2025年九年级数学几何模型研究大讲堂 专题二十五 共顶点旋转模型

初中数学几何模型研究大讲堂 专题二十五：共顶点旋转模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，绕点旋转得到新的三角形．（无重叠型共顶点旋转模型） 1.旋转得到的三角形全等. 如图，绕点旋转得到新的三角形，其中一边与原三角形一边相交．（有重叠型共顶点旋转模型） 1.旋转得到的三角形全等. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 旋转的相关知识点 求线段长、角度 1. 在选择或填空题中考查： （1）求线段长或角度 2. 常在解答题中进行简单计算与证明 运用旋转的相关知识点，结合全等解题 PART 2——模型思路. 旋转作为重要的图形变化，全等中常常出现旋转产生的图形，其中，中心对称算作一种特殊的旋转。平移、翻折（轴对称）、旋转均属于全等变换，是重要的知识点，该模型建议结合之前的手拉手专题一起学习，手拉手模型是共顶点旋转的难点与重点，本专题主要准备了简单的选填和旋转类全等的补充题目，其中有需作辅助线的难题. PART 3——模型练习. 1.（2023·重庆育才自主）若如图，将绕点A逆时针旋转得到， 若，且于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据直角三角形的性质可得，再由求解即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 2.（2023·重庆育才月考）如图，将绕点B逆时针旋转到的位置，使得，则的度数为 ．    【答案】/55度 【分析】根据旋转的性质得出，根据等边对等角得出，最后根据，即可得出． 【详解】解：∵绕点B逆时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，平行线的性质，解题的关键是掌握旋转前后，对应边的夹角等于旋转角；两直线平行，内错角相等． 3.（2025·西藏拉萨期末）如图，在中，点，分别在，上，，相交于点，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，对顶角相等，全等三角形的判定与性质等知识，由四边形是平行四边形，则，所以，然后证明，最后通过全等三角形的性质即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4.（原创）如图所示，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； 根据全等三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 5.（2024·重庆渝北校级月考）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， ， 又∵， ∴． 故选：B． 6.（2023·福建福州校级月考）如图，已知，点在上，与交于点．若，，则 ． 【答案】/65度 【分析】根据可求出，由题意可知，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查的全等三角形中对应角的关系，理解全等三角形中对应角相等，找出角与角的和差关系是解题的关键． 7.（2025·宁夏银川唐徕三模）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)若，则四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解； （2）由（1）知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D是的中点； （2）解：若，则四边形是矩形．证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 8.（2025·安徽淮北期末）如图，，对于下列结论其中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可知对应角相等，对应边相等，据此判断即可得出答案． 【详解】解：， ，，，，， 选项、正确，不符合题意； 选项错误，符合题意； ， 即：， 选项正确，不符合题意； 故选：． 9.（2024·重庆育才自主）如图，，线段的延长线过点E，与线段交于点F，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的内角和定理求得；然后由全等三角形的对应角相等得到．则结合已知条件易求的度数；最后利用的内角和是180度和图形来求的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． 10.（2024·辽宁辽阳校级阶段）如图1，平行四边形的对角线相交于点O，直线过点O分别与相交于点， (1)求证：． (2)若直线分别与的延长线相交于（如图2），请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的面积公式，平行线间的距离最短，解（1）（2）的关键是判断出. （1）由四边形是平行四边形，易证得，即可得； （2）由四边形是平行四边形，易证得，即可证得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：成立．理由： 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， . 11.（2025·山东日照校级月考节选）如图，在中，于点D，，点在上，，连接． (1)求证：； (2)如图，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质： （1）判定和全等即可作答； （2）在上截取，连接，延长交于，先证明和全等，再计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴. （2）如图3，在上截取，连接，延长交于， 由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 12.（2024·福建福州期中）【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容． 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？ (1)【应用发现】 小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究： 如图1，如果和中，，，．则可证． 证明：在上取一点，使． ，①______． 又 而．②______． ，③______． 又．（AAS）． ． 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③④所缺的内容． 总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形． (2)【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若，求证：点为的中点； （说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分） ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②；③ (2)①见解析；② 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）在上取一点，使，证明，即可判定，进而求解； （2）①法一：在上取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法二：在的延长线取一点，使得，利用即可判定，进而求解；法三：过点作于点，过点作交的延长线于点，利用分别证明和，进而求解；②根据等边三角形的性质可得，，， 在上取点使得，进而判定是等边三角形，进而判定，即可求解； 【详解】（1）解： 证明：在上取一点，使． ， ． 又 而． ． ， ． 又． ． ． 故答案为：；； （2）①法一：证明：在上取一点，使得， 则， ， ， ， ， ， 即， 在与中 ， ， ， 点为的中点； 法二：证明：在的延长线取一点，使得， 则 ， ， ， ， ， ， 在与中 ， 点为的中点； 法三：证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， 在与中， ， ， 点为的中点； 证明：在的延长线取一点，使得， 则， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 点为的中点， ② 详细解答如下： 依题意画出图形如图所示， 为等边三角形， ，，， 在上取点使得， 是等边三角形， ∴，， ，， ， 又点为的中点， ， ， 在与中 ， ， 又， ， . 13.（2025·重庆云阳期中节选）如图，平行四边形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠ABE＝∠CDG＝∠FDG．求证：AB＝BF+DF． 【答案】详见解析 【分析】过点C作CP⊥DG于M，交DF的延长线于点P，过点B作BQ⊥DG于Q，连接BP，证明△CMD≌△PMD，得到CD=PD，证明GM是△BCP的中位线，得出∠DPC+∠BPF=90°，根据四边形BQMP是矩形，证得∠PBF=∠BPF，得到BF=PF，由此得到结论. 【详解】过点C作CP⊥DG于M，交DF的延长线于点P，过点B作BQ⊥DG于Q，连接BP， ∴∠CMD=∠PMD=∠BQM=90°， ∵∠CDG＝∠FDG，DM=DM， ∴△CMD≌△PMD， ∴CD=PD， ∴∠DPC=∠DCP=∠DCB+∠BCP，CM=PM， ∵点G是BC的中点， ∴GM是△BCP的中位线， ∴GM∥BP， ∴∠BPC=∠CMD=90°， ∴∠DPC+∠BPF=90°， ∵∠CMD=∠BPC=∠BQM=90°， ∴四边形BQMP是矩形， ∴∠QBP=90°， ∴∠QBC+∠CBF+∠PBF=90°， ∵BQ∥CP，CD∥AB， ∴∠QBC=∠BCP，∠CBF=∠DCB， ∴∠PBF+∠DCP=∠PBF+∠DPC， ∴∠PBF=∠BPF， ∴BF=PF， ∴AB=CD=DP=DF+BF. 【点睛】此题考查了平行四边形的性质定理，全等三角形的判定及性质定理，等腰三角形的判定及性质定理，矩形的判定及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质. 14.（2025·江西宜春期中）【基础回顾】 （1）如图1，，且点D在边上，求证：平分． 【变式探究】 （2）如图2，，，且点E在上，若的延长线与交于点F．求证：点F在的平分线上． 【问题解答】 （3）如图3，在四边形中，，，的平分线与交于点E，且，，请直接写出四边形的面积（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理与判定定理，等腰三角形的性质，灵活运用角平分线性质定理与判定定理是解答本题的关键． （1）由得出，，由可得出，从而得出结论； （2）根据证明可得结论； （3）根据求出，过点作于点，得，；过点作于点，证明，得到，求出，根据可得结论． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分． （2）证明：连接，如图， ∵， ∴，， 又点E在上， ∴在上， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线上，即：点F在的平分线上． （3）∵， ∴， ∴； 过点作于点，如图， ∵平分，， ∴， ∴； 过点作于点， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 又， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 15.（2023·重庆开州校级月考）如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若，点N为上一点，，求证：； （3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或 【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AB=4，BD=AB=1，即可得出的长； （2）在BD上截取DF=EN，可证出，由全等三角形的性质得AN=AF，，可得出，则，可得，即F是BC的中点，可得出AN=AF=FC=DF+CD=EN+CD； （3）由题意可得AD=AE，，，分三种情况：①AM=MD，②AM=AD，③AD=MD，根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴BC=2AB=4，， ∵ ∴， ∴BD=AB=1， ∴=BC-BD=4-1=3； （2）证明：如图2，在BD上截取DF=EN， ∵把绕点A逆时针旋转90°，得到， ∴AD=AE，，， ∵， ∴， ∴， ∴AN=AF，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵AN=AF， ∴， ∴，即F是BC的中点， ∴AF=FC=DF+CD=EN+CD， ∵AN=AF， ∴； （3）解：由题意可得AD=AE，， ∴， 分三种情况： ①AM=MD时， ∵AM=MD， ∴， ∴， ∵， ∴； ②AM=AD时， ∵AM=AD， ∴， ∵， ∴； ③AD=MD时， ∵AD=MD， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴当为等腰三角形时，的度数为或或． 【点睛】本题主要考查了几何变换综合题，需要熟练掌握旋转的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题． PART 4——模型变式. 【变式1】（2024·湖北武汉校级月考）如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是（　　　） A．63° B．58° C．54° D．52° 【答案】C 【分析】先根据三角形的外角性质求出，再由绕点C按逆时针方向旋转得到，从而得到，证明，再利用平角为即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴∠ACB=∠DCE， ∴， ∴， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得． 【变式2】（2024·重庆八中期末模拟）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，，，又, ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、三角形的内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键． 【变式3】（2023·西藏）如图，已知，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先由题意可证，可得，再根据等式的性质即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 【变式4】（2025·重庆渝北校级期中）如图，点在边上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见详解； (2)； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）根据得到，结合，得到即可得到，从而得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合，即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式5】（2025·海南海口期中）如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ， 即， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题二十五：共顶点旋转模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，绕点旋转得到新的三角形．（无重叠型共顶点旋转模型） 1.旋转得到的三角形全等. 如图，绕点旋转得到新的三角形，其中一边与原三角形一边相交．（有重叠型共顶点旋转模型） 1.旋转得到的三角形全等. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 旋转的相关知识点 求线段长、角度 1. 在选择或填空题中考查： （1）求线段长或角度 2. 常在解答题中进行简单计算与证明 运用旋转的相关知识点，结合全等解题 PART 2——模型思路. 旋转作为重要的图形变化，全等中常常出现旋转产生的图形，其中，中心对称算作一种特殊的旋转。平移、翻折（轴对称）、旋转均属于全等变换，是重要的知识点，该模型建议结合之前的手拉手专题一起学习，手拉手模型是共顶点旋转的难点与重点，本专题主要准备了简单的选填和旋转类全等的补充题目，其中有需作辅助线的难题. PART 3——模型练习. 1.（2023·重庆育才自主）若如图，将绕点A逆时针旋转得到， 若，且于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2.（2023·重庆育才月考）如图，将绕点B逆时针旋转到的位置，使得，则的度数为 ．    3.（2025·西藏拉萨期末）如图，在中，点，分别在，上，，相交于点，且，求证：． 4.（原创）如图所示，．若，，则（   ） A． B． C． D． 5.（2024·重庆渝北校级月考）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6.（2023·福建福州校级月考）如图，已知，点在上，与交于点．若，，则 ． 7.（2025·宁夏银川唐徕三模）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． (1)求证：D是的中点； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 8.（2025·安徽淮北期末）如图，，对于下列结论其中不正确的是（   ） A． B． C． D． 9.（2024·重庆育才自主）如图，，线段的延长线过点E，与线段交于点F，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10.（2024·辽宁辽阳校级阶段）如图1，平行四边形的对角线相交于点O，直线过点O分别与相交于点， (1)求证：． (2)若直线分别与的延长线相交于（如图2），请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 11.（2025·山东日照校级月考节选）如图，在中，于点D，，点在上，，连接． (1)求证：； (2)如图，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 12.（2024·福建福州期中）【教材呈现】如图为人教版八年级上册数学教材第页的部分内容． 思考：如图，把一长一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？ (1)【应用发现】 小明通过以上思考得到结论：有两边和其中一边的对角分别相等（即“”对应相等）的两个三角形不一定全等．同时他受此启发，展开了以下探究： 如图1，如果和中，，，．则可证． 证明：在上取一点，使． ，①______． 又 而．②______． ，③______． 又．（AAS）． ． 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点，使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③④所缺的内容． 总结发现：两个三角形中，当一角和它所对的边对应相等，另一组对应角互补时，此时这两个三角形不全等，但可通过“割大或补小”构造全等三角形． (2)【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若，求证：点为的中点； （说明：用一种解题思路解答正确即得5分，用两种思路解答全部正确得满分8分） ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，且满足，请直接写出的值． 13.（2025·重庆云阳期中节选）如图，平行四边形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠ABE＝∠CDG＝∠FDG．求证：AB＝BF+DF． 14.（2025·江西宜春期中）【基础回顾】 （1）如图1，，且点D在边上，求证：平分． 【变式探究】 （2）如图2，，，且点E在上，若的延长线与交于点F．求证：点F在的平分线上． 【问题解答】 （3）如图3，在四边形中，，，的平分线与交于点E，且，，请直接写出四边形的面积（用含m的代数式表示）． 15.（2023·重庆开州校级月考）如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，若，点N为上一点，，求证：； （3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数． PART 4——模型变式. 【变式1】（2024·湖北武汉校级月考）如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是（　　　） A．63° B．58° C．54° D．52° 【变式2】（2024·重庆八中期末模拟）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 【变式3】（2023·西藏）如图，已知，，．求证：．    【变式4】（2025·重庆渝北校级期中）如图，点在边上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【变式5】（2025·海南海口期中）如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $