精品解析： 广东省深圳市福田区外国语学校（集团）2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 说明： 答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1、考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2、全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中只有一个是正确的） 1. 下列给出的四条线段，是成比例线段的为（ ） A. B. C. ，，， D. 2. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 3. 下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 4. 在一个不透明的箱子里装有白球和红球共20个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，则箱子中红球的个数约是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 14 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，已知的顶点，若点的坐标为的面积为2，则的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，点为的中点，连接，平分角交于点，连接DF交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 如果，那么=__________． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根为3，则m的值为______． 11. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《海岛算经》的概率为_____________． 12. 将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点分别落在坐标轴上，且，则的坐标为_______． 13. 在等边三角形中，，为边上一动点，为的中点，连接，将沿翻折得到，连接，若，则_______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. （1）解一元二次方程： （2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得． 第一步 移项，合并同类项，得 第二步 系数化为1，得． 第三步 回答下列问题： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②一元二次方程正确的解应该是___________． 15. 已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； （2）以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________： （3）根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形，点的坐标为_______，位似比的值为_______； 16. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有 人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 ； （2）请补全条形统计图； （3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 17. 如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， （3）在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 18. 根据以下素材，探索完成任务： 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该数手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求需要降低多少元？ 19. 如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． （1）求路灯的高度． （2）当秒时，求影子的长？ （3）常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 20. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】 （1）如图1，在“对垂四边形”中，若，则_______，的值为_________； 【应用】 （2）如图2，在“对垂四边形”中，，为线段上一点，且，连结，求证： 【拓展】 （3）如图3，在对垂四边形中，已知，，，点为边上一动点，且，连接交于点，当点是的三等分点时，求此时的长，直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 说明： 答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1、考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2、全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中只有一个是正确的） 1. 下列给出的四条线段，是成比例线段的为（ ） A. B. C. ，，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、 ，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 2. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 3. 下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形、菱形和正方形的性质，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，即可得出答案． 【详解】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分， 故选：A． 4. 在一个不透明的箱子里装有白球和红球共20个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，则箱子中红球的个数约是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．根据利用频率估计概率可知摸到红球的概率为0.7，从而可以计算出红球的个数． 【详解】解：利用频率估计概率可知摸到红球的概率为0.7， ∴箱子中红球的个数约是（个）． 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，已知的顶点，若点的坐标为的面积为2，则的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握位似图形的性质，求出相似比是解题的关键． 先由得，，进而得，再利用位似三角形的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图，是蜡烛通过凸透镜所成的倒立，放大的实像．已知蜡烛的高度，物距，焦距，光线通过凸透镜的光心，折射光线通过凸透镜的右焦点，则像的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明四边形是矩形，可得，，再结合，，再建立方程组解题即可． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即①， ∵， ， ， ， ∴②， 由①②得： ， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，点为的中点，连接，平分角交于点，连接DF交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质． 过点F作于点Q，交于点P，先求出，再证明四边形是矩形得，，再证明，设，则，证明和相似，利用相似三角形性质得，则，然后证明和相似得，设，则，由此解得得，再根据即可得出答案． 【详解】解：过点F作于点Q，交于点P，如图所示： ∴， 在矩形中， ， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分角交于点F， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 如果，那么=__________． 【答案】. 【解析】 【详解】解：∵，∴，∴，∴=．故答案为． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根为3，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为3， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《海岛算经》的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法活画树状图求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别用表示， ∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下， 共有中等可能结果，其中恰好选中《海岛算经》的结果有种， ∴恰好选中《海岛算经》的概率为， 故答案为：． 12. 将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点分别落在坐标轴上，且，则的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，得到点D坐标是解答的关键．过D作轴于H，设小正方形的边长为a，先证明求得，再证明求得，，进而可得即可． 【详解】解：过D作轴于H，设小正方形的边长为a， 由题意，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在等边三角形中，，为边上一动点，为的中点，连接，将沿翻折得到，连接，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质及已知可证明为等边三角形，进而证明，则，设，则，，又，求得．作于点，则，可求得，，最后在中，勾股定理列方程求解后即可得的长； 【详解】解：由折叠可知，． 又， ， ∵ 为等边三角形． ，， ． ． 为等边三角形， ， ， ∵， ， ， 即， 设， 则，， 又， ， 则． 作于点，如图1所示： 则， ∴，， 在中，由勾股定理可得方程：， 整理得：， 解得（负根已舍）， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形性质，解一元二次方程，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. （1）解一元二次方程： （2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得． 第一步 移项，合并同类项，得 第二步 系数化为1，得． 第三步 回答下列问题： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②一元二次方程正确的解应该是___________． 【答案】（1）；；（2）①一；②，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）在第一步中，方程两边同除以，需要，故第一步开始出现错误； 运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴；； （2）解：在第一步中，方程两边同除以，需要，故小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ， 移项，得， 因式分解，得， 或， ，． 故答案为：，． 15. 已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； （2）以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________： （3）根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形，点的坐标为_______，位似比的值为_______； 【答案】（1） 如图：即为所求， （2） 如图：即为所画，点的坐标为． （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形变换（平移、位似），解题的关键是掌握平移的坐标变化规律和位似图形的性质． （1）根据平移的坐标变化规律，确定点的坐标； （2）以点为位似中心，按位似比缩放得到，确定的坐标； （3）根据位似图形的对应点连线交点确定位似中心，并计算位似比． 【小问1详解】 图形向下平移4个单位长度，坐标变化规律为“纵坐标减4”， 因为点的坐标为， 所以点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接并延长，其交点即为位似中心， 通过网格可得点的坐标为， 与的位似比为对应边的长度比，结合图形得位似比为． 故答案为：． 16. 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有 人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 ； （2）请补全条形统计图； （3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】（1） （2） 补全图形如下： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况之比． （1）根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例； （2）根据四个等级人数之和等于总人数求出“良”的人数即可补全图形即可． （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：接受测评的学生共有（人）， 扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为， 故答案为：160，； 【小问2详解】 解：等级为“良”的人数为（人）， 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况， ∴抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是． 17. 如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， （3）在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，为线段的中点， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是矩形； （2） 根据折叠得到，折痕平分，则尺规作的角平分线即可，如图所示， 或根据折叠得到， ，以点D为圆心，以为半径画弧交于点，过点F作的垂线即可，如图所示， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，且，由矩形的判定方法即可求证； （2）根据折痕平分，或根据角平分线的性质定理尺规作图即可； （3）由勾股定理得到，连接，过点B作于点，由等面积法得到，运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵点O是中点， ∴， 如图所示，连接，过点B作于点， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，尺规作角平分线，尺规作垂线，勾股定理等知识的综合运用，掌握矩形的判定和性质，尺规作图的方法，勾股定理的计算是关键． 18. 根据以下素材，探索完成任务： 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该数手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求需要降低多少元？ 【答案】任务1：；任务2：需要降低15元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，根据两天票房收入从6万元变成万元列出方程求解即可； （2）设降价元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据总利润等于每个的利润乘以销售量列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 由题意得，， 解得（不符合题意，舍去） 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设降价元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得， 整理得， 解得 ∵要尽可能减少库存， ． 答：需要降低15元． 19. 如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． （1）求路灯的高度． （2）当秒时，求影子的长？ （3）常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【答案】（1）9.6米 （2）米 （3）①米；② 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证，用相似比求高度； （2）由证，代入求长度； （3）①用相似比表示出、，相加得的表达式； ②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度． 【小问1详解】 解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； 【小问2详解】 解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； 【小问3详解】 解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 20. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】 （1）如图1，在“对垂四边形”中，若，则_______，的值为_________； 【应用】 （2）如图2，在“对垂四边形”中，，为线段上一点，且，连结，求证： 【拓展】 （3）如图3，在对垂四边形中，已知，，，点为边上一动点，且，连接交于点，当点是的三等分点时，求此时的长，直接写出答案． 【答案】（1）；； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，三角函数的计算，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）先证明，，由此证明，得到，再由，即可证得； （3）分两种情况：①当点M是靠近点E的三等分点时，②当点M是靠近点C的三等分点时，分别求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2） 略 （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B、C、E、D四点共圆， ∴， ①当点M是靠近点E的三等分点时，即， 设，则， ∴， 在中，， 过点D作于点Q， 则 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， 解得， ∴ ②当点M是靠近点C的三等分点时，即， 同理可得 综上，的长为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $