025-2026学年高二上学期综合素质评价三（12月月考）数学试题

河北省衡水中学2025-2026学年高二上学期综合素质评价三（12月月考）数学试题 主命题人：王战普 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 2. 方程表示的曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知等式的几何意义结合椭圆的定义可求曲线的标准方程 【详解】表示到点的距离之和为10， 又，故点的轨迹满足椭圆的定义， 设其标准方程为：， 显然，又，解得， 则标准方程为：. 故选：C. 3. 若，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示双曲线得到，即可求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若方程表示双曲线，则，解得或； 所以由能推出方程表示双曲线，故充分性成立； 由方程表示双曲线推不出，故必要性不成立； 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：C 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上的点满足三点共线，且的周长为，则的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，化简得到，结合，即可求解. 【详解】如图所示，因为的周长为， 由椭圆的定义，可得， 所以，则，所以的离心率为． 故选：D. 5. 已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯形中位线的性质，结合点到直线的距离公式可得，即可根据离心率求解. 【详解】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线， 即，，，，， 则四边形是梯形，F是的中点， ，，所以， 双曲线的离心率为， 可得，可得：，解得， 则双曲线的方程为． 故选：C． 6. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线的方程求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点，从而求出，再由焦半径公式即可得解. 【详解】由，令，得，所以，所以，所以抛物线方程为，准线方程为：， 由，令，得，所以， 设，所以， 所以， 故选：D. 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】因为的渐近线上一点满足，且， 所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线C：，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C的焦点为和 D. 若，则C的长半轴长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆的标准方程，可得答案. 【详解】对于A，若，则C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线C：，所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则C：，为焦点在轴上的椭圆，焦点为和，故C错误； 对于D，若，则C：，所以C的长半轴长为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为上的点到焦点的距离为3，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交的准线于点为坐标原点，则（ ） A. B. 若，则直线的倾斜角为 C. 为常数 D. 的面积不小于的面积 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得A正确；由弦长公式可得，代入计算可得或，所以B错误；设出直线的方程为并与抛物线方程联立，由韦达定理可得，求出即可得，即C正确；求出弦长，再由点到直线距离公式可得三角形面积表达式为，即可知D正确. 【详解】因为上的点到焦点的距离为3， 根据抛物线的定义可知，所以，所以正确， 对于选项，易知，设直线的倾斜角为，如下图所示： 作于点，作于点， 则，可得， 同理可得， 所以， 令，则，因为，所以， 可得或，所以B错误； 对于选项：因为焦点，所以可设直线的方程为，即， 设，，联立，整理得0， 则，所以，所以， 则，代入抛物线，得，即， 则， 所以，故C正确； 对于D，结合选项C可得： ， 点到直线的距离为，点到直线的距离为， 则， ； 所以可得，即，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：抛物线中弦长与焦半径公式可根据题目条件的不同有很多形式，可以直接由相应结论代入计算即可，也可推导证明后再进行求解. 11. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的离心率为2，虚轴长为6，则该双曲线的实轴长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线基本量的关系求解即可. 【详解】依题意可得，解得，则 所以该双曲线的实轴长为． 故答案为：. 13. 已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______. 【答案】 【解析】 【分析】设出左焦点以及，利用椭圆定义表示出相关线段的长度，然后分别在直角中运用勾股定理，最后得到的关系式可求结果. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，      因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以. 故答案为：. 14. 已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为__________；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设点的坐标为，进而结合距离公式化简整理得点的轨迹方程为，再结合抛物线的定义，转化求解即可. 【详解】设点的坐标为，则， 因为，所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设抛物线的焦点为，则，故是抛物线的准线， 所以， 因为，所以， 所以， 此时，分别为线段与圆和抛物线的交点. 所以，的最小值为 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程可得，再应用焦点坐标结合可求得，即可得解； （2）求出直线方程，与双曲线方程联立可得关于x的一元二次方程，韦达定理求出、，直接代入弦长公式即可. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，∴，得，所以 ∴双曲线的方程为 【小问2详解】 由（1）知，双曲线的右焦点为， ∴经过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线l的方程为， 联立直线与双曲线方程，消y得， 设，，则，， 所以. 16. 在三棱台中，若平面，，，，、分别为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，由平行四边形性质可得，再利用线面平行的判定推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在三棱台中，连接，由分别为中点， 得，，而，， 则且，四边形是平行四边形， 于是，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由平面，，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的法向量为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合．直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． （1）求椭圆的方程： （2）若椭圆上存在点，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由条件列出关于的方程，解方程求，由此可得椭圆C的方程； (2)由求点P的坐标，根据点在椭圆上列方程求直线l的斜率即可得解. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为， 所以椭圆的右焦点， ，，又∵， ∴，， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图， 设直线l的方程为，，， 联立，消去y得， 则， 若四边形为平行四边形，则， 设 ∴，， ∵点P在椭圆上，∴， 解得，即， ∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为， 直线l的方程为，即或. 18. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解； （3）设直线的方程为，，，由平面共线向量的坐标表示可得、，列出方程化简即得解. 【小问1详解】 由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 【小问3详解】 由（1）得，直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点， 则直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，，， 则，因为，所以，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，可得，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，得， 因为，，所以，即． 19. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省衡水中学2025-2026学年高二上学期综合素质评价三（12月月考）数学试题 主命题人：王战普 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 2. 方程表示的曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上的点满足三点共线，且的周长为，则的离心率为（　　） A. B. C. D. 5. 已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线C：，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B. 若，则C是圆 C. 若，则C的焦点为和 D. 若，则C的长半轴长为 10. 已知抛物线的焦点为，准线为上的点到焦点的距离为3，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交的准线于点为坐标原点，则（ ） A. B. 若，则直线的倾斜角为 C. 为常数 D. 的面积不小于的面积 11. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的离心率为2，虚轴长为6，则该双曲线的实轴长为__________. 13. 已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是______. 14. 已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为__________；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 16. 在三棱台中，若平面，，，，、分别为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合．直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． （1）求椭圆的方程： （2）若椭圆上存在点，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程. 18. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 19. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $