精品解析：安徽省阜阳市太和县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级阶段性评价 数学（人教版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. “二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A B. C. D. 3. 二次函数与x轴的交点坐标是（ ） A （3，0）（-1，0） B. （-3，0）（1，0） C （0，3）（0，-1） D. （0，-3）（0，1） 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 5. 下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出，问户高、广、斜各几何？这段话的意思：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门的高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门宽是（　　） A. 6尺 B. 8尺 C. 10尺 D. 12尺 8. 若二次函数，当时，随增大而减小，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 4 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的图象关于直线对称，则______． 12. 正方形绕其对角线交点至少旋转______度能与自身重合． 13. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 14. 如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）若点是中点，则_______； （2）若点是边的中点，连接，则的最小值是_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 用适当方法解方程：． 16. 如图，顶点坐标分别为． （1）画出关于点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 若抛物线经过点和点，试比较与的大小． 18. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 20. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的门（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少？最大面积是多少？ 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在正方形中，点分别在正方形的边上，，连接． （1）思路梳理：将绕点逆时针旋转至，如图1，使与重合，易证，可证，故，，之间的数量关系为______； （2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到正方形的边的延长线上，，连接，猜想之间的数量关系并给出证明； （3）联想拓展：如图3，等腰，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中分别与线段交于点，若，，则的长为_______． 八、（本题满分14分） 23. 若抛物线（为常数）的顶点的横坐标比抛物线的顶点的横坐标大． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （）若，求的最大值； （）当，且时，始终有，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级阶段性评价 数学（人教版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. “二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形) ． 根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，根据点 关于原点对称的点的坐标为求解. 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴对称点的坐标为， 故选：C. 3. 二次函数与x轴的交点坐标是（ ） A. （3，0）（-1，0） B. （-3，0）（1，0） C. （0，3）（0，-1） D. （0，-3）（0，1） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：令y=x2+2x-3=0，求出x的值，即可求出抛物线y=x2+2x-3与x轴交点的坐标． 解：令y=x2+2x−3=0， 即(x+3)(x−1)=0， 解得x1=−3,x2=1， 所以抛物线y=x2+2x−3与x轴交点的坐标是(−3,0),(1,0)， 故选B. 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移变换；根据平移规则“左加右减，上加下减”，直接计算新顶点坐标即可得到新解析式. 【详解】解：原抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度； ∴ 新抛物线解析式为 ； 故选：C. 5. 下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：B． 6. 如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，然后由旋转的性质得到． 【详解】解：根据旋转的性质，可得，， ， 由旋转的性质得，． 故选：D． 7. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出，问户高、广、斜各几何？这段话的意思：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门的高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门宽是（　　） A. 6尺 B. 8尺 C. 10尺 D. 12尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用和一元二次方程解法，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 设门高为尺，根据题意，竿长为尺，门宽为尺，对角线为尺，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】设门高为尺， 竖放，竿比门高长出尺， 竿长， 横放，竿比门宽长出尺， 门宽， 斜放，竿与对角线相等， 对角线， 根据勾股定理可得：， ， ， ， ， （舍去）或， 门宽尺； 故选． 8. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴在时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴必须在左侧，即， ∴m的取值范围是， 故选：C． 9. 如图，边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形旋转、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求证是解题的关键． 把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的性质发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再而求得公共部分的面积． 【详解】解：设与相交于点O，连接． 根据旋转的性质，得，则． 在和中， ， ∴． ∴． 设，则， 又∵，， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴． ∴公共部分的面积． 故选：B． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线的开口方向，对称轴位置可判断①②，根据图象可得当时，可判断③，由图像可得时函数值最大，可得，进一步可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ，故①正确，符合题意； 对称轴为， ，即，故②正确，符合题意； 由图可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 抛物线开口方向向下，且对称轴为， 时，取最大值， 当时，， 当时，， ，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的由①②③． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的图象关于直线对称，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴性质，解题的关键是掌握二次函数对称轴的计算公式． 利用二次函数的对称轴公式，代入与对称轴，计算求解的值． 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为； 已知，对称轴为，则； 化简得，解得． 故答案为：4． 12. 正方形绕其对角线交点至少旋转______度能与自身重合． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，旋转的性质，正方形是中心对称图形，绕其对称中心（即对角线交点）旋转一定角度能与自身重合，最小旋转角度为90度． 【详解】正方形的对称中心是对角线的交点． 因为， 所以至少旋转90度能与自身重合． 故答案为：90． 13. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集，正确数形结合分析是解题的关键． 详解】∵直线与抛物线交于，两点， ∴根据图象可知，关于的不等式解集是， 故答案为：． 14. 如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）若点是中点，则_______； （2）若点是边的中点，连接，则的最小值是_______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，由旋转可得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由（1）可知点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，如图，过点作于点，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ∴， ∴， ， ∵点是中点，是等边三角形， ∴； （2）由（1）可知点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， ∵点是边的中点， ∴， 在中，， ， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值是， 故答案为4，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 用适当方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 所以． 16. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出关于点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 若抛物线经过点和点，试比较与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出对称轴为直线，再根据抛物线的开口向上，得出当抛物线的开口向上时，随的抛物线上的点与对称轴距离越大，函数值越大，进而可得出答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， 又，即抛物线的开口向上， 抛物线上的点与对称轴距离越大，函数值越大， ． 18. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式列不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，然后代入得到关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得． 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ， 又 ， 解得：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，解题的关键是熟练运用知识点进行解题． （1）根据题中所给的信息通过证出； （2）由题意可得，，又根据，得出，再根据勾股定理的逆定理得出，等量代换得出． 小问1详解】 证明：由题意可得：， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据对称性求出点B的坐标，进而求出的长，设出点P的坐标，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：将的坐标代入，得， 解得 抛物线的解析式为． 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得对称轴为直线 ∵， ∴， ． 设，则 ． 抛物线的顶点坐标为，开口向上， ， 解得， 此时点坐标为或． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的门（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少？最大面积是多少？ 【答案】（1）10米 （2）与墙平行的边的长度为23米时，花圃的面积最大，是平方米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求面积S最大值t时的值． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得，解得 答：与墙垂直的边的长度为10米； 【小问2详解】 解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 当时，有最大值， 答：当与墙平行的边的长度为23米时，花圃的面积最大，是平方米. 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在正方形中，点分别在正方形的边上，，连接． （1）思路梳理：将绕点逆时针旋转至，如图1，使与重合，易证，可证，故，，之间的数量关系为______； （2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到正方形的边的延长线上，，连接，猜想之间的数量关系并给出证明； （3）联想拓展：如图3，等腰，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中分别与线段交于点，若，，则的长为_______． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 如图1所示： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴，即． 故答案为：； 【小问2详解】 ． 证明：如图2所示． ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴点C、D、G在一条直线上． ∴，，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴； 【小问3详解】 把旋转到的位置，连接，则． ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形． 八、（本题满分14分） 23. 若抛物线（为常数）的顶点的横坐标比抛物线的顶点的横坐标大． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （）若，求的最大值； （）当，且时，始终有，求的值． 【答案】（1）； （2）（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （）由二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，得，然后求解即可； （）（）先求出，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （）由（）可知，又，则，从而得到，所以，整理可得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（）∵点在二次函数的图象上，， 又点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值为； （）由（）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，整理可得：， 解得：或， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $