精品解析：福建省宁德市古田县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

古田县2025-2026学年第一学期期中九年级质量检测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数据此解答即可． 【详解】解：∵ 方程中，的系数为3， ∴ 二次项系数为3． 故选：A 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 3. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，由平行四边形的性质得出，证明是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：∵的对角线相交于点， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5． 故选：C． 【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 5. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 6. 如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键． 栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【详解】解：如图所示， 将题中条件转化到上图中，， 即，求的长度， ，（对顶角）， ， ，即，解得， ∴长臂端点升高， 故选：B． 7. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 8. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的上部设计高度约是（结果精确到．参考数据：，，）（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 设雕像的下部高为，由黄金分割的定义得，求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为，则上部长为， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为， ∴ ∴， ∴． ∴该雕像的上部设计高度约是． 故选：B． 9. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质，结合已知，可证明，可得，连接，可得，可证明，对应角相等，可得，由三角形外角的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵点是的中点，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 12. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由，得，由，得即可解答． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为14． 13. 小明拿1米的竹竿立于地面，测其影长为米，同一时刻测得一棵树在太阳光下的影长为米，则这棵树的高为________米． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是：弄清楚哪两个量成何比例，于是列比例即可求解． 在同样的条件下，物体的高度与其影子的长度的比值是一定的，则物体的高度与其影子的长度成正比例，据此即可列比例求解． 【详解】解：设树高为米，根据题意得：竹竿高度与影长的比等于树高与影长的比， 即 ， 解方程：， 即这棵树的高为6米． 故答案为 6． 14. 如图，是一张边长为的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为______． 【答案】6.3 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意可得落在黑色区域的概率约为0.7，再列式计算即可得解，理解题意，正确得出落在黑色区域的概率约为0.7是解此题的关键． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴落在黑色区域的概率约为0.7， ∴该二维码黑色部分的总面积约为， 故答案为：6.3． 15. 如图，菱形顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，，．现将菱形绕点O顺时针旋转一定角度，使点C移动到点A原来位置，得到菱形，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于，由菱形的性质推出，求出，推出旋转后与轴重合，落到处，由含 30 度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，求出，即可得到点的坐标． 【详解】解：过作轴于， ∵四边形是菱形， ， ， ∵菱形绕点顺时针旋转，点C移动到点， ∴菱形绕点顺时针旋转， ∴旋转后与轴重合，落到处， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转，含 30 度角的直角三角形，勾股定理，关键是含 30 度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出的长． 16. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于的一元二次方程，按照图，构造图，在中，，连接，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，由题意得，，，又，则，得，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，． 【小问2详解】 解： ， 方程有两个不相等的实数根 ， ∴，． 18. 已知：如图，在中，是上一点，且，若，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：在与中， ∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“两角对应相等，两三角形相似”即可证明； （2）根据相似三角形的性质，对应边成比例得，将数值代入计算即可求出的长； 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 19. 已知在如图所示的平面直角坐标系中，与关于点P位似． （1）位似中心点P的坐标是 ； （2）以原点O为位似中心，在原点的异侧画，使它与位似，且相似比为2：1． 【答案】（1） （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）对应点连线的交点P即为所求的旋转中心； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 【小问1详解】 解：如图，点P的坐标为 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】（1）40，， 补全条形统计图如下： （2） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【小问1详解】 解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 故答案为：40， 【小问2详解】 解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的判定方法及性质是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合，由矩形的判定方法即可求证； （2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到，则，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，，即的长是． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1） （2）每个玩偶降价2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 23. 近年来，我国近视发生率呈明显上升趋势，近视已成为影响我国国民尤其是青少年眼健康的重大公共卫生问题．为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，如图，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称） （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高，那么小视力表中相应“”是多少米？ （2）乙生的方案中如果视力表的全长为，问至少为多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题为考查了相似三角形应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）证明，得到，代入相关数值即可求解； （2）证明，得到，求出，代入相关数值即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，， ， 又∵， ， ， 由题意知，，， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵，， ， ∵， ， ， 由题意知，，， ， ， ． 24. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为a，b． （1）若方程的两根相等，求k的值； （2）用含k的代数式表示； （3）是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系； （1）由方程的两根相等，得到，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，最后代入计算即可； （3）由得到，结合（2）中结论列方程求解即可． 【小问1详解】 解：已知关于x的一元二次方程， a，b为方程的两个实数根， 若方程的两根相等， 则， 即， 整理得， 解得． 【小问2详解】 解：∵a，b为方程的两个实数根 ∴，， ∴ ． 【小问3详解】 解：不存在，理由如下 若成立， 则有， 即， ∴， 整理得， 解得， ∵a，b为方程的两个实数根， ∴， 解得， ∵， 不存在满足条件的常数k，使得成立． 25. 综合实践 纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘． 【操作与发现】 如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到：． 又因为，，所以． 于是我们得出如下结论： （1）纸的长与宽之比为________． 【探究与计算】 矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为． （2）如图2，若点在边上时，求的值； 【探究与拓展】 （3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似图形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质； （1）依题意，即可得到，即，即纸的长与宽之比为； （2）由折叠得到四边形是矩形，结合，得到四边形是正方形，由纸的长与宽之比为，得到． （3）过点作，交于一点M，垂足为点N，由纸得到，结合折叠得到，再证明，得到，设，，则，，． 在中，利用， 解得，即可得到，最后代入计算即可． 【详解】解：（1）依题意， ∴或（舍去）， 即， 即纸的长与宽之比为， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵矩形是一张标准的纸，且（1）得纸的长与宽之比为， ∴． （3）过点作，交于一点M，垂足为点N， ∵矩形是一张标准的纸， ∴， ∵E为边的中点， ∴， ∴，即， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 设，， ∴，，． 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 古田县2025-2026学年第一学期期中九年级质量检测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 关于x的一元二次方程的二次项系数为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 0 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 5. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的上部设计高度约是（结果精确到．参考数据：，，）（ ）． A. B. C. D. 9. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是___________． 12. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 13. 小明拿1米的竹竿立于地面，测其影长为米，同一时刻测得一棵树在太阳光下的影长为米，则这棵树的高为________米． 14. 如图，是一张边长为的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为______． 15. 如图，菱形顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，，．现将菱形绕点O顺时针旋转一定角度，使点C移动到点A原来位置，得到菱形，则点D的坐标为________． 16. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于的一元二次方程，按照图，构造图，在中，，连接，若，则的值为______． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知：如图，在中，是上一点，且，若，，． （1）求证：； （2）求的长． 19. 已知在如图所示的平面直角坐标系中，与关于点P位似． （1）位似中心点P的坐标是 ； （2）以原点O为位似中心，在原点的异侧画，使它与位似，且相似比为2：1． 20. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 23. 近年来，我国近视发生率呈明显上升趋势，近视已成为影响我国国民尤其是青少年眼健康的重大公共卫生问题．为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，如图，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称） （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高，那么小视力表中相应“”是多少米？ （2）乙生的方案中如果视力表的全长为，问至少为多少米？ 24. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为a，b． （1）若方程的两根相等，求k的值； （2）用含k的代数式表示； （3）是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 25. 综合实践 纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘． 【操作与发现】 如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到：． 又因为，，所以． 于是我们得出如下结论： （1）纸的长与宽之比为________． 【探究与计算】 矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为． （2）如图2，若点在边上时，求的值； 【探究与拓展】 （3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $