精品解析：河南省周口市沈丘县几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中学业测评卷 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 若二次根式有意义，则实数x的值可以是（ ） A. 5 B. 0 C. 3 D. 2. 如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的树，已知一只小兔子沿直线从一棵树跑到另一棵树跑了，则两棵树在竖直方向上的高度差为（ ） A. B. C. D. 3. 用公式法解一元二次方程时，的值为（ ） A. B. 8 C. 16 D. 17 4. 的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 8. 如图，在中，，点D在上，平分． 已知，点E为的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，点A的坐标为，过点A作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点落在边上，延长交x轴于点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 在平面直角坐标系中，若点关于原点的对称点的坐标是 ，则的值为___________ 12. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a+2b+c=0，则该方程一定有一个根为__________． 13. 已知代数式：与的值互为相反数，则整数x的值为 _____________ 14. 如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是_________________． 15. 如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形的对角线上时，则的长为___________． 三、解答题 (本大题共8个小题，共75分) 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）以点M为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点、、的坐标． 18. 小红准备完成试卷上的题目计算： 时，发现“*”处的数字印刷不清楚，她翻看了答案，发现最终结果是 请通过计算帮她求出“*”处的数字． 19. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 20. 如图，在中，，的垂直平分线与，的交点分别为，．若，，求的长和的值． 21. 如图，D是的边上的一点，且 于E，于F，求证： 22. 为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划建一处劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长米），另外三边用篱笆围成如图1所示的矩形，所用的篱笆长米，设垂直于墙的一边长为米． （1）珍珍按图1的方案进行设计得出该矩形劳动实践基地的面积为平方米，求她设计的的长； （2）为了让师生进出方便，老师修改了图1的方案，在平行于墙的一边（边）上留出一个宽的小门，如图，使得围成的矩形劳动实践基地的而积为平方米，求此时的长度． 23. 综合与实践 （1）观察判断 如图1，四边形为正方形，点E，F分别为边上一点 (不与端点重合)，以为邻边在正方形的内部构造它的相似图形，连接，则与的数量关系是 ; （2）迁移探究 如图2，当正方形变成矩形，且，，其他条件不变． ①当时，与的数量关系是 ； ②若将矩形绕点B逆时针旋转，连接，试判断与之间满足怎样的数量关系（用含n的式子表示），并说明理由． （3）拓展延伸 在（2）条件下，当时，矩形旋转至D，G，E三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学业测评卷 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 若二次根式有意义，则实数x的值可以是（ ） A. 5 B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项中的值符合题意， 故选：A． 2. 如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的树，已知一只小兔子沿直线从一棵树跑到另一棵树跑了，则两棵树在竖直方向上的高度差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，根据角所对直角边等于斜边一半解答即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， 故选：B． 3. 用公式法解一元二次方程时，的值为（ ） A. B. 8 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 4. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值是解决问题的关键．根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 5. 下列式子计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的加法、乘法、减法和除法逐一计算即可． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、不等于，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．先证明与相似，再根据位似图形的概念判断． 【详解】解：根据网格信息可知：的三边长分别为1，2，， 的三边长分别为2，4，， 与的三边对应成比例， ∴与相似， ∵与对应点连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上， ∴与是位似图形， 故选∶D． 7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根的判别式，先根据一元二次方程无实数根的条件求出n的范围，再根据反比例函数的性质判断图象所在象限． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数中，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：A． 8. 如图，在中，，点D在上，平分． 已知，点E为的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，得到，再由点E为的中点，得到，即可解答． 【详解】解：∵，点D在上，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴． 故选∶ C． 9. 如图，点A的坐标为，过点A作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点落在边上，延长交x轴于点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 根据点A坐标为，轴于点，得到，得到，根据，得到，由旋转性质得到，，得到，得到，求得，即得点B的坐标． 【详解】解：∵点A坐标为，轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点． 故选：C． 10. 如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点函数图象问题、余弦，由图象可得当点P在起点时，，当点P与点B重合时最长为，此时，由勾股定理得，求得，从而可求出． 【详解】解：由图象可得当点P在起点C时，， 当点P与点B重合时最长为，此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 在平面直角坐标系中，若点关于原点的对称点的坐标是 ，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出答案． 【详解】解：∵关于原点的对称点是， ∴，． 解得． ∴． 故答案为：． 12. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a+2b+c=0，则该方程一定有一个根为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程 得： 所以方程有一根为 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的含义是解题的关键． 13. 已知代数式：与的值互为相反数，则整数x的值为 _____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相反数的意义，解一元二次方程，根据相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程并化简为一元二次方程，利用求根公式求解，并筛选整数解． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， 化简得 ， 解得，， 所以，整数的值为． 故答案为：． 14. 如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是_________________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形的对角线上时，则的长为___________． 【答案】或6 【解析】 【分析】先证明，得出，，然后分F在和上讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：过F作于H， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 设，则， 当F在上时，如图， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； 当F在上时，如图， 同理， ∴，即， 解得， ∴F与C重合， ∴， 综上，的长为或6． 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 三、解答题 (本大题共8个小题，共75分) 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）将特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】解：（1）， ， 或， 解得，； （2） ． 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）以点M为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点、、的坐标． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2） 如图所示：即为所求． 其中，，． 【解析】 【分析】（1）找出、、点关于轴的对称点、、，依此连接三点即可得出图形； （2）连接并延长到，使得，同样做法找出点、，依此连接三点即可得出图形，继而得出坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图中的轴对称变换、位似变换，解题的关键是：（1）根据轴对称做出图形；（2）根据位似变换做出图形．本题属于中档题，难度不大，作图中一定要保留作图痕迹，这样才能拿到满分． 18. 小红准备完成试卷上的题目计算： 时，发现“*”处的数字印刷不清楚，她翻看了答案，发现最终结果是 请通过计算帮她求出“*”处的数字． 【答案】“*”处的数字为3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，计算即可求解． 【详解】 ∴“*”处的数字为3 19. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 20. 如图，在中，，的垂直平分线与，的交点分别为，．若，，求的长和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形． 在中，根据，，求得的长，根据勾股定理求得，根据垂直平分线的性质得出，继而求得，在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，D是的边上的一点，且 于E，于F，求证： 【答案】 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 先证明，继而推导出，得到，则，即，即可解答． 【详解】略 22. 为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划建一处劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长米），另外三边用篱笆围成如图1所示的矩形，所用的篱笆长米，设垂直于墙的一边长为米． （1）珍珍按图1的方案进行设计得出该矩形劳动实践基地的面积为平方米，求她设计的的长； （2）为了让师生进出方便，老师修改了图1的方案，在平行于墙的一边（边）上留出一个宽的小门，如图，使得围成的矩形劳动实践基地的而积为平方米，求此时的长度． 【答案】（1）的长米． （2）的长米． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用． （1）设垂直于墙的一边长为米．则米，再利用面积公式建立方程即可； （2）设垂直于墙的一边长为米．则米，再利用面积公式建立方程即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长为米．则米， ∴ 整理得： 即 解得： 当时， 不合题意舍去， ∴ 此时的长米． 【小问2详解】 设垂直于墙的一边长为米．则米， ∴ 整理得： 解得： 当时， 不合题意舍去， ∴ 此时的长米． 23. 综合与实践 （1）观察判断 如图1，四边形为正方形，点E，F分别为边上一点 (不与端点重合)，以为邻边在正方形的内部构造它的相似图形，连接，则与的数量关系是 ; （2）迁移探究 如图2，当正方形变成矩形，且，，其他条件不变． ①当时，与的数量关系是 ； ②若将矩形绕点B逆时针旋转，连接，试判断与之间满足怎样的数量关系（用含n的式子表示），并说明理由． （3）拓展延伸 在（2）条件下，当时，矩形旋转至D，G，E三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）由，则，即可求解； （2）①由，则，即可求解； ②证明，则； （3）当D、G、E共线时，则，则，即可求解；当D、E、G共线时，同理可解． 【小问1详解】 解：如图1，延长交于点M，延长交于点N， ∴四边形是正方形的相似图形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴，， ∴四边形、是矩形， ∴，，，, ∴， ， ∴, ∵， ∴四边形是矩形， 又, ∴四边形是正方形， ∴为正方形的对角线， ∴， 连接，则为正方形的对角线， ∴, 又, ∴， ∴D、G、B三点共线，即为正方形的对角线， ∵， ∴, ∴， ∴， 故答案为；； 【小问2详解】 解：①连接，如图2， 由（1）根据四边形和相似得，，, ∴, ∴， ∴点在上，即D、G、B三点共线， ∴为矩形的对角线， 设，则， 则， ∵， 同理可得， 故答案为：； ②当， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 如图，连接， 由题意得，， 则， ∵四边形和相似， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当D、G、E共线时，如图， 由题意得：，则， 连接， 则， 则， 则， 当D、E、G共线时，如图， 由上可知，， 则， 综上，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $