期末复习07 勾股定理的简单应用讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学复习讲义通过核心思路提炼、解题步骤拆解和易错点表格归纳，系统梳理了勾股定理应用的知识体系，覆盖网格计算、折叠问题、旗杆高度等14个知识点，构建从基础模型到综合场景的递进脉络，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于“情境问题—模型构建—方程求解”的方法链设计，如梯子滑落问题通过“初始状态—滑落状态”两步法分析，培养数学思维和模型意识。典例与跟踪专练结合，易错点提醒助基础生避坑，综合题型如台风影响问题促优生提升，为教师分层教学和学生自主复习提供精准支持。

期末复习07 勾股定理的简单应用讲义 1. 勾股定理：网格图形中的边长计算 2. 勾股定理：图形折叠问题的边长求解 3. 勾股定理应用：旗杆高度的计算方法 4. 勾股定理应用：梯子滑落问题的高度分析 5. 勾股定理应用：小鸟飞行的最短距离计算 6. 勾股定理应用：大树折断前的原高度求解 7. 勾股定理应用：水杯中筷子的长度问题 8. 勾股定理应用：航海中的距离与方位计算 9. 勾股定理应用：河流宽度的测量方法 10. 勾股定理应用：台阶上地毯的最短长度计算 11. 勾股定理应用：台风影响范围的判断方法 12. 勾股定理应用：两点等距的选址问题 13. 勾股定理应用：空间中的最短路径求解 14. 勾股定理逆定理：实际场景中的直角判断 【知识点01】网格问题 核心思路是利用网格中小正方形的边长为 1，构造直角三角形，再通过勾股定理计算线段长度或判定图形形状。 1. 网格中求线段长度 解题步骤 (1)确定线段为某直角三角形的斜边：过线段的两个端点，分别作网格线的垂线，构造出直角三角形。 (2)计算直角三角形的两直角边长度：直角边的长度等于网格中横向或纵向小正方形的边长数量。 (3)代入勾股定理计算：若直角边长为m、n，斜边长为l，则l= 2.网格中判定三角形形状 解题步骤 *(1)利用上述方法，分别计算三角形的三条边长的平方。 *(2)验证是否满足勾股定理逆定理：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。  网格问题易错点 1.构造直角三角形时，垂线必须与网格线平行，避免构造的三角形不是直角三角形。 2.计算边长时，注意区分横向和纵向的格点数，不要数错直角边长度。 3,判定三角形形状时，需先确定最长边，再验证勾股定理逆定理，避免顺序错误。 【知识点02】折叠问题 一.核心解题思路 1.找等量关系：根据折叠性质确定相等的线段和角，比如折叠后对应顶点的连线被折痕垂直平分，折叠前后的两个图形全等。 2.构造直角三角形：折叠后往往会出现新的直角三角形，若没有则通过作辅助线（如作垂线）构造。 3.设未知数列方程：设所求线段长度为x，用含x的代数式表示直角三角形的另外两条边，最后代入勾股定理列方程求解，这是解决折叠问题的关键方法。 二.常见题型分类 1.直角三角形中的折叠 类题型常是将直角三角形的一个顶点折叠到另一条边上，形成新的直角三角形。解题时重点利用折叠后对应边相等，聚焦新构成的小直角三角形列方程。 2.矩形（正方形）中的折叠 矩形折叠常分为顶点折叠到对边、顶点折叠到对角线上、沿对角线折叠几种情况，解题需结合矩形对边相等、四个角为直角的性质。 易错点提醒 1.忽略折叠后对应边、对应角的等量关系，导致边长表示错误，比如误将非对应边当作相等线段计算。 2.构造直角三角形时出错，未结合图形特点找直角，比如矩形折叠后忽略直角顶点的对应关系，无法准确锁定直角三角形。 3.解方程时计算失误，尤其是含平方项的方程展开和移项步骤，容易出现符号错误或数值计算偏差。 【知识点03】旗杆高度问题 核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，结合勾股定理或勾股定理逆定理求解，常见题型分为两类。 1.基础题型：旗杆垂直地面的直接计算 核心模型 旗杆垂直于地面，因此旗杆、地面上的水平线段（如旗杆底部到测量点的距离）、斜线段（如从测量点到旗杆顶端的绳子长度 / 视线长度）构成直角三角形，其中旗杆和水平线段为直角边，斜线段为斜边。 解题步骤 (1)明确直角边与斜边：设旗杆高度为h，水平距离为a，斜线段长度为c。 (2)代入勾股定理计算： *已知水平距离a和斜线段c，求旗杆高度：h= *已知旗杆高度h和水平距离a，求斜线段长度：c= 2.拓展题型：旗杆折断后的高度计算 核心模型 旗杆折断后，未折断部分仍垂直地面，折断部分（斜边）、未折断部分（直角边）、折断后顶端到旗杆底部的水平距离（另一条直角边）构成直角三角形。 解题步骤 (1)设未知数：设旗杆未折断部分的高度为x，则折断部分的长度为L−x（L为旗杆原长）。 (2)找等量关系：折断后顶端到旗杆底部的水平距离为已知量d。 (3)列方程求解：根据勾股定理x2+d2=(L−x)2，展开计算得x的值。 易错点提醒 1.忽略旗杆垂直地面的隐含条件，错误构造非直角三角形，导致公式误用。 2.解决折断问题时，混淆 “折断部分长度” 与 “原长” 的关系，误将折断部分设为x后，未用原长减x表示对应边。 3.计算含平方的方程时，移项出错，尤其是消去x2项后，容易遗漏常数项的计算。 【知识点04】梯子滑落问题 1.核心模型 梯子、墙面、地面构成直角三角形 *斜边 = 梯子长度（始终不变） *直角边 1 = 梯子顶端到地面的高度 *直角边 2 = 梯子底端到墙的水平距离 *公式：a2+h2=l2（a为水平距离，h为高度，l为梯子长） 2. 解题两步法 (1)初始状态：代入已知量，用勾股定理算未知直角边 (2)滑落状态：根据顶端下滑 / 底端外移的距离，算出新直角边，再用勾股定理求另一边长，最后算位移差 易错点提醒 1.误区：顶端下滑距离≠底端外移距离，只有特殊数值下二者才相等（如题型 1），不可凭直觉直接等同。 2.关键：必须牢记梯子长度始终是斜边，不能在计算中误将下滑 / 外移的距离当作直角边直接代入。 3.计算：开平方时注意区分直角边和斜边，避免将斜边长度代入直角边的计算式。 【知识点05】小鸟飞行距离问题 1.核心模型 将实际场景抽象为直角三角形 *斜边 = 小鸟飞行的最短距离 *直角边 1 = 两棵树的水平间距 *直角边 2 = 两棵树的高度差 *公式：s=d2+Δh2​（s为飞行距离，d为水平间距，Δh为高度差） 2. 解题三步法 (1)找已知量：确定两棵树的高度、水平间距 (2)算高度差：Δh=∣h1​−h2​∣（大数减小数） (3)代入公式：用勾股定理求斜边（最短飞行距离） 易错点 1.忽略 “最短距离” 是斜边，误算成高度差或水平间距 2.计算高度差时未取绝对值，出现负数 【知识点06】大树折断前高度问题 1. 核心模型 大树折断后，未折断部分垂直地面，折断部分为斜边，树梢到树底的水平距离为直角边，三者构成直角三角形。 *未折断部分长 = h1​（直角边 1） *水平距离 = d（直角边 2） *折断部分长 = h2（斜边） *公式：h12+d2=h22​ *折断前总高度 = h1​+h2​ 2. 解题两步法 (1)设未知数（通常设未折断部分h1=x），则折断部分h2=总高度−x（或根据题意表示） (2)代入勾股定理列方程求解，再计算总高度 易错点 1.混淆 “折断部分长度” 和 “未折断部分长度”，计算总高度时漏加 2.忘记水平距离是直角边，误将其当作斜边代入公式 【知识点07】水杯中筷子问题 1.核心模型 水杯看作圆柱体，杯内部分形成直角三角形 *斜边 = 筷子在杯内的长度 *直角边 1 = 水杯的底面直径 / 底面半径的 2 倍（水平方向） *直角边 2 = 水杯的深度（竖直方向） *公式：l2内=d2+h2（d为底面直径，h为杯深） *筷子总长度 = 杯内长度 + 杯外长度 2. 解题两步法 (1)确定直角边：找到水杯的深度和底面直径 (2)代入勾股定理：计算杯内筷子长度，再求总长度或杯外长度. 易错点 1.误将底面半径当作直径代入计算 2.忽略 “筷子最长可放入长度” 是杯内斜边长度，误算成杯深或直径 【知识点08】航海问题 1.核心模型 将轮船航行路线抽象为直角三角形的两条直角边，航线起点与终点的连线为斜边，利用勾股定理计算航行距离或判断位置关系。 *直角边 1 = 轮船沿某一方向的航行距离 *直角边 2 = 轮船沿垂直方向的航行距离 *公式：s=（s为起点到终点的直线距离） 2. 解题两步法 (1)确定直角边：根据航行方向（如正东、正北），计算两段垂直航线的距离 (2)代入公式计算：用勾股定理求直线距离，或结合条件判断是否进入危险区域 3.典型例题 例 1 求航行直线距离 一艘轮船从港口A出发，先向正东航行12km，再向正北航行9km，求此时轮船到港口A的直线距离。 直角边：12km、9km 直线距离：==15km 例 2 判断是否进入危险区域 台风中心在港口B的正南方向，影响范围为半径10km的圆形区域。一艘轮船从B出发向正东航行6km，此时轮船到台风中心的距离为8km，判断轮船是否在危险区内。 比较：8km<10km 结论：轮船在台风影响范围内 易错点 1.混淆航行方向，未判断两段航线是否垂直，误用勾股定理 2.计算危险区域时，误将航行距离当作到台风中心的直线距离 【知识点09】河宽问题 1.核心模型 把河岸抽象为平行线，河宽为直角边，测量的斜线段为斜边，构造直角三角形求解。 *直角边 1 = 河宽（d，垂直于河岸） *直角边 2 = 河岸上的测量距离（平行于河岸） *斜边 = 河岸上某点到对岸目标点的斜距 *公式：d=（c为斜距，a为河岸测量距离） 2. 解题两步法 (1)构造直角三角形：在河岸选两点，使两点连线平行于河岸，其中一点与对岸目标点的连线为斜边。 (2)代入计算：测量出斜边和河岸上的水平距离，用勾股定理求河宽。 易错点 1.未确认河岸测量线段与河宽垂直，误用勾股定理 2.混淆斜边和直角边，计算时公式列反 【知识点10】台阶上地毯长度问题 1.核心模型 台阶上的地毯可平铺展开，总长度 = 台阶所有垂直高度之和 + 所有水平宽度之和 *若台阶高度一致、宽度一致，可简化为：总长度 = 单个台阶高 × 台阶数 + 单个台阶宽 × 台阶数 *若已知台阶斜面长度，可结合勾股定理（斜面为斜边，高和宽为直角边）求高或宽 2. 解题两步法 (1)找总量关系：地毯长度 = 台阶总竖直高度 + 台阶总水平宽度 (2)代入计算：直接求和；或用勾股定理补全未知的高 / 宽，再计算 易错点 误算成台阶斜面长度之和，忽略地毯是覆盖竖直面和水平面 漏算台阶级数，导致总高度或总宽度计算错误 【知识点11】台风影响问题 1.核心模型 *台风影响范围：圆形（半径r） *关键距离：目标点到台风移动路线的垂线段长度d（最短距离） *判定规则： d≤r → 目标点受影响 d>r → 不受影响 *核心公式： *影响路程：L=2 *影响时长：t=（v为台风移动速度） 2. 解题三步法 (1)作垂线：过目标点作台风移动路线的垂线，构造直角三角形 (2)判影响：用勾股定理算最短距离d，和r比较 (3)算时长：受影响时，代入公式求影响路程和时长 易错点 1.误将目标点到台风初始位置的距离当作最短距离d 2.计算影响路程时漏乘 2，导致时长结果减半 3.未统一速度单位（如km/h和m/s混用） 【知识点11】选址使到两地距离相等问题 1.核心原理 到两点距离相等的点，在这两点连线的垂直平分线上。结合勾股定理：在网格或坐标系中，设点列方程，利用勾股定理列等式求解。 2. 解题两步法 (1)建模型：设所求点为P，两点为A、B，根据题意确定直角三角形边长（或坐标）。 (2)列等式：由PA=PB，得PA2=PB2，代入勾股定理表达式，解方程求点的位置。 易错点 1.忽略 “垂直平分线” 性质，盲目设点计算 2.列勾股定理等式时，边长对应错误 【知识点12】最短路径问题 1.核心模型 利用两点之间线段最短，将立体或平面的折线路径转化为直角三角形的斜边，再用勾股定理计算。 常见场景： *平面：两点在直线两侧 / 同侧（同侧需作对称点转化） *立体：蚂蚁在长方体、正方体表面爬行 2. 解题三步法 (1).转化路径 平面同侧两点：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线交点即为最短路径点 立体表面：展开立体图形为平面，连接起点和终点，形成直角三角形 (2).确定直角边：找到转化后直角三角形的两条直角边长度 (3).计算斜边：代入勾股定理 l=，斜边即为最短路径 易错点 立体图形展开时选错面，导致直角边长度计算错误 平面同侧两点未作对称点，直接连接两点算路径 题型1.勾股定理:网格图形中的边长计算问题 【典例】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图连接， 由勾股定理得，，，， ∴ ∴点是外心． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，网格中单位长度为1，再根据勾股定理即可求出每个线段的长度． 【详解】解：根据网格可知，， ， ， ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理计算各条边长，即可计算得出结果． 【详解】解：如下图所示， 在中，， 应用勾股定理可知， ，长度为有理数， 同理可得， ，长度为无理数， ，长度为无理数． 故答案为：． 题型2.勾股定理:图形折叠问题的边长求解 【典例】如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上的点处，折痕与交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． 由折叠得，，，可得，利用勾股定理求出长，可得长，设，，，在中，利用勾股定理列方程可求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠得：，，， ∴， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴ 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 题型3.勾股定理应用:旗杆高度的计算方法 【典例】如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长． 根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴旗杆的高． 故选C． 【跟踪专练1】《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由绳索的长度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出方程，此题得解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高尺， 由题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关正确列出方程是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理，得． 故答案为：5． 题型4.勾股定理应用:梯子滑落问题的高度分析 【典例】如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用．根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据求，根据求，根据计算，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中， ∴米， 已知米，， 则米， 在直角中，为直角边, ∴米， 米． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．    【答案】2.7 【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，   ， 根据题意得：， 在中，米，米， 米， 在中，米，米， 米， 米， 小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 【跟踪专练2】如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，抓住鱼竿的长度不变是解题的关键． 在和中，分别用勾股定理求出和，即可求出渔线水平方向移动的距离的值． 【详解】解：在中， ，， ． 根据题意可得， ， 在中， ， ． 鱼线水平方向移动的距离是， 故选：B． 题型5.勾股定理应用:小鸟飞行的最短距离计算 【典例】两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，10分钟之后两只小鼹鼠相距（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用． 根据题意，可得小鼹鼠朝前挖的距离和朝左挖的距离，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴10分钟之后两只小鼹鼠相距． 故选：B． 【跟踪专练1】在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米. 【答案】 【分析】由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可． 【详解】解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米， 设BD＝x，则AD＝15－x， ∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2， 即， 解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米）， 答：树高为7.5米． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 题型6.勾股定理应用:大树折断前的原高度求解 【典例】如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，由题意得米，米，由勾股定理求出（米）即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得米，米， ∴（米）， ∴这棵大树在折断前的高度为（米）， 故选：． 【跟踪专练1】一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 【答案】A 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用．设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是4尺， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高 ． 【答案】(4+6)m 【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度． 【详解】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D， 由题意知BC=10m，CD=6m， 根据勾股定理得：BD=8m， ∵AB=4m， ∴AD=8+4=12m， AC===6m， ∴这棵数原来的高度=（4+6）m， 故答案为：（4+6）m． 【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是添加辅助线，正确的计算AC的长． 题型7.勾股定理应用:水杯中筷子的长度问题 【典例】平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练1】我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：1丈尺，葭生其中央， 尺， 在中，根据题意列方程得，， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，，利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 题型8.勾股定理应用:航海中的距离与方位计算 【典例】一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 两船分别向北和向东航行，方向垂直，构成直角三角形，利用勾股定理求出离开港口1小时后两船的距离即可． 【详解】解：第一艘船向北航行距离：（海里）， 第二艘船向东航行距离：（海里）， 且两方向垂直， 则两船距离为直角三角形的斜边：（海里）， 故选：D． 【跟踪专练1】一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度． 【详解】解：由题意知，， 为直角三角形， （海里），（海里）， （海里）， 即“远航”号与“海天”号的距离为25海里， 故答案为：25． 题型9.勾股定理应用:河流宽度的测量方法 【典例】在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 【跟踪专练1】如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．    【答案】24 【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ，为直角三角形． ， ， ， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 题型10.勾股定理应用:台阶上地毯的最短长度计算 【典例】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 【跟踪专练1】如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 题型11.勾股定理应用:台风影响范围的判断方法 【典例】今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 【跟踪专练1】如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 题型12.勾股定理应用:两点等距的选址问题 【典例】小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 【跟踪专练1】如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C、D两村庄到E站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 题型13.勾股定理应用:空间中的最短路径求解 【典例】如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：底面周长为，则半圆弧长为， 画展开图形如下： 根据勾股定理得． ∴它爬行的最短路程为， 故选：D． 【跟踪专练1】有一圆柱形油罐，底面圆的周长为，高为，一只老鼠从圆柱形油罐外侧的底端A处爬行到对角B处吃食物，求它爬行的最短路线长 ． 【案】 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，勾股定理，正确画出平面图形是解题关键．根据题意画出平面图形，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：油罐的侧面展开图如图所示： 由题意可得：，， 则， 答：它爬行的最短路线长为． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米．一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是 ． 【答案】米 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得负值舍去， 故他滑行的最短距离约为米； 故答案为：米． 题型14.勾股定理逆定理:实际场景中的直角判断 【典例】如图，在三角形空地上种植草皮，这种草皮每平方米售价b元，则购买草皮需要（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】该题考查了勾股定理的应用，列代数式，根据勾股定理先求出，再求出，求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， ， 则购买草皮需要元， 故选：D． 【跟踪专练1】如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的方法成为解题的关键． 通过勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形可得，即可判断是否合格． 【详解】解：∵， ∴，即， 同理：， ∴他挖的地基是合格的． 故答案为：合格． 【跟踪专练2】木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键在于掌握勾股定理的逆定理； 首先，用桌面长的平方加上宽的平方，看其是否等于对角线的平方； 然后，若其相等则满足勾股定理的逆定理，三者构成直角三角形，桌面合格，否则不合格． 【详解】解：∵长方形桌面的长为，宽为，对角线长为，， ∴，， ， ∴ ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的， 故答案为：合格． 1．如图，在的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1，则任意两个格点间的距离不可能是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵在的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1， ∴任意两个格点间的距离可能是，，，，，，，，， ∴任意两个格点间的距离不可能是， 故选：B． 2．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（   ） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为12米， 故选：C． 3．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 4．在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，平移性质，由题意得，，，根据勾股定理得，然后利用平移性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， ∴， 根据平移性质可得地毯的长度至少需， 故答案为：． 5．如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键． 根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， ∴当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， ∴h的取值范围是． 故答案为：． 6．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 【答案】50 【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即A，C两港之间的距离为50 km． 故答案为：50 【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键． 7．如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的边长的性质、勾股定理的应用，牢牢掌握勾股定理及直角三角形的性质是解答本题的关键．根据含角的直角三角形的边长的性质可知，设，则，利用勾股定理可知，解方程求出的值，即可得到、的长度，大树的高度就是． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 大树的高为米． 故答案为：． 8．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 9．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高14米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选：B． 10．圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从点A沿着圆柱的侧面爬行到点B的最短路线长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图与勾股定理，解题关键是将圆柱侧面展开，把空间中的最短路径问题转化为平面直角三角形的斜边的长度问题，利用勾股定理求解． 将圆柱侧面展开，把曲面问题转化为平面问题，再利用勾股定理计算最短路径． 【详解】解：把圆柱的侧面展开，得到一个长方形．展开图如图所示，连接，过点作于点． 由题意，得，， ． 故一只蚂蚁从点沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路线长为． 故答案为：． 11．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 12．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 【答案】13 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图所示，AB，CD为树，且AB=14米，CD=9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE=BD=12，AE=AB-CD=5， 在直角三角形AEC中， ． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 13． “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝的垂直高度下降米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算直角边的长度． （1）在中，由勾股定理求的长，结合小明身高得； （2）先求回收线后风筝线的长度，在新直角三角形中用勾股定理求新垂直高度，计算下降距离． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 14．如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为，此时，一艘快艇在B的正南方向的A处，以的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？ 【答案】快艇最快需要 【分析】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 快艇最快需要，则，，根据勾股定理得到，则，即可求出答案． 【详解】解：快艇最快需要，则，； 由题意得：； 即：； 所以 解得：（负数舍去） 答：快艇最快需要． 15．如图，在长方形中，，，点在边上，将长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．因为将折叠使点恰好落在边上的点，，已知，由勾股定理可求得长，则可求，设，则，，在中用勾股定理列方程即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， 又∵将折叠使点恰好落在边上的点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 即的长为5． 16．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理确定线段的长度是解题的关键． （1）由，据此作图即可； （2）由，，据此作图即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段AB即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． 17．如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．李成是一名滑板爱好者，有一次他滑了一段时间后，感觉有些累，想从点处滑到边缘上离点的点处休息，请问他最短滑行多少米可以到达点（边缘部分的厚度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理解答即可． 【详解】解∶如图是其侧面展开图∶ ． ， ． 在中， 故他最短滑行可以到达点E． 18.．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点会受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续受到洒水影响20秒，请你通过计算判断着火点能否被救火飞机扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)着火点C能被扑灭 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， 着火点C受洒水影响； （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点 则， ， ， 在中，， ， ， ， 着火点C能被扑灭． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习07 勾股定理的简单应用讲义 1. 勾股定理：网格图形中的边长计算 2. 勾股定理：图形折叠问题的边长求解 3. 勾股定理应用：旗杆高度的计算方法 4. 勾股定理应用：梯子滑落问题的高度分析 5. 勾股定理应用：小鸟飞行的最短距离计算 6. 勾股定理应用：大树折断前的原高度求解 7. 勾股定理应用：水杯中筷子的长度问题 8. 勾股定理应用：航海中的距离与方位计算 9. 勾股定理应用：河流宽度的测量方法 10. 勾股定理应用：台阶上地毯的最短长度计算 11. 勾股定理应用：台风影响范围的判断方法 12. 勾股定理应用：两点等距的选址问题 13. 勾股定理应用：空间中的最短路径求解 14. 勾股定理逆定理：实际场景中的直角判断 【知识点01】网格问题 核心思路是利用网格中小正方形的边长为 1，构造直角三角形，再通过勾股定理计算线段长度或判定图形形状。 1. 网格中求线段长度 解题步骤 (1)确定线段为某直角三角形的斜边：过线段的两个端点，分别作网格线的垂线，构造出直角三角形。 (2)计算直角三角形的两直角边长度：直角边的长度等于网格中横向或纵向小正方形的边长数量。 (3)代入勾股定理计算：若直角边长为m、n，斜边长为l，则l= 2.网格中判定三角形形状 解题步骤 *(1)利用上述方法，分别计算三角形的三条边长的平方。 *(2)验证是否满足勾股定理逆定理：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。  网格问题易错点 1.构造直角三角形时，垂线必须与网格线平行，避免构造的三角形不是直角三角形。 2.计算边长时，注意区分横向和纵向的格点数，不要数错直角边长度。 3,判定三角形形状时，需先确定最长边，再验证勾股定理逆定理，避免顺序错误。 【知识点02】折叠问题 一.核心解题思路 1.找等量关系：根据折叠性质确定相等的线段和角，比如折叠后对应顶点的连线被折痕垂直平分，折叠前后的两个图形全等。 2.构造直角三角形：折叠后往往会出现新的直角三角形，若没有则通过作辅助线（如作垂线）构造。 3.设未知数列方程：设所求线段长度为x，用含x的代数式表示直角三角形的另外两条边，最后代入勾股定理列方程求解，这是解决折叠问题的关键方法。 二.常见题型分类 1.直角三角形中的折叠 类题型常是将直角三角形的一个顶点折叠到另一条边上，形成新的直角三角形。解题时重点利用折叠后对应边相等，聚焦新构成的小直角三角形列方程。 2.矩形（正方形）中的折叠 矩形折叠常分为顶点折叠到对边、顶点折叠到对角线上、沿对角线折叠几种情况，解题需结合矩形对边相等、四个角为直角的性质。 易错点提醒 1.忽略折叠后对应边、对应角的等量关系，导致边长表示错误，比如误将非对应边当作相等线段计算。 2.构造直角三角形时出错，未结合图形特点找直角，比如矩形折叠后忽略直角顶点的对应关系，无法准确锁定直角三角形。 3.解方程时计算失误，尤其是含平方项的方程展开和移项步骤，容易出现符号错误或数值计算偏差。 【知识点03】旗杆高度问题 核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，结合勾股定理或勾股定理逆定理求解，常见题型分为两类。 1.基础题型：旗杆垂直地面的直接计算 核心模型 旗杆垂直于地面，因此旗杆、地面上的水平线段（如旗杆底部到测量点的距离）、斜线段（如从测量点到旗杆顶端的绳子长度 / 视线长度）构成直角三角形，其中旗杆和水平线段为直角边，斜线段为斜边。 解题步骤 (1)明确直角边与斜边：设旗杆高度为h，水平距离为a，斜线段长度为c。 (2)代入勾股定理计算： *已知水平距离a和斜线段c，求旗杆高度：h= *已知旗杆高度h和水平距离a，求斜线段长度：c= 2.拓展题型：旗杆折断后的高度计算 核心模型 旗杆折断后，未折断部分仍垂直地面，折断部分（斜边）、未折断部分（直角边）、折断后顶端到旗杆底部的水平距离（另一条直角边）构成直角三角形。 解题步骤 (1)设未知数：设旗杆未折断部分的高度为x，则折断部分的长度为L−x（L为旗杆原长）。 (2)找等量关系：折断后顶端到旗杆底部的水平距离为已知量d。 (3)列方程求解：根据勾股定理x2+d2=(L−x)2，展开计算得x的值。 易错点提醒 1.忽略旗杆垂直地面的隐含条件，错误构造非直角三角形，导致公式误用。 2.解决折断问题时，混淆 “折断部分长度” 与 “原长” 的关系，误将折断部分设为x后，未用原长减x表示对应边。 3.计算含平方的方程时，移项出错，尤其是消去x2项后，容易遗漏常数项的计算。 【知识点04】梯子滑落问题 1.核心模型 梯子、墙面、地面构成直角三角形 *斜边 = 梯子长度（始终不变） *直角边 1 = 梯子顶端到地面的高度 *直角边 2 = 梯子底端到墙的水平距离 *公式：a2+h2=l2（a为水平距离，h为高度，l为梯子长） 2. 解题两步法 (1)初始状态：代入已知量，用勾股定理算未知直角边 (2)滑落状态：根据顶端下滑 / 底端外移的距离，算出新直角边，再用勾股定理求另一边长，最后算位移差 易错点提醒 1.误区：顶端下滑距离≠底端外移距离，只有特殊数值下二者才相等（如题型 1），不可凭直觉直接等同。 2.关键：必须牢记梯子长度始终是斜边，不能在计算中误将下滑 / 外移的距离当作直角边直接代入。 3.计算：开平方时注意区分直角边和斜边，避免将斜边长度代入直角边的计算式。 【知识点05】小鸟飞行距离问题 1.核心模型 将实际场景抽象为直角三角形 *斜边 = 小鸟飞行的最短距离 *直角边 1 = 两棵树的水平间距 *直角边 2 = 两棵树的高度差 *公式：s=d2+Δh2​（s为飞行距离，d为水平间距，Δh为高度差） 2. 解题三步法 (1)找已知量：确定两棵树的高度、水平间距 (2)算高度差：Δh=∣h1​−h2​∣（大数减小数） (3)代入公式：用勾股定理求斜边（最短飞行距离） 易错点 1.忽略 “最短距离” 是斜边，误算成高度差或水平间距 2.计算高度差时未取绝对值，出现负数 【知识点06】大树折断前高度问题 1. 核心模型 大树折断后，未折断部分垂直地面，折断部分为斜边，树梢到树底的水平距离为直角边，三者构成直角三角形。 *未折断部分长 = h1​（直角边 1） *水平距离 = d（直角边 2） *折断部分长 = h2（斜边） *公式：h12+d2=h22​ *折断前总高度 = h1​+h2​ 2. 解题两步法 (1)设未知数（通常设未折断部分h1=x），则折断部分h2=总高度−x（或根据题意表示） (2)代入勾股定理列方程求解，再计算总高度 易错点 1.混淆 “折断部分长度” 和 “未折断部分长度”，计算总高度时漏加 2.忘记水平距离是直角边，误将其当作斜边代入公式 【知识点07】水杯中筷子问题 1.核心模型 水杯看作圆柱体，杯内部分形成直角三角形 *斜边 = 筷子在杯内的长度 *直角边 1 = 水杯的底面直径 / 底面半径的 2 倍（水平方向） *直角边 2 = 水杯的深度（竖直方向） *公式：l2内=d2+h2（d为底面直径，h为杯深） *筷子总长度 = 杯内长度 + 杯外长度 2. 解题两步法 (1)确定直角边：找到水杯的深度和底面直径 (2)代入勾股定理：计算杯内筷子长度，再求总长度或杯外长度. 易错点 1.误将底面半径当作直径代入计算 2.忽略 “筷子最长可放入长度” 是杯内斜边长度，误算成杯深或直径 【知识点08】航海问题 1.核心模型 将轮船航行路线抽象为直角三角形的两条直角边，航线起点与终点的连线为斜边，利用勾股定理计算航行距离或判断位置关系。 *直角边 1 = 轮船沿某一方向的航行距离 *直角边 2 = 轮船沿垂直方向的航行距离 *公式：s=（s为起点到终点的直线距离） 2. 解题两步法 (1)确定直角边：根据航行方向（如正东、正北），计算两段垂直航线的距离 (2)代入公式计算：用勾股定理求直线距离，或结合条件判断是否进入危险区域 3.典型例题 例 1 求航行直线距离 一艘轮船从港口A出发，先向正东航行12km，再向正北航行9km，求此时轮船到港口A的直线距离。 直角边：12km、9km 直线距离：==15km 例 2 判断是否进入危险区域 台风中心在港口B的正南方向，影响范围为半径10km的圆形区域。一艘轮船从B出发向正东航行6km，此时轮船到台风中心的距离为8km，判断轮船是否在危险区内。 比较：8km<10km 结论：轮船在台风影响范围内 易错点 1.混淆航行方向，未判断两段航线是否垂直，误用勾股定理 2.计算危险区域时，误将航行距离当作到台风中心的直线距离 【知识点09】河宽问题 1.核心模型 把河岸抽象为平行线，河宽为直角边，测量的斜线段为斜边，构造直角三角形求解。 *直角边 1 = 河宽（d，垂直于河岸） *直角边 2 = 河岸上的测量距离（平行于河岸） *斜边 = 河岸上某点到对岸目标点的斜距 *公式：d=（c为斜距，a为河岸测量距离） 2. 解题两步法 (1)构造直角三角形：在河岸选两点，使两点连线平行于河岸，其中一点与对岸目标点的连线为斜边。 (2)代入计算：测量出斜边和河岸上的水平距离，用勾股定理求河宽。 易错点 1.未确认河岸测量线段与河宽垂直，误用勾股定理 2.混淆斜边和直角边，计算时公式列反 【知识点10】台阶上地毯长度问题 1.核心模型 台阶上的地毯可平铺展开，总长度 = 台阶所有垂直高度之和 + 所有水平宽度之和 *若台阶高度一致、宽度一致，可简化为：总长度 = 单个台阶高 × 台阶数 + 单个台阶宽 × 台阶数 *若已知台阶斜面长度，可结合勾股定理（斜面为斜边，高和宽为直角边）求高或宽 2. 解题两步法 (1)找总量关系：地毯长度 = 台阶总竖直高度 + 台阶总水平宽度 (2)代入计算：直接求和；或用勾股定理补全未知的高 / 宽，再计算 易错点 误算成台阶斜面长度之和，忽略地毯是覆盖竖直面和水平面 漏算台阶级数，导致总高度或总宽度计算错误 【知识点11】台风影响问题 1.核心模型 *台风影响范围：圆形（半径r） *关键距离：目标点到台风移动路线的垂线段长度d（最短距离） *判定规则： d≤r → 目标点受影响 d>r → 不受影响 *核心公式： *影响路程：L=2 *影响时长：t=（v为台风移动速度） 2. 解题三步法 (1)作垂线：过目标点作台风移动路线的垂线，构造直角三角形 (2)判影响：用勾股定理算最短距离d，和r比较 (3)算时长：受影响时，代入公式求影响路程和时长 易错点 1.误将目标点到台风初始位置的距离当作最短距离d 2.计算影响路程时漏乘 2，导致时长结果减半 3.未统一速度单位（如km/h和m/s混用） 【知识点11】选址使到两地距离相等问题 1.核心原理 到两点距离相等的点，在这两点连线的垂直平分线上。结合勾股定理：在网格或坐标系中，设点列方程，利用勾股定理列等式求解。 2. 解题两步法 (1)建模型：设所求点为P，两点为A、B，根据题意确定直角三角形边长（或坐标）。 (2)列等式：由PA=PB，得PA2=PB2，代入勾股定理表达式，解方程求点的位置。 易错点 1.忽略 “垂直平分线” 性质，盲目设点计算 2.列勾股定理等式时，边长对应错误 【知识点12】最短路径问题 1.核心模型 利用两点之间线段最短，将立体或平面的折线路径转化为直角三角形的斜边，再用勾股定理计算。 常见场景： *平面：两点在直线两侧 / 同侧（同侧需作对称点转化） *立体：蚂蚁在长方体、正方体表面爬行 2. 解题三步法 (1).转化路径 平面同侧两点：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线交点即为最短路径点 立体表面：展开立体图形为平面，连接起点和终点，形成直角三角形 (2).确定直角边：找到转化后直角三角形的两条直角边长度 (3).计算斜边：代入勾股定理 l=，斜边即为最短路径 易错点 立体图形展开时选错面，导致直角边长度计算错误 平面同侧两点未作对称点，直接连接两点算路径 题型1.勾股定理:网格图形中的边长计算问题 【典例】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 题型2.勾股定理:图形折叠问题的边长求解 【典例】如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【跟踪专练1】如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上的点处，折痕与交于点，若，，则的面积为 ． 【跟踪专练2】如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型3.勾股定理应用:旗杆高度的计算方法 【典例】如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m． 题型4.勾股定理应用:梯子滑落问题的高度分析 【典例】如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了 m． 【跟踪专练1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．    【跟踪专练2】如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 题型5.勾股定理应用:小鸟飞行的最短距离计算 【典例】两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖，另一只朝左挖，每分钟挖，10分钟之后两只小鼹鼠相距（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米. 【跟踪专练2】如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 题型6.勾股定理应用:大树折断前的原高度求解 【典例】如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练1】一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 【跟踪专练2】如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高 ． .题型7.勾股定理应用:水杯中筷子的长度问题 【典例】平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 【跟踪专练1】我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 题型8.勾股定理应用:航海中的距离与方位计算 【典例】一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【跟踪专练1】一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 题型9.勾股定理应用:河流宽度的测量方法 【典例】在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 【跟踪专练1】如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．    【跟踪专练2】如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 题型10.勾股定理应用:台阶上地毯的最短长度计算 【典例】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【跟踪专练1】如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 【跟踪专练2】如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 题型11.勾股定理应用:台风影响范围的判断方法 【典例】今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【跟踪专练1】如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 【跟踪专练2】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 题型12.勾股定理应用:两点等距的选址问题 【典例】小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【跟踪专练1】如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 【跟踪专练2】如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 题型13.勾股定理应用:空间中的最短路径求解 【典例】如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有一圆柱形油罐，底面圆的周长为，高为，一只老鼠从圆柱形油罐外侧的底端A处爬行到对角B处吃食物，求它爬行的最短路线长 ． 【跟踪专练2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米．一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是 ． 题型14.勾股定理逆定理:实际场景中的直角判断 【典例】如图，在三角形空地上种植草皮，这种草皮每平方米售价b元，则购买草皮需要（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【跟踪专练1】如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基 ．（填“合格”或“不合格”） 【跟踪专练2】木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 1．如图，在的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1，则任意两个格点间的距离不可能是（   ） A．1 B． C． D． 2．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（   ） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 3．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 4．在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需 ． 5．如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 6．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 7．如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米． 8．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 10．圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从点A沿着圆柱的侧面爬行到点B的最短路线长为 cm． 11．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 13． “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 14．如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为，此时，一艘快艇在B的正南方向的A处，以的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？ 15．如图，在长方形中，，，点在边上，将长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的长． 16．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 17．如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．李成是一名滑板爱好者，有一次他滑了一段时间后，感觉有些累，想从点处滑到边缘上离点的点处休息，请问他最短滑行多少米可以到达点（边缘部分的厚度忽略不计）． 18.．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点会受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续受到洒水影响20秒，请你通过计算判断着火点能否被救火飞机扑灭？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $