精品解析：吉林省长春市第四十五中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试题

2025-2026学年（上）45中九年级数学月考 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数． 根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是二次函数，不符合题意； B．不是二次函数，不符合题意； C．是二次函数，符合题意； D．不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 3. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 5. 已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 6. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 7. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 8. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 二、填空题（每空4分，共24分） 9. 二次函数的图象的开口向___________． 【答案】下 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 10. 函数的图象是抛物线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为． 12. 已知，当x_____________时，函数值y随x的增大而减小 【答案】＜-1 【解析】 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，由此判断增减性． 【详解】解：∵抛物线，a=＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴x=-1， ∴当x＜-1时，函数值y随x的增大而减小． 故答案为：＜-1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．关键是根据开口方向及对称轴判断函数的增减性． 13. 函数，当时，y随x的增大而_____ （填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质和图像，掌握相关知识是解决问题的关键．的图像开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：的图像开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 故答案为：减小． 14. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，图像从左至右呈下降趋势.其中正确的结论是_______________（只填序号）. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：在抛物线中， ∵， ∴抛物线的开口向下；①正确； ∴对称轴为直线；②错误； ∴顶点坐标为；③正确； ∴时，图像从左至右呈下降趋势；④正确； ∴正确的结论有：①③④； 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 三、解答题（共44分） 15. 已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）开口方向： ； （2）对称轴： ； （3）顶点坐标： ． 【答案】（1）向上 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式性质解答即可﹒ （1）根据，即可得到抛物线开口向上； （2）由抛物线顶点式即可得到对称轴为直线； （3）由抛物线顶点式即可得到顶点坐标为﹒ 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上﹒ 故答案为：向上； 【小问2详解】 解：由抛物线解析式可得到抛物线对称轴为直线﹒ 故答案为：； 【小问3详解】 解：由抛物线解析式可得到抛物线顶点坐标为﹒ 故答案为： 16. 已知二次函数的图象如图所示，求的面积． 【答案】1 【解析】 【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积． 【详解】解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点在图像上且在轴上，即时的坐标 ∴ ∴ ∴的面积 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键． 17. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求点到线段的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解； （2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． （2）在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． （3）在图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 如图，即为所求： （3） 如图，即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了格点图中画相似三角形，位似三角形，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）根据相似比取、的中点即可． （2）连接，分别取、、的中点、、，连接，即可． （3）取格点，满足；取格点，满足，，连接，与的交点即为，连接，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作法：取格点，满足；取格点，满足，， 连接，与的交点即为，连接，即为所求． 理由：， ， ， ． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式：________． （2）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）认真观察图象，回答下列问题： ①当时，y的取值范围是________ ②当函数时，x的取值范围是________ ③已知点，，都在此二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】（1） （2） 画函数图象如下所示： ； （3）①；②或；③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可； （3）①根据函数图象即可得到答案；②根据函数图象可得答案；③根据（1）（2）所求可得开口方向向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：列表如下： 0 1 2 3 4 【小问3详解】 解：①由函数图象可知，当时，； ②由函数图象可知，当时，或； ③由（1）可知抛物线的对称轴为直线， 由函数图象可知，函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，都在此二次函数的图象上，且， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）45中九年级数学月考 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 5. 已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每空4分，共24分） 9. 二次函数的图象的开口向___________． 10. 函数的图象是抛物线，则___________． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 已知，当x_____________时，函数值y随x的增大而减小 13. 函数，当时，y随x的增大而_____ （填“增大”或“减小”）． 14. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，图像从左至右呈下降趋势.其中正确的结论是_______________（只填序号）. 三、解答题（共44分） 15. 已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）开口方向： ； （2）对称轴： ； （3）顶点坐标： ． 16. 已知二次函数的图象如图所示，求的面积． 17. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求点到线段的距离． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． （2）在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． （3）在图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式：________． （2）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）认真观察图象，回答下列问题： ①当时，y的取值范围是________ ②当函数时，x的取值范围是________ ③已知点，，都在此二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $