精品解析：山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024−2025学年度第一学期期中质量检测 初四数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 2. 已知二次函数，下列说法正确的是( ) A. 点在该函数的图象上 B. 当且时， C. 该函数的图象与x轴一定有交点 D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， 当时：， ∵， ∴， 即：点不在该函数的图象上，故A选项错误； 当时，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ∴，故B选项错误； ∵， ∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确； 当时，抛物线的对称轴为：， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 3. 已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据算式结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：由图可知，的正切值是， ∴的度数为． 故选A． 4. 一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（ ） A. 1，4 B. 2，5 C. 5，10 D. 10，20 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了求二次函数的应用． 根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到回到地面所花的时间（秒）．化为顶点式可求出弹起的最高高度（米）． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2． ∵， ∴弹起的最高高度（米）是5． 故选：B． 5. 下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） x … … y … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据“时，时”，结合二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】解：由表可得时，时， 二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标在和之间， 的一个近似解的范围为， 故选：C． 6. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案. 【详解】解：表示的是地面，表示是图书馆， ， 为直角三角形， （米）. 故选：D. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念. 7. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则根据反比例函数的性质，列出等式计算即可． 【详解】设， ∵点B，C的横坐标都是3，，平行于x轴，点D在上，且其横坐标为1， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得． 【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 9. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得新抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据平移规则，确定新抛物线的解析式，再联立新抛物线与直线的解析式，根据根与系数的关系，判断出的符号，进而判断出直线经过的象限即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为， 令，整理，得：， ∵新抛物线与直线交于，两点，， ∴， ∴当，时，经过一，二，四象限； 当，时，经过一，三，四象限； 故一定经过第一、四象限； 故选：D． 10. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是______（填一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、， 即二元一次方程的根为、， 由根与系数的关系得：，， 一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧， ，为异号， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用． 12. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 【答案】20 【解析】 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 13. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 14. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为_____________米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解． 【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵博雅楼顶部E的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， 由题意可得四边形是矩形， ∴， ∵尚美楼顶部F的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题． 15. 已知二次函数的部分图像如图所示，图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图像上，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的的取值范围为．其中正确的结论有________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图像与系数的关系．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：由题意可得：， 对称轴为直线， ，即， 当时，，即，即，故①错误； ，， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，故②正确； 二次函数与有两个不同的交点，故关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； 函数经过，对称轴为直线，故一定经过， 的的取值范围为，故④正确； 故答案为：②④． 16. 如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动，若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动，图是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象点为图象的最高点，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：：：，设，则，过点作垂直于的延长线于点，过点作垂直于的延长线于点，由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为，得出，则，在中，，得出，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解． 【详解】解：由题意可知：：：，设，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， ，则， ， 在中，， ， 则，化简得：， 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为， ， ， 为正数， ， ，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，则， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 已知二次函数． （1）当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． （2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】（1）①；②当时， （2） 【解析】 【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解； （2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解． 【小问1详解】 解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． 【小问2详解】 ∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【解析】 【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 19. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【答案】（1） 如图所示， （2）①；；② （3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【解析】 【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 ∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 20. 如图，已知∠ABM＝37°，AB＝20，C是射线BM上一点． （1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是　 　；（填写所有符合条件的序号） ①AC＝13；②tan∠ACB＝； ③连接AC，△ABC的面积为126． （2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 【答案】（1）②③；（2）见解析，BC＝21． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的已知条件及三角函数的特点即可判断求解； （2）根据给出的条件作出辅助线，根据锐角三角函数的概念和勾股定理求出BC的长． 【详解】（1）已知∠ABM＝37°，AB＝20，当AC＝13时，如图，BC长可能有两种； 当tan∠ACB＝时，可以唯一确定BC长； 当连接AC，△ABC的面积为126可以唯一确定BC长； 故答案为：②③； （2）方案一：选② 作AD⊥BC于D， 则∠ADB＝∠ADC＝90°． 在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°， ∴AD＝AB•sinB＝12，BD＝AB•cosB＝16， 在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°， ∴CD＝＝5， ∴BC＝BD+CD＝21． 方案二：选③ 作CE⊥AB于E，则∠BEC＝90°， 由S△ABC＝AB•CE得CE＝12.6， 在Rt△BEC中，∵∠BEC＝90°， ∴BC＝＝21． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值的应用，能求出各个角的度数和求出各个边的长是解此题的关键，难度适中． 21. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标． 【小问1详解】 解：轴， ， ， ， ， ， ， 点A在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴于点E， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 点A、C是反比例函数和一次函数的交点， 联立，解得：或， ， ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键． 22. 某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件． （1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式； （2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？ 【答案】（1） （2）①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为万元． 【解析】 【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案； （2）①把代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得： 【小问2详解】 ①由（1）得：当时， 则即 解得： 即第一年的售价为每件16元， ② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件， 解得： 其他成本下降2元/件， ∴ 对称轴为 当时，利润最高，为77万元，而 当时，（万元） 当时， （万元） 所以第二年的最低利润为万元． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键． 23. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）． 【答案】古树的高度为 【解析】 【分析】延长，交于点G，过点B作于点F，根据斜面的坡度为，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明四边形为矩形，得出，根据三角函数求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示： 则， ∵斜面的坡度为， ∴设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 即， ∵为水平方向，为竖直方向， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 答：古树的高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义． 24. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，， ∴， 即：的最小值为：； 【小问3详解】 解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度第一学期期中质量检测 初四数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，下列说法正确的是( ) A. 点在该函数的图象上 B. 当且时， C. 该函数的图象与x轴一定有交点 D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧 3. 已知是锐角，且的大小是的计算结果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（ ） A. 1，4 B. 2，5 C. 5，10 D. 10，20 5. 下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） x … … y … … A. B. C. D. 6. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得新抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 10. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是______（填一个值即可） 12. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 13. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离________． 14. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为_____________米．（结果保留根号） 15. 已知二次函数的部分图像如图所示，图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图像上，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的的取值范围为．其中正确的结论有________． 16. 如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动，若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动，图是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象点为图象的最高点，则平行四边形的面积为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 已知二次函数． （1）当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． （2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 18. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 19. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 20. 如图，已知∠ABM＝37°，AB＝20，C是射线BM上一点． （1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是　 　；（填写所有符合条件的序号） ①AC＝13；②tan∠ACB＝； ③连接AC，△ABC的面积为126． （2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 21. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 22. 某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件． （1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式； （2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？ 23. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）． 24. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $