精品解析：山东省泰安市新泰市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级上学期期中检测 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且 .其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一组数据：1，2，5，0，2，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. ±6 B. ±12 C. -13或11 D. 13或-11 5. 下列分式是最简分式的是( ) A. B. C. D. 6. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是( ) A. 8，9 B. 8，8.5 C. 16，8.5 D. 16，14 7. 原创题海海有一本密码本，他通过所学知识设置了密码：将“王、滕、岳、阳、阁、序、楼、记”分别对应“”．通过将因式分解就可得到密码，则密码本的密码可能是（ ） A. 滕王阁序 B. 岳阳楼记 C. 滕王阁 D. 岳阳楼 8. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人 次射箭成绩的平均数都是环，四人的方差分别是，，，，则射箭成绩最稳定的是（    ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 第Ⅱ卷（非选择题 110分） 二、填空题（每小题4分，共20分，只要求填最后结果） 11. 数据1，2，4，5的平均数是_______________． 12. 关于的分式方程有增根，则 的值为_______． 13. 将多项式分解因式，应提取的公因式是_________________． 14. 有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为 元/千克和 元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式__________合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 15. 已知实数满足，则分式为__________． 三、解答题（本题共8个小题，共90分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 17. 解分式方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值∶ 其中． 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 19. 为了推动阳光体育运动的开展，引导学生走向操场，走进大自然走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批轮滑鞋供学生使用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了下表 （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____________，图中 的值为____________． （2）求本次调查样本中数据的众数和中位数； （3）若学校计划购买 双轮滑鞋，建议购买 号轮滑鞋多少双? 20. 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式．， 当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_______________；求代数式的最小值为_______________； （2）若，当 _____时， 有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 21. 阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数， 的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，∴16就是一个“智慧数”，我们可以利用进行研究． （1）试写出不大于 的3个智慧数； （2）请判断 ， 是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将 ， 按“”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写： （3）现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． 以上3个结论中，正确的结论是__________．（填序号即可） 22. 某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85， ，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1） ______， ______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致 填“甲”、“乙”或“丙” ，并说明理由； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 23. 2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． （1）求“朝阳号”的行驶速度； （2）如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； （3）若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期期中检测 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式转化为几个整式（单项式或多项式）的乘积形式的变形过程．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是单项式，故不是因式分解，不符合题意； B、中不是整式，故不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、，等式右边不是整式的乘积，故不是因式分解，不符合题意． 故选：C ． 2. 下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且 .其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则 ，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且 ，． 本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， ∴不论a为何值都有意义， 故此结论正确； ②当时，，此时分式无意义， 故此结论不正确； ③若的值为负， ∵， ∴ ， ∴， 故此结论正确； ④∵有意义， ∴有意义， ∴， 解得， 且， 故此结论不正确． 综上所述，其中正确的个数是2． 故选：B． 3. 一组数据：1，2，5，0，2，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别按照平均数，中位数，众数，方差的求解方法，去求发生变化前后的数值． 【详解】解：A、发生变化前的平均数：，发生变化后的平均数：，，没有变化，故该选项不符合题意； B、发生变化前的中位数：，发生变化后的中位数：，没有变化，故该选项不符合题意； C、发生变化前的众数：2，发生变化前的众数：2，没有变化，故该选项不符合题意； D、发生变化前的方差：，发生变化后的方差：，发生变化，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟记概念和公式是解题的关键． 4. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. ±6 B. ±12 C. -13或11 D. 13或-11 【答案】C 【解析】 【分析】先找到平方项是与9，由此得到另一项的值，由此计算得到k的值即可. 【详解】∵能用完全平方公式因式分解， ∴平方项是与9， ∴=， ∴, ∴k= -13或11, 故选：C. 【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的计算方法及特点是解题的关键. 5. 下列分式是最简分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意； B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； C、该分式的分子、分母中含有公因式 ，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； D、该分式的分母为，所以该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义． 6. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是( ) A. 8，9 B. 8，8.5 C. 16，8.5 D. 16，14 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）分别求出众数和中位数即可得． 【详解】解：∵睡眠8小时出现的次数最多，为16次， ∴众数是8， ∵被调查的学生人数为3+16+14+7=40（人）， ∴总共有40个数据， 将这些数据按从小到大进行排序后， 第20个数和第21个数据分别为9，9， 则中位数是9， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键． 7. 原创题海海有一本密码本，他通过所学知识设置了密码：将“王、滕、岳、阳、阁、序、楼、记”分别对应“”．通过将因式分解就可得到密码，则密码本的密码可能是（ ） A. 滕王阁序 B. 岳阳楼记 C. 滕王阁 D. 岳阳楼 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，将给定的代数式因式分解，并根据对应关系确定密码. 【详解】解：原式为 提取公因式：，原式可改写为 提取公因式：两项均含 ，提取后得 进一步分解： 可分解为 ，因此原式最终分解为 对应“滕”， 对应“阁”， 对应“王”， 对应“序” 组合后为“滕王阁序”， 故答案为： A. 8. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 9. 甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人次射箭成绩的平均数都是环，四人的方差分别是，，，，则射箭成绩最稳定的是（    ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，掌握理解方差的意义是解题关键．根据方差的意义即可得． 【详解】解：∵每人次射箭成绩的平均数都是环，，，，，且， 射箭成绩最稳定的是丁（方差越小，成绩越稳定）， 故选：D． 10. 若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的特殊解,难度适中，解题的关键是注意要排除分式方程无解情况．首先求得分式方程的解为,再根据解为正数得且，,从而求得m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并得， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得且， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 110分） 二、填空题（每小题4分，共20分，只要求填最后结果） 11. 数据1，2，4，5的平均数是_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查求平均数，根据求平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：平均数为． 故答案为∶3． 12. 关于的分式方程有增根，则 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先去分母，根据分式方程有增根，求出，再代入整式方程求出 ． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到 ，即 ， 把 代入整式方程得：， 解得：， 故答案为： ． 13. 将多项式分解因式，应提取的公因式是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因式法因式分解是解题关键．各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，提公因式的方法为：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑．公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数．据此即可获得答案． 【详解】解：， 所以，将多项式分解因式，应提取的公因式是． 故答案为：． 14. 有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为 元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式__________合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查分式混合运算的应用，读懂题意，掌握分式混合运算的应用是解题的关键． 求出甲乙两人分别购买两次的平均价格，进行比较即可解答． 【详解】解：甲采购两次总支付金额为1600元， 总购买数量为（千克）， 平均价格为（元/千克）． 乙采购两次总支付金额为元， 总购买数量为200千克， 平均价格为（元/千克）． ， ∵， ，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴甲的平均价格较低，购货方式更合算． 故答案为：甲． 15. 已知实数满足，则分式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，将所求分式的分子和分母同时除以，变形后代入已知条件计算．结合分式的基本性质进行恒等变形是解题的关键． 【详解】解：∵实数满足， ∴ ， ∴， 即分式为 故答案为 ． 三、解答题（本题共8个小题，共90分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可； （2）先凑出公因式，然后提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同乘以，转化为整式方程，求解并检验即可； （2）方程两边同乘以，转化为整式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 解得 ． 检验：当 时，， ∴ 是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 解得． 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 18. 先化简，再求值∶ 其中． 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2） 选择甲同学的解法． 原式 ； 或选择乙同学的解法 原式 当 时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键． （1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了． （2）选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可；选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可． 【小问1详解】 甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 19. 为了推动阳光体育运动的开展，引导学生走向操场，走进大自然走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批轮滑鞋供学生使用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了下表 （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____________，图中 的值为____________． （2）求本次调查样本中数据的众数和中位数； （3）若学校计划购买 双轮滑鞋，建议购买 号轮滑鞋多少双? 【答案】（1） ； ； （2）众数： ；中位数： ； （3） 双 【解析】 【分析】本题考查统计图表的综合应用，涉及的知识点是 “条形统计图与扇形统计图的关联计算”“众数、中位数的定义”“用样本估计总体”．解题方法是通过条形图中的已知数据结合扇形图的比例计算总人数，再利用统计量的定义求众数、中位数，最后用样本比例估计总体数量；解题关键是准确关联条形图与扇形图的数量和比例，注意中位数需先排序数据．易错点是计算总人数时比例对应错误，或求中位数时未正确排序数据．解题思路为：（1）用 号的人数除以其扇形比例得总人数，再用 减去其他鞋号的比例得 ；（2）根据众数（出现次数最多的数）、中位数（排序后中间的数）的定义计算；（3）用 号的样本比例乘以购买总数估计数量． 【小问1详解】 计算总人数和 ： 由条形图知 号有 人，扇形图中 号占（后续计算得 ），总人数为 ，故． 【小问2详解】 众数： 号出现 次（次数最多），故众数是 号； 中位数：将 个数据排序后，第 、 个数据均为 号，故中位数是 号． 【小问3详解】 35 号占样本的，故购买 双时， 号数量为双． 20. 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式．，当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_______________；求代数式的最小值为_______________； （2）若，当 _____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 【答案】（1）；3 （2）1，大， 【解析】 【分析】本题题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）先凑出完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；先凑成完全平方加一个数值的形式，再结合非负数的性质即可解答； （2）先凑成完全平方加一个数值的形式，再结合非负数的性质即可解答． 【小问1详解】 解： ． ； ， ∵， 当 时，有最小值，最小值是3． 故答案为：；3． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值是． 故答案为：1，大，． 21. 阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，∴16就是一个“智慧数”，我们可以利用进行研究． （1）试写出不大于的3个智慧数； （2）请判断 ， 是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将 ， 按“”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写： （3）现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． 以上3个结论中，正确的结论是__________．（填序号即可） 【答案】（1）不大于的智慧数有：3，5，7（答案不唯一） （2）24为“智慧数”，； 不是“智慧数” （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据智慧数的定义求解； （2）根据智慧数的定义求解； （3） 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，从而可得（为整数），再根据两数乘积是偶数，得出、均是偶数，于是有就能被4整除，得出矛盾，从而可得被4除余2的正整数都不是“智慧数”，由此可判断； ②设能被4整除的正整数为（为正整数且 ），根据， 不妨令，从而可得，于是可得，，从而说明除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，由此可判断． ③设k为正整数，根据，可得出除1外，所有的奇数都是智慧数，由此可判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴3是智慧数， ∵， ∴5是智慧数， ∵， ∴7是智慧数， ∴不大于的智慧数有：3，5，7（答案不唯一）； 【小问2详解】 不是“智慧数”， 是“智慧数”， 或； 【小问3详解】 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数， 即（为整数）， 又， 即两数乘积是偶数， 由此知道、均是偶数， 那么就能被4整除， 这与被4除余2相矛盾， 因此，被4除余2的正整数都不是“智慧数”， 故正确； 若，则， ∵、为正整数，和同为正偶数， ∴只能且，解得 ，不符合为正整数的要求； 设能被4整除的正整数为（为正整数且 ）， 由于， 不妨令， 从而有， ∴． 解得，∴， 又∵为正整数且 ， ∴、为正整数， 因此，除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确． 设k为正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数， 故③错误， 综上所述，正确的结论是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了运用平方差公式进行运算，平方差公式分解因式，因式分解的应用，构造二元一次方程组求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 22. 某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85， ，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）______， ______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致 填“甲”、“乙”或“丙” ，并说明理由； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 【答案】（1）9，8，83 （2）乙 （3）综合成绩最高的是乙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得m、n的值；把十位评委的打分相加可得p的值； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数， 由扇形图可知丙的得分8分的最多，故众数 ； ， 故答案为：9，8，83； 【小问2详解】 解：由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致； 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， 因为， 所以综合成绩最高的是乙． 23. 2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． （1）求“朝阳号”的行驶速度； （2）如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； （3）若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】（1）“朝阳号”的行驶速度是 米/秒； （2）不能同时到达，理由见解析 （3）调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【小问1详解】 解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得： ，经检验 是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是 米/秒． 【小问2详解】 解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． 【小问3详解】 解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $