精品解析：山东省烟台市牟平区（五四制）2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量检测初四数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 将表达式为的抛物线经过平移后得到表达式为的抛物线，则平移的方向和距离是（　　） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 2. 如图，由6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，都在格点上，则的值是（　　） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 4. 下表是综合实践小组填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量河内小岛B到河边公路的距离 测量目标 示意图 相关数据 米 则小岛B到公路的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点B，C分别在地面和墙面上，且边，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 8. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 9. 如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的；其中，，每个三角形都以点为顶点．若是第一个小于的角，则的值为（　　）．（参考数据：，，，，，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 10. 2cos30°－tan45°－ ＝_________． 11. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________． 12. 如图，排球运动员站在点处练习发球，球从点正上方的处发出，其运行的高度与水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断：①球运行的最大高度是；②球不会过球网；③球会过球网且不会出界；④球会过球网且会出界．其中正确的是___________．（填写序号） 13. 如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡比，在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为________．（精确到1米，参考数据：，，） 14. 一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，） 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②，③； ④方程的解为； ⑤．其中正确的结论有______（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中边上找到一点D，连接，使； （2）在图②中边上找到一点E，连接，使； （3）在图③中边上找到一点F，连接，使． 17. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度． 18. 在二次函数中， （1）当时，的最小值为，求出的值； （2）如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 19. 李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱． （1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； （2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 20. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位） （1）若，，求点到直线的距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，） 21. 二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； （3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 22. 如图（侧面结构图），某单位办公楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． （1）为了减缓坡面，防止山体滑坡，该单位决定对该斜坡进行改造，经勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向前移至点时，才能确保山体不滑坡，求的长度．（参考数据：，，） （2）综合与实践： 【实践课题】通过测量相关角度，计算办公楼的高度． 【实践工具】测角仪等测量工具． 【实践活动】在办公楼顶端处安置一台测角仪，测得此时对的仰角，对的俯角． 【问题解决】借助已知中的数据计算求出办公楼的高度．（精确到） （参考数据：） 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求面积的最大值； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测初四数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 将表达式为的抛物线经过平移后得到表达式为的抛物线，则平移的方向和距离是（　　） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，通过将两个抛物线化为顶点形式，确定顶点坐标，再根据顶点平移情况判断整体平移方向． 【详解】解：原抛物线 的顶点坐标为． 平移后抛物线可化为，顶点坐标为． ∵顶点从平移到， ∴x坐标减少2，即向左平移2个单位；y坐标减少3，即向下平移3个单位． ∴平移的方向和距离是向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． 故选：D． 2. 如图，由6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，都在格点上，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．连接、，先证明，E、C、B共线，再根据，求出、即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为a，由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴E、C、B共线， 在中，． 故选：A． 3. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出，．解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键． 观察二次函数图象，找出，，再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标在第四象限， ∴， ∴，． ∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限； ∵一次函数，，， ∴一次函数的图象过第一、三、四象限． 只有B符合． 故选：B． 4. 下表是综合实践小组填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量河内小岛B到河边公路的距离 测量目标 示意图 相关数据 米 则小岛B到公路的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解题关键． 作于点E，作，在上，则，设，表示，，再进一步求解即可． 【详解】解：作于点E，在上取点F，使得，则， 设， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴小岛B到公路的距离为：（米）. 故选：B 5. 抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据抛物线对称轴求出b，得到函数解析式，将方程转化为函数交点问题，利用二次函数性质，通过判别式和区间端点函数值符号确定t的范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴一元二次方程的实数根可以看作与函数的图象有交点， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， 当时，； 当时，； 函数在时有最大值12； ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，在中，，点B，C分别在地面和墙面上，且边，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先解直角得到，再证明，最后解即可 【详解】解：在，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A 7. 以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．分两种情况讨论：①当抛物线在x轴的上方时，此时抛物线与轴无交点或只有一个交点；②当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限，此时抛物线与轴有两个交点，且对称轴在轴正半轴，与轴交于正半轴，根据二次函数的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象不经过第三象限，且， 抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限， ①当抛物线在x轴的上方时，此时抛物线与轴无交点或只有一个交点， ， 解得：； ②当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限，此时抛物线与轴有两个交点，且对称轴在轴正半轴，与轴交于正半轴， ∴， ， ， 解不等式得：； 解不等式得：； 解不等式得：或， 此时无解，这种情况不存在， 综上可知，实数b的取值范围是． 故选C． 8. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动， ∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒． 由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t， ，为开口向上的抛物线的一部分． 当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4， ，为直线（一次函数）的一部分． 观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D． 9. 如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的；其中，，每个三角形都以点为顶点．若是第一个小于的角，则的值为（　　）．（参考数据：，，，，，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，图形规律题，根据图形找出一般规律是解题关键．在直角三角形中，根据勾股定理和正切的定义计算发现，，再根据是第一个小于的角，得出，求出的值后取最小自然数即可． 【详解】解：在直角三角形中，，， ，， ， ， …… 观察发现，，， 是第一个小于的角， ， ， ，即， ， 取最小自然数为， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 10. 2cos30°－tan45°－ ＝_________． 【答案】0 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可. 【详解】解：原式=2×-1-， =-1-（-1）， =0. 故答案为0. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 11. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，且时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，排球运动员站在点处练习发球，球从点正上方的处发出，其运行的高度与水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断：①球运行的最大高度是；②球不会过球网；③球会过球网且不会出界；④球会过球网且会出界．其中正确的是___________．（填写序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，理解题意根据题意列式是解题的关键； 根据顶点式的特点可知，排球运行的最大高度为，由此即可判断①；求出当时，的值，再与进行比较，即可判断②；求出当时，的值，再与比较，即可判断③、④． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故①正确； ∵在中，当时，， ∴球会过球网，故②错误； ∵在中，当时，， ∴球会过球网且会出界，故③错误；④正确； 故答案为：①④． 13. 如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡比，在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为________．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得的坡度，根据坡度，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：作于点，作于点，则，四边形是矩形，如图， ∴， ∵斜坡的坡比， 设，， 由勾股定理，得， 解得：， 米，米， 米， ， ， ，米，， 米， 米， 故答案为：米． 14. 一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，） 【答案】50 【解析】 【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30， ∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°， ∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形， ∴， ∴BP=， 故答案为：50． 【点睛】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②，③； ④方程的解为； ⑤．其中正确的结论有______（填序号）． 【答案】③⑤ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，各项系数的符号与解析式的关系，根据图象先判断，，，再结合函数的对称轴，最值，与坐标轴的交点，逐一分析判断即可． 【详解】解：由图象可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴， ∵，， ∴，故②错误， ∵抛物线与轴的交点在与之间，对称轴为，另一个交点在与之间， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ∵二次函数当时，有最大值， ∴， 若方程的解为，则， ∴④错误； 当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， ∴，即，故⑤正确； 综上：正确的有③⑤， 故答案为：③⑤． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中边上找到一点D，连接，使； （2）在图②中边上找到一点E，连接，使； （3）在图③中边上找到一点F，连接，使． 【答案】（1） 如图①中，点D即为所求； （2） 如图②中，点E即为所求； （3） 如图③中，点F即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用． （1）取的中点，连接即可； （2）延长交于格点，取格点，连接与交于点，连接即可； （3）取格点，作射线交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图①中，点D即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图②中，点E即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 根据（1）得：， ∴． 【小问3详解】 解：如图③中，点F即为所求． ． 17. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度． 【答案】（1）方案一；；；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式． （2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论． 【详解】解：（1）方案一；点B的坐标为（5，0）， 设抛物线的解析式为：． 由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5）， 代入解析式可得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）由题意：把代入， 解得：=3.2， ∴水面上涨的高度为3.2m． 18. 在二次函数中， （1）当时，的最小值为，求出的值； （2）如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由于对称轴是直线，对和两种情况讨论求解； （2）由于，两点关于对称轴对称可知，再对点，都在对称轴左侧，点，在对称轴两侧进行讨论，列不等式求解． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为， 若，当时，函数值最小， ∴， 解得，， ∵， ∴； 若，当时，函数值最小， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 综上所述，； 【小问2详解】 解：∵关于对称轴对称， ∴， ∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， ∴此交点关于对称轴的对称点为， ∵且， ∴，解得， 当都在对称轴左侧时， ∵， ∴，解得， 当分别在对称轴两侧时， ∵，到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 解得，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，数形结合思想，逻辑推理及方程与函数思想． 19. 李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱． （1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； （2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）且x为整数． （2）李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出，得到结果． （2）根据销售利润=销售量（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得 ∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数． 【小问2详解】 解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元 则 ∵ ∴抛物线开口向下 ∵对称轴是直线 ∴当时，w的值随x值的增大而增大 ∵x为正整数，∴此时，当时， 当时，w的值随x值的增大而减小 ∵x为正整数，∴此时，当时， ∵ ∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决． 20. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位） （1）若，，求点到直线的距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）过点A作，，，根据已知条件分别求出AP和PM，再相加即可； （2）根据已知条件可得，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论； 【详解】（1）如图所示，过点A作，，， 则, ∵，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴, ∴， 又∵,， ∴mm， ∴． ∴点到直线的距离是． （2）如图所示， 根据题意可得，，， ∴， ∴， 根据（1）可得， ∴旋转的角度=． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键． 21. 二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； （3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，(4，2) 【解析】 【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标； （3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标． 【小问1详解】 解：把，代入， 得解得， ∴二次函数的解析式为 【小问2详解】 由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为； 【小问3详解】 二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置． 22. 如图（侧面结构图），某单位办公楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． （1）为了减缓坡面，防止山体滑坡，该单位决定对该斜坡进行改造，经勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向前移至点时，才能确保山体不滑坡，求的长度．（参考数据：，，） （2）综合与实践： 【实践课题】通过测量相关角度，计算办公楼的高度． 【实践工具】测角仪等测量工具． 【实践活动】在办公楼顶端处安置一台测角仪，测得此时对的仰角，对的俯角． 【问题解决】借助已知中的数据计算求出办公楼的高度．（精确到） （参考数据：） 【答案】（1）长度为 （2）办公楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的性质和判定，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、；根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案． （2）设，则，根据，得出再证明四边形为矩形，得出，，根据平行得到从而得出，列方程即可解答； 【小问1详解】 解：如图所示，过点作与点， 由题意得，四边形为矩形， ， 斜坡的坡比为，， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即，解得， ， ， 在中，， ， 长度为时，才能确保山体不滑坡． 【小问2详解】 设，则， ， ，，． ， 四边形为矩形． ，，， ，， ，即， 解得：， 经检验是分式方程的根， ， 故办公楼的高度为． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求面积的最大值； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）P（-1，1）或（-1，-2）． 【解析】 【分析】（1）由题意已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据题意连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0），可得EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a，根据S△BEC=S四边形BOCE-S△BOC，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可． （3）根据题意由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0）， ∴OB=3， ∵OC=OB， ∴OC=3， ∴c=3， ∴， 解得：， ∴所求抛物线解析式为：； （2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F， 设E（a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0）， ∴EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a， ∴S△BEC=S四边形BOCE-S△BOC=BF•EF+（OC+EF）•OF-•OB•OC =（a+3）•（-a2-2a+3）+（-a2-2a+6）•（-a）- =-a2-a =-（a+）2+， ∴当a=-时，S△BEC最大，且最大值为． （3）∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上， ∴设P（-1，m）， ∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上， ①当m≥0时， ∴PA=PA′，∠APA′=90°， 如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M， ∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°， ∴∠NA′P=∠NPA， 在△A′NP与△PMA中， ， ∴△A′NP≌△PMA（AAS）， ∴A′N=PM=m，PN=AM=2， ∴A′（m-1，m+2）， 代入y=-x2-2x+3得：m+2=-（m-1）2-2（m-1）+3， 解得：m=1，m=-2（舍去）， ②当m＜0时，要使P2A=P2A2，由图可知A2点与B点重合， ∵∠AP2A2=90°， ∴MP2=MA=2， ∴P2（-1，-2）． ∴满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $